Figura 1.30: Tipos del trazo del círculo de Mohr.
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- Arturo Soriano Córdoba
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1 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en D 1.9. Círculo de Mohr para esfuerzos en D Las dos formas del círculo de Mohr se muestran en la Fig. 1.30, la diferencia son el eje de las ordenadas y su correspondiente sentido positivo de los ángulos. Figura 1.30: Tipos del trazo del círculo de Mohr. Construcción del círculo de Mohr 1 : 1. Dibujo de un sistema de ejes coordenados con como abscisa, positivo hacia la derecha, y como ordenada, positivo hacia abajo.. Localice el centro del círculo en el punto con coordenadas y Localice el punto A que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara 1 del elemento mostrado en la Fig. (1.31), marcando sus coordenadas y. Note que el punto corresponde a Localice el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara del elemento mostrado en la fig. (1.31), trazando sus coordenadas y.observequeel punto sobre el círculo corresponde a Dibuje una línea del punto al. Esta línea es un diámetro del círculo y pasa por el centro. Los puntos y, que representan los esfuerzos sobre planos a 90 uno del otro están en extremos opuestos del diámetro (y, por lo tanto, están a 180 uno del otro sobre el círculo). 6. Con el punto como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos y. Elcírculo dibujado de esta manera tiene radio. 1 Mohr O. (1887). Ueber die bestimmung und die graphische Darstellung von Trâgheitsmomenten ebener Flâchen, Civilingenieur, columnas 43-68, pp.90 Mohr O. (1914). Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik (Ernst, Berlin, ed.), pp. 109 c Gelacio Juárez, UAM 43
2 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en D s µ + 7. Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.31) 8. Cálculo del ángulo de la ec. (1.65) σ 1 ± µ tan 9. Cálculo del esfuerzo cortante máximo, máx, y del ángulo. máx = Figura 1.31: Trazo Mohr c Gelacio Juárez, UAM 44
3 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en D Ejemplo Del estado de esfuerzos mostrado en la fig 1.3 determine: a) los esfuerzos, direcciones principales y posibles planos de falla y b) el estado de esfuerzos a un ángulo 40 en dirección contraria a las manecillas del reloj: " # MPa 3 0 Figura 1.3: Trazo Mohr Solución a) Cálculo del centro Cálculo del radio =30MPa s µ ³ 10 3 =0MPa Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.3) Cálculo del ángulo de la ec. (1.65); 1 = 30+0 = 50MPa = 30 0 = 10 MPa 1 tan 1 Ã (10! 3) = c Gelacio Juárez, UAM 45
4 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en D El esfuerzo cortante máximo, máx, corresponde al radio del círculo: y el ángulo es: máx = 0MPa 15 Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestran en la fig Figura 1.33: Esfuerzos principales y cortante máximo. b) El ángulo se determina gráficamente de la fig. (1.34) (40 ) (30 )=0 Los esfuerzos en el plano 0 y 0 se determinan como: 0 = + cos( ) = 30 MPa + 0 MPa cos(0 )= MPa 0 = cos( ) =30MPa 0 MPa cos(0 )=11 06 MPa 0 0 = sin( ) = 0 MPa sin(0 )= 6 84 MPa Ejemplo Determine los esfuerzos y direcciones principales del estado de esfuerzos en cortante puro mostrado en la fig. 1.3: Cálculo del centro " # kg cm c Gelacio Juárez, UAM 46
5 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en D Figura 1.34: Trazo Mohr para un ángulo Figura 1.35: Trazo Mohr Cálculo del radio 0+0 =0 s µ0 0 + (100) =100 Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.35) El ángulo se calcula de la ec. (1.65) σ 1 = = 100 σ = = µ (100) tan 1 ; indeterminado 0 c Gelacio Juárez, UAM 47
6 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en D aunque éste sea indeterminado numéricamente, de la Fig se determina que el ángulo es: 1 (90 )=45 El esfuerzo cortante máximo, máx, corresponde al radio del círculo: ángulo y del ángulo. máx = Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestra en la fig Figura 1.36: Esfuerzos principales y cortante máximo Ejemplo Determine los esfuerzos y direcciones principales del estado de esfuerzos en compresión del cilindro de concreto mostrado en la fig 1.3. El tensor de esfuerzos en está dado por. Cálculo del centro " # Cálculo del radio 0 50 = 15 s µ0 50 +(0) =15 Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la fig. (1.31) c Gelacio Juárez, UAM 48
7 1.9 Círculo de Mohr para esfuerzos en D Figura 1.37: Cilíndro de concreto sometido a compresión. σ 1 = = 0 σ = = 50 El ángulo se calcula de la ec. (1.65) Figura 1.38: Trazo Mohr 1 µ (0) tan El esfuerzo cortante máximo, máx, corresponde al radio del círculo: c Gelacio Juárez, UAM 49
8 1.10 Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D ángulo y del ángulo. máx = Los esfuerzos principales y cortante máximo se muestra en la fig Figura 1.39: Esfuerzos principales y cortante máximo Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D Al calcularse los esfuerzos con las raíces de las ec. (1.4), éstos se localizan en el eje de las absisas de la fig. (1.40). Figura 1.40: Trazo Mohr en 3D. c Gelacio Juárez, UAM 50
9 1.10 Círculo de Mohr para esfuerzos en 3D Los centros y los radios se calculan como: 1 = ( + 3 ) 1 = ( 3 ) = ( 1+ 3 ) = ( 1 3 ) 3 = ( 1+ ) 3 = ( 1 ) Las ecuaciones que delimitan los estados de esfuerzos posibles, sombreado en la fig. (1.40),son: El cortante máximo se calcula como: Tarea +( 1 )( 3 ) 0 +( )( 3 ) 0 +( 1 )( ) 0 máx = 1 3 De los estados de esfuerzos en un sistema coordenado cartesiano dado en los siguientes tensores: " # " # " # σ = ; σ = ; σ = (1.73) 1. Determine y grafique mediante el círculo de mohr los esfuerzos principales y las direcciones, asociadas a éstos.. Determine y grafique los esfuerzos cortantes máximos. 3. Grafique los posibles planos de falla. 4. Grafique en una sola figuralostrescírculosdelaec.(1.73). 5. Grafique el círculo de mohr en 3D del siguiente sistema estado de esfuerzos σ = c Gelacio Juárez, UAM 51
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