DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL. (a) Las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media y desviación típica,

Transcripción

1 1 MAJ04 DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL 1. E u servicio de ateció al cliete, el tiempo de espera hasta recibir ateció es ua variable ormal de media 10 miutos y desviació típica 2 miutos. Se toma muestras aleatorias del tiempo de espera de los clietes que llega u día cocreto. Se pide: (a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de ua muestra de 25 clietes o supere los 9 miutos? (b) Cuál es la distribució de la media muestral, si se toma muestras aleatorias de 64 clietes? Especificar sus parámetros. Solució: (a) Las muestras de tamaño obteidas e ua població de media y desviació típica, N(. ), se distribuye segú ua ormal N,. E uestro caso, para = 25 y N(10, 2), las muestras se distribuye segú la N(10, 2/5) Co esto, 9 10 P X 9 = P Z = P(Z < 2,5) = 1 P(Z < 2,5) = 1 0,9938 = 0, / 5 (b) Como hemos idicado ateriormete, la distribució de medias muestrales de tamaño 64 2 se distribuye segú la ormal N10, N(10, 0,25). 64 Esto es, ua ormal de media 10 y desviació típica 0,25. José María Martíez Mediao (SM,

2 2 MAS05 2. La duració de las baterías de u determiado modelo de teléfoo móvil tiee ua distribució ormal de media 34,5 horas y desviació típica 6,9 horas. Se toma ua muestra aleatoria simple de 36 teléfoos móviles. (a) Cuál es la probabilidad de que la duració media de las baterías de la muestra esté compredida etre 32 y 33,5 horas. (b) Y de que sea mayor de 38 horas? Solució: La media de las muestras de tamaño obteidas e ua població de media y desviació típica, N(. ), se distribuye segú ua ormal N,. E uestro caso ( = 34,5, = 6,9, = 36), se distribuirá segú la ormal 6,9 34,5 N 34,5, N 34,5, 1,15, que se tipifica haciedo Z X 36 1,15 Co esto, 32 34,5 33,5 34,5 (a) P ( 32 X 33,5) = P Z = P(2.17 < Z < 0,87) = 1,15 1,15 = P(Z < 0,87) P(Z < 2,17) = 1 0,8078 (1 0,9850) = 0, ,5 (b) P ( X 38) = PZ = P(Z > 3,04) = 1 0,9988 = 0,0012 1,15 José María Martíez Mediao (SM,

3 3 MAJ06 3. E cierta població humaa, la media muestral X de ua característica se distribuye mediate ua distribució ormal. La probabilidad de que X sea meor o igual que 75 es 0,58 y la de que X sea mayor que 80 es 0,04. Hallar la media y la desviació típica de X. (Tamaño muestral = 100). Solució: Las muestras de media X y desviació típica se distribuye segú la ormal de media X y desviació típica, siedo la desviació típica de la població y el tamaño muestral. X X Esta distribució se tipifica mediate el cambio Z, que para = 100 es / X X Z. /10 Co esto, a partir de los datos, y co ayuda de la tabla ormal, se tiee: 75 X 75 X P( X < 75) = 0,58 P Z 0, 58 0, 20 /10 /10 80 X 80 X P( X > 80) = 0,04 P Z 0, 04 1, 75 /10 /10 Resolviedo el sistema 75 X /10 80 X 0,20; 1, 75 / X 0, X 1,75 10X 0, X 1, se obtiee: X = 74,35 y = 32,26. Por tato la desviació típica de la variable X es 3,226. José María Martíez Mediao (SM,

4 4 MAJ07 4. La edad a la que cotrae matrimoio los hombres de la Isla Barataria es ua variable aleatoria que se puede aproximar por ua distribució ormal de media 35 años y desviació típica de 5 años. Se elige aleatoriamete ua muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea X la media muestral de la edad de casamieto. (a) Cuáles so la media y la variaza de X? (b) Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamieto de la muestra esté compredida etre 36 y 37 años? Solució: La població se distribuye como ua ormal de media = 35 y desviació típica = 5. a) Las muestras de ua població N(, ) se distribuye segú la ormal de media X = y desviació típica, siedo el tamaño muestral. X Por tato, X = 35 y. Luego, la variaza será 2 X X b) Esta distribució se tipifica mediate el cambio Z X X /. Para este caso, 35 Z X. 1/ 2 Co esto, co ayuda de la tabla ormal, se tiee: P(36 < X < 37) = P Z = P(2 < Z < 4) = P(Z < 4) P(Z < 2) = 1/ 2 1/ 2 = 1 0,9772 = 0,0228. José María Martíez Mediao (SM,

5 5 INTERVALOS DE CONFIANZA Y TAMAÑO MUESTRAL MAS04 5. Ua muestra aleatoria de 9 tarrias de helado proporcioa los siguietes pesos e gramos Hallar u itervalo de cofiaza al 95 % para la media de la població, sabiedo que el peso de las tarrias tiee ua distribució ormal co ua desviació típica de 1,8 gramos. Solució: El itervalo de cofiaza para la població es x Z / 2, x Z / 2, siedo x la media muestral, la desviació típica, el tamaño muestral y Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza La media muestral es x 89 9 Por tato, como = 1,8, = 9 y Z / 2 = 1,96, el itervalo de cofiaza será: 1,8 1,8 89 1,96, 89 1,96 = (87,824, 90,176) 9 9 MAS06 6. La duració de la batería de cierto modelo de teléfoo móvil se puede aproximar por ua distribució ormal co ua desviació típica de 5 meses. Se toma ua muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtiee las siguietes duracioes (e mese): 33, 34, 26, 37, 30, 39, 26, 31, 36, 19 Hallar u itervalo de cofiaza al 95 % para la duració media de ese modelo de batería. Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z / 2, x Z / 2 siedo Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de E este caso: x 31, 1; = 5; el tamaño 10 muestral es = 10; y Z / 2 = 1,96. Por tato, el itervalo de cofiaza para la media es ,1 1,96, 31,11,96 = (31,1 3,1, 31,1 + 3,1) = (28, 34,2) José María Martíez Mediao (SM,

6 6 MAJ05 7. E ua ecuesta se preguta a persoas cuátos libros lee al año, obteiédose ua media de 5 libros.. Se sabe que la població tiee ua distribució ormal co desviació típica 2. (a) Hallar u itervalo de cofiaza al 80 % para la media poblacioal.. (b) Para garatizar u error de estimació de la media poblacioal o superior a 0,25 co u ivel de cofiaza del 95 %, a cuátas persoas como míimo sería ecesario etrevistar? Solució: (a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z / 2, x Z / 2 siedo Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Para x = 5, = 2, = y, para el 80 % de cofiaza, Z / 2 = 1, ,28, 5 1,28 = (5 0,0256, 5 + 0,0256) = = (4,9744, 5,0256) (b) El error admitido, E, viee dado por E Z / 2. Para ua cofiaza del 95%, Z / 2 = 1,96, y E < 0,25 se tedrá: 2 1,96 0,25 15, 68 15,68 2 = 245,8 El tamaño muestral míimo debe ser de 246 persoas. José María Martíez Mediao (SM,

7 7 MAS07 8. Se supoe que la recaudació diaria de los comercios de u barrio determiado es ua variable aleatoria que se puede aproximar por ua distribució ormal de desviació típica 328 euros. Se ha extraído ua muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteiédose que la recaudació diaria media asciede a 1248 euros. Calcular: (a) El itervalo de cofiaza para la recaudació media co u ivel de cofiaza del 99 %. (b) El tamaño muestral míimo ecesario para coseguir, co u ivel de cofiaza del 95 %, u error e la estimació de la recaudació diaria media meor de 127 euros. Solució: a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z / 2, x Z / 2 siedo Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E este caso x = 1248, = 328, = 100; y Z / 2 = 2,575. Por tato, el itervalo de cofiaza para la media es ,575, ,575 = = ( ,46, ,46) = (1163,54, 1332,46) b) El error admitido, E, viee dado por E Z / 2. E uestro caso, para ua cofiaza del 95 %, Z / 2 = 1,96, = 328 y E < 127, se tedrá: 328 1, , , 06 > 25,6 127 El tamaño muestral debe ser 26 o más comercios. José María Martíez Mediao (SM,

8 8 RMJ04 9. Se quiere coocer la permaecia media de los pacietes de u hospital, co el fi de estudiar ua posible ampliació del mismo. Se tiee datos referidos a la estacias, expresada e días, de 800 pacietes, obteiédose los siguietes resultados: x = 8,1 días; s = 9 días. Se pide obteer u itervalo de cofiaza del 95 % para la estacia media. Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de s s media x y desviació típica s es x Z / 2, x Z / 2, siedo Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Para x = 8,1, s = 9, = 800 y, para el 95 % de cofiaza, Z / 2 = 1,96, se tiee: ,58, 100 2,58 = (8,1 0,6, 8,1 + 0,6) = ( 7,5, 8,7) La estacia media está etre 7,5 y 8,7 días. RMJ Ua muestra aleatoria simple de 25 estudiates respode a u test de iteligecia, obteiedo ua media de 100 putos. Se sabe por experiecia que la variable iteligecia de todos los estudiates es ormal co ua desviació típica igual a 10, pero se descooce la media. Etre qué límites se hallará la verdadera iteligecia media de todos los estudiates, co u ivel de cofiaza de 0,99? Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica s es: s s x Z / 2, x Z / 2 siedo Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Para x = 100, s = 10, = 25 y, para el 99 % de cofiaza, Z / 2 = 2,58, se tiee: ,58, 100 2,58 = (100 5,16, ,16) = ( 94,84, 105,16) La iteligecia media estará etre 94,84 y 105,16 putos. José María Martíez Mediao (SM,

9 9 NAS Ua muestra aleatoria de tamaño 100, extraída de ua població ormal de variaza 81, preseta ua media muestral igual a 150. i) Calcular u itervalo de cofiaza del 90 % para la media poblacioal. (3 putos) ii) Calcular u itervalo de cofiaza del 95 % para la media poblacioal y compararlo co el aterior. (4 putos) iii) Si se quiere teer ua cofiaza del 95 % de que su estimació se ecuetra a ua distacia máxima de 1,2 de la verdadera media poblacioal, cuátas observacioes adicioales debe tomarse? (3 putos) Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z / 2, x Z / 2 siedo Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. i) Para x = 150, 2 = 81 = 9, = 100 y, para el 90 % de cofiaza, Z / 2 tedrá: ,645, 150 1,645 = (148,52, 151,48) ii) Para ua cofiaza del 95 %, Z / 2 = 1,96, luego, el itervalo de cofiaza será: ,96, 150 1,96 = (148,24, 151,76) = 1,645, se El itervalo se hace más amplio, pues si se desea más cofiaza (más seguridad de acierto si variar el tamaño muestral), debe precisarse meos. iii) La distacia máxima, el error máximo admitido, viee dado por E Z / 2. Para ua cofiaza del 95%, Z / 2 = 1,96; si desea que la distacia máxima sea meor que 1,2, E < 1,2, se tedrá: 9 1,96 1,2 14, 7 > 216 El valor míimo de debe ser de 217; por tato, debe tomarse 117 elemetos más. José María Martíez Mediao (SM,

10 10 IBJ U agricultor quiere estimar el peso medio de las arajas que produce, co u error meor de 10 g, empleado ua muestra de 81 arajas. Sabiedo que la desviació típica poblacioal es de 36 g, cuál será el máximo ivel de cofiaza co que realizará la estimació? Solució: El error admitido viee dado por E Z / 2, siedo la desviació típica poblacioal, el tamaño muestral y Z / 2 el valor e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E uestro caso, E < 10, = 81 y = 36, siedo descoocida. Se tiee: Z / 2 10 Z / 2 2, Para Z / 2 < 2,5, se tiee que 1 /2 < 0,9938 < 0, < 0,9876. Por tato, la cofiaza máxima es del 98,76 %. ANJ E ua població ua variable aleatoria sigue ua ley Normal de media descoocida y desviació típica 2. a) Observada ua muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obteido ua media muestral igual a 50. Calcule u itervalo, co u 97 % de cofiaza, para la media d la població. b) Co el mismo ivel de cofiaza, qué tamaño míimo debe teer la muestra para que la amplitud del itervalo que se obtega sea, como máximo, 1. Solució: a) El itervalo de cofiaza, para las muestras de tamaño muestral de media x, es: x Z / 2, x Z / 2 dode es la desviació típica poblacioal y Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E este caso: x = 50, = 2, Z / 2 = 2,17 y = 400. El itervalo será: ,17, 50 2,17 = (49,783, 50,217) b) La amplitud del itervalo es 2 Z 2 2, /. Si se quiere que sea meor que 1: 2 4 2,17 8, 68 > 75,34. El tamaño míimo de la muestra debe ser 76. José María Martíez Mediao (SM,

11 11 ARS Se ha obteido que el itervalo de cofiaza correspodiete al 95 % de ua variable es (6,66, 8,34). Calcule la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obteer el itervalo sabiedo que la desviació típica es igual a 3. Explique cada uo de los pasos realizados. Solució: El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral de media x y desviació típica es: x Z / 2, x Z / 2 siedo Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E este caso se sabe que = 3 y Z / 2 = 1,96 (95 % de cofiaza: 1 = 0,95). Por tato: 3 3 x 1,96, x 1,96 = (6,66, 8,34) Luego 3 x 1,96 6, ,66 1,96 8,34 1,96 1,96 0, 84 3 x 1,96 8,34 1, = 49 0,84 3 Si = 49, como x 1,96 6, 66 x 7, 5 49 NOTA: La media se podría haber calculado si coocer, pues al ser el itervalo de cofiaza simétrico respecto de la media, esta es la media aritmética de los extremos de ese 6,66 8,34 itervalo: x 7, 5. 2 José María Martíez Mediao (SM,

12 12 CNJ Se quiere estimar el sueldo medio de u trabajador de trasporte público. Se toma para ello ua muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiee u sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviació típica es igual a 250 euros: a) Co u ivel de cofiaza del 90 %, determia el itervalo de cofiaza para el sueldo medio de u trabajador del trasporte público. b) Si se quiere que el error máximo de la estimació sea de 10 euros, hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar cosiderado u ivel de cofiaza del 99 %. Solució: a) El itervalo de cofiaza de la media poblacioal, para las muestras de tamaño muestral y de media x, es: x Z / 2, x Z / 2 siedo la desviació típica poblacioal y Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. Para x = 1480, = 250, = 625 y, para el 90 % de cofiaza, Z / 2 es: ,645, ,645 = = ( ,45, ,45) = (1463,55, 1496,45) b) El error viee dado por E = Z / 2. = 1,645, este itervalo Si se desea que sea meor que 10, para el 99 % ( Z / 2 = 2,575) y = 250, se tedrá: 250 2, (2,575 25) , 14 El tamaño míimo de = José María Martíez Mediao (SM,

13 13 IBS De ua muestra aleatoria de 2100 persoas de ua població hay 630 que lee u determiado diario. Calcular el itervalo de cofiaza para la proporció poblacioal para u ivel de cofiaza del 99 % Solució: La proporció de la muestra es 630 p ˆ = 0, El itervalo de cofiaza para la proporció de la població es: p Z / 2 pq p Z, / 2 pq siedo pˆ la proporció de la muestra, q 1 p ;, el tamaño muestral y Z / 2 el valor correspodiete e la tabla ormal para ua cofiaza de 1. E uestro caso, para el 99 % de cofiaza (sigificació 0,01), Z / 2 = 2,575; pˆ = 0,30, q = 0,70, y = Luego, el itervalo de cofiaza será: 0,30 0,70 0,30 0,70 0,30 2,575, 0,30 2,575 = = (0,30 0,02575, 0,30 + 0,02575) (0,274, 0,326) NOTA: Si se desea ser más exigete, los parámetros p y q podría supoerse iguales, p = q = 0,50. Así se obtedría: 0,50 0,50 0,50 0,50 0,30 2,575, 0,30 2,575 (0,272, 0,328) José María Martíez Mediao (SM,

14 14 EXS E ua ciudad reside 1250 familias. Se seleccioó ua muestra aleatoria de u 20 % de ellas y se les pregutó si dispoía de gas ciudad e su vivieda. Sabiedo que todas las familias seleccioadas respodiero y que se obtuvo u total de 75 respuestas afirmativas, se pide: a) Qué estimació putual podríamos dar para el porcetaje de familias de esa ciudad que dispoe de gas ciudad e su vivieda?. b) Qué error máximo cometeríamos co dicha estimació putual co u ivel de cofiaza del 95 %? Justificar las respuestas. Solució: El tamaño muestral fue de ,20 = 250 familias. La proporció de familias co gas atural e la muestra es 75 0, 30, el 30 %. 250 a) Puede afirmarse que el porcetaje de familias co gas atural es del 30 %. pq b) El error admitido E, viee dado por E Z / 2, siedo: p la proporció de familias co gas atural y q = 1 p p = 0,30, q = 0,70 el tamaño muestral = 250 Z / 2 el valor de la variable ormal correspodiete a ua cofiaza 1 / 2 1,96 0,30 0,70 Por tato, E 1,96 1,96 0,029 0, Se puede cometer u error máximo del 5,7 %. Esto es, el porcetaje de familias co gas atural perteece al itervalo (30 5,7, ,7): estará etre el 24,3 % y el 35,7 % Si somos más exigetes y supoemos que al descoocer la proporció de la població hay que tomar p = q = 0,5, el error que se asume es, 0,50 0,50 E 1,96 1,96 0,0316 0, Cometeríamos u error máximo del 6,2 %. Z = José María Martíez Mediao (SM,

15 15 EXJ E cierta cadea de cetros comerciales trabaja 150 persoas e el departameto de persoal, 450 e el departameto de vetas, 200 e el departameto de cotabilidad y 100 e el departameto de ateció al cliete. Co objeto de realizar ua ecuesta laboral, se quiere seleccioar ua muestra de 180 trabajadores. a) Qué tipo de muestreo deberíamos utilizar para la selecció de la muestra si queremos que icluya a trabajadores de los cuatro departametos mecioados? b) Qué úmero de trabajadores tedríamos que seleccioar e cada departameto atediedo a u criterio de proporcioalidad? Justificar las respuestas Solució: a) Podría hacerse u muestreo aleatorio estratificado, eligiedo de cada grupo de trabajadores u úmero proporcioal a su tamaño. b) Hay que repartir proporcioalmete 180 etre 150, 450, 200 y 100, que so el úmero de trabajadores de los departametos de persoal, vetas, cotabilidad y ateció al cliete, respectivamete. El total, el úmero de trabajadores de la empresa es 900; como el tamaño muestral es 180 habrá que elegir 1 trabajador de cada 5. Por tato, se elegirá: 30 del departameto de persoal 90 del departameto de vetas 40 del departameto de cotabilidad y 20 del departameto de ateció al cliete. José María Martíez Mediao (SM,