Lógica. Matemática discreta. Matemática discreta. Lógica

Transcripción

1 Lógica Matemática discreta

2 Lógica: rama de las matemáticas instrumento para representar el lenguaje natural proporciona un mecanismo de deducción 2

3 y de predicados Razonamientos Cálculo proposicional Cálculo de predicados Sentencias que expresan relaciones entre atributos y cualidades de los objetos Establecen propiedades de individuos y relaciones entre estos 3

4 ejemplo "si el dato es de entrada o de salida y el dato no es de entrada, entonces es de salida" p el dato es de salida q el dato es de entrada {p V q, p} q "si x es de entrada, entonces x se graba en la memoria" Px x es un dato de entrada Qx x se graba en la memoria Px Qx 4

5 Cálculo proposcional Proposición o enunciado: es toda airmación u oración declarativa que expresa algo sobre lo que se pueda decir si es verdadero o also. Todos los procedimientos se han ejecutado correctamente. Qué hora es?. (x-y) 2 x 2-2xy+y 2. Menudo rollo de película!. Esta rase es alsa. Proposiciones simples o atómicas. Proposiciones compuestas o órmulas. 5

6 Proposiciones simples o atómicas No pueden reducirse a otras más sencillas Símbolos primitivos Σ { T,, p, q, r, s,k} Símbolos de proposición Enunciados atómicos p, q, r, s,k Σ Constantes lógicas T Falsedad Verdad 6

7 Proposiciones compuestas o órmulas Enunciados bien ormados a partir de símbolos primitivos unidos mediante conectivas. LΣ { P, Q, R, S,K} Negación Conectivas Símbolos auxiliares (, ) Conjunción Disyunción ( o inclusivo) Disyunción ( o exclusivo) Implicación Doble implicación para evitar ambigüedades 7

8 Regla de ormación de órmulas P, P,P2 LΣ p Σ P:: p T ( P )( P P2 ) ( P P2 ) ( P P 2) ( P P2 ) ( P P2 ) Para abreviar se siguen las siguientes directrices: Omisión de paréntesis externos Prioridad entre conectivas:,,,,, Asociatividad de la implicación: asocia a la derecha 8

9 ejemplos ( p ( q r)) lo escribimos p ( q r) p q r es p (( q) r) p q r es distinto de p ( q r) p q r ( p ( q r)) es 9

10 Semántica del cálculo proposicional Valoración Valor veritativo α: Σ β π: LΣ β β {,} A cada símbolo primitivo se le asigna un valor booleano de verdad o alsedad: also, verdad. A cada órmula se le asigna un valor veritativo dependiendo de los valores de verdad de los símbolos primitivos que la componen. En general, y abusando de la notación, hablaremos de valoración y de valor veritativo indistintamente.

11 Tablas de verdad Representan todos los posibles valores veritativos de las órmulas básicas. p q p q p q p q p q p q p q

12 2 Cálculo proposicional Las tablas de verdad son una representación de las unciones ) (, (,) ) (, (,) : β β β ) (, (,) ) (, (,) : β β β () () : β β ) (, (,) ) (, (,) : β β β ) (, (,) ) (, (,) : β β β ) (, (,) ) (, (,) : β β β

13 Valores veritativos π(p) α(p) π( ) π(t) π( P) ( π(p)) π( P Q) (π(p),π(q)) π( P Q) (π(p),π(q)) π( P Q ) (π(p),π(q)) π( P Q) (π(p),π(q)) π( P Q) (π(p),π(q)) 3

14 ejemplo Si α(p), α(q), α(r) π( p (q r) ) (π(p),π(q r)) π(p), ( (π(q),π(r))) (, (,)) (,) p q r q r p (q r) 4

15 Satisactibilidad Una órmula P es satisactible, si existe alguna valoración π que veriique π(p), se dice entonces que π satisace P (π P), o que π es un modelo de P [π Mod(P)]. En caso contrario, se dice que P es insatisactible. 5

16 p q r ejemplo q r p (q r) 6

17 Tautología, contingencia, contradicción Un órmula P es una tautología si toda valoración es modelo de ella. (Si P es tautología, entonces es satisactible). Un órmula P es una contingencia si existen algunas valoraciones que son modelos de P y otras que no lo son. Un órmula P es una contradicción si no tiene modelos. (P es contradicción si y sólo si es insatisactible). 7

18 p q r ejemplo p (p q) p (q r) (p (p q) ) tautología contingencia contradicción 8

19 Equivalencia lógica Cuando los valores veritativos de dos órmulas P y Q son iguales en cualquier valoración, es decir, π π(p)π(q), se dice que P y Q son lógicamente equivalentes y se denota P Q. P Q Mod(P) Mod(Q). 9

20 ejemplo p q y p q son lógicamente equivalentes p q p q p q p q p q 2

21 Equivalencia lógica 2 P P. Si P Q, entonces Q P. P T si y sólo si P P T si y sólo si P es tautología. P Q T si y sólo si todo modelo de P lo es de Q. P Q T si y sólo si P Q. P P. Si P Q y Q R, entonces P R. T y T P si y sólo si P es contradicción. P Q T si y sólo si toda valoración que no es modelo de Q, tampoco lo es de P. 2

22 Teorema de reemplazamiento Si P Q y F(P) es una órmula que contiene a P como subórmula, reemplazando una o varias apariciones de P por Q en F(P), se obtiene una órmula F(Q) que veriica F(P) F(Q). Lo utilizaremos para simpliicar órmulas complejas. 22

23 Leyes de equivalencia lógica Conmutativa: Distributiva: De identidad: Tercio excluso: Contradicción: Idempotencia: P Q Q P P Q Q P P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) P T P P P P P T P P P P P P P P 23

24 Leyes de equivalencia lógica 2 Acotación: P P T T Absorción: P (P Q) P P (P Q) P Asociativa: P (Q R) (P Q) R P (Q R) (P Q) R De Morgan: (P Q) P Q (P Q) P Q Relación entre conectivas: P Q P Q P Q (P Q) (Q P) 24

25 Razonamiento lógico deductivo Razonamiento inductivo: se generaliza una situación, a partir de un número relativamente pequeño de hechos particulares u observaciones. Razonamiento deductivo: consiste en obtener una conclusión a partir de ciertas sentencias ciertas. Un argumento es un conjunto de proposiciones en las que hay una, la conclusión Q, que se justiica a partir de las otras, las premisas {P i }. 25

26 Razonamiento lógico deductivo 2 Dado un conjunto de órmulas {P i } π es un modelo de {P i } si π(p i ) i. {P i }es satisactible si π que sea modelo de {P i }. En caso contrario, es insatisactible. Si A B, {P i, A} y {P i, B} tienen los mismos modelos. 26

27 27 Cálculo proposicional ejemplo {q r, p (r q)} y { p q r, q r} tienen los mismos modelos. p q r q r p (r q) p q r p q r q r

28 Razonamiento lógico 3 Q es consecuencia lógica de {P i }, {P i } Q, si todo modelo de {P i }, lo es también de Q. Decir que una consecuencia lógica es válida, {P i } Q, es lo mismo que P P 2.. P n Q es una tautología, o que {P i, Q} es insatisactible. Para probar la validez de un argumento se pueden utilizar tablas de verdad, leyes de equivalencia lógica o reglas de inerencia. 28

29 ejemplo Consecuencia lógica válida, razonamiento correcto: {p q, p} q Consecuencia lógica no válida, razonamiento incorrecto: {p q, p} q premisas conclusión premisas conclusión p q p q p q p q p q p q 29

30 Reglas de inerencia Modus ponens:{p Q,P} Q Modus tolens:{p Q, Q} P Silogismo: {P Q,Q R} P R Silogismo disyuntivo: {P Q, Q} P Simpliicación: {P Q} P {P} P Q {P,Q} P Q Regla de la cadena: si {P i } Q y {P i,q } Q son válidas, también lo es {P i } Q 3

31 Cálculo de predicados Cálculo de predicados Introduce los elementos necesarios para manejar razonamientos en los que intervienen propiedades de individuos y relacione entre ellos. Estas relaciones son los predicados que pueden ser verdaderos o alsos en unción de sus argumentos. Alabeto A Σ. Términos y órmulas L Σ. 3

32 Cálculo de predicados Alabeto símbolos de constante: C{c, t,...} A Σ símbolos de predicado: P{P, Q,...} A Σ de aridad : propiedad de un individuo. Px P4 x es par 4 es par de aridad 2: relación entre individuos. Pxy x es más alto que y P Ana Juan Ana es más alta que Juan. 32

33 Cálculo de predicados Alabeto 2 constantes lógicas: {,Τ} A Σ conectivas: {,,,, } A Σ cuantiicadores: {, } A Σ. Se usan acompañados de variables y con ellos se cierran los enunciados. El radio de acción de la cuantiicación K en KxF es F. Tienen más prioridad que cualquier conectiva. símbolos auxiliares: {'(', ')'} A Σ 33

34 Cálculo de predicados Alabeto 3 variables: V{x, y, z,...} A Σ Representan individuos anónimos, generales. Una variable está ligada si está en el radio de acción de algún cuantiicador, Kx F[x], y está libre en otro caso. Una órmula está abierta si tiene variables libres. Si no tiene variables libres está cerrada. 34

35 Cálculo de predicados x y (Mx Q(x,y)) Fórmula cerrada. ejemplo La variable y está ligada por el cuantiicador existencial y la variable x por el cuantiicador universal. F x (Mx Q(x,y)) Fórmula abierta. La variable y está libre [y lib(f)] y la variable x está ligada por el cuantiicador universal. 35

36 Cálculo de predicados Fórmulas y términos Términos: TC V A Σ. Fórmulas: palabra ormada a partir del alabeto aplicando las reglas: L Σ conjunto de órmulas del alabeto A Σ. t,..., t n T F, F, F 2 L Σ x lib(f ) F:: Τ P(t,...,t n ) (F #F 2 ), # {,,, } F ( x F ) ( x F ). 36

37 Cálculo de predicados Semántica del cálculo de predicados Un dominio o universo de discurso es un conjunto ormado por personas, ideas, símbolos, datos, o cualquier otra opción que aecte al argumento lógico que se está considerando. A los elementos del dominio se les llama individuos. Las constantes identiican de modo único a individuos particulares. 37

38 Cálculo de predicados I{D, ci, Pi} Dominio D. Interpretación A cada símbolo de constante c se le asigna un elemento del dominio D: c A cada símbolo de predicado P de aridad n se le asigna una unción booleana P:D n {,}. D n {(x,...,x n ) / x i D} 38

39 ejemplo I{N, c, c2, c3, c5, P, Q, R, S, } c c3 3 P(x,y) yx+ Q(x,y,z) zx+y c2 2 c5 5 R(x,y,z) zxy S(x,y) x y x R(x,x,y) y es un cuadrado perecto. x y P(x,y) todo natural tiene un sucesor. x S(x,c) todos los naturales son mayores o iguales que. Q(c2,c3,c5)

40 Cálculo de predicados Valores veritativos π(t) π( ) π( F) (F) π(f #F 2 ) # (π(f ), π(f 2 )) # {,,, } π(p(t,...,t n )) P(t,..., tn) π( x F) si c D / π(f[x/c]) π( x F) si c D / π(f[x/c]) 4

41 Cálculo de predicados Satisactibilidad Una órmula F es satisactible, si existe alguna interpretación I en la que el valor veritativo de F sea. Se dice que I es un modelo de F (I F). En caso contrario, se dice que F es insatisactible. 4

42 Cálculo de predicados Equivalencia lógica Cuando los valores veritativos de dos órmulas F y F 2 son iguales en cualquier interpretación, se dice que F y F 2 son lógicamente equivalentes y se denota F F 2 F F 2 Mod(F ) Mod(F 2 ). 42

43 Cálculo de predicados Leyes de equivalencia lógica x F[x] yf[y] x F[x] yf[y] x F[x] x F[x] x F[x] x F[x] x F[x] x G[x] x [F[x] G[x]] x F[x] x G[x] x [F[x] G[x]] Las de la lógica de proposiciones si no interieren los cuantiicadores. 43

44 Tautología, contradicción Un órmula F es una tautología si cualquier interpretación es modelo de ella. Un órmula F es una contradicción si no tiene modelos 44