Coulomb. 2.2 La ley de Gauss. Gauss. 2.4 La discontinuidad de E n. conductores.

Transcripción

1 CAPÍTULO Campo eléctico II: distibuciones continuas de caga

2 Índice del capítulo.1 Cálculo del campo eléctico mediante la ley de Coulomb.. La ley de Gauss..3 Cálculo del campo eléctico mediante la ley de Gauss..4 La discontinuidad de E n. 5 Caga y campo en la supeficie de los.5 Caga y campo en la supeficie de los conductoes.

3 .1 Cálculo del campo mediante la ley de Coulomb La figua.1 muesta un elemento de caga dq ρdv suficientemente pequeño como paa que podamos considealo como una caga puntual. El campo eléctico de en un punto P debido a este elemento de caga viene dado po: de kdq El campo total se detemina integando a toda la distibución de caga: ˆ donde dq ρdv. kdq E ˆ V Figua.1: Un elemento de caga dq poduce un campo de (kdq/ ) en el punto P. El campo en P debido a la caga total se obtiene integando esta expesión paa toda la distibución de caga.

4 .1 Cálculo del campo mediante la ley de Coulomb Campo eléctico sobe el eje de una caga lineal finita: de x iˆ kdq ( x x) P iˆ kλdx ( x x) P iˆ kq Ex ; xp > xp ( xp L) ) L x P Figua.: Geometía paa el cálculo del campo eléctico sobe el eje de una caga lineal unifome de longitud L, caga Q y densidad de caga lineal λ Q/L. Un elemento dq λdx de la caga lineal puede considease como un caga puntual.

5 .1 Cálculo del campo mediante la ley de Coulomb Campo eléctico fuea del eje de una caga lineal finita: de x kλxdx 3 ; de y kλydx 3 E x 0 kλ L / E y y ( L / ) + y Caga lineal infinita: E R kλ R Figua.3: Geometía paa el cálculo del campo eléctico en un punto P ceado po un segmento con densidad de caga unifome λ Q/L. donde R es la distancia desde el punto de obsevación del campo a la línea de caga, medida sobe la pependicula.

6 .1 Cálculo del campo mediante la ley de Coulomb Campo eléctico sobe el eje de un anillo cagado: kdq cosθ kdq de x + x kxdq ( x a ) 3/ kqx E x ( ) 3/ x + a Figua.4: Anillo cagado de adio a. El campo eléctico en el punto P del eje x debido al elemento de g g p p j caga dq posee una componente a lo lago del eje x y ota pependicula a ese mismo eje. Esta última componente se anula al suma la contibución de todos los elementos de caga a lo lago del anillo.

7 .1 Cálculo del campo mediante la ley de Coulomb Campo eléctico sobe el eje de un disco unifomemente cagado: Q σ πr Densidad de caga supeficial kxπσada de x + ( x a ) 3/ E x π k σ 1 1 x R x 1+ x Figua.5: Un disco unifomemente cagado puede considease como una seie de cagas anulaes de adio a.

8 .1 Cálculo del campo mediante la ley de Coulomb Campo eléctico en las poximidades de un plano infinito de caga: El campo de un plano infinito it de caga puede obtenese a pati del dlesultado obtenido paa el anillo haciendo el cociente R/x tende a infinito. E x π kσ, x > 0 πkσ, x < 0 Nótese que si nos desplazamos a lo lago del eje x, el campo eléctico pesenta una discontinuidad al atavesa el plano infinito de caga (ve figua.6). Esta discontinuidad tiene un valo de: 4πkσ Figua.6: Gáfico que muesta la discontinuidad del campo eléctico en un plano de caga.

9 . La ley de Gauss El númeo neto de líneas de campo eléctico que sale po cualquie supeficie que enciea cagas elécticas es popocional a la caga enceada dento de dicha supeficie. Este es el enunciado cualitativo de la ley de Gauss. Figua.7: Dipolo eléctico enceado en una supeficie de foma abitaia. El númeo de líneas que abandonan la supeficie es exactamente igual al númeo de líneas que entan en ella sin que impote donde d se dibuje la supeficie, i siempe que se encieen dento de ella ambas cagas. Figua.8: Supeficie de foma abitaia que incluye las cagas +q y q. Las líneas de campo que teminan en -q o bien no pasan a tavés de la supeficie o bien salen y vuelven a enta. El númeo neto de líneas que salen y no vuelven a enta es popocional a la caga neta dento de la supeficie.

10 . La ley de Gauss La magnitud matemática que está elacionada con el númeo de líneas de campo que ataviesan una supeficie se llama flujo eléctico, φ. Paa una supeficie pependicula al campo E (figua.9) se define como: φ EA Figua.9 Paa una supeficie como la de la figua.10: φ E na ˆ EAcosθ E n A En el caso de una supeficie de foma abitaia (ve figua.11): φ E nda ˆ EndA Paa una supeficie ceada: φ neto S E nda ˆ EndA S S S n Figua.10 Figua.11

11 . La ley de Gauss Enunciado cuantitativo de la ley de Gauss: El flujo eléctico neto del campo ceado po una caga puntual a tavés de una supeficie esféica es (figua.1): kq φneto EndA En da 4πR 4πkQ S S R Et Este esultado se puede genealiza paa cualquie distibución de caga y paa cualquie tipo de supeficie: Figua.1: Flujo eléctico de una caga puntual a tavés de una supeficie esféica. El flujo neto a tavés de cualquie supeficie es igual a 4πk veces la caga neta dento de la supeficie: φ neto EndA 4πkQint S Q ε int ε 0 Pemitividad del vacío: 1 1 ε C /(N m 4πk ) [La ley de Gauss]

12 .3 Cálculo del campo eléctico mediante la ley de Gauss Simetía plana: Consideemos un plano infinito cagado con una densidad supeficial decaga σ constante (ve figua.13). Aplicamoslaley la ley de Gauss: Q int ε 0 φneto σa ε 0 E n A σ E n πkσ ε 0 Figua.13: Supeficie gaussiana pa el cálculo del campo eléctico E debido a un plano infinito de caga. E es pependicula a la supeficie y de valo constante. En la pate cuvada de la supeficie el campo eléctico es paalelo a ésta.

13 .3 Cálculo del campo eléctico mediante la ley de Gauss Simetía esféica: Paa calcula el campo eléctico debido a una distibución de caga con simetíaesféica esféica (que sólo depende del módulo del vecto de posición), utilizamos una supeficie gaussiana esféica. Ilustemos la idea con una caga puntual situada en el oigen de coodenadas. φ neto ˆ E nda E da E da E s S S q ε 0 1 q 4 πε E 4π E 0 4π De este modo, vemos que la ley de Coulomb se puede deduci de la ley Gauss.

14 .3 Cálculo del campo eléctico mediante la ley de Gauss Campo eléctico debido a una coteza esféica de caga: Consideemos una coteza esféica unifomemente cagada de adio R y caga total Q. Paa detemina el campo eléctico aplicamos la ley de Gauss y escogemos como supeficie gaussiana una esfea de adio, que puede se mayo o meno que el adio de la coteza Figua 14: Supeficie gaussiana esféica de adio >R paa el cálculo del campo exteio a una coteza esféica unifomemente cagada de adio R. 1 Q, E 4πε 0 0, > R < R Figua.15: Gáfica de la componente adial del campo en función de paa un g G f p p f p distibución de caga de una coteza esféica. El campo eléctico es discontinuo en R, donde existe una caga supeficial σ.

15 .3 Cálculo del campo eléctico mediante la ley de Gauss Ejemplo.1: Detemina el campo eléctico (a) fuea y (b) dento de una esfea sólida unifomemente cagada de adio R potadoa de una caga Q que está distibuida po todo el volumen de la esfea con densidad de caga ρ Q/V, siendo V el volumen de la esfea. En paticula, usa la ley de gauss (ve figua.16) y demosta que el esultado se puede escibi como se muesta en la figua.17. Figua.16: Supeficies gaussianas paa el ejemplo.1. Figua.17: Resultado del ejemplo.1.

16 .3 Cálculo del campo eléctico mediante la ley de Gauss Simetía cilíndica: Una distibución de caga tiene simetía cilíndica si desde tdos los puntos de ota supeficie cilíndica cualquiea de longitud infinita y coaxial a la distibución se obseva el mismo sistema electostático. Ejemplo.: Utiliza la ley de Gauss paa detemina el campo eléctico a una distancia de una caga lineal infinitamente laga de densidad de caga unifome λ. Solución: E 1 πε 0 λ Figua.18: Supeficie gaussiana cilíndica paa el cálculo del campo eléctico de una caga lineal infinitamente laga.

17 .4 Discontinuidad del campo eléctico Siempe que exista una distibución supeficial de caga, la componente nomal a dicha supeficie del campo eléctico pesenta una discontinuidad que viene deteminada po la densidad de caga supeficial. De hecho, esto ya no ha apaecido en los ejemplos de la coteza esféica y del plano de caga. Este hecho se puede demosta aplicando la ley de Gauss, como se muesta en la figua.19. Haciéndolo se llega a la conclusión de que E n E n E n σ 1 ε 0 Figua.19: Aplicación de la ley de Gauss paa detemina la discontinuidad de la componente nomal del campo eléctico a tavés de una distibución ib ió de caga supeficial.

18 .5 Caga y campo en la supeficie de los conductoes En una situación de equilibio el campo eléctico dento de un conducto es ceo. Si un conducto está cagado, la caga ha de esidi en la supeficie. El campo eléctico justo en el exteio de un conducto es pependicula a su supeficie y viene dado po: E n σ ε ε 0 Figua.1: 1: Una caga puntual q se encuenta en el cento de una coteza conductoa eléctica esféica de paedes guesas. Como la caga neta enceada dento de la supeficie gaussiana (indicada en azul) debe se nula, existiá una caga supeficial q inducida en la supeficie intena de la coteza, y como el conducto es neuto, una caga igual, peo de signo opuesto, +q se induce en la supeficie exteio. Las líneas de campo comienzan en la caga puntual, teminan en la supeficie intena y comienzan de nuevo en la supeficie exteio.