Instituto de Física Universidad de Guanajuato Agosto 2007

Transcripción

1 Instituto de Física Universidad de Guanajuato Agosto 2007 Física III Capítulo I José Luis Lucio Martínez El material que se presenta en estas notas se encuentra, en su mayor parte, en las referencias que se entregaron al inicio del curso o en las páginas recomendadas.

2 Figure 1: 1

3 Resumen La entidad fundamental en la electrostática es la carga eléctrica. Hay dos clases de cargas: positiva y negativa. Cargas del mismo signo se repelen entre sí; cargas de signo opuesto se atraen. La carga se conserva; la carga total en un sistema aisaldo es constante. Toda materia ordinaria está hecha de protones, neutrones y electrones. Los protones positivos y los neutros eléctricamente nueutros en el núcleo de un átomo están unidos entre sí por la fuerza nuclear; los electrones negativos están a distancias mucho mayores que el tamaño del núcleo. Las interaciones eléctricas son los pricipales responsables de la estructura de los átomos, moléculas y sólidos. Los conductores son materiales que permiten que la carga eléctrica se mueva fácilmente dentro de ellos. Los aislantes permiten que la carga se mueva menos fácilmente. La mayoría de los metales son buenos conductores; la mayoría de los no metales son aislantes. La ley de Coulomb es la ley básica de interacción para cargas eléctricas puntuales. Para las cargas q 1 y q 2 separadas entre sí una distancia r, la magnitud de la fuerza sobre cada carga es F = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 r 2. (1) La fuerza sobre cada carga está dirigida a lo largo de la ínea que une a las dos cargas: es de repulsión si q 1 y q 2 tienen el mismo signo y de atracción si tienen signos opuestos. Las fuerzas forman un par acción-rección y obedecen a la tercera ley de Newton. En unidades del SI, la unidad de carga eléctrica es el coulomb C y 1 4πɛ 0 = N m 2 /C 2. (2) El principio de superposición de fuerzas establece que cuando dos o más cargas ejercen cada una fuerza sobre otra carga, la fuerza total sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por las cargas individuales. El campo eléctrico, cantidad vectorial, es la fuerza por unidad de carga ejercida sobre un carga de prueba sea lo suficientemente pequeña como para no perturbar las cargas que generan el campo. Por la ley de Coulomb, el campo eléctrico producido por una carga puntual es E = 1 q ˆr. (3) 4πɛ 0 r2 2

4 El principio de superposición de campos eleéctricos establece que el campo eléctrico de cualquier combinación de cargas es la suma vectorial de los campos causados por las cargas individuales. Las líneas de campo dan una representación gráfica de los campos eléctricos. En cualquier punto sobre una línea de campo, la tangente a la línea tiene la dirección de E en ese punto. Donde líneas de campo están cerca una de otra, E es grande; donde las líneas de campo están muy separadas entre sí, E es pequeño. Un dipolo eléctrico es un par de cargas eléctricas de igual magnitud q pero de signo opuesto, separadas una distancia d. El momento dipolar eléctrico p por definición tiene magnitud p = qd. La dirección de p es de la carga negativa a la positiva. Un dipolo eleéctrico en un campo eléctrico experimenta un momento de torsión de magnitud τ = pe sin φ, (4) donde φ es el ángulo entre las direcciones de p y E. El momento de torsión es un vector, que se denota τ: τ = p E. (5) La energía potencial para un dipolo eléctrico en un campo eléctrico E depende de la orientación del momento dipolar p respecto al campo: U = p E. (6) Estrategias para resolver problemas 1. Asegúrese de usar un conjunto consistente de unidades. Las distancias deben estar en metros y la carga en coulombs. Si le dan cm o nc, no olvide convertirlas. 2. Cuando sume campos eléctricos causados por diferentes partes de la distribución de carga, recuerde que el campo eléctrico es un vector, por lo que debe sumar vectorialmente. No sume simplemente las magnitudes de los campos individuales; las direcciones también son importantes. 3. Use la notación vectorial apropiada; distinga con cuidado entre escalares, vectores y componentes de vectores. Indique claramente sus ejes coordenados en sus diagramas y asegúrese de que las componentes son consistentes con su selección de ejes. 4. Al determinar las direcciones de vectores E, distinga bien el punto fuente y el punto de campo P. El campo producido por una carga puntual siempre va desde el punto fuente al punto de campo si la carga es positiva, y en sentido opuesto si es negativa. 3

5 5. En algunos casos tendrá una distribuciń de carga a lo largo de una línea, sobre una superficie o en un volumen; deberá entonces definir un elemento diferencial de carga, encontrar su campo eléctrico en el punto P y encontrar una manera de sumar los campos de todos los elementos de carga. En general, es más fácil hacer esto para cada componente de E por separado y tendrá necesidad de eva luar una o más integrales. Asegúrese de que los límites de sus integrales sean correctos; especialmente, cuando la situación tenga simetría, asegúrese de no contar dos veces o más la carga. Simetría Para hablar de simetría necesitamos los siguientes ingredientes: El objeto de interés (figura, ecuación, etc.). Una transformación que actua sobre el objeto de interés. El resultado de la transformación. Si al hacer actuar la transformación sobre el objeto de interés algo queda invariante, entonces se dice que existe una simetría. Ejemplos de simetría: 1. La fuerza de gravedad es invariante ante el cambio de signo de las masas. Si se cambia M M = M y m m = m, la fuerza no cambia, entonces la transformación -cambio de signo de las masas- es una simetría de esa fuerza de gravedad. 2. Un cuadrado es invariante ante rotaciones de 90 alrededor de un eje que pasa por el centro del cuadrado (ver figura 2). 3. Un círculo es invariante ante rotaciones de un ángulo arbitrario alrededor de un eje que pasa por el centro del círculo (ver figura 2). Figure 2: Expresado en otros términos, el campo eléctrico se puede calcular para distribuciones discretas (cuando hay varias cargas puntuales) o bien para distribuciones 4

6 continuas de carga, i.e. cuando suponemos que la carga ocupa de manera continua una región del espacio. En el caso de cargas puntuales el principio de superposición implica una suma sobre cada una de las cargas: E = 1 4πε 0 En el caso de distribuciones de continuas de carga se debe evaluar una integral: E = 1 dq 4πε 0 r 2 ˆr En ambos casos r es la distancia del diferencial de carga dq al punto P donde se desea calcular el campo y ˆr es el correspondiente vector unitario. Para completar la integración debemos seguir el procedimiento explicado abajo: 1. Empezar con d E = 1 4πε 0 dq r 2 ˆr i q i ri 2 2. Reescribir el diferencial de carga dq como: λdl, longitud dq = σda, área ρdv, volumen donde λ, σ y ρ son la densidad de carga lineal, de superficie y de volúmen respectivamente. Y dependiendo de si la carga está distribuida sobre una longitud, una área o un volumen. ˆr i (7) 3. Substituir dq en la expresion para d E 4. Especificar un sistema de coordenadas apropiado (cartesianas, polares, etc.) y expresar el elemento diferencial y r en términos de esas coordenadas (ver la tabla de abajo). Figure 3: Elementos diferenciales de longitud, área y volumen en diferentes coordenadas. 5. Reescribir d E en términos de las variables de integración y aplicar argumentos de simetría para identificar las componentes no nulas del campo eléctrico. 6. Completar la integracion para obtener E. 5

7 Figure 4: En esta tabla se hace un resumen del método usado para calcular el campo eléctrico de una línea infinita de carga, un anillo, y un disco uniformemente cargado. 6