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1 . 2 > Capitalización y descuento simple Juan Carlos Mira Navarro Juan Carlos Mira Navarro 1 / > Capitalización y descuento simple

2 1 2 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Tanto de interés equivalente a uno de descuento 7 Juan Carlos Mira Navarro 2 / > Capitalización y descuento simple

3 1 2 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Tanto de interés equivalente a uno de descuento 7 Juan Carlos Mira Navarro 3 / > Capitalización y descuento simple

4 Podemos establecer estas cinco variables: n i C 0 C n Juan Carlos Mira Navarro 4 / > Capitalización y descuento simple

5 Podemos establecer estas cinco variables: n i C 0 C n Las variables a considerar, son: n = número de períodos, tiempo. Tiempo transcurrido i = tasa o tipo de interés. Remuneración al capital C 0 = valor actual o capital inicial Capital impuesto o Capital recibido, C n = valor final o montante de la operación Capital obtenido o Capital a devolver, n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo. Juan Carlos Mira Navarro 4 / > Capitalización y descuento simple

6 Podemos establecer estas cinco variables: n i C 0 C n Las variables a considerar, son: n = número de períodos, tiempo. Tiempo transcurrido i = tasa o tipo de interés. Remuneración al capital C 0 = valor actual o capital inicial Capital impuesto o Capital recibido, C n = valor final o montante de la operación Capital obtenido o Capital a devolver, n e i, han de estar referidos a la misma unidad de tiempo. Versión imprimible Juan Carlos Mira Navarro 4 / > Capitalización y descuento simple

7 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados 1 2 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Tanto de interés equivalente a uno de descuento 7 Juan Carlos Mira Navarro 5 / > Capitalización y descuento simple

8 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Se denomina así, a la operación financiera que tiene por objeto la constitución de un capital mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización simple, o bien, a la que nos permite la obtención de un capital financieramente equivalente a otro, con vencimiento posterior, aplicando la citada ley financiera. La capitalización simple o interés simple, es una operación financiera generalmente a corto plazo, en la que los intereses no se acumulan al capital. Juan Carlos Mira Navarro 6 / > Capitalización y descuento simple

9 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Se denomina así, a la operación financiera que tiene por objeto la constitución de un capital mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización simple, o bien, a la que nos permite la obtención de un capital financieramente equivalente a otro, con vencimiento posterior, aplicando la citada ley financiera. La capitalización simple o interés simple, es una operación financiera generalmente a corto plazo, en la que los intereses no se acumulan al capital. C 0 0 Juan Carlos Mira Navarro 6 / > Capitalización y descuento simple

10 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Se denomina así, a la operación financiera que tiene por objeto la constitución de un capital mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización simple, o bien, a la que nos permite la obtención de un capital financieramente equivalente a otro, con vencimiento posterior, aplicando la citada ley financiera. La capitalización simple o interés simple, es una operación financiera generalmente a corto plazo, en la que los intereses no se acumulan al capital. C 0 0 n Juan Carlos Mira Navarro 6 / > Capitalización y descuento simple

11 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Se denomina así, a la operación financiera que tiene por objeto la constitución de un capital mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización simple, o bien, a la que nos permite la obtención de un capital financieramente equivalente a otro, con vencimiento posterior, aplicando la citada ley financiera. La capitalización simple o interés simple, es una operación financiera generalmente a corto plazo, en la que los intereses no se acumulan al capital. C n C 0 tgα = i 0 n Juan Carlos Mira Navarro 6 / > Capitalización y descuento simple

12 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Se denomina así, a la operación financiera que tiene por objeto la constitución de un capital mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización simple, o bien, a la que nos permite la obtención de un capital financieramente equivalente a otro, con vencimiento posterior, aplicando la citada ley financiera. La capitalización simple o interés simple, es una operación financiera generalmente a corto plazo, en la que los intereses no se acumulan al capital. C n C 0 tgα = i I 0 n Juan Carlos Mira Navarro 6 / > Capitalización y descuento simple

13 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados En la capitalización simple, el deudor, al vencimiento ha de pagar el capital más los intereses, es decir: C n = C 0 + I (1) Juan Carlos Mira Navarro 7 / > Capitalización y descuento simple

14 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados En la capitalización simple, el deudor, al vencimiento ha de pagar el capital más los intereses, es decir: C n = C 0 + I (1) El valor final C n en capitalización simple, transcurridos n períodos y al tanto i, lo podemos determinar para un capital C 0, como: C 1 = C 0 + i C 0 = C 0(1 + i) C 2 = C 1 + i C 0 = C 0(1 + i) + i C 0 = C 0(1 + 2 i) C 3 = C 2 + i C 0 = C 0(1 + 2 i) + i C 0 = C 0(1 + 3 i). [ ] C n = C n 1 + i C 0 = C (n 1)i + i C0 = C 0(1 + i n) C n = C 0(1 + i n) (2) expresión que relaciona el montante o capital final, transcurridos n períodos de capitalización, con el capital inicial prestado. Juan Carlos Mira Navarro 7 / > Capitalización y descuento simple

15 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Al término (1 + i n), se le denomina factor de capitalización simple, y es un número tal que multiplicado por el capital inicial, nos permite obtener el capital financieramente equivalente al final del período n y que coincide con el capital final C n. Si comparamos (1) con (2), I = C n C 0 I = C 0(1 + i n) C 0 I = C 0 + C 0 i n C 0 Juan Carlos Mira Navarro 8 / > Capitalización y descuento simple

16 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Al término (1 + i n), se le denomina factor de capitalización simple, y es un número tal que multiplicado por el capital inicial, nos permite obtener el capital financieramente equivalente al final del período n y que coincide con el capital final C n. Si comparamos (1) con (2), I = C n C 0 I = C 0(1 + i n) C 0 I = C 0 + C 0 i n C 0 obtenemos, I = C 0 i n (3) expresión que nos permite obtener los intereses devengados o rendimiento producido por un capital C 0 durante un período n, y de la que se deduce que éstos son proporcionales al capital, al interés unitario y al tiempo. Juan Carlos Mira Navarro 8 / > Capitalización y descuento simple

17 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Si expresamos el tiempo en m-ésimos de años (semestres, trimestres, meses, semanas,... ) las fórmulas (2) y (3) se pueden generalizar: ( C n = C i n ) m siendo m la fracción del año. I = C0 i n m m = 1 años m = 2 semestres m = 4 trimestres m = 12 meses m = 24 quincenas m = 52 semanas m = 360 días del año comercial m = 365 días del año natural o civil Juan Carlos Mira Navarro 9 / > Capitalización y descuento simple

18 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Si despejamos C 0 de (2) se tiene: C 0 = C n (1 + i n) que nos permite calcular el valor capital inicial o actual si se conoce el montante, el tanto y la duración. Para calcular n o número de períodos, se aplicará: n = Cn C0 C 0 i (4) (5) Juan Carlos Mira Navarro 10 / > Capitalización y descuento simple

19 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Si despejamos C 0 de (2) se tiene: C 0 = C n (1 + i n) que nos permite calcular el valor capital inicial o actual si se conoce el montante, el tanto y la duración. Para calcular n o número de períodos, se aplicará: n = Cn C0 C 0 i (4) (5) Calcular el montante de 1 000e al 4 % de interés anual, al cabo de 90 días. Cuanto tiempo será preciso que transcurra para que el montante sea un 5 % más? Juan Carlos Mira Navarro 10 / > Capitalización y descuento simple

20 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Si despejamos C 0 de (2) se tiene: C 0 = C n (1 + i n) que nos permite calcular el valor capital inicial o actual si se conoce el montante, el tanto y la duración. Para calcular n o número de períodos, se aplicará: n = Cn C0 C 0 i (4) (5) Calcular el montante de 1 000e al 4 % de interés anual, al cabo de 90 días. Cuanto tiempo será preciso que transcurra para que el montante sea un 5 % más? Aplicando (2) y (5), C n = C 0(1 + i n) C n = Cn C0 n = C 0 i ( ) 1 + 0, = n = = 1, , 04 Juan Carlos Mira Navarro 10 / > Capitalización y descuento simple

21 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados En ocasiones se plantean operaciones en las que el prestamista cobra los intereses por anticipado, es decir, en el mismo momento en el que se concierta la operación. Si el capital prestado es C 0, el tipo de interés anticipado i y la duración n, los intereses se obtienen tal como hemos visto en (3) como I = C 0 i n, con lo que en el origen se recibe: C 0 C 0 i n = C 0(1 i n) C 0(1 i n)(1 + i n) = C 0 de donde, i = 1 1 i n 1 i = n 1 i n del mismo modo, i i = i 1 + i n Juan Carlos Mira Navarro 11 / > Capitalización y descuento simple

22 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados En ocasiones se plantean operaciones en las que el prestamista cobra los intereses por anticipado, es decir, en el mismo momento en el que se concierta la operación. Si el capital prestado es C 0, el tipo de interés anticipado i y la duración n, los intereses se obtienen tal como hemos visto en (3) como I = C 0 i n, con lo que en el origen se recibe: C 0 C 0 i n = C 0(1 i n) C 0(1 i n)(1 + i n) = C 0 de donde, i = 1 1 i n 1 i = n 1 i n del mismo modo, i i = i 1 + i n y si n = 1, i = i i = i 1 i 1 + i (6) Juan Carlos Mira Navarro 11 / > Capitalización y descuento simple

23 1 2 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Tanto de interés equivalente a uno de descuento 7 Juan Carlos Mira Navarro 12 / > Capitalización y descuento simple

24 Si al producto C 0 n del capital por el tiempo se le designa por N y al cociente i 360 ó i por M, entonces la fórmula para el cálculo de los intereses se 365 expresará mediante el producto del llamado número comercial N, por el multiplicador fijo M, es decir: I = N M (7) Juan Carlos Mira Navarro 13 / > Capitalización y descuento simple

25 Si al producto C 0 n del capital por el tiempo se le designa por N y al cociente i 360 ó i por M, entonces la fórmula para el cálculo de los intereses se 365 expresará mediante el producto del llamado número comercial N, por el multiplicador fijo M, es decir: I = N M (7) Si i pasa a dividir al denominador y al cociente 360 ó 365 i i se le representa por D la fórmula del interés se expresará: I = N D llamado divisor fijo, (8) Juan Carlos Mira Navarro 13 / > Capitalización y descuento simple

26 Si al producto C 0 n del capital por el tiempo se le designa por N y al cociente i 360 ó i por M, entonces la fórmula para el cálculo de los intereses se 365 expresará mediante el producto del llamado número comercial N, por el multiplicador fijo M, es decir: I = N M (7) Si i pasa a dividir al denominador y al cociente 360 ó 365 i i se le representa por D la fórmula del interés se expresará: I = N D llamado divisor fijo, (8) Calcular los intereses producidos por un capital de 3 500e en 60 días a un tipo de interés del 6 % anual, si se utiliza el año comercial utilizando para ello los métodos abreviados. Juan Carlos Mira Navarro 13 / > Capitalización y descuento simple

27 Si al producto C 0 n del capital por el tiempo se le designa por N y al cociente i 360 ó i por M, entonces la fórmula para el cálculo de los intereses se 365 expresará mediante el producto del llamado número comercial N, por el multiplicador fijo M, es decir: I = N M (7) Si i pasa a dividir al denominador y al cociente 360 ó 365 i i se le representa por D la fórmula del interés se expresará: I = N D llamado divisor fijo, (8) Calcular los intereses producidos por un capital de 3 500e en 60 días a un tipo de interés del 6 % anual, si se utiliza el año comercial utilizando para ello los métodos abreviados. N = = M = 0, = 0, 0001ˆ6 D = 360 0, 06 = I = N M = 35 I = N D = 35 Juan Carlos Mira Navarro 13 / > Capitalización y descuento simple

28 1 2 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Tanto de interés equivalente a uno de descuento 7 Juan Carlos Mira Navarro 14 / > Capitalización y descuento simple

29 La ley financiera del descuento simple comercial se define como aquella en la que los descuentos de un periodo cualquiera son proporcionales a la duración del periodo y al capital anticipado o descontado. Se trata de una operación inversa a la de capitalización simple. C n 0 n Juan Carlos Mira Navarro 15 / > Capitalización y descuento simple

30 La ley financiera del descuento simple comercial se define como aquella en la que los descuentos de un periodo cualquiera son proporcionales a la duración del periodo y al capital anticipado o descontado. Se trata de una operación inversa a la de capitalización simple. C n 0 n Juan Carlos Mira Navarro 15 / > Capitalización y descuento simple

31 La ley financiera del descuento simple comercial se define como aquella en la que los descuentos de un periodo cualquiera son proporcionales a la duración del periodo y al capital anticipado o descontado. Se trata de una operación inversa a la de capitalización simple. C n C 0 0 n Juan Carlos Mira Navarro 15 / > Capitalización y descuento simple

32 La ley financiera del descuento simple comercial se define como aquella en la que los descuentos de un periodo cualquiera son proporcionales a la duración del periodo y al capital anticipado o descontado. Se trata de una operación inversa a la de capitalización simple. D C n C 0 0 n Juan Carlos Mira Navarro 15 / > Capitalización y descuento simple

33 La ley financiera del descuento simple comercial se define como aquella en la que los descuentos de un periodo cualquiera son proporcionales a la duración del periodo y al capital anticipado o descontado. Se trata de una operación inversa a la de capitalización simple. D C n C 0 0 n Cuando se descuenta un capital del cuantía C 0, por n años, el valor descontado o actual que se obtiene es: C 0 = C n(1 d n) (9) C n se conoce con los nombres de capital final o capital nominal y a C 0 se le designa como valor actual, valor efectivo o valor descontado. Juan Carlos Mira Navarro 15 / > Capitalización y descuento simple

34 Este sistema de descuento tiene como limitación n = 1 d en la figura: tal como puede verse 1 0 n Juan Carlos Mira Navarro 16 / > Capitalización y descuento simple

35 Este sistema de descuento tiene como limitación n = 1 d en la figura: tal como puede verse d n por tanto, será válido hasta n < 1 d Juan Carlos Mira Navarro 16 / > Capitalización y descuento simple

36 El valor descontado de un capital de cuantía C n que vence dentro de n períodos es según (9) C 0 = C n(1 d n) por lo que el descuento efectuado es: D c = C n C 0 = C n d n (10) Juan Carlos Mira Navarro 17 / > Capitalización y descuento simple

37 El valor descontado de un capital de cuantía C n que vence dentro de n períodos es según (9) C 0 = C n(1 d n) por lo que el descuento efectuado es: D c = C n C 0 = C n d n (10) debiendo tenerse presente que el tanto d y el tiempo n están referidos a la misma unidad de tiempo (habitualmente el año). Al aplicarse la ley de descuento simple comercial en operaciones a corto plazo, cuya duración suele venir expresada en días (tal como ocurría con la capitalización simple), n representará una fracción del año. La expresión (10), según se utilice el año comercial o el civil, quedará del siguiente modo: D c = C n d n 360 D c = C n d n 365 Juan Carlos Mira Navarro 17 / > Capitalización y descuento simple

38 1 2 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Tanto de interés equivalente a uno de descuento 7 Juan Carlos Mira Navarro 18 / > Capitalización y descuento simple

39 Designando por N = C n n al número comercial o simplemente número y al d cociente 360 ó d por el multiplicador fijo M, el descuento simple comercial, 365 será: D c = N M (11) Juan Carlos Mira Navarro 19 / > Capitalización y descuento simple

40 Designando por N = C n n al número comercial o simplemente número y al d cociente 360 ó d por el multiplicador fijo M, el descuento simple comercial, 365 será: D c = N M (11) El descuento se expresa por el cociente D c = N siendo N el número comercial D y D el divisor fijo que representa la fracción 360 d ó 365 d. D c = N D (12) Juan Carlos Mira Navarro 19 / > Capitalización y descuento simple

41 Calcular los descuentos efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tipo de descuento es el 6 %. Juan Carlos Mira Navarro 20 / > Capitalización y descuento simple

42 Calcular los descuentos efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tipo de descuento es el 6 %. 0, 06 N = = M = = 0, 0001ˆ6 360 D = 360 0, 06 = y aplicando las fórmulas (10) y (11), se tiene: D c = C n d n 360 = , = D c = N M = , 0001ˆ6 = D c = N = = D Juan Carlos Mira Navarro 20 / > Capitalización y descuento simple

43 Tanto de interés equivalente a uno de descuento 1 2 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Tanto de interés equivalente a uno de descuento 7 Juan Carlos Mira Navarro 21 / > Capitalización y descuento simple

44 Tanto de interés equivalente a uno de descuento El descuento racional, que designaremos por D r, se calcula sobre el valor efectivo. Es igual al interés del efectivo C 0 durante el tiempo que falta para su vencimiento. De la expresión de capitalización simple C n = C 0(1 + i n), resulta que el valor descontador de un capital C n, (disponible al cabo de n períodos), será: C 0 = Cn 1 + i n (13) Juan Carlos Mira Navarro 22 / > Capitalización y descuento simple

45 Tanto de interés equivalente a uno de descuento El descuento racional, que designaremos por D r, se calcula sobre el valor efectivo. Es igual al interés del efectivo C 0 durante el tiempo que falta para su vencimiento. De la expresión de capitalización simple C n = C 0(1 + i n), resulta que el valor descontador de un capital C n, (disponible al cabo de n períodos), será: C 0 = Cn 1 + i n (13) El descuento racional, D r = C n C 0, es: D r = Cn n i (14) 1 + i n expresión de la que se deduce que el descuento racional no es proporcional al período de anticipo. El valor D r ha sido obtenido tomando como dato el tipo de interés i que no debe ser confundido con el tanto de descuento. Juan Carlos Mira Navarro 22 / > Capitalización y descuento simple

46 Tanto de interés equivalente a uno de descuento Estos son diferentes, pero cabe hablar de un tanto de interés equivalente a uno de descuento y viceversa. i i n d = D c = C n d n = C n 1 + i n = Dr 1 + i n d i = 1 d n Para n = 1, se tiene: d = i 1 + i i = d 1 d (15) Juan Carlos Mira Navarro 23 / > Capitalización y descuento simple

47 1 2 Definición Ley financiera de capitalización simple Factor de capitalización Magnitudes derivadas Intereses anticipados Tanto de interés equivalente a uno de descuento 7 Juan Carlos Mira Navarro 24 / > Capitalización y descuento simple

48 Gracias por su atención Juan Carlos Mira Navarro 25 / > Capitalización y descuento simple

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