Matemáticas II Grado en Economía

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1 Matemáticas II Grado en Economía Curso Tema 1 Universidad devalladolid Departamento de Economía Aplicada

2 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras 1.2 Rentas

3 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Conceptos básicos Definiciones Se llama capital financiero a la medida expresada en unidades monetarias (u.m.) de un bien económico en un determinado instante de tiempo. Una ley financiera es una función matemática que describe la variación de un capital en el tiempo. La Matemática Financiera estudia la evolución de los capitales en el tiempo regulada por las leyes financieras. Una operación financiera consiste en la valoración nominal de un capital o de un conjunto de capitales, en distintos momentos de tiempo, siguiendo una ley financiera. Principio de equivalencia financiera: Varios capitales con vencimientos en distintos instantes de tiempo son equivalentes cuando valorados en un mismo instante de tiempo tienen la misma cuantía. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

4 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Leyes de capitalización Definición Una ley financiera de capitalización (o de interés) es una función L : [0, ) IR que satisface las siguientes condiciones: 1 L(0) = 1. 2 L es creciente: t t L(t) L(t ). 3 L es continua. L(t) es el montante generado por 1 u.m. en t unidades de tiempo. Observación El montante generado por C u.m. en t unidades de tiempo es M(t) = C L(t) u.m. y está formado por el capital inicial C más los intereses que produce dicho capital, es decir, M(t) = C + I(t). Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

5 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Leyes de actualización Definición Toda ley de capitalización lleva asociada una ley financiera de 1 actualización (o de descuento), L : [0, ) IR, que satisface las siguientes condiciones: 1 1 L(0) = L es decreciente: t t 1 L(t) 1 L(t ). 3 1 L es continua. Observación Si el capital C se anticipa t unidades de tiempo, se obtiene el valor actualizado o anticipado A(t) efectuando un descuento D(t), es decir: 1 A(t) = C L(t) = C D(t). Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

6 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Observación Dada una ley de capitalización y su asociada de actualización, la operación de calcular el montante de un capital se denomina capitalizar y la de anticipar dicho capital actualizar. Definición Dada una ley de capitalización L, si el tiempo se mide en años 1 i = L(1) 1 es el interés generado por 1 u.m. durante 1 año y se denomina tanto de interés anual efectivo. 2 d = 1 1 L(1) es el descuento a aplicar a 1 u.m. por actualizarla 1 año y se denomina tanto de descuento anual efectivo. Obsérvese que se verifica (1 + i) (1 d) = 1. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

7 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Ley de capitalización simple Definición La ley de capitalización simple se caracteriza por el hecho de que los intereses generados por 1 u.m. al cabo de un periodo de tiempo son proporcionales a dicho tiempo. Por tanto, 1 u.m. sometida a una ley de capitalización simple se transforma en 1 + it u.m. cuando se considera el tiempo anual: L(t) = 1 + it. Observación Si en lugar de 1 u.m. se opera con C u.m., el montante que resulta una vez transcurridos t años es: M(t) = C (1 + it). Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

8 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Ley de capitalización simple Observaciones 1 La ley de capitalización simple se utiliza en operaciones a corto plazo (hasta 1 año). 2 La ley de capitalización simple utiliza el año comercial que consta de 360 días. 3 El tanto de interés i y el periodo de tiempo t deben ser homogéneos, es decir si el tiempo es mensual el tanto de interés debe ser el efectivo correspondiente al mes, etc. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

9 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Ley de capitalización simple Ejemplo Si el tanto de interés anual efectivo es del 12 %, el montante de u.m. al cabo de 270 días es: ( M(t) = C (1 + it) = , ) = u.m. 360 Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

10 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Leyes de descuento racional y comercial Definición 1 Dada una ley de capitalización simple, su correspondiente ley de descuento se denomina ley de descuento racional y tiene la expresión: 1 L(t) = it. 2 La ley de descuento utilizada en la práctica es la denominada ley de descuento comercial, caracterizada por el hecho de que el descuento efectuado a 1 u.m. por anticiparla un periodo de tiempo es proporcional a dicho tiempo. Considerando el periodo de tiempo anual: 1 L(t) = 1 dt. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

11 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Ley de descuento comercial Observación Si, en la ley de descuento comercial, en lugar de 1 u.m. se opera con C u.m., su valor t años antes es: Ejemplo A(t) = C (1 dt). En el descuento de una letra de cambio se aplica un descuento comercial del 15 %. Si la letra fue emitida para documentar una venta por importe de u.m. a pagar en 90 días, el efectivo que entrega el banco es: ( ) 90 A(t) = C (1 dt) = , 15 = 2.887, 5 u.m. 360 Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

12 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Ley de capitalización compuesta Definición La ley de capitalización compuesta se caracteriza por el hecho de que los intereses se acumulan al capital en cada periodo de tiempo para producir nuevos intereses. Si el tiempo viene medido en años, se tiene la expresión: L(t) = (1 + i) t. Observación Si en lugar de 1 u.m. se opera con C u.m., el montante que resulta una vez transcurridos t años es: M(t) = C (1 + i) t. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

13 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Tantos equivalentes Definición Se dice que dos tantos son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital y durante un mismo periodo de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo montante. Si el año se divide en m partes iguales, el tanto de interés efectivo que rige en cada m-ésima parte de año se denota por i m y su equivalencia con el tanto de interés anual efectivo i viene dada por 1 + i = (1 + i m ) m. Asociado al tanto i m se tiene el tanto anual nominal capitalizable m veces al año, denotado por i (m), que se obtiene por i (m) = m i m y que se relaciona con el tanto de interés anual efectivo por: ( ) m 1 + i = 1 + i(m). m Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

14 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Tantos equivalentes Ejemplo El montante generado por u.m. al cabo de 3 años es, en cada uno de los siguientes supuestos: 1 Si el tanto anual efectivo es el 5 %: (1 + 0, 05) 3 = , = 3.472, 875 u.m. 2 Si el tanto efectivo trimestral es el 5 %: (1 + 0, 05) 12 = , = 5.387, u.m. 3 Si el tanto anual nominal capitalizable mensualmente es el 5 %: ( ) 0, = , = 3.484, u.m. 12 Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

15 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.1 Leyes financieras Ley de actualización compuesta Definición Dada una ley de capitalización compuesta, su correspondiente ley de descuento se denomina ley de actualización compuesta o ley de descuento racional compuesto. Para periodos de tiempo anuales la expresión es: siendo i y d tantos equivalentes. 1 L(t) = (1 + i) t = (1 d) t, Para cantidades distintas de 1 u.m. se tiene: C = M(t) (1 + i) t = M(t) (1 d) t. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

16 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Conceptos básicos Definición Una renta es una sucesión de capitales disponibles o exigibles en momentos equidistantes en el tiempo. Los elementos principales que intervienen en una renta son: 1 El término, cuota o plazo de la renta, que constituye cada uno de los pagos realizados periódicamente. 2 El periodo de la renta es el tiempo transcurrido entre dos cuotas consecutivas. Si el periodo es anual, las cuotas se denominan anualidades, si el periodo es mensual, mensualidades, etc. 3 La duración de la renta es el número de periodos con cuota. 4 El origen de la renta es el instante de su contrato. 5 El final de la renta es el del último periodo con cuota. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

17 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Conceptos básicos Definición Otros elementos a tener en cuenta en las rentas son: 1 El tanto de valoración de la renta es el tipo de interés al que se capitalizan o actualizan las cuotas. Si el tiempo se mide en años u = 1 + i es el factor de capitalización y es el resultado de capitalizar 1 u.m. un año. v = 1 u = 1 1+i es el factor de actualización y es el resultado de actualizar 1 u.m. un año. 2 El valor actual de la renta es el capital equivalente en el origen al conjunto de todas sus cuotas. 3 El valor final de la renta es el capital equivalente en el final al conjunto de todas sus cuotas. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

18 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Clasificación de las rentas Clasificación Según la naturaleza de los elementos que definen la renta: 1 Ciertas, cuando todos los datos que intervienen en la renta son conocidos con certeza. 2 Aleatorias, cuando alguno de ellos depende de un proceso aleatorio. Según la periodicidad de las cuotas en relación al tanto de valoración: 1 Enteras, cuando el periodo de capitalización coincide con la periodicidad de los vencimientos de las cuotas. 2 Fraccionadas, en caso contrario. Según la cuantía de las cuotas: 1 Constantes, cuando todas las cuotas son iguales entre sí. 2 Variables, cuando no lo son. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

19 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Clasificación de las rentas Clasificación Según el momento de valoración: 1 Inmediatas, cuando la valoración del capital equivalente se realiza en un punto perteneciente al intervalo de duración de la renta. 2 Diferidas, cuando el momento de valoración es anterior al origen de la renta. En estas rentas existe un periodo de diferimiento desde el origen hasta el primer periodo con cuota. Según la situación de cada cuota en el periodo: 1 Pospagables, si los términos vencen al final de cada periodo. 2 Prepagables, si los términos vencen al comienzo de cada periodo. Según la duración de la renta: 1 Temporales, de duración finita. 2 Perpetuas, de duración infinita. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

20 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Rentas enteras constantes Rentas inmediatas pospagables anuales temporales Considérense n capitales unitarios que vencen al final de cada año, es decir, en t = 1, 2,..., n. 1 La valoración de la renta en t = 0 se denomina valor actual y se denota por a n i. Se calcula sumando la actualización en el origen de los capitales unitarios, es decir: a n i = v + v v n = 1 vn. i 2 La valoración de la renta al final del n-ésimo año se denomina valor final y se denota por s n i. Se calcula sumando la capitalización en el instante n de los capitales unitarios, es decir: s n i = 1 + u + u u n 1 = un 1. i Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

21 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Rentas enteras constantes Observación Si los capitales son de C u.m., entonces el valor actual será C a n i y el valor final C s n i. Es posible establecer relaciones entre el valor actual y el valor final de una renta: 1 Conocido el valor actual, se puede obtener el valor final por medio de la capitalización del valor actual, es decir: s n i = u n a n i. 2 Conocido el valor final, se puede obtener el valor actual por medio de la actualización del valor final, es decir: a n i = v n s n i. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

22 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Rentas enteras constantes Rentas inmediatas prepagables anuales temporales Considérense n capitales unitarios que vencen al comienzo de cada año, es decir, en t = 0, 1,..., n 1. 1 El valor actual se denota por ä n i y se calcula en t = 0 por medio de: ä n i = 1 + v + + v n 1 = 1 vn 1 v. 2 El valor final se denota por s n i y se calcula en t = n por medio de: s n i = u + u u n = u un+1 1 u. Si los capitales son de C u.m., entonces el valor actual será C ä n i y el valor final C s n i. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

23 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Relaciones entre rentas pospagables y prepagables Relaciones Es posible establecer relaciones entre los valores actuales y finales de las rentas pospagables y prepagables: 1 Para los valores actuales: a n i = v + v v n = v (1 + v + + v n 1 ) = v ä n i. Entonces, ä n i = u a n i. 2 Para los valores finales: s n i = u + u u n = u (1 + u + + u n 1 ) = u s n i. Entonces, s n i = v s n i. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

24 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Rentas enteras constantes Rentas diferidas pospagables anuales temporales Sean n capitales unitarios con la particularidad de que el primer capital vence una vez que han transcurrido m periodos. Por tanto, los vencimientos de los términos se realizan en t = m + 1, m + 2,..., m + n, por ser una renta pospagable. 1 El valor actual se denota por m a n i y se calcula en t = 0 por medio de: m a n i = v m a n i. 2 El valor final se denota por m s n i y se calcula en t = m + n, por lo que coincide con el valor final de una renta temporal de n términos: m s n i = s n i. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

25 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Rentas enteras constantes Rentas diferidas prepagables anuales temporales Ahora, por ser una renta prepagable, los vencimientos de los términos se realizan en t = m, m + 1, m + 2,..., m + n 1. 1 El valor actual se denota por m ä n i y se calcula en t = 0 por medio de: m ä n i = v m ä n i. 2 El valor final se denota por m s n i y se calcula en t = m + n, por lo que coincide con el valor final de una renta temporal de n términos: m s n i = s n i. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

26 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Rentas fraccionadas constantes Observación Las fórmulas anteriores son generalizables cuando hay concordancia de unidades de tiempo entre el periodo de las rentas y el referido al tanto de interés. Si hay discordancia entre la unidad de tiempo a la que se refiere el tanto de valoración de la renta y la de su periodo, debe hacerse una conversión de tiempo o una equivalencia de tantos para evitar este hecho. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

27 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras 1.2 Rentas Rentas Ejemplos 1 Si el tanto de interés anual efectivo es el 5 %, el valor actual de una renta prepagable de cuota 500 u.m. y de 10 años de duración cuya primera anualidad vence dentro de 5 años es: ä 10 0,05 = 500 v 5 ä 10 0,05 = 500 v 4 a 10 0,05 = 3.176, 35 u.m. 2 El valor actual de una renta mensual de 10 años de duración de mensualidad u.m. valorada al 12 % de interés nominal capitalizable mensualmente es: a 120 0,12 12 = , 52 u.m. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

28 1. Introducción a las matemáticas de las operaciones financieras Bibliografía Bibliografía Miner, J. (2008): Curso de Matemática Financiera. Editorial McGraw-Hill, Madrid. Miner, J. (2005): Matemática Financiera. Editorial McGraw-Hill, Madrid. Pablo, A. de (1998): Valoración Financiera. Editorial Centro de Estudio Ramón Areces, Madrid. Dep. de Economía Aplicada (UVa) Matemáticas II / 28

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