PROBLEMAS DE EQUILIBRIO

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1 PROBLEMAS DE EQUILIBRIO NIVEL BACHILLERATO Con una honda Curva con peralte Tomar una curva sin volcar Patinador en curva Equilibrio de una puerta Equilibrio de una escalera Columpio Cuerda sobre cilindro En un tazón Líquido girando

2 En el extremo de una cuerda de 80 cm de longitud, cuya resistencia a la rotura por tracción es 50 kp., se sujeta una piedra de 1'2 kg y, a continuación, se le hace girar verticalmente de forma acelerada. Determinar a qué velocidad saldrá la piedra cuando se rompa la cuerda. Según el principio de d'alembert, para que un cuerpo está en equilibrio dinámico la suma de todas las fuerzas incluidas las de inercia debe ser cero. A medida que aumente la velocidad de giro la tensión de la cuerda aumenta, siendo ésta máxima cuando la piedra se encuentre en la parte inferior, en donde la tensión es igual al peso más la fuerza centrífuga. Cuando la tensión de la cuerda supere la resistencia por tracción, la cuerda se romperá, sucediendo en la parte inferior, y la velocidad de salida será tangente a la circunferencia de giro. T = P + F c T = m. g + m.v 2 /R v = [ R.(T - m.g) / m ] 1/2 En este caso: v = [ 0'8.(50.9'8-1'2.9'8) /1'2 ] 1/2 = 17 ' 86 m /s Un vehículo circula a 108 km /h por una curva peraltada de radio 200 m sin riesgo de derrapar. Determinar el ángulo del peralte. Según el principio de d'alembert, para que un cuerpo está en equilibrio dinámico la suma de todas las fuerzas incluidas las de inercia debe ser cero. Si no tiene riesgo de derrapar es porque la fuerza resultante es perpendicular a la calzada; es decir la suma del peso, P, y de la fuerza centrífuga, F c, es perpendicular a la calzada, por lo que: tg θ = F c /P = ( m.v 2 /R ) / (m.g) = v 2 / (R.g) En este caso: θ = arc tag 30 2 / (200.9'8) = 24 ' 7º Un camión tiene una anchura de 2 m y su centro de masas está a 1'50 m de altura. Determinar qué velocidad máxima debe llevar para no volcar en una curva de radio 30 m. Las fuerzas de rozamiento, Fr, no ejercen ningún momento respecto al punto O. Para que el camión no vuelque el momento del peso, P, respecto al punto O debe ser mayor que el momento de la fuerza centrífuga, F c : M o (P) > M o (F c ) P. d /2 > F c.h m. g. d /2 > m. v 2.h /R v 2 < g. d. R /(2.h) v < [ g. d. R /(2.h) ] 1/2 En este caso: v < [ 9' /(2.1'5) ] 1/2 = 14 m /s El resultado no depende de la masa del camión pero si de su anchura y de la posición del centro de masas.

3 Un patinador toma una curva de 8 metros de radio con una velocidad de 36 km /h. Qué inclinación debe llevar para estar en equilibrio dinámico?. R n reacción normal del suelo Según el principio de d'alembert, para que un cuerpo está en equilibrio dinámico la suma de todas las fuerzas incluidas las de inercia debe ser cero. Para estar en equilibrio dinámico, la suma de todas las fuerzas y el momento total, incluidas las fuerzas de inercia, deben ser cero. P peso del cuerpo F c fuerza centrífuga F r fuerza de rozamiento S F = 0 F r = F c R n = P S M = 0 P.d. cos θ = F c.d. sen θ tg θ = p /F c = m.g /(m.v 2 /R) = g.r / v 2 es decir la suma del peso con la fuerza centrífuga debe pasar por el punto de apoyo. En este caso: θ = arc tg (9'8.8 /10 2 ) = 38º Una puerta de 2m de alto por 1 m de ancho tiene una masa de 20 Kg. Tiene dos bisagras en un lateral situadas a 20 cm de los extremos, cada una de ellas sostiene el mismo peso. Determinar las reacciones de las bisagras. Si está en equilibrio la suma de todas las fuerzas debe ser cero: Si cada bisagra sostiene el mismo peso: A x = B x A y + B y = P A y = B y = P / 2 = 20 / 2 = 10 Kp = 98 N Por estar en equilibrio la suma de momentos respecto a cualquier punto es cero. Sean d la separación de las bisagras y a la anchura de la puerta: Respecto a la bisagra A: B x.d = P. a/2 Respecto a la bisagra B: A x.d = P. a/2 A x = B x = P. a /(2.d) = 20. 1/(2.1'6) = 6'25 Kp = 61'25 N La reacción total en cada bisagra tiene el sentido expresado en el dibujo y sus módulos serán: A = B = (61' ) 1/2 = 115'57 N θ = arc tg = 98 / 61'25 = 58º

4 Una escalera uniforme de 80 Kp de peso y 6 m de longitud está apoyada en la pared, formando un ángulo de 53º con el suelo. El coeficiente de rozamiento con el suelo es diez veces superior que el coeficiente de rozamiento con la pared. Determinar las reacciones de la pared y el suelo. Sean los coeficientes de rozamiento: con el suelo: m con la pared: k.m siendo en este caso k = 0'1 Las fuerzas de rozamiento serán: F 2 = m. N 2 [1] F 1 = k. m. N 1 [2] Por estar en equilibrio la suma de todas las fuerzas debe ser cero: F 2 = N 1 m. N 2 = N 1 N 2 = N 1 / m [3] P = N 2 + F 1 P = N 2 + k. m. N 1 = N 1 / m + k. m. N 1 [4] y el momento total, respecto a cualquier punto, debe ser cero; respecto al punto A: P. a. cos θ = N 1.2a. sen θ + F 1. 2a. cos θ P - 2. F 1 = 2. N 1. tg θ N 1 / m + k. m. N 1-2.k. m. N 1 = 2. N 1. tg θ 1 / m + k. m - 2.k. m = 2. tg θ 1 / m - k. m = 2. tg θ 1 - k. m 2 = 2. m. tg θ k. m m. tg θ - 1 = 0 m = [ -2. tg θ ± (4. tg 2 θ + 4. k) 1/2 ] / 2k = [ -2. tg 53 ± (4. tg '1) 1/2 ] / 0'2 = 0'372 de [4] P = N 1 / m + k. m. N 1 N 1 = m. P / (1 + k. m 2 ) = 0' / (1 + 0'1.0'372) = 28'66 kp de [3] de [1] de [2] N 2 = N 1 / m = 28'66 / 0'372 = 77'05 kp F 2 = m. N 2 = 0' '05 = 28'66 kp F 1 = k. m. N 1 = 0'1. 0' '66 = 1'07 kp Si el coeficiente de rozamiento con la pared fuera nulo: m = 1 /(2.tg 53) = 0'377 de [4] P = N 1 / m + k. m. N 1 N 1 = m. P / (1 + k. m 2 ) = 0' / ( '377) = 30'14 kp de [3] de [1] de [2] N 2 = N 1 / m = 30'14 / 0'377 = 80 kp F 2 = m. N 2 = 0' = 30'14 kp F 1 = k. m. N 1 = 0. 0' '14 = 0 kp

5 Una regla uniforme de 1 m de longitud y masa 60 gramos tiene a 12 cm de un extremo una masa añadida de 10 gramos. Determinar a qué distancia mantendrá el equilibrio sobre el filo de una navaja. Si está en equilibrio el momento total es cero: Utilizaremos las unidades gramo y centímetro. a = 12 cm L = 100 cm La densidad lineal de la regla será: d = M / L = 60 / 100 = 0'6 gr / cm m.g.(x-a) + d.x.g.x/2 = d.(l-x).g.(l-x)/2 2.m.(x-a) + d.x 2 = d.(l-x) (x-12) + 0'6.x 2 = 0'6.(100-x) 2 20.x '6.x 2 = x + 0'6.x x = 6240 x = 6240 / 140 = 44'57 cm Dos masas m 1, m 2 están unidas por una cuerda inextensible y sin masa de longitud L, y están colocadas sobre un cilindro de radio r. Determinar la posición de equilibrio y las ecuaciones del movimiento. a) Resolución: Cada masa está sometida a su propio peso p y a la reacción R del cilindro. Se descompone el peso en la dirección del radio y la tangente. Si la longitud de la cuerda es L L = β.r R 1 = m 1.g.senθ T 1 = m 1.g.cosθ R 2 = m 2.g.sen(π - (θ + β )) T 2 = m 2.g.cos(π - (θ + β )) = - m 2.g.cos (θ + β ) Si están en equilibrio: T 1 = T 2 m 1.g.cosθ = - m 2.g.cos (θ + β ) b) Resolución elegante: Un cuerpo está en equilibrio si su energía potencial es mínima (estable), máxima (inestable) o constante (indiferente). La energía potencial del sistema será: E p = m 1.g.y 1 + m 2.g.y 2 = m 1.g.r.senθ + m 2.g.r.sen(π - (θ +β )) = g.r.[ m 1.senθ + m 2.sen(θ +β ) ] Si debe estar en equilibrio, la derivada de la energía potencial debe ser cero de p /dθ = g.r.[ m 1.cosθ + m 2.cos(θ +β ) ] = 0

6 Como la derivada segunda es negativa, la energía potencial es máxima, el equilibrio es inestable. Determinar la posición de equilibrio de un punto de masa m situado en el interior de una semiesfera de radio R que gira con velocidad angular w constante alrededor del eje vertical. Según el principio de d'alembert, para que un cuerpo está en equilibrio dinámico la suma de todas las fuerzas incluidas las de inercia debe ser cero. El punto está sometido al peso y a la fuerza centrífuga debida al giro de la semiesfera. La condición de equilibrio es que la suma del peso y de la fuerza centrífuga tenga la dirección radial. Un recipiente contiene un líquido y gira uniformemente. Demostrar que la sección de la superficie líquida forma una parábola. Según el principio de d'alembert, para que un cuerpo está en equilibrio dinámico la suma de todas las fuerzas incluidas las de inercia debe ser cero. En cualquier punto de la superficie de un líquido en equilibrio, la resultante R de las fuerzas aplicadas debe ser perpendicular a la superficie del líquido. Las fuerzas que existen en cualquier punto son la fuerza centrífuga F c y el peso p, por lo que: tan q = F c / p = m.w 2.x / (m.g) = w 2.x / g pero tan q es la pendiente de la recta tangente a la curva, es decir, es la derivada de la función en ese punto, por lo que dy / dx = w 2.x / g y = w 2. x / g dx y = w 2.x 2 /(2.g) + k siendo k una constante de integración cuyo valor es -h, pues es el valor que toma y para x=0 Luego la función es polinómica de segundo grado y por tanto una parábola: y = w 2. x 2 /(2.g) - h Como ampliación comprobaremos que existe un punto b, intersección de la parábola con el nivel horizontal del líquido en reposo, invariante, es decir todas las parábolas producidas por diferentes velocidades pasan por dicho punto: Si x = b, y = 0 h = w 2. b 2 /(2.g) por otro lado, el área coloreada bajo la parábola debe ser igual al área del rectángulo a.h del líquido en reposo:

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(m 2.g - m 2.a - m 1.g - m 1.a ).R = (M.R 2 /2 ). a / R. a = ( m 2 - m 1 ).g / (m 2 + m 1 + M/2) las tensiones son distintas.

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