TAREA # 5A OPTICA OPTICA GEOMETRICA (SUPERFICIES ASFERICAS, ESFERICAS Y LENTES) Prof. Terenzio Soldovieri C.

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1 Establezca, en los casos que sea necesario, los sistemas de referencia y los diagramas de cuerpo libre. La ausencia de éstos tendrá como consecuencia la anulación de la solución del problema correspondiente. Todos los sistemas de coordenadas a usar deben tener el eje +x apuntando hacia el Este y el +y hacia el Norte. FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA TAREA # 5A OPTICA OPTICA GEOMETRICA (SUPERFICIES ASFERICAS, ESFERICAS Y LENTES) Prof. Terenzio Soldovieri C. URL: s: tsoldovieri@luz.edu.ve; tsoldovieri@fec.luz.edu.ve; tsoldovieri@hotmail.com (contacto messenger); tsoldovieri@digitel.blackberry.com Texto guía: Hecht E. Optica. 3era ed. Pearson, Addison Wesley, Indicaciones: Ultima actualización: 05/02/14. Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con F plasmando en su hoja todos y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCULOS DIREC- TOS. El resto de los problemas queda como ejercitación y no deben ser anexados en la tarea a entregar. Puede usar tablas de integrales, pero especificando en cada caso la integral utilizada. La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tiene que anexar la presente hoja ni reescribirla en su tarea. La tarea y el examen son inseparables, es decir, de faltar uno de los dos, la calificación total será cero. Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 5A. Entrega: El día fijado para el examen del capítulo 5A. Sin prórroga. 1. La forma de la interfase que se muestra en la figura 1 se denomina Ovalo Cartesiano por René Descartes que lo estudió en los primeros años del siglo XIX. Esta superficie representa la configuración perfecta para llevar cualquier rayo desde S hasta la interfase y luego a P. Demostrar que la ecuación que define dicha interfase viene dada por, `on 1 + `in 2 = ctte y que esta ecuación equivale a, n 1 x 2 + y 2 1=2 + n2 hy 2 + (s o + s i x) 2i 1=2 = ctte donde x y y son las coordenadas del punto A. 2. F Considere el Ovalo Cartesiano mostrado en la figura 2. Construya un sistema de ejes coordenados con el origen en el vértice V. Localice el eje X a lo largo de SP y el eje Y perpendicular a éste. Demuestre que la ecuación del ovoide en términos de s o, s i, n 1, n 2, x e y viene dada por, h n 2 s i n 1 s o = (x s o ) 2 + y 2i 1=2 n1 h + (x s i ) 2 + y 2i 1=2 n2 3. Utilizando la figura 3, la Ley de Snell y el hecho de que en la región paraxial = h=s o, ' h=r y h=s i muestre que, n 1 + n 2 = n 2 n 1 s o s i R Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 1 / 6

2 Figura (3): Problema 3. 10; 98 cm a la izquierda del vér- tual?. Resp.: (a) tice; (b) virtual. Figura (1): Problema Considere el bloque de vidrio mostrado en la figura 4. Si la fuente puntual S está a 30 cm del vértice del extremo hemisférico de 10 cm de radio, localizar la imagen vista por el observador. Dibuje el diagrama de rayos apropiado. Resp.: Imagen virtual a 10 cm a la izquierda del vértice. Figura (4): Problema 6. Figura (2): Problema F Si la interfase mostrada en la figura 5 tiene un radio de 5 cm y separa el aire de la izquierda del vidrio de la derecha (n v = 1; 50), determine f o y f i. Resp.: f o = 10 cm; f i = 15 cm. 4. F Supóngase que tenemos una barra de vidrio (n v = 1; 50) rodeada por aire con el extremo izquierdo en forma de hemisferio convexo de 2 cm de radio. Si una fuente puntual está localizada a 6 cm a la izquierda del vértice del hemisferio. (a) Dónde aparecerá la imagen? y (b) la imagen es real o virtual?. Resp.: (a) 18 cm a la derecha del vértice; (b) real. 5. F Si la barra de vidrio del problema 4 está inmersa en agua (n H2O = 1; 33), (a) dónde aparecerá la imagen? y (b) la imagen es real o vir- Figura (5): Problema 7. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 2 / 6

3 8. Cuál debe ser el radio de curvatura del extremo derecho de la barra de vidrio mostrada en ela figura 6 si un haz de rayos paralelos converge en un foco a 100 cm del vértice?. La barra de vidrio (n = 1; 46) está inmersa en alcohol etílico (n = 1; 36). Resp.: R = 7; 35, donde el signo negativo es debido a que el centro de curvatura está a la izquierda del vértice. Figura (6): Problema F Una barra de diamante (n D = 2; 42) que termina (en uno de sus extremos) en un hemisferio convexo contiene un pequeño defecto negro. Si el radio de curvatura es de 20 cm y el defecto se ecuentra en el eje central a 20 cm del vértice, dónde aparecerá su imagen cuando la barra es sumergida en agua (n H2O = 1; 33)?. Resp.: El objeto está en el centro de curvatura, por lo tanto la imagen se forma a 20 cm independientemente del medio circundante. 10. Una larga barra de vidrio (n V = 1; 5) tiene 10 cm de diámetro y está sumergida en el aire. En su extremo izquierdo termina en un hemisferio convexo y del lado derecho en una superficie hiperbólica cóncava. El hiperboloide tiene una excentricidad de 1; 5 y su vértice está 5 cm a la derecha de su primer foco F 1. Dónde debe estar localizada una fuente puntual axial en la barra si debe formar una imagen virtual en F 1?. Resp.: Para la superficie esférica f o = 10 cm y, por lo tanto, s o = 10 cm a la izquierda. 11. Una esfera de vidrio (n V = 1; 5) de 4 cm de radio está rodeada por alcohol etílico (n C2H 6O = 1; 36). Una hormiga a la deriva en el alcohol está a 6 cm del centro de la esfera. Describa su imagen. Resp.: s i = 2; 32 cm (imagen virtual a la izquierda del vértice). 12. Una interfase convexa separa dos medios de índices de refracción 1 y 2. Una fuente puntual axial en el aire a una distancia de 40 cm del vértice origina una imagen en el segundo medio a 80 cm del vértice. Determine el radio de curvatura de la interfase. Resp.: +20 cm. 13. Una fuente puntual S está localizada en el eje de una lente delgada plano-convexa de vidrio a 30 cm de ella. Supóngase que está inmersa en aire (n`a = 1; 5) y que tiene un radio de 5 cm. Determine la localización de la imagen (a) cuando la superficie plana está del lado de S y (b) cuando lo está la superficie curva. Construya el diagrama de rayos apropiado para cada caso. Resp.: (a) s i = 15 cm (real y a la derecha de la lente); (b) s i = 15 cm como en (a). 14. F Cuál debe ser la longitud focal de una lente delgada positiva si el objeto y la imagen distan de su vértice 90 cm y 45 cm respectivamente?. Resp.: f = 30 cm (positiva por ser una lente convergente). 15. F Calcule la longitud focal de la lente delgada bicóncava mostrada en la figura 7 si está hecha de vidrio de pedernal (n` = 1; 66) y está inmersa en agua (n H2O = 1; 33). Resp.: f = 26; 9 cm (negativa como era de esperarse). Figura (7): Problemas 15 y F Calcule la longitud focal de la lente delgada bicóncava mostrada en la figura 7 suponien- Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 3 / 6

4 do que está hecha de fluorita (n`(cas 2) = 1; 43) sumergida en disulfuro de carbono (n CS2 = 1; 63). Resp.: f = +54; 3 cm. La lente rodeada por un medio de mayor índice de refracción se convierte en convergente, es decir, los rayos se desvían hacia el eje central. 17. Una lente delgada bi-convexa de índice de refracción 1; 5 tiene una longitud focal de 50 cm en el aire. Cuando se sumerge en un líquido transparente su longitud focal se convierte en 250 cm. Determine el índice de refracción del líquido. Resp.: n = 1; Cuál es la proporción de la longitud focal de una lente delgada plano-convexa f`pc con respecto a la logitud focal de una lente delgada bi-convexa f `bc, suponiendo que los índices de refracción son los mismos y todas las superficies esféricas tienen la misma curvatura?. Resp.: f`pc f`bc = F Calcular las distancias objeto e imagen para una lente delgada bi-convexa si la imagen debe ser proyectada, en tamaño real, en una pantalla. La lente tiene radios iguales de 60 cm y n`m = 1; 5 (n`m índice de refracción relativo de la lente con respecto al medio en el cual está inmersa). Resp.: s o = s i = 2f = 120 cm. Nótese que M T = 1, es decir, la imagen es invertida. 20. F Un corcho de botella de vino, de 3 cm de altura, se coloca a 75 cm de una lente delgada positiva cuya distancia focal es de 25 cm. Describa completamente la imagen resultante usando la formulación Gaussiana. Resp.: s i = 37; 5 cm, positiva significando que la imagen es real y localizada más allá de la lente. El aumento es M T = 1=2 de manera que el tamaño de la imagen es y i = 1; 5 cm, siendo de menor tamaño e invertida. 22. Se requiere que una imagen real formada por una lente plano-convexa sea el doble de tamaño del objeto. Si la lente tiene un radio de curvatura de 50 cm y si el índice de refracción relativo lente-medio es n`m = 1; 5, determine la localización del objeto y la imagen con respecto a la lente (a) usando la expresión Newtoniana y (b) usando la expresión Gaussiana. Construya el diagrama de rayos apropiado para cada caso. Resp.: s o = 150 cm; s i = 300 cm. 23. Supógase que un objeto que está a 10 pulg del lado izquierdo de una lente positiva da lugar a una imagen 30 pulg del lado derecho. Dónde aparecerá la imagen si el objeto es colocado ahora a 2; 5 pulg de la lente?. Describa completamente la imagen en ambos casos. Resp.: Para la primera situación se obtiene que f = +7; 5 pulg de manera que la imagen es real, invertida y de mayor tamaño (M T = 3) como era de esperarse porque f < s o < 2. En la segunda situación se obtiene que s i = 3; 75 pulg frente a la lente, siendo esta vez la imagen virtual, derecha y de mayor tamaño (M T = +1; 5). 24. F Imagínate que quieres ver a tu loro mascota a través de una lente, derecho pero reducido a un tercio de su altura real. Designando la longitud focal con f, determina el tipo de lente necesaria y las distancias objeto e imagen en términos de f. Construye el diagrama de rayos (la figura 8 muestra la situación planteada). Resp.: Como la imagen tiene que ser derecha y de menor tamaño, la lente tiene que ser divergente; s o = 2f; s i = 2 3 f. Figura (8): Problema F Rehaga el problema 20, usando ahora exclusivamente la formulación Newtoniana. 25. Una lente delgada bi-convexa de vidrio (n v = 1; 5) tiene radios de curvatura de 30 cm y 60 cm. Si queremos producir una imagen de una lámpara de techo de la mitad de su tamaño ori- Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 4 / 6

5 ginal sobre una pantalla de papel, cuáles deben ser las distancias lente-lámpara y lente - pantalla?. Construya el diagrama de rayos apropiado (la figura 9 muestra la situación planteada). Resp.: s o = 120 cm; s i = 60 cm. (nótese que s o < 0). Resp.: El punto A se encuentra en la parte superior de un objeto imaginario, mientras que B es el punto imagen correspondiente. Puesto que js o j < f, la imagen es real, derecha, de mayor tamaño y s i > js o j. Figura (9): Problema 25. Figura (10): Problema Una lente delgada positiva de longitud focal f emite una imagen real N-veces de mayor tamaño que el objeto. Mostrar que la distancia lente - pantalla es igual a (N + 1) f. 27. Los radios de curvatura de una lente delgada bi-convexa de vidrio (n v = 1; 5) están a razón 2 a 1. Muestre que el radio menor r viene dado por r = 3 4 f. 31. F Una lente delgada positiva es usada para proyectar la imagen amplificada de una diapositiva sobre una pared a 10 m de distancia. Si las dimensiones de la diapositiva son mm y la de la imagen 2 3 m, cuál debe ser la longitud focal de la lente y la distancia desde ésta a la diapositiva?. Resp.: s o = 0; 1 m; f = 0; 099 m. 28. Una lente delgada positiva de longitud focal f es colocada entre una fuente puntual S y una pantalla que están separadas por una distancia L. Muestre que las dos posiciones de S que originan una imagen real en la pantalla vienen dadas por, s o = 1 h L p i L (L 4f) 2 Dibuje el diagrama apropiado. 29. F Una lente delgada equi-convexa de vidrio de pedernal (n` = 1; 65) tiene una longitud focal de 62 cm cuando está inmersa en aire. Determine sus radios de curvatura. Resp.: R 1 = 80; 6 cm; R 2 = 80; 6 cm. 30. La figura 10 muestra un haz de rayos convergentes entrando a una lente delgada divergente. Describe lo que ocurre y usa la ecuación de las lentes delgadas para verificar tus conclusiones 32. F Una lente delgada positiva genera una imagen derecha de 8 cm de altura de un objeto de 5 cm de altura localizado a 90 cm de la lente. Calcule la distancia focal de la lente y ubique la imagen. Construya el diagrama de rayos apropiado. Resp.: f = 240 cm; s i = 144 cm. 33. Una cámara simple consiste de una lente delgada positiva la cual pone una imagen real sobre el plano de la película. Supóngase que la lente tiene una distancia focal de 50 mm. (a) Qué tan lejos de un objeto de 1 m de altura debe estar la cámara si la imagen resulta de 25 mm de altura? y qué tan lejos estará la lente con respecto al plano de la película?. Construya el diagrama de rayos apropiado. Resp.: s o = 2; 04 m; s i = 51; 3 mm. 34. Imagínese una lente delgada para la cual el objeto y la imagen están separadas por una dis- Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 5 / 6

6 tancia L. Mostrar que, L = f M T (M T 1) Una persona tiene visión lejana borrosa porque las imágenes se forman (o enfocan) 1 mm delante de la retina (ver figura 11). Determine la distancia a la que ve claras las letras del diario, si el cristalino no cambia su radio de curvatura. Resp.: 38 cm. Figura (11): Problema Una lente convergente de distancia focal 10 cm es puesta delante de un objeto de 2 cm de altura. Si la imagen se localiza a 40 cm de la lente, encuentre la altura de la imagen producida. Haga el dibujo correspondiente. 37. Una forma conveniente de medir la distancia focal de una lente positiva aprovecha el siguiente hecho: si un par de puntos conjugados S y P objeto e imagen (real) están separados por una distancia L > 4f; habrá dos posiciones de la lente separadas por una distancia d para las cuales se obtiene el mismo par de conjugados. Demuestre que, f = 1 4L L2 d 2 Note que esto evita medidas hechas específicamente desde el vértice, las cuales generalmente no son fáciles de hacer. Prof. Terenzio Soldovieri C. Dep. de Física, FEC-LUZ, República Bolivariana de Venezuela. Pág.: 6 / 6