DERIVADAS. es: = + = es: = +

Transcripción

1 DERIVADAS. La derivada de la función f ( ) es: A) f ( ) f ( ) + B) f ( ) D) f ( ) ( ) f ( ). La derivada de la función f ( ) e es: A) f ( ) e f ( ) e B) f ( ) ( ) e D) f ( ) + e ( ) f e + e e e e ( ). ( ) ( ). La derivada segunda de la función f ( ) 4. sen es: A) f ( ) 4.(log 4. sen + cos ) B) + ( ) 4 f. sen.[(log 4) ].4.log 4.cos f ( ).4.log 4. sen.cos D) f ( ) 4.log 4.cos Hallamos en primer lugar la primera derivada: f ( ) 4.log 4. sen + cos.4 log 4.4. sen + cos.4 Segunda derivada: f ( ) log 4.[4.log 4. sen + cos.4 ] + ( sen) log 4.cos, es decir, + + f ( ) 4.(log 4). sen 4.log 4.cos 4. sen 4.log 4.cos + 4. sen.[(log 4) ].4.log 4.cos

2 4. La función f ( ) ( 7) verifica: A) En 7 eiste un punto de infleión. B) En 7 tiene un máimo. En 7 tiene un mínimo. D) Es discontinua en 7. º Se halla la primera derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante: f ( ) ( 7) f ( ) ( 7) ( 7) 0 ( 7) 0 ( 7) 0 7 º Hallamos la primera derivada que para 7 es distinta de cero: f ( ).( 7); f (7) 0 f ( ) 6 ; f (7) 6 Como la primera derivada no nula es impar, eiste punto de infleión en el punto considerado. La regla es la siguiente: Si la primera derivada no nula es impar, eiste punto de infleión. Si la primera derivada no nula es par, eiste máimo (si negativa) o mínimo (si es positiva). 5. La función f ( ) ( + 8) verifica: A) En 8 eiste un punto de infleión. B) En 8 tiene un máimo. En 8 tiene un mínimo. D) Es discontinua en 8. º Hallamos la primera derivada, la igualamos a cero y se resolvemos la ecuación resultante: f ( ) ( + 8) f ( ) ( + 8) ( + 8) 0 ( + 8) 0 ( + 8) 0 8 º Hallamos la primera derivada que para 8 es distinta de cero: f ( ).( + 8); f ( 8) 0 f ( ) 6; f ( 8) 6 Como la primera derivada no nula es impar, eiste punto de infleión en el punto considerado.

3 6. La función f ( ) verifica: A) Tiene un mínimo en 0. B) Es decreciente en (, ) Tiene un mínimo en. D) Es creciente en (, ) Hallamos la primera derivada, la igualamos a cero y se resolvemos la ecuación resultante: f ( ) 0 ± Hallamos la segunda derivada: f ( ) 6 f () 6. 6 > 0 Como la segunda derivada (par) es mayor que cero, eiste mínimo en el punto. La opción es la correcta El estudio de la función f ( ) + permite afirmar: A) En (, 0) es decreciente. B) En (, ) es decreciente f (0) D) En (0, + ) es creciente. Hallamos la primera derivada, la igualamos a cero y se resolvemos la ecuación resultante: f ( ) ( + ) 0 ( + ) 0 + ± 0 Con los valores que anulan la primera derivada, formamos la tabla siguiente: Intervalos (, ) (, 0) (0, ) (, + ) Signo de la derivada + + Función ր ց ր ց Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para : Para /: f + ( ) 4( ) 4( ) 8 4 ( Positiva) 4 4 f ( Negativa) 8 8 Para /: f ( Positiva) 8 Para : f () ( Negativa)

4 log 8. La derivada segunda de la función f ( ) es: log + A) f ( ) log B) f ( ) 4 log f ( ) (Convocatoria junio 00. Eamen tipo G) Primera derivada: log Si f ( )..log log ( ) f Re cordemos la derivada de un cociente : f f. g g. f y ; y g g Segunda derivada:..( log ) log log ( log ) ( ) f log log La opción es la correcta La función f ( ) ( 4) verifica: A) Tiene un máimo. B) Tiene un mínimo. Tiene un punto de infleión. (Convocatoria junio 00. Eamen tipo G) º Se halla la primera derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante: 4 f ( ) ( 4) f ( ) 4( 4) 4( 4) 0 ( 4) º Hallamos la primera derivada que para 4 es distinta de cero: f ( ).4( 4) ( 4) ; f (4) 0

5 f ( ).( 4) 4( 4); f (4) 0 ( IV ) ( IV ) f ( ) 4; f (4) 4 Como la primera derivada no nula es par y positiva, eiste un mínimo en el punto La derivada segunda de la función f ( ) e es: A) B) f ( ) ( ) e + f ( ) ( 4 ) e + + f ( ) ( ) e (Convocatoria junio 00. Eamen tipo I) Re cordemos la derivada de un producto : y f. g; y f. g + g. f f ( ) e Primera derivada: f ( ). e + e ( ) e e ( ) e Segunda derivada: f ( ) ( ) e + e ( )( ) ( ) e ( ) e e e e + e Y sacando factor común a e, f ( ) + + ( ) ( ) f e ( 4 ) e. La derivada segunda de la función A) B) + f ( ) ( ) e + f ( ) ( 6 ) e + f ( ) ( 6 ) e f ( ) e es: (Convocatoria septiembre 00. Eamen tipo A) f ( ) e Primera derivada: f ( ) 6. e + e ( ). 6 e e (6 ) e

6 Segunda derivada: ( ) ( 6 ) + ( )(6 ) f e e e e e e ( + ) e (Resultado que coincide con el de la opción A). El valor de A) 0 B) D) lím e es: lím e (Indeterminación). Las indeterminaciones de las formas L`Hôpital. y 0 0 pueden resolverse aplicando la regla de lím lím lím 0 e e e. El valor de A) B) 0 D) 4( cos ) lím 0 es: 4( cos ) 4( cos 0) cos 0 4( sen) 4sen 4.0 lím lím lím lím Recordemos que sen0 0 y cos 0

7 4. La función f ( ) verifica: A) Tiene un mínimo en 0 B) Es decreciente en (, ) Tiene un mínimo en D) Es creciente en (, ) Hallamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: f ( ) f ( ) 0 ± Hallamos la segunda derivada: f ( ) 6 0 Las raíces de la primera derivada las sustituimos en la segunda derivada. Di da positivo eiste mínimo y si da negativo eiste máimo: f () 6. 6 > 0 mínimo para No es necesario seguir, ya hemos obtenido una de las opciones: La opción es la correcta. 5. El valor de A) B) D) 0 cos lím 0 es: cos 0 0 cos ( sen) lím (Indeterm.) lím lím(cos sen) (Hemos aplicado la regla de L`Hôpital) La opción D) es la correcta. 5. La derivada segunda de la función f ( ) 4. sen es: A) f ( ) 4 (log 4. sen + cos ) B) + ( ) 4 f. sen.[(log 4) ].4.log 4.cos f ( ).4.log 4. sen.cos D) f ( ) 4.log 4.cos

8 Recordemos que la derivada de a es ella misma multiplicada por el logaritmo neperiano de a. En particular, la derivada de 4 es 4.log 4 La función dada es f ( ) 4. sen Primera derivada: f ( ) 4.log 4. sen + cos.4 log 4.4. sen + cos.4 (Hemos aplicado la fórmula de la derivada de un producto) Segunda derivada: f ( ) log 4.[4.log 4. sen + cos.4 ] + ( sen) log 4.cos, es decir, + + f ( ) 4. sen.(log 4) 4.log 4.cos 4. sen 4.log 4.cos Y sacando factor común, + ( ) 4 f. sen[(log 4) ].4.log 4.cos 6. El estudio de la función A) En (,) es decreciente. B) En (,0) es decreciente. (0, + ) es creciente. D) f (0) f ( ) 4 + permite afirmar: Los intervalos de crecimiento y decrecimiento se obtienen igualando a cero la primera derivada y resolviendo la ecuación resultante. f ( ) ( + ) 0 0 ± Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: (, ), (,0), (0,) y (, + ) El único que coincide con los que se dan en las opciones es (,0) Signo de la derivada en dicho intervalo: Tomando un punto del mismo, por ejemplo,, f Como la derivada es negativa la función es decreciente.

9 7. La derivada segunda de log + A) f ( ) log f ( ) es: log B) f ( ) 4 log f ( ) (Convocatoria junio 00. Eamen tipo G)..log log ( ) f 0..( log ) + log + log f ( ) ( + log ) + log log 4 La opción es la correcta. 8. La función f ( ) es cóncava en el intervalo: A) (,) (, ) B) ( 6,6) D) (,) Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante: f ( ) f ( ) Los intervalos de concavidad y conveidad son: (, ) y (, + ) El único que coincide con los intervalos que se dan en las opciones dadas es (, ) Ahora estudiamos el signo de la segunda derivada en el intervalo considerado: Tomando un punto cualquiera de dicho intervalo, por ejemplo,, se obtiene: f ( ) 6.( ) Como la segunda derivada es negativa, la función es cóncava. La opción es la correcta.

10 9. La derivada de A) B) D) 8 cot g( + 4) 6 cot g( + 4) 9 tg( + 4) + 8 tg( 4) f ( ) log( sen ( + 4)) es: (Convocatoria septiembre 00. Eamen tipo B) f sen ( + 4) sen ( + 4) sen ( + 4). sen( + 4) [ sen ( + 4)] sen ( + 4).cos( + 4).6 sen ( + 4).cos( + 4) ( ) cot g( 4) cos (cos ) 0. La derivada de f ( ) es: 4 A) f ( ) cos(cos ). sen( sen) cos(cos ). sen B) f ( ) 4 f ( ) cos(cos ). sen(cos ). sen D) f ( ) sen(cos ). sen 8 (Convocatoria junio 00. Eamen tipo A) cos(cos )( sen(cos )).( sen) f ( ).cos(cos ). sen(cos ). sen 4 La opción es la correcta.. la derivada de f ( ) sen( ) ( + ) cos( + ) A) f ( ) sen ( + ) + es:

11 B) D) f ( ) c os( + ) sen ( + ) f sen ( ) ( ).(cos( )).( ) f ( ) c os( + ) sen ( + ) (Convocatoria junio 00. Eamen tipo J) f ( ) sen( + ) [ sen( + )] f ( ) [ sen( + )].cos( + )...cos( + ). [ ( )] sen +.cos( + ) cos( + ) [ sen( + )] sen ( + ). Halla la derivada de f sen ( ) (cos( )) f ( ) sen (cos( )) [ sen(cos( ))] f ( ) sen(cos( )).[ sen(cos( ))] sen(cos( )).cos(cos( )).[cos( )] sen(cos( )).cos(cos( )).( sen( ).) 6 sen(cos( )).cos(cos( )). sen( ). La derivada de f ( ) ( + ). sen( + ) es: A) (6 + )[ sen( + ) + ( + )cos( + )] B) (6 + ) sen( + ) ( + )cos( + ) D) (6 + ) sen( + ) + ( + )cos( + ) (6 + ) sen( + )cos( + ) (Convocatoria septiembre 00. Eamen tipo G) f + sen ( ) (6 ). ( ) cos( ).(6 ).( )

12 Y sacando factor común a (6 + ) queda: f ( ) (6 + )[ sen( + ) + cos( + )( + )] que es el resultado de la opción A) El estudio de la función f ( ) permite afirmar que en el intervalo: A) (, + ) es convea. B) (0,) es cóncava. (0, + ) es cóncava D) (,) es convea. (Convocatoria septiembre 00. Eamen tipo G) Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante: 4 f ( ) f ( ) ( 4 + ) ± 6 4 ± Resolviendo la segunda ecuación, Se obtienen los siguientes intervalos de concavidad y conveidad: (,0), (0,), (,) y (, + ) El único que coincide con los que se dan en las opciones es (, + ) Signo de la segunda derivada en dicho intervalo: Si f ( ) ( 4 + ) Para 4, f (4) 40(6 6 + ) 70 > 0 Como la segunda derivada es positiva la función es convea en el intervalo (, + ) log( ) 5. La derivada de la función f ( ) e es: ( ) log( ) A) f ( ) ( ) e 9 log 6 B) f ( ) e log f ( ) e D) f ( ) 9e (Convocatoria junio 004. Eamen tipo J)

13 log( ) ( ) Si f e e e ( ) log( ) e e log( ) f ( ) ( e ) e e e [ ( ) log( )] ( ) log( ) e e ( ) e ( ) cos 6. El valor de lím es: 0 sen A) B) D) 5 (Convocatoria septiembre 004. Eamen tipo D) sen cos ( sen) cos sen 0 lím lím (Indeterminación) 0. sen + cos. 0 sen +.cos 0 cos 0 lím (Indeterminación) 0 [cos ( sen). sen + cos.cos ] (0 + ) lím 0 cos +.cos + ( sen) (Hemos aplicado dos veces la regla de L`Hôpital) 7. La derivada de la función f ( ) e.log( + ) es: A) f ( ) e B) f ( ) e + log + + f ( ) e.log( + ) + e. + D) f ( ) e log( + ) + (Convocatoria junio 005. Eamen tipo E)

14 Si f ( ) e.log( + ), aplicando la fórmula de la derivada de un producto tenemos: f ( ). e.log( + ) +. e e log( + ) resultado que coincide con + + el de la opción D). La opción D) es la correcta. 8. La derivada segunda de f ( ) cos es: A) f ( ) 4sen cos B) f + sen ( ) 4(cos ) D) ( ) 4cos f sen (Convocatoria septiembre 005. Eamen tipo. Primera derivada: f ( ) 4cos.( sen) 4 sen.cos Téngase en cuenta que cos (cos ) ( ) 4(cos ) f Segunda derivada: f ( ) 4[cos.cos + ( sen). sen] 4(cos sen ) La opción es la correcta. 9. La derivada segunda de la función A) B) D) f e sen cos ( ) ( cos ) f e sen cos ( ) ( ) cos f ( ) e sen cos f ( ) e sen f ( ) cos e es: (Convocatoria septiembre 005. Eamen tipo F) Primera derivada: cos f ( ) sen. e Segunda derivada: cos cos cos cos f ( ) ( cos ). e + ( sen) e.( sen) cos e + sen e cos e ( sen cos )

15 0. La derivada de la función f ( ) tg es: ( + tg ) A) f ( ) tg + tg B) f ( ) tg ( + tg ) C f ( ) tg D) + f ( ) 6( tg ) tg Epresamos la función en forma de potencia: ( ) ( ) f tg tg Y ahora derivamos teniendo en cuenta que la derivada de la función tg es + tg ( + tg ) f ( ) ( tg ).( + tg )...( + tg ) ( tg ) tg Se ha de tener en cuenta tg ( tg )