DERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:
|
|
- Alfonso Duarte Benítez
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 DERIVADAS INTRODUCCIÓN Una recta es tangente a una curva en un punto si solo tiene en común con la curva dicho punto. y 5 4 Recta tangente en (,) La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas Una de la formas de epresar la ecuación de una recta es y = a + b, donde a es la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen, es decir, el valor donde corta la recta al eje y.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población: Meses Nacimientos Para saber cómo ha variado el número de nacimientos entre los meses de enero y de abril, basta con dividir la variación de nacimientos entre la variación de los meses: = = 0 nacimientos/ mes 4 Este número que se obtiene mide la variación media del aumento de nacimientos mensual. Epresado de otra forma, este número indica que, por término medio, el número de nacimientos de un mes a otro ha aumentado en treinta. A este número se le llama tasa de variación media. Se llama tasa de variación media de una función f() en el intervalo [ a,b ], con a<b, y se representa por TVM f [ a,b ], al cociente: f(b) f(a) TVM f [ a,b] = b a En la siguiente figura, se representa los valores de la función necesarios para el cálculo de y la TVM: f(b) B f(b)-f(a) f(a) A b-a a b IES ALFONSO ESCÁMEZ Página
2 Observamos que la tasa de variación media es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función que pasa por los puntos A ( a,f ( a )) y ( ( )) Ejercicio.- Halla la tasa de variación media de la función Sol:. B b,f b. f() = + en [ 0, ]. Observación.- Si en lugar de considerar el intervalo [ a,b ], se considera el intervalo [ a,a h] +, con h>0, la tasa de variación media en dicho intervalo es: f(a + h) f(a) TVM f [ a,a + h] = h Ejercicio.- Halla la tasa de variación media de la función f () = en el intervalo [, +h]. Ejercicio.- Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: a) F() = 4 en [, +h] b) F() = -+ en [, +h] c) F() = - en [4, 4 + h]. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Si la variación de una función se mide en un intervalo cada vez más pequeño, llegará un momento en el que la recta secante se convertirá en la recta tangente y la variación será una variación instantánea. Si en el intervalo [a, a+h] h se hace tan pequeña como se quiera ( h tiende a 0), el intervalo se reducirá al punto a. Por tanto, se define la derivada de la función f() en = a y se escribe f (a) mediante el siguiente límite: f '(a) = lím h 0 f(a + h) f(a) h Cuando eiste este límite, se dice que la función es derivable en = a. Ejemplo.- Calcula la derivada de la función f () = en =. Ejercicio.- Calcula la derivada de la función f () = en =. Ejercicio.- Calcula la derivada de la función f () = en =. 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA IES ALFONSO ESCÁMEZ Página
3 La derivada de una función en un punto representa, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Por tanto, la ecuación de la recta tangente a f() en (a,f(a)) vendrá dada por: y-f(a)=f (a)(-a) Ejercicio.- Halla la ecuación de la recta tangente a f()= en =. Ejercicio.- Halla la ecuación de la recta tangente a f() = + en = 4. DERIVADAS LATERALES Al estar definida la derivada de una función en un punto mediante un límite, para que eista es necesario que eistan los límites laterales y éstos sean iguales: Derivada por la derecha de f() en = a, se escribe f (a + ) y se define como: + f(a + h) f(a) f '(a ) = lím+ h 0 h Derivada por la izquierda de f() en = a, se escribe f (a - ) y se define como: f(a + h) f(a) f '(a ) = lím h 0 h Una función es derivable en un punto si eisten las derivadas laterales y son iguales. Ejemplo.- La función si 0 = si < 0 no es derivable en = 0. Ejercicio.- 4 si < - La función f() = es derivable en =? + 4 si - La función f() = es derivable en = 0? IES ALFONSO ESCÁMEZ Página
4 5. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función es derivable en un punto, automáticamente es continua en dicho punto. Sin embargo, si una función es continua en un punto no se tiene garantizada la derivabilidad en dicho punto. Por tanto: DERIVABLE CONTINUA NO CONTINUA NO DERIVABLE Gráficamente, la derivabilidad puede calificarse como suavidad, como ausencia de cambios bruscos, sin picos. y Esta función es continua en = y = - y, sin embargo, no es derivable en dichos puntos (no hay suavidad). En = la función no es derivable ya que no es continua. - El cálculo del valor de la derivada de una función en un punto eige la resolución de un límite, en muchos casos engorroso. Si, además, para una misma función tenemos necesidad de calcular su derivada en distintos puntos, esta dificultad se acrecienta. La manera de simplificar el proceso es hallar, de una vez, otra función genérica que nos dé el valor de la derivada en cualquier punto con sólo sustituir en ella. Esta función recibe el nombre de función derivada y se representa por y o f (). Se define así: f '() = lím h 0 f( + h) f() h Ejercicios.- Para las siguientes funciones calcula f (). a) f() = 4 b) f() = c) f() = d) f() = 6. DERIVADAS SUCESIVAS Si derivamos f () obtenemos otra función que se llama derivada segunda de f() y se escribe f (). De forma análoga se puede definir la derivada tercera, cuarta,..y, en general, la derivada n-ésima. 7. DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES. REGLAS DE DERIVACIÓN IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 4
5 Utilizando la definición de función derivada se puede obtener la función derivada de las funciones elementales. A continuación se epone la derivada de las funciones más usuales: IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 5
6 Tipo Función simple Función compuesta Constante f() = C C R f '() = 0 Identidad f() = f '() = Potencial Irracional Eponencial Logarítmica f() = f() = n a f() = e f() = a f '() f '() f '() a = a a a = n n n n f '() f() = L f '() f() = loga f '() La ' f() = a f() f '() ' f() = f() f( ) = e f ' n n n f() e ' = e f '() f( ) f() = a La = [ ] a ' = a La f '() f '() L(f()) ' = f() f '() Log a(f()) ' = f() La = [ ] Trigonométricas Seno f() = sen f '() cos = [ ] Coseno f() = cos f '() = sen [ cos(f()) ]' Tangente f() = tg f '() Suma y resta (f ± g)' = f ' ± g' cos sen(f()) ' = cos(f()) f '() = [ ] Reglas de derivación = sen(f()) f '() tg(f()) ' = f '() cos (f()) La derivada de la suma o resta de varias funciones es la suma o resta de las derivadas de dichas funciones. Producto ( f g )' = f ' g + f g' La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera Cociente Producto de un número y una función ' f f ' g f g' = g g ( a f )' Composición ( ) = ( ) función por la segunda sin derivar más el producto de la primera sin derivar por la segunda derivada. La derivada del cociente de dos funciones es la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por el denominador derivado y todo dividido entre el cuadrado del denominador. = a f ' La derivada del producto de un número por una función es el producto del número por la derivada de la función g f() ' g' f() f '() Regla de la cadena IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 6
7 Ejercicios. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() = en el punto de abscisa = 5.Sol: y=7-5.. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() = ( ), que es paralela a la recta de ecuación y = 6 5.Sol: y=6-5.. Deriva las siguientes funciones: a) f() = + b) ( ) 7 f() = + + c) f() = 4 d) f() = e) ( ) 90 f(t) = t + f) f(t) = ( t + ) 00 g) f() = e h) z f(z) = z e i) f(t) = t cos t + tg t j) k) 7 f() = f() = e l) f() = cos m) f() = tg ( ) n) ( )( ) 5 o) f() = 4 f() = + 5 ( ) p) f() = q) + 4 f() = si 4. Hay algún número a para el que la función f() = a si > derivable en =? Sol: No hay ningún valor de a para que f sea derivable en dicho punto. sea 5. Estudia la derivabilidad de la función derivable en =, teniéndose que f () =. f() = 9 si > si en =. Sol: Es 6. Calcula m y n para que 5 y m = 0. + f() = > m 5 si 0 +n si 0 sea derivable en R. Sol: n= 7. Deriva las siguientes funciones: a) y = ( + ) c) y = ( + ) b) + y = d) y = IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 7
8 8. Estudia la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican, y represéntalas: si < a) f() = en =.Sol: Es continua y derivable en =, siendo f () =. + si b) < f() = si 0 si 0 en = 0.Sol: Es continua y derivable en = 0, siendo f (0) = Calcula la derivada de las siguientes funciones, simplificando aquellas en las que sea posible: a) ( ) 4 b) f() = 4 + f() = e + c) f() = sen(4 ) d) e) f) g) f() = cos (5) f() = 4 cos f() = f() = 4 h) f() = log ( + 7) i) f() = e j) f() = L( 5) k) l) L + f() = f() = sen 4 m) n) o) p) q) r) s) f() = ( + ) + f() = f() = f() = + f() = L cos(5 ) 4 f() = f() = + 7e t) f() = L ( cos( )) u) ( ) v) f() = f() = ( + ) 0. Representa gráficamente la función 0 si f() = + si < 5 si > a) En qué puntos no es continua? b) En qué puntos no tiene derivada?. Dada la función + f() = si b + c si < Determina los valores de b y c para que la función sea continua y derivable en [ 0, ]. IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 8
9 . Se considera la función + si 0 f() = a + b si 0 < + si > a) Calcula los valores de a y b para que f sea continua en R. b) En qué puntos es derivable la función?.. Determina los valores para los que las siguientes funciones su derivada es nula: a) f() = + c) h() = b) g() = + + d) 4 i() = 4. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función f() en el punto =. f() si = + > si 5. Determina los valores de a y b para que la función sea continua y derivable en todos los puntos. f() = a + b si > si 6. Halla los valores de a y b para que la siguiente función se continua y derivable en el conjunto de los números reales: + f() = b si < a b si 7. Sea la función si f() = a + b( - ) si < a) Para qué valores de los parámetros a y b es continua la función f()? b) Para qué valores de a y b es derivable? IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 9
10 8. Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función según los valores del parámetro a: + + < f() = L( ) si a a si 9. Dada las funciones f() = 5 + y g() = +, se pide: a) Eprésalas mediante funciones definidas a trozos. b) Represéntalas gráficamente. c) Estudia su continuidad y derivabilidad. 0. Para las siguientes funciones, realiza su representación gráfica, estudia su continuidad y derivabilidad: a) b) + si 4 < < f() = si 0 < si + < < si g() = - si 0 < - si c) < < si 4 4 h() = si 0 < - si. La ecuación de movimiento de un cuerpo viene dada por espacio en metros y t el tiempo en segundos. e = 0t t, siendo e el a) Halla la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre s y 4 s. b) Halla la velocidad instantánea para t = s. c) En qué instante la velocidad de este cuerpo ha sido de m/s?. Halla a y b para que la siguiente función sea derivable en R : Sol: a = y b = f() = a si b 4 si > IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 0
11 . Halla los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de en el punto (,5) sea la recta y = +. si 4. Sea la función f() = + m + 5 si > a) Calcula m para que la función sea continua en =. b) Para ese valor de m, es derivable en =? c) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en = 0. f() = a b 5. Dada la función f() = a + b, determina a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (,) y que, en ese punto, la pendiente de la recta tangente es Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f() = en + el punto de abscisa =. 7. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f definida de la forma f() = + L( ) en el punto de abscisa =. + < 8. Dada la función f() = para que f() sea derivable en su dominio. a si + b + si, determina los valores de a y b IES ALFONSO ESCÁMEZ Página
UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto
Más detallesTasa de variación. Tasa de variación media
Tasa de variación Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx). Se llama
Más detallesTEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.3. CONCEPTO DE DERIVADA. CÁLCULO DE DERIVADAS
TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. CONCEPTO DE DERIVADA. CÁLCULO DE DERIVADAS . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. CONCEPTO DE DERIVAD. CÁLCULO DE DERIVADAS... Derivada de una unción en un punto...
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL
EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN REAL Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones y escribir su función derivada: si < ( ) f 7 si < 7 si b) f c) f La función f(
Más detallesRELACIÓN DE EJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1º DE BACHILLERATO
RELACIÓN DE EJERCICIOS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD º DE BACHILLERATO.-Dada la curva de ecuación y = -. Calcular la ecuación de su recta tangente punto de abscisa = -. Comprobar si eiste algún punto
Más detallesDerivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en
Más detallesProblemas de limites, continuidad y derivabilidad. Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y exponenciales
Problemas de limites, continuidad y derivabilidad Calcula los siguientes límites de funciones racionales, irracionales y eponenciales - ) = [ = = = = = = = . ) = [0. ] = = = = = = = = = 0 = [ = p=
Más detallesFUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico
Más detallesCÁLCULO DE DERIVADAS
TEMA 4 CÁLCULO DE DERIVADAS Contenidos Criterios de Evaluación 1. Función derivada.. Derivadas sucesivas. 3. Derivadas elementales. 4. Álgebra de derivadas. 5. La Regla de la Cadena. 6. Continuidad y derivabilidad.
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesDefinición de derivada Observación: Algunos de los enunciados de estos problemas se han obtenido de Selectividad.
Definición de derivada Observación: Algunos de los enunciados de estos problemas se an obtenido de Selectividad Halla, utilizando la definición, la derivada de la función f ( ) en el punto = Comprueba
Más detallesDerivadas. Derivabilidad
Apuntes Tema 4 Derivadas. Derivabilidad 4.1 Derivada de una función Llamamos tasa de variación media al cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente.
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesDerivabilidad. Cálculo de Derivadas. 1 o Bach. Ciencias Dpto Matemáticas. 6. Derivar
Derivabilidad Sea f una función y a Dom(f). Definimos derivada de f en = a al siguiente límite cuando eiste y es finito f (a) = lím h 0 f(a+h) f(a) h Cálculo de Derivadas 1. Derivar una potencia 2. Derivar
Más detallesLa integral indefinida
Apuntes Matemáticas º de bachillerato Leibniz Tema 7 La integral indefinida Matemáticas º de bachillerato 7. Introducción Def.: Dadas dos funciones, F() y f(), si se verifica que: F () f(), para un cierto
Más detallesTEMA 5.- DERIVADAS. Tasa de variación. Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos
TEMA 5.- DERIVADAS Tasa de variación Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de
Más detallesDerivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva
Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente
Más detallesTeoría y ejercicios de Matemáticas II. Análisis
9.DERIVADAS 9.. VARIACIÓN DE UNA VARIABLE Las propiedades estudiadas en los temas anteriores, límites, continuidad, etc., nos aportan inormación puntual sobre las unciones; pero no nos dicen nada sobre
Más detallesCálculo de derivadas
0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa
Más detallesDERIVABILIDAD. 1+x 2. para x [1, 3]
1 DERIVABILIDAD 1. Definir derivada y derivadas laterales de una función en un punto. Probar que la función f es derivable en =1 y que la derivada lateral por la derecha en =0 es infinito. para [0, 1)
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
. Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detallesa) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.
6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se
Más detalles2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2
Unidad. Derivadas Resuelve Página 0 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de flas cada décima de segundo (0, s) durante
Más detallesDERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente:
Tasa de variación media DERIVADAS La tasa de variación media TVM de una unción ( en un intervalo (x, x se deine como: TVM (a, b ( x ( x x x Si consideramos x x + h, podemos expresar la TVM como: Interpretación
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Más detallesACTIVIDADES INICIALES b EJERCICIOS PROPUESTOS
6 Derivadas ACTIVIDADES INICIALES 6I Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a) Horizontal y que pase por el punto A(, ) b) Decreciente y que pase por el punto A(, ) c) Creciente y que pase por el
Más detalles1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al
Más detallesTEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA 7 DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS CCSSI º Bac TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición : Se llama
Más detallesTema Contenido Contenidos Mínimos
1 Estadística unidimensional - Variable estadística. - Tipos de variables estadísticas: cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. - Variable cualitativa. Distribución de frecuencias.
Más detallesTEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL
TEMA 6 INICIACIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL 6.1. TASAS DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 6.1.1. Tasa de variación media La tasa de variación media de una unción en un intervalo a, b es el cociente: b a TVM,
Más detallesCONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR
INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende
Más detallesDerivadas Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 1 DERIVADAS.
Derivadas Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 1 DERIVADAS. Derivadas Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Índice 1. Tasa de variación media...3. Interpretación geométrica...3 3.
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 75 REFLEIONA RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la
Más detallesTEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media
Más detallesTEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial
TEMA 3. Funciones. Cálculo diferencial En este tema vamos a hacer un estudio preliminar de las funciones de una variable real y el importante concepto de derivada. Comenzaremos recordando las funciones
Más detallesLA DERIVADA. Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x 2 en el intervalo [0,2] Solución
LA DERIVADA INTRODUCCIÓN El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales,
Más detalles1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2
Colección A.. Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y = 5-4 -4. y = +ln. y = -e 4. y = e 5. y =. y = + 7. y = ln 8. y = e + 9. y = (+) 0. y =. y = e -. y = (-)e - e. y = - 4. y = ln 5. y =
Más detallesApuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones
Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a
Más detallesBLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE El concepto de derivada. Relación entre continuidad y derivabilidad. Función derivada. Operaciones con derivadas. Derivación de las funciones
Más detallesDERIV. DE UNA FUNC. EN UN PUNTO
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Se abre aquí el estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función. En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado
Más detallesLÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c significa que toma valores cada vez más próimos a c. Se lee tiende a c. Por ejemplo: ; `9; `; `; `; `; `9; `; `999; Es una secuencia de números cada vez más próimos
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesUNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:
UNIDAD La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES Representación gráfica Monotonía Curvatura - Asíntotas 1. Dadas las funciones siguientes, 6 + 1 a) b) = c) = 1 + d) + 4 1 = e) = f) = 1 g) + 1 + 1 = h) = i) =, 1 +
Más detalles1. [2014] [EXT-A] a) La derivada de la función f(x) es: (x-1) 3 (x-3). Determine la función f(x) sabiendo que f(0) = 1. +2x+2. x 3
[4] [EXT-A] a) La derivada de la función f() es: (-) (-) Determine la función f() sabiendo que f() = b) Determine el límite: lim + ++ ++ + [4] [EXT-B] a) Dadas las funciones f() = y g() = - +, determine
Más detallesel blog de mate de aida CSI: Límites y continuidad. . Se lee x tiende a x por la derecha. , se expresa así: , se expresa así: por la derecha)
pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO gnifica que toma valores cada vez más próimos a. Se lee tiende a. Ejemplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es una secuencia de números cada vez más próimos a. Escribimos.
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detallesAplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas
Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas 1º) Interpreta geométricamente el área que define la integral y obtenla. Geométricamente, la integral representa el área de la región del plano
Más detalles9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN
9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula
Más detallesTEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación
Más detallesProblemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad
página / Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad Hoja. Calcula la derivada de f ()= +3 8 +9 +3. Encuentra tres números no negativos que sumen 4 y tales que uno sea doble de otro y la
Más detallesTEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le
Más detallesTEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS
Más detallesTEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA Supongamos que tenemos una función. Consideramos la recta que corta a la gráfica en los puntos A y B. Esta recta se llama secante
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD
LÍMITES Y CONTINUIDAD Tema 4: LÍMITES Y CONTINUIDAD. Índice:. Límite de una función en un punto. Límites laterales.. Límites en el infinito.. Cálculo de límites... Propiedades de los límites... Límites
Más detallesSe llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.
LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS. 9.1 LUGARES GEOMÉTRICOS Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Llamando X(,) a las coordenadas del punto genérico aplicando analíticamente
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.4: La derivada y sus propiedades básicas. La Regla de la cadena. El concepto de derivada aparece en muchas situaciones en la ciencias: en matemáticas
Más detallesDerivadas 6 ACTIVIDADES. 1. Página 140. Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página Página Página
Derivadas 6 ACTIVIDADES 1. Página 140 Función f(x) x 2 1: Función g(x) x 3 7: 2. Página 140 3. Página 141 4. Página 141 5. Página 142 211 Derivadas 6. Página 142 Las derivadas laterales no existen, por
Más detallesLa derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula. f(x) f(a) x a. x a
3 Derivación 3.. La derivada La derivada de una función en punto a de su dominio está dada por la fórmula f (a) = lím a f() f(a) a El cociente f() f(a) a es la pendiente de la recta secante a la función
Más detallesCONTENIDO PRÓLOGO LAS FUNCIONES... 5
CONTENIDO PRÓLOGO... 1 1. LAS FUNCIONES... 5 1.1 FORMAS DE REPRESENTACIÓN... 5 1.1.1 Representación de funciones... 6 1.1.2 Funciones definidas a trozos... 7 1.1.3 Simetría... 8 1.1.4 Funciones crecientes
Más detallestiene un máximo relativo en x = asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo.
Selectividad CCNN 006. [ANDA] [SEP-A] Sea f: la función definida por f() = -. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. c) Calcula los etremos relativos
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detalles1 LIMITES Y DERIVADAS
1 LIMITES Y DERIVADAS 2.1 LA TANGENTE Y PROBLEMAS DE LA VELOCIDAD Problema de la tangente Se dice que la pendiente de la recta tangente a una curva en el punto P es el ite de las rectas secantes PQ a medida
Más detallesContinuidad y Derivabilidad PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD ) Conderar la función f : (, ) R definida por: a 6 f() 5 a) Determinar el valor de a sabiendo que f es continua (y que a > ). Vamos a comprobar que el
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detallesLa concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una
ANÁLISIS MATEMÁTICO. PAU CASTILLA Y LEÓN A) EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LAS CCSS La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C ( ) 90
Más detallesCapítulo 4: Derivada de una función
Capítulo 4: Derivada de una función Geovany Sanabria Contenido Razones de cambio 57 Definición de derivada 59 3 Cálculo de derivadas 64 3. Propiedadesdederivadas... 64 3.. Ejercicios... 68 3. Derivadasdefuncionestrigonométricas...
Más detallesGuía 3 Del estudiante Modalidad a distancia. Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE
Guía 3 Del estudiante Modalidad a distancia Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE DATOS DE IDENTIFICACION TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas Teléfono 435 29 52 CEL. 310 768 90 67
Más detallesDERIVADA DE FUNCIONES REALES
. Recta tangente a una curva DERIVADA DE FUNCIONES REALES Consideremos la curva y = f() correspondiente a una función continua y en ella dos puntos distintos P( ; y ) y Q( ; y ). PQ es una recta secante
Más detalles«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»
TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento
Más detalles3x2 2x x 1 + x 3x 5 5x2 5x x3 3x 2. 1
1. Calcula la derivada de las funciones: y = Ln3 4 3 ) 5 y = Ln [ 1) )]. Calcula la derivada de las funciones: y = sen y = sen 3 y = sen 3 y = sen 3 3 y = sen 3 ) y = sen 4 3 4 5) 3 3. Calcula la derivada
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS. Dada la función f (), (, ), definir f () y f () de forma que f sea continua sen(π ) en todo el intervalo cerrado [, ]. : f () f () π 5 si. Estudiar la continuidad
Más detallesAplicación de la Derivada
Aplicación de la Derivada Etremos locales. Teorema del valor medio Habilidades 1.Define el concepto de etremos locales 2.Define el Teorema del valor etremo. Ilustra su significado geométricamente. 3.Define
Más detallesDERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Tangentes a una curva y f () 5 5 9 4 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(4). f'() 0; f'(9) ; f'(4) 4 Di otros
Más detalles8. y = Solución: x 4. 9. y = 3 5x. Solución: y' = 5 3 5x L 3. 10. y = Solución: 4 4 (5x) 3. 11. y = Solución: (x 2 + 1) 2. 12.
7 Cálculo de derivadas. Reglas de derivación. Tabla de derivadas Aplica la teoría Deriva en función de :. y = 8. y = 5 3 5 4. y = ( ) 5 0( ) 4 9. y = 3 5 5 3 5 L 3 3. y = 7 + 3 4. y = e e 5. y = 7 7 +
Más detallesPLAN DE ESTUDIOS DE MS
PLAN DE ESTUDIOS DE MS Temario para desarrollar a lo largo de las clases 11 y 12. CLASE 11: I. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL. a) Revisión de conceptos Estructura de espacio vectorial. Propiedades de los
Más detallesREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x
1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.
Más detallesCONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS 3 si Si la función f está definida mediante f (), calcula a y b para que sea a b si > continua. La función es continua en (, ) (, ), pues en
Más detallesentonces las derivadas laterales existen y son iguales. y vale lo mismo. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a)
DERIVADAS. TEMA 2. BLOQUE 1 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la función y = f ( en el punto de abscisa x = a al límite f ( f ( a f ( a = lím x a x a Si existe f (a entonces
Más detalles1. Calcula la tasa de variación media de la función y = x 2 +x-3 en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,2], c) [2,3]. Sol: a) 0; b) 3; c) 6
ejerciciosyeamenes.com PROBLEMAS DE DERIVADAS 1. Calcula la tasa de variación media de la función +- en los intervalos: a) [- 1,0], b) [0,], c) [,]. Sol: a) 0; b) ; c) 6. Calcula la tasa de variación media
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 006 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Más detallesLÍMITES. REGLA DE L HOPITAL
LÍMITES. REGLA DE L HOPITAL EJERCICIOS RESUELTOS Calcula los valores de k de modo que sean ciertas las siguientes igualdades: k 7 5 k k a) b) 4 7 3 3 a) El límite de una función racional, cuando tiende
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 10: Derivadas
accés a la universitat dels majors de 5 anys acceso a la universidad de los mayores de 5 años UNIDAD DIDÁCTICA 0: Derivadas ÍNDICE DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS Visualización del concepto de derivada de
Más detalles5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales.
5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales. 5.1 Funciones reales de varias variables reales. Curvas de nivel. Continuidad. 5.1.1 Introducción al Análisis Matemático. El
Más detallesAPELLIDOS Y NOMBRE:...
1º BACHILLERATO Fecha: 6-09-011 PRUEBA INICIAL APELLIDOS Y NOMBRE:... NORMAS El eamen se realizará con tinta de un solo color: azul ó negro No se puede usar corrector Se valorará potivamente: ortografía,
Más detallesUNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento
Más detalles7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el
Más detallesSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
Más detallesCOL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
Más detallesDerivada de una función en un punto. Función derivada. Diferencial de una función en un punto. dy = f (x) dx. Derivada de la función inversa
Derivada de una función en un punto Las tres expresiones son equivalentes. En definitiva, la derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor
Más detallesDERIVADAS (1) Derivada de una constante. LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Derivada de una función potencial: Forma simple.
DERIVADAS (1) Derivada de una constante f ( ) K K F ( ) 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº 1) nº ) nº 3) nº 4) nº 5) nº 6) Derivada de una función potencial: Forma simple r f ( ) r f ( ) r. r 1
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesProfesor: Fernando Ureña Portero
MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
Más detalles