Derivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.

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1 Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en un punto. Sea f una función real definida en un intervalo D de R, y un punto interior a D, es decir f está definida en un entorno métrico de. Pretendemos estudiar la variación de la función en un entorno del punto, y también resolver el problema de trazar la tangente a la gráfica en el punto (, f(. * INCREMENTO DE LA FUNCIÓN f: Es la variación de la función f, cuando la variable independiente pasa de a +. Se escribe f y se lee incremento de f. = f( f( ( puede ser potivo o negativo, empre que + D f * COCIENTE INCREMENTAL O TASA DE VARIACIÓN MEDIA: Es la variación relativa de la función f, con respecto a la variación o incremento de la variable, en el intervalo [, +]. Viene medida por el cociente entre el incremento de la función y el de la variable : f( + f( = f El cociente incremental puede ser potivo, nulo o negativo, según sea la función que estudiamos y el intervalo conderado. * DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: Es el límite del cociente incremental, cuando el incremento de la variable tiende a cero. También se llama TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. Se escribe f (, y gnifica la variación de f con respecto a en el punto. f f ( f ( '( = lim = lim f "Si el límite anterior eiste y es finito, se dice que la función es derivable en el punto ". (Observa que la derivada de una función en un punto, es empre un número real.. Concepto de función derivada, derivada segunda de una función. Hasta aora emos estudiado la derivada de una función en un punto y emos visto que el resultado de la derivada es un número real que llamamos f'(. Si una función f es derivable en todos los puntos de un intervalo, se llama función derivada, f', a la que asocia a cada del intervalo, el valor de la derivada en dico punto. Si la función f' es derivable, su función derivada se llama "función derivada segunda, f''. Análogamente podemos definir las funciones derivadas tercera, cuarta,... n-éma, empre que la función derivada anterior sea a su vez derivable. Se escriben: f''', f 4,... f n. El conocer las funciones derivadas de las funciones elementales y las reglas de derivación que conoces de otros cursos tiene la ventaja de no tener que aplicar la definición para calcular la derivada en un punto, salvo en casos aislados (puntos de cambio de criterio, puntos donde no estamos seguros de la derivabilidad, etc.

2 Derivadas * REGLAS DE DERIVACIÓN. OPERACIONES He aquí un resumen de las reglas de derivación de las funciones conocidas y de las operaciones con funciones. REGLAS DE DERIVACIÓN Derivada de una suma o diferencia de funciones f ( g( f ( g ( Derivada del producto de una constante por una función k.f ( k.f ( Derivada de un producto de funciones f (.g( f (.g( g (.f ( Derivada de un cociente de funciones f ( g( f(.g( g (.f ( g( Derivada de una función compuesta f g( f g(.g( FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES COMPUESTAS FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA Constante Y = k Y = Identidad Y = Y = Potencial Y = n Y = n n- Y f ( n n Y n.. f (.f ( Eponencial Logarítmica Y = a Y = a La Y = a f( f ( Y f (.a. La Y = e Y = e Y = e f( f ( Y f (.e f ( Y log a Y log a e Y = log a f( Y log a e f ( f ( Y = ln y Y = ln f( Y f (. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. ECUACIONES DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A LA GRÁFICA EN UN PUNTO.. Interpretación geométrica de la derivada. La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica en dico punto. f ( = pendiente (t

3 Derivadas 3. Halla las ecuaciones de las rectas tangente a la gráfica de la función f( = 5 + 6, en el punto de abscisa =.. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica anterior, sabiendo que debe ser paralela a la recta y = DERIVADAS LATERALES. Conderamos una función f, definida en el intervalo cerrado [, +], es decir solo la tenemos definida en y en puntos a la dereca de. Definimos derivada a la dereca de : f '( f ( lim f ( Este límite representa geométricamente, la pendiente de la semi-tangente t d a la dereca en el punto A(, f(. f '( pend(t Análogamente, conderamos la función definida en el intervalo cerrado [, ], es decir, sólo la conderamos definida en y en puntos a la izquierda de. d Definimos derivada a la izquierda de : f '( f ( lim f ( Este límite representa geométricamente, la pendiente de la semi-tangente t i a la izquierda en el punto A(, f(. f '( pend(t i Si f está definida en un entorno de (f está definida a la izquierda y a la dereca de, Una condición necesaria y suficiente para que la función f sea derivable en el punto, es que eistan las dos derivadas laterales en dico punto y que ambas sean iguales, en cuyo caso este valor común es la derivada en. f derivable en f' ( f' ( f' ( Si f es continua en y las dos derivadas laterales son diferentes, se dice que f presenta un punto anguloso en : 4. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable. Es lo que ocurre en los puntos angulosos y en los puntos de tangente vertical. Sin embargo: "Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dico punto". Esto gnifica que podemos calcular la derivada en un punto, en este punto la función será continua. Y no es continua no será derivable. Por ejemplo la función (Compruébalo f (, sabemos que es continua en = y n embargo no es derivable en.

4 Derivadas 4 3. Estudia la derivabilidad de las funciones: a f ( b f ( 3 c f ( Calcula m y n para que f( sea derivable en R. a m 5 fx - n b fx m 3 n - 5 PROPIEDADES LOCALES DE UNA FUNCIÓN DERIVABLE: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Crecimiento y decrecimiento: A Función monótona creciente (decreciente en un intervalo I: f( es monótona creciente (decreciente en el intervalo I endo y dos puntos cualesquiera pertenecientes al intervalo I: creciente decreciente < f( f( (en sentido amplio ó < f( f( (en sentido amplio * Si una función es derivable en el intervalo I, y f ( > en todo I, entonces f( es creciente en I. * Si una función es derivable en el intervalo I, y f ( < en todo I, entonces f( es decreciente en I. Máimos relativos: Una función presenta un máimo relativo en el punto, eiste un entorno de de radio, contenido en el dominio D, y tal que: f ( f(, "Si una función es derivable en, y f alcanza un máimo relativo en dico punto, entonces f'( = ". f derivable en f ( f presenta un maimo relativo en

5 Derivadas 5 Mínimos relativos: Una función presenta un mínimo relativo en el punto, eiste un entorno de de radio, contenido en el dominio D, y tal que: f ( f(, "Si una función es derivable en, y f alcanza un mínimo relativo en dico punto, entonces f'( = ". f derivable en f presenta un minimorelativo en f ( Según esto, una función es derivable en un punto y presenta un etremo relativo en dico punto, a de cumplirse que f ( =. Por tanto los etremos relativos de una función los buscaremos: En los puntos con derivada nula: f'( = (puntos ngulares. En los puntos donde la función es continua pero no es derivable (puntos angulosos. 3 En los puntos de discontinuidad de la función, los ubiere. Para saber en estos puntos ( y la función presenta un etremo relativo utilizaremos el guiente criterio. A partir de la primera derivada: Sean y puntos suficientemente próimos a por la izquierda y por la dereca respectivamente. Si f ( < y f ( >, f pasa de decreciente a creciente Mínimo relativo en. f ( > y f ( <, f pasa de creciente a decreciente Máimo relativo en. (f ( < y f ( < ó (f ( > y f ( >. f no cambia su monotonía No ay etremo relativo. En el caso 3 lo aremos a partir de la gráfica. CURVATURA. CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. Si tenemos una función f, derivable en un intervalo I, decimos que f es una función convea (o abierta acia + OY en dico intervalo, y sólo, la gráfica de f está tuada por encima de la tangente a f, en cualquier punto del intervalo. Si tenemos una función f, derivable en un intervalo I, decimos que f es una función cóncava (o abierta acia OY en dico intervalo, y sólo, la gráfica de f está tuada por debajo de la tangente a f, en

6 Derivadas 6 cualquier punto del intervalo. PUNTOS DE INFLEXIÓN. Una función presenta un punto de infleión en, en dico punto la función pasa de convea a cóncava o viceversa. Si en estos puntos la función es derivable, la tangente a la curva atraviesa a la curva. INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. Si la función f es continua y admite derivada segunda en un intervalo: Si f''( > f es convea Si f''( < f es cóncava f tiene un punto de infleión en f''( = Por tanto, los puntos de infleión los buscaremos en las soluciones de la ecuación, f''( =, y además se a de cumplir, para que sean puntos de infleión, que cambie la concavidad 5. Calcula dominio, cortes ejes, asíntotas, monotonía, etremos relativos, curvatura, puntos de infleión y representación gráfica de las guientes funciones: a f ( = b g ( c f ( d f ( = e f ( , f f ( = 3 g g(

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