TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.

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1 Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes TEMA 6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS APLICACIONES ÍNDICE INTRODUCCIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO DEFINICIÓN INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA 3 FUNCIÓN DERIVADA 3 3 DEFINICIÓN 3 3 ÁLGEBRA DE DERIVADAS 3 33 DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA REGLA DE LA CADENA 4 34 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA 4 35 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES 5 4 DERIVADAS SUCESIVAS FÓRMULA DE LEIBNIZ 5 5 APLICACIONES 6 6 BIBLIOGRAFÍA 7 WWWPREPARADORDEMATEMATICASCOM

2 Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes INTRODUCCIÓN El cocepto de derivada, surgió como cosecuecia de las ecesidades de la Mecáica e el s XVII de los problemas geométricos (udametalmete dibujar ua tagete a ua curva ecotrar la velocidad de u movimieto e u istate dado El cálculo dierecial e itegral se debe e su maor parte a la teoría de ucioes de Newto (64-77 al cálculo de diereciales de Leibiz ( La primera eposició del cálculo dierecial eca por Leibiz ue e 684 co el título U uevo método para máimos míimos tambié para tagetes, que o se ve obstruido por las catidades raccioarias i por las irracioales DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Deiició Deiició Sea :AR (A R Sea u puto de A Diremos que la derivada ( + ( de e el puto viee dada por: R la otaremos por (, si este límite o eiste o o es real o teemos derivada e ese puto Si cosideramos que + podemos epresar la derivada e como: ( ( ( Deiició El icremeto de la variable puede ser positivo o egativo Si es positivo tedremos la derivada por la dereca e, si es egativo tedremos la derivada por la izquierda e ( + ( ( ( + ( ( + + Teorema La derivada si eiste es úica Demostració Es cosecuecia de la uicidad del límite Nota: Además la codició ecesaria suiciete para que ua ució ( sea derivable es que eista ambas derivadas laterales sea iguales Teorema Si ua ució es derivable e u puto etoces es cotiua e ese puto Demostració Será cotiua si ( ( + ( esto ocurre e ( el caso de que eista sea iito ( + ( Iterpretació geométrica de la derivada Sea ua ució derivable e u puto, la derivada de la ució e ese puto se correspode co la pediete de la recta tagete a la ució e dico puto, esto es, la recta que pasa por u puto P(,( tiee pediete ( tiee por ecuació: -( ( (- Si ( es derivable e etoces eiste la recta tagete a ( e WWWPREPARADORDEMATEMATICASCOM

3 Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes Si ( ± La recta tagete es paralela al eje, la ució o es derivable e dico puto 3 FUNCIÓN DERIVADA 3 Deiició Deiició Sea :[a,b]r Si ( es derivable e todos los putos iteriores de dico itervalo, (a,b La derivada e u puto cualquiera del mismo, viee ( + ( dada por la ució, límite que depede del valor Esta ució que represetaremos por ( o, la llamaremos ució derivada de (, cuo domiio es u subcojuto del domiio de ( (su domiio so los putos dode eiste la derivada 3 Álgebra de derivadas Sea las ucioes ( derivables e (a,b, se veriica: Derivada de la suma (+ es ució derivable e (a,b se tiee: (+ (+ Derivada del producto de dos ucioes ( es ució derivable e (a,b se veriica ( ( +( 3Derivada de la ució / Si ( (a,b, (/( es ució derivable e ( (a,b se veriica ( ( 4Derivada del cociete de dos ucioes Si (a,b, (/ es ució ' '( g'( ( derivable e (a,b se veriica ( g g ( Demostració: ( + ( + ( ( ( + + ( ( ( + ( ( ( ( ( ( + ( '( + g'( ( g (/ ( (/ ( ( ( 3 ( ( ( ( 4 Se demuestra a partir de 3 puesto que /g (/g ( ( 3 WWWPREPARADORDEMATEMATICASCOM

4 Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes 33 Derivada de la ució compuesta Regla de la cadea Sea :IR ua ució cotiua e I derivable e I Sea g:jr (I J, además es derivable e ( Etoces go es derivable e ( g o ( g [ ( ] ( Demostració Sea : JR deiida por: si ( si Se tiee que es cotiua e, además puesto que es cotiua e, la ució o es cotiua e, siedo ( o ( ( ( ( De la deiició de (( teemos que si ( ( es (-( [((+ ]((-( así: ( go (-( go ( [( o (+ ]((-( ( go ( ( go ( Y la derivada ( go ( ( ( o [( ( + ] ( 34 Derivada de la ució iversa Sea :IR ua ució cotiua e iectiva sobre I, co derivada o ula e I Etoces la ució iversa :(IR es derivable e, siedo: Demostració ( ( ( ( ( ( eiste, es úica es cotiua por ser cotiua e iectiva Sobre (I-{ } deiimos la ució: Sobre I-{ } deiimos la ució: ( α ( β ( ( ( Sobre (I-{ } se veriica α ( ( β o ( Sabiedo que β ( ( ( ( ( ( ( β ( ( ( ( ( ( ( o ( α( ( ( β o ( 4 WWWPREPARADORDEMATEMATICASCOM

5 Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes 35 Derivadas de ucioes elemetales La derivada de la ució costate es Sea ( log a, co a > (, > La b b 3 Sea (, co b ( b, b cte 4 Sea ( e ( e 5 Sea ( a ( a La, co a > 6Derivadas de las ucioes circulares (se cos; (cos -se; (tg + tg 7Derivadas de las ucioes iversas de las circulares (arcse ; (, cos( arcse (arccos ; (, se(arccos (arctg ; R + tg ( arctg + 8Derivadas de las ucioes iperbólicas (s c; (c s Utilizado la regla de la cadea las epresioes ateriores podemos obteer las epresioes de las derivadas de la composició de ucioes elemetales como por ( ejemplo: Si log a ( co a > g (, / ( > ( La g ( 9 Destacamos por su importacia ( ( resultado ( ( ' ( '( + ( g'( L ( Demostració Simplemete utilizado la deiició de derivada, las propiedades de los límites las propiedades de las derivadas estudiadas ateriormete 4 DERIVADAS SUCESIVAS FÓRMULA DE LEIBNIZ Deiició Sea ( derivable e (a,b ( derivable a su vez e (a,b A la ució derivada de ( la llamaremos derivada seguda, la otaremos por ( E geeral la derivada -ésima de (, la otaremos por ( Deiició Sea ( ua ució tal que eiste su derivada de cualquier orde, diremos que es iiitamete derivable Deiició Diremos que ua ució es de clase p N si eiste sus derivadas asta el orde p iclusive so cotiuas Teorema Fórmula de Leibiz Dadas dos ucioes g co derivada -ésima g + g + g + + g Demostració Por iducció Para tego la derivada del producto Supogamos que es cierto para veamos que ocurre para + ( g ( g r r + r+ r r r+ g ( g [ g + g ] r r r r 5 WWWPREPARADORDEMATEMATICASCOM

6 Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes + r+ r r + r g + g r r r r + r+ r + r+ r g + g + g + g r r r r r + r + r+ r g + g + + g g r r r r r Como queríamos demostrar, emos utilizado las propiedades de los úmeros combiatorios 5 APLICACIONES Crecimieto decrecimieto Sea ua ució real derivable e el puto es creciete (resp decreciete e si sólo si ( (resp ( Si impoemos ( > (resp ( < etoces es estrictamete creciete (resp decreciete Máimos míimos Sea ua ució derivable e u etoro del puto, tiee u máimo (respectivamete u míimo e si sólo si la derivada se aula e ese puto además > a la izquierda de < a la dereca de (resp < a la izquierda de > a la dereca de Teorema de Rolle Sea ( ua ució cotiua e [a,b] derivable e (a,b, tal que (a(b al meos u valor c (a,b/ (c Demostració Por el teorema de Weierstrass como ( es cotiua e [a,b] etoces alcaza e [a,b] su valor máimo su valor míimo Distiguimos dos casos: Ambos valores (máimo míimo se ecuetra e los etremos como (a(b etoces todos los valores del itervalo tiee el mismo valor ( es costate por tato ( Supogamos que el máimo o el míimo o se ecuetra e los etremos c (a,b/(c es el máimo o el míimo, por tato la recta tagete e dico puto es paralela al eje por ello su pediete que coicide co la derivada e dico puto es (c como queríamos demostrar Teorema de Cauc o del valor medio geeralizado Sea ( ucioes cotiuas e [a,b] derivables e (a,b, tal que a b al meos u ( b ( a ( c valor c (a,b/ b a c Demostració Tomemos la ució deiida e [a,b] como ([(b-(a] -[b-a] ( que es cotiua e [a,b] admite derivada e (a,b por veir costruida por multiplicació de costates por ucioes cotiuas derivables resta de ucioes cotiuas derivables, además veriica que (a(b aplicado el teorema de Rolle tedremos que c (a,b/ (c, esto es ( b ( a ( c [(b-(a] c-[b-a] (c de dode se tiee b a c 6 WWWPREPARADORDEMATEMATICASCOM

7 Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes Nota: Como caso particular de este teorema teemos el Teorema de Lagrage o del valor medio: Sea ( cotiua e [a,b] derivable e (a,b al meos u valor ( b ( a c (a,b/ ( c b a Demostració A partir de la ució ( del teorema de Cauc tomado Regla de L Hopital Sea g dos ucioes reales derivables e todos los putos de u etoro del puto R, teemos que ( ( que o se aula e ese etoro de etoces el eiste si ( eiste, siedo además ambos límites iguales Nota: Además de para resolver idetermiacioes del tipo / como e este caso, la regla de L Hopital se puede adaptar si diicultad para resolver otras idetermiacioes como / ó La velocidad aceleració istatáea de u móvil Sea s(t la ució que os da la posició de u móvil a lo largo del tiempo sea s(t de clase, etoces la velocidad istatáea vedrá dada por la derivada de s(t respecto de t además la aceleració istatáea viee dada por la derivada seguda 6 BIBLIOGRAFÍA -GAUCHAN Itroducció al aálisis -LUNA Curso de Aálisis Matemático I -REY PASTOR Elemetos de la teoría de ucioes -SPIVAK Cálculus 7 WWWPREPARADORDEMATEMATICASCOM

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( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.

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