Idea La derivada de una función, f(x), en un punto P se interpreta geométricamente con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

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1 Lambrto Cortázar Vinusa 06 DERIVADAS EJERCICIOS WIKI Ida La drivada d una unción, (), n un punto P s intrprta gométricamnt con la pndint d la rcta tangnt a la curva n s punto. (a+h) (a) P (a) h (a+h)-(a) 0 a 0 a a+h Para conocr la rcta tangnt n s punto studiarmos los alrddors dl punto. La rcta qu pasa por a, a a h, a h tin como pndint l cocint ntr lo qu varía la, a h a, lo qu varía la, a h a h, : a h a h La pndint d la rcta tangnt, s dcir, la drivada, s obtndrá como límit cuando h tind a 0 d las pndints d las rctas scants: a ' lím h0 a h a h (a+h) (a) h (a+h)-(a) 0 a a+h Est límit pud istir o no, s dcir, la unción pud o no sr drivabl n s punto. Rliona sobr las guints circunstancias: - Si la unción no s continua n s punto, la unción no pud sr drivabl. - Si la unción s continua pro no tin tangnt n s punto (punto anguloso), la unción tampoco pud sr drivabl. - Si la unción s continua pro la tangnt s prpndicular (pndint ininita), la unción tampoco srá drivabl n s punto. En concluón: - Si una unción s drivabl n a tin qu sr continua n a. - Una unción pud sr continua n a no sr drivabl n a. Página d

2 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Rglas para l cálculo d drivadas En vz d calcular la drivada d una unción n un punto concrto (a=, a=5 ) mdiant l límit antrior, vamos a obtnr la prón d la unción drivada d () n un punto cualquira. Obtndrmos una nuva unción, drivada d la antrior: Normas bácas: Drivando D unción drivada. k 0 (k constant).. La drivada d una suma s la suma d las drivadas: g g. La drivada dl producto d una constant por una unción s igual a la constant por la drivada d la unción: k k 5. La drivada d un producto s igual a la drivada d la primra por la sgunda n drivar, más la drivada d la sgunda por la primra n drivar: g g g 6. La drivada d un cocint s igual a la drivada dl numrador por l dnominador, mnos la drivada dl dnominador por l numrador, partido todo por l dnominador al cuadrado: g g g g 7. Drivada d la unción compusta: g g Rglas d drivación: n n n loga a a a a g Drivación logarítmica sn cos cos sn tan cos arcsn arccos arctg n n n n Página d

3 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Página d Obsrva, aprnd practica (): a) b) c) d) 6 6 ) ) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) 6 5 q) 5 r) s) sn cos t) cos u) sn v) cos sn w) sn sn cos ) sn sn cos ) tg cos z) tg

4 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Página d Obsrva, aprnd practica (): a) b) c) d) ) ) g) sn h) tan i) j) k) l) 8 m) n) o) p) q) 6 r) Drivamos tomando prviamnt logaritmos s)

5 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Halla la unción drivada d cada una d las guints uncions: ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) ) 5 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) 5 ) ) ) 5) 6) 7) 8) 5 9) 0) log Calcula la drivada n los puntos indicados: 8) En =0 En = En = 9) 50) En = 5) 5) En = 5) En =0 5) En = 55) 5 En =- ) log ) ) ) 5) sn 6) tg 7) cos 8) 9) cos 0) ) tg ) cos ) ) 5) 6) 7) 56) En = sn cos 57) En =- 58) En =- 59) sn En =0 Página 5 d

6 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Calcula las trs primras drivadas mpliica: 60) 5 6) 6) 6) 6) 65) Solucions d los jrcicios d cálculo d drivadas: ) 6 ) ) ) 8 ) 5 ) ) 5) ) 5 6) 6) 7) 7) 8) 8 8) 9) 5 9) 9 0) 0) 0 ) ) 6 ) ) ) ) ) 5 sn cos 5) sn 5) 6 6) 6 6) cos 6 6 7) 8) 9) 0) 5) ) cos sn 7) cos 8) 9) sn cos 0) ) sn tg cos sn cos ) ) 6 ) 5) 0 6) 0 7) cos 8) 0 0 9) 50) 0 5) 5) 5) 5) 0 55) 56) No dinida 0 57) No dinida 58) 0 59) 0 Página 6 d

7 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Funcions drivabls Obsrva stos jmplos: o Estudimos la guint unción s continua drivabl: La unción s polinómica n sus dos tramos por tanto continua drivabl n todos sus puntos, cpto tal vz n. Estudimos la continuidad n : lím lím No ist l límit, lugo la unción no s continua n. Al no sr continua tampoco srá drivabl n s punto. o Estudimos ahora la guint unción s continua drivabl: La unción consta d una unción polinómica una ponncial qu son continuas n todo IR. El único punto dudoso s l qu hac rontra ntr ambos tramos,. Continuidad: Db cumplirs qu lím lím lím lím La unción s continua n Drivabilidad: La unción no s drivabl n Est s un jmplo d qu una unción pud sr continua n un punto n mbargo no sr drivabl n dicho punto. En st caso un punto anguloso: Página 7 d

8 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Página 8 d o Estudimos una nuva unción: La unción s continua drivabl n cada tramo. Estudimos l punto d ruptura. Continuidad: lím lím lím Continua n Drivabilidad: Drivabl n o S condra la unción ral d variabl ral dinida por: a Calcúls l valor d a para qu sa continua drivabl n Continuidad: a a lím a a lím Drivabilidad: a a a

9 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Practica Estudiar la continuidad la drivabilidad d las guints uncions: 66) 67) ) 70) 7 68) 0 0 7) Dtrminar l valor d k para qu las guints uncions san drivabls n : k 7) 7) k k D slctividad 7) Junio 0 ( puntos) S condra la unción ral d variabl ral dinida por: i. Estúdis la continuidad la drivabilidad d la unción. ii. Rprsénts gráicamnt la unción. 75) Junio 0 ( puntos) S condra la unción ral d variabl ral dinida por: a b i. Calcús los valors d a b para los qu la unción s continua drivabl. ii. Para a 0 b, hálls la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n los puntos n los qu dicha tangnt s paralla a la rcta 8. 76) Junio 0 ( puntos) Dada la unción: a i. Dtrminar l valor d a para qu sa continua n 0. ii. Para s valor d a, studiar la drivabilidad d n 0. iii. Hallar, las tin, las asíntotas d la gráica. Página 9 d

10 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Aplicacions d las drivadas Rcta tangnt n un punto n l punto La cuación d la rcta tangnt a una curva 0, 0 vin dada por la prón: 0 m 0 Dond m s la pndint d la rcta tangnt n s punto, s dcir la drivada d la unción n 0 0. Si la tangnt s horizontal la pndint s nula por lo tanto la drivada srá 0. Nos jrcitamos: 77) Obtnr la cuación d la rcta tangnt a la gráica d la unción n l punto. m 0 0 m Drivadan 0 0,, m 78) Hallar las rctas tangnts a la unción qu son parallas a. 0 m 0 No conocmos l punto pro conocmos la pndint: Al sr parallas a, tinn la misma pndint: m. Los puntos n los qu la tangnt tin pndint -, srán los qu hagan qu la drivada sa -: 0 ; 79) Obtnr las cuacions d las rctas tangnts a la unción parallas a la bisctriz dl primr cuadrant. 80) Calcular la rcta tangnt a n l punto d abscisa 7. 8) Hallar la cuación d la tangnt a la parábola 5 la rcta. qu son qu s paralla a 8) En qué punto la rcta s tangnt a la parábola? 8) Obtnr la rcta tangnt a la unción n l punto n. 8) Hallar la cuación d la rcta tangnt a n. 85) Cuál s la cuación d la rcta tangnt a la unción n? 86) Obtnr la cuación d la rcta tangnt a la curva qu pasa por l orign d coordnadas. 87) Calcular l punto d la gráica d n l qu la rcta tangnt s paralla a la rcta 0. Página 0 d

11 Lambrto Cortázar Vinusa 06 D slctividad 88) Junio 0 ( puntos) S condra la unción ral d variabl ral dinida por: i. Obténgas la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n l punto 0. 89) Sptimbr 0 ( puntos) S condra la unción dinida por: 9 i. Háls las asíntotas d. ii. Dtrmíns la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n l punto d abscisa. 90) Modlo 0 ( puntos) Sa a b i. Dtrmínns los valors d a b qu hacn qu sa continua n qu. ii. Para l caso n l qu a b, hálls la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n. 9) Junio 0 ( puntos) Dada la unción ral d variabl ral i. Dtrmíns la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n l punto d abscisa. 9) Sp. 0 ( puntos) S condra la unción ral d variabl ral dinida por i. Calcúls l valor d para qu la rcta tangnt a la gráica n sa paralla a la rcta. 9) Junio 06 ( punto) S condra la unción dinida por: 8 i. Calcúls la cuación d la rcta tangnt a la gráica n l punto. 9) Junio 06 ( punto) S condra la unción dinida por: a b i. Dtrmínns los valors d los parámtros rals a b s sab qu la rcta n l punto d abscisa 0. s tangnt a la gráica d 95) Junio 06 ( punto) S condra la unción dinida por: i. Escríbas la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n. Página d

12 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Monotonía: intrvalos d crciminto dcrciminto Etrmos rlativos: máimos mínimos rlativos Curvatura: concavidad convidad. Puntos d inlión Dcrc Máimo Cóncava Conva Crc Mínimo Dcrc Punto d inlión,,,, Dcrcint ;, Crcint;, Dcrcint,0 Conva ; 0, Mínimo rlativo; Máimo rlativo 0 Punto d in lión Drivando sucvamnt una unción s obtinn los datos congnados arriba: ª drivada 0 o Si a la unción s CRECIENTE n a 0. o Si a la unción s DECRECIENTE n a 0. Cóncava o Si a la unción ni crc ni dcrc PUNTO SINGULAR n a. Máimo o mínimo rlativo Máimo n a la unción pasa d crcint a dcrcint. Mínimo n a la unción pasa d dcrcint a crcint. ª drivada Máimo n Mínimo n a a 0 a a 0 0 la unción s CÓNCAVA n a. a 0 n a. o Si a la unción s CONVEXA o Si 0 o Si a pud habr un PUNTO DE INFLEXIÓN n a ª drivada 0. Punto d inlión n a la unción pasa d cóncava a conva o vicvrsa. o Si a la unción prsnta un PUNTO DE INFLEXIÓN n a. Página d

13 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Obsrva aprnd E. S condra la unción: 5 Calcular: o Su dominio. o Sus asíntotas vrticals, horizontals oblicuas, istn. o Sus máimos mínimos rlativos, istn. Solución: o Dominio. Como s una unción racional (cocint d polinomios) l dominio stá ormado por todos los númros rals mnos aqullos qu anulan l dnominador: 0 Dom IR, o o Asíntotas. Vrticals Valors qu anulan l dnominador:. 5 Horizontals lím 0, lugo 0 asíntota horizontal. Oblicuas Si ha horizontals no ha oblicuas. Máimos mínimos. Los puntos ngulars s obtinn cuando la ª drivada s anula: son los valors críticos Estudimos l gno d la sgunda drivada n stos puntos: El gno d En concluón: dpnd d Máimo 0 Mínimo la unción prsnta un máimo rlativo n l punto, la unción prsnta un mínimo rlativo n l punto, Otra orma sría studiando la monotonía (intrvalos d crciminto dcrciminto)como n l guint jmplo. Página d

14 Lambrto Cortázar Vinusa 06 E. S condra la unción: Calcular: o Máimos mínimos locals los intrvalos d crciminto dcrciminto. o Puntos d inlión los intrvalos d concavidad convidad. Solución: o Intrvalos d crciminto dcrciminto. Máimos mínimos. Estudiamos primro la monotonía dducimos d lla los puntos críticos: 0 0 Vamos l gno qu toma n cada intrvalo La unción s dcrcint n, 0, La unción s crcint n,0, En ; 0; la drivada s anula lugo son puntos críticos: En En 0 En la unción pasa d dcrcint a crcint Mínimo rlativo, la unción pasa d crcint a dcrcint Máimo rlativo 0,0 la unción pasa d dcrcint a crcint Mínimo rlativo, Otra orma (studiando la sgunda drivada): 0 Mínimo Máimo 0 Mínimo o Dcrc Crc Dcrc Crc Mínimo Máimo Mínimo Intrvalos d concavidad convidad. Puntos d inlión. 0 pobls puntos inlión Cóncava Conva Cóncava s cóncava n:,, conva n, Pobls puntos d inlión:, 5, Como 0 s conirma qu son puntos d inlión. Página d

15 Lambrto Cortázar Vinusa 06 E. Un studio ralizado por una mprsa d producción d plículas d acción pruba qu l cost anual (n millons d uros) d contratación d los actors scundarios qu utiliza n sus plículas gu la unción: s s Cs , dond s 0 s l númro d actors scundarios contratados. 00s Calcula l númro d actors scundarios contratados qu hac mínimo l cost d contratación. A qué cantidad ascind s cost mínimo? Solución: El mínimo s hallará ntr aqullos valors s s qu hacn qu la drivada d la unción cost sa cro: C s s 6000 s 00 s 60s s 0 00s 6000s 00s 6000s s s s 00 0 ( Dscartamos 0al sr s 0) Comprobmos s 0s un mínimo. Podríamos hallar la sgunda drivada o studiar la monotonía. En st sgundo caso: 0 c c Dcrc Mínimo Crc Lugo s 0 s un mínimo. Contratando a 0 actors scundarios l cost d contratación sría mínimo. Calculmos dicho cost sustitundo s 0 n la unción d cost: C s s 60s s C , millons d uros Página 5 d

16 Lambrto Cortázar Vinusa 06 E. Una mprsa d productos d limpiza abrica cajas d cartón con tapa, para comrcializar un dtrminado tipo d dtrgnt. Las cajas son prismas rctos d 9000 cm d volumn bas rctangular d largo igual al dobl d su anchura. Calcús las dimnons n cntímtros (largo, anchura altura) qu ha d tnr cada caja para qu la suprici d cartón mplada n su abricación sa mínima. Solución: La suprici d cartón mplada n la construcción d una caja s:, S 6 Nctamos prsar dicha suprici n unción d una sola variabl. Para rlacionar contamos con l dato dl volumn d la caja: V 9000, d dond Sustitundo n la prón d la suprici: S S, Esta s la unción qu dbmos drivar para calcular l mínimo: S Comprobmos qu 5 s un mínimo utilizando la sgunda drivada: S S En cto, s trata d un mínimo. Las dimnons d las cajas han d sr: cm anchura ; cm (largo); 0cm altura Página 6 d

17 Lambrto Cortázar Vinusa 06 E5. S condra la unción: o Dtrmin l dominio studi la continuidad d la unción. o Obtnga los trmos d la unción. o Estudi su curvatura. Solución: o Dominio continuidad: El dominio s todo IR a qu los dos tramos son uncions polinómicas. Por st mismo motivo la unción s continua n sos tramos. Estudimos la continuidad n l punto d ruptura : lím 0 lím 0 s continua n lím 0 Etrmos d la unción: 0 0 0dobl, pobl trmo En no ha ni máimo ni mínimo. o Pobl trmo. 0 En ha un máimo rlativo. o Para,, máimo rlativo. Curvatura: Intrvalos d concavidad convidad. Puntos inlión Pobl punto d inlión. 0,5-0,0 n 0, Conva n Cóncava En 0 pasa d conva a cóncava lugo ha un punto d inlión., 0 0, Para 0 punto d inlión. 0 lugo s conva n, En pasa d cóncava a conva lugo ha un punto d inlión., 0,0 Para 0 punto d inlión. Página 7 d

18 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Para qu practiqus (Slctividad distintas Comunidads): 96) Dada la unción 8 calcula: i. Los intrvalos d crciminto dcrciminto d. ii. Los máimos mínimos d dicha unción. Solución: Crcint (-, -)(0, +), dcrcint (-, -)(-, 0). Máimo rlativo (-, -7), Mínimos rlativos (-, -8) (0, -8) 97) Sa la unción ral d variabl ral i. Dtrminar dominio puntos d cort d la gráica con los js d coordnadas. ii. Obtnr: máimos, mínimos intrvalos d crciminto dcrciminto. iii. Hallar las asíntotas d la unción. Solución: Dominio = IR-0. No puntos d cort. Mínimo (, ), máimo (-, -). Crcint (-, -)(, +), dcrcint (-, 0)(0, ). Asíntotas: Vrticals = 0; Horizontals NO; Oblicuas = 98) Sa la unción. i. Estudi la monotonía d hall los trmos rlativos qu posa. ii. Estudi su curvatura calcul su punto d inlión. Solución: Crcint (-, )(, +) Crcint n todo IR No tin ni máimos ni mínimos. Conva n (-, ) cóncava (, +) = punto d inlión 99) Dada la unción, s pid: i. Hallar l punto o puntos d inlión d la unción. ii. Calcular la cuación d la tangnt a la curva n l punto d abscisa. Solución: Punto d inlión,7 7. Rcta tangnt: 7 00) Dada la unción a calcular, ist, l valor d a d orma qu tnga un mínimo rlativo n. Solución: a 0) S condra la unción t, 0 0 i. Para qué valor d t la unción s continua n 0? ii. Calcula los trmos rlativos d n l intrvalo 0,. iii. Calcula los intrvalos d crciminto dcrciminto d Solución: t = 0. Dcrcint (0, ), Crcint (, +) = Mínimo rlativo n, 0. 0) Calcula los valors d los parámtros a, b c para qu la unción a b c pas por l punto 0,0, tnga un mínimo rlativo n l punto d abscisa l valor d la pndint d la rcta tangnt a la curva n sa igual a. Solución: a, b, c 0 Página 8 d

19 Lambrto Cortázar Vinusa 06 0) En una ciudad, l rgistro durant cinco horas d la humdad rlativa dl air, mdida n %, s ajusta a la unción t t 5t t 75, 0 t 5, ndo t l timpo mdio n horas. i. A qué hora s rgistró la máima cantidad d humdad rlativa dl air cuál u dicha cantidad? ii. A qué hora s rgistró la mínima cantidad d humdad rlativa dl air cuál u dicha cantidad? Solución: Máimo t ; 86% humdad. Mínimo t ; 59% humdad. 0) S ha rgistrado l ruido qu s produc n una cocina industrial durant,5 horas. La unción R t t 9t t 8, 0 t, 5 rprsnta l ruido mdio n dciblios (db) t l timpo mdio n horas. i. En la primra hora (t=), cuántos dciblios s rgistraron? ii. En qué momnto s produc maor ruido? Cuál u su valor máimo? Solución: t dciblios. Máimo t ; 8dciblios. 05) S condra la unción, i. Estudia su continuidad n. ii. Etrmos rlativos n l intrvalo,. iii. Intrvalos d crciminto dcrciminto n,. continua n = Continua n todo IR. Mínimo n =, (, ). Crcint (, ) (, +) 06) Dada la unción: i. Calcula sus asíntotas. ii. Dtrmina sus intrvalos d crciminto sus máimos sus mínimos. Solución: A. vrtical = -; A. horizontal NO; A. oblicua = 9. Crcint (-, -9)(, +) Dcrcint (-9, -)(-, ). Máimo n = -9, (-9, -). Mínimo n =, (, 0). 07) S condra la unción, 8 a 0 i. Dtrmin l valor d a para qu la unción sa continua. ii. Para a 0, s crcint la unción n? iii. Hall sus asíntotas para a 0. Solución: a = -0 continua. Crcint n =. =, qu anula l dnominador NO s asíntota vrtical porqu no stá n >. A. horizontal = 8. 08) Calcul los coicints c (, ) sa un punto d inlión d. Solución: b, c 6 b d la unción b c para qu 09) Dada la curva d cuación 5 6, halla los máimos mínimos, así como los intrvalos d crciminto dcrciminto. Rprsnta la curva. Solución: Crcint (-, 5/). Dcrcint (5/, +). Máimo n = 5/ Página 9 d

20 Lambrto Cortázar Vinusa 06 Para qu gas practicando (Slctividad Madrid): 06 0) Sa la unción ral d variabl ral i. Calcúls su unción drivada. ii. Dtrmínns sus intrvalos d concavidad () convidad (). (Atnción a la orintación d la concavidad la convidad) ) Dada la unción ral d variabl ral ( ) i. Dtrmínns sus asíntotas. (Tin oblícua) ii. Dtrmínns los máimos los mínimos rlativos. ) Dada la unción ral d variabl ral. i. Estúdins dtrmínns sus asíntotas. (Tin oblícua) ii. Dtrmínns sus intrvalos d crciminto dcrciminto. 05 ) S condra la unción ral d variabl ral dinida por a a. Dtrmíns l valor dl parámtro ral a para qu la unción alcanc un trmo rlativo n. Compruébs qu s trata d un mínimo. ) S condra la unción ral d variabl ral Calcús los máimos mínimos locals rprsénts la unción. 5) Dada la unción ral d variabl ral. i. Dtrmínns sus asíntotas. ii. Dtrmínns l dominio los intrvalos d crciminto dcrciminto. i. Dtrmínns sus asíntotas. ii. Estúdis la unción s crcint o dcrcint n un ntorno d. 6) S condra la unción ral d variabl ral, contésts razonadamnt a las prguntas: i. Calcúls su dominio d dinición, los puntos d cort con los js los intrvalos d crciminto dcrciminto. ii. Háls las asíntotas, las tuvir, sbócs la gráica d la unción. 7) S condra la unción ral d variabl ral dinida por Página 0 d

21 Lambrto Cortázar Vinusa 06 8) Sa la unción ral d variabl ral dinida a. i. Dtrmíns l valor d a para qu la unción tnga un máimo local n un mínimo local n. ii. Para l caso d a 8, hálls la cuación d la rcta tangnt a la gráica d n ) S condra la unción ral d variabl ral dinida por. Dtrmínns los trmos rlativos d. 0) S condra la unción ral d variabl ral dinida por 0 5. i. Dtrmínns los intrvalos d crciminto dcrciminto d. ii. Dtrmínns los intrvalos d concavidad convidad d. ) S condra la unción ral d variabl ral dinida por a i. Háls a b para qu la rcta tangnt a n sa. ii. Háls b,0 un punto d inlión. a para qu la unción tnga n b. Página d

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