Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

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1 LA DERIVADA

2 Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd. 3. Dierencil de un unción. 4. Cálculo de derivds. Operciones con derivds. Derivd de ls unciones elementles.

3 . DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO... Concepto de derivd. El cálculo de derivds y dierenciles se desrroll en el siglo XVII pr resolver lguns cuestiones tles como: Deinición de velocidd instntáne. Cálculo de l ecución de l rect tngente un unción en un punto. Máimos y mínimos de un unción. Inicimos el concepto de derivd prtir de l deinición de incremento de un unción en un punto. Se un unción de vrible rel y Dom. Si tommos un punto próimo, el incremento de l vrible independiente será: y el incremento de l unción: Deinición: Se llm ts de vrición medi l cociente incrementl: y Represent l vrición medi de en el intervlo [, ] Si represent el espcio recorrido por un móvil en unción del tiempo, l ts de vrición medi represent l velocidd medi. Si reducimos el intervlo [, ] psremos de un vrición medi un vrición en el punto y llegremos l concepto de derivd: Deinición L derivd de l unción en el punto que se represent como es:

4 Si cemos el cmbio de vrible = +, entonces:.. Derivds lterles. Si tenemos en cuent que el cálculo de l derivd de un unción en un punto consiste en el cálculo de un límite, éste eistirá si los límites por l izquierd y `por l derec coinciden, dndo lugr l concepto de derivds lterles. Pr que un unción se derivble en un punto deben coincidir ls derivds lterles en ese punto..3. Interpretción geométric. Consideremos l unción y=,l pendiente de l rect secnte su gráic en los puntos y + es: pendiente tg Si vmos proimndo cero, l rect secnte se proim l rect tngente en : 3

5 L pendiente de l rect tngente será: m tg L pendiente de l rect tngente y= en el punto, coincide con el vlor de l derivd de en. L ecución de l rect tngente l gráic de l unción y= en el punto, y es: y L rect norml l unción en,y es perpendiculr l rect tngente en el mismo punto, y por tnto, su ecución será: y Ejercicio: Hll l ecución de l tngente l curv y 3 en el punto = Ejercicio: Hll un punto de l gráic de y 5en el cul l rect tngente se prlel y 3 8. Ejercicio: Hll un rect que se tngente l curv y 3 y que orme un ángulo de 45º con el eje de bsciss. 4

6 .4.Función derivd. Derivds sucesivs. Si un unción es derivble en todos los puntos de un intervlo I, entonces l unción se llm unción derivd de. : I R Si es derivble, su derivd se llm derivd segund de y se escribe 4 n. Así sucesivmente se deine,,...,. Tmbién se utiliz l n notción D, D,..., D. Pr obtener l unción derivd podemos plicr directmente l deinición: o plicr ls regls de derivción que veremos en los puntos siguientes. Ejemplo: Clcul l derivd de l unción 5 plicndo l deinición.. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Puede ocurrir que un unción se continu en un punto y no se derivble en ese mismo punto puntos ngulosos y puntos de tngente verticl 5

7 6 Sin embrgo: Teorem: Si es derivble en es continu en Demostrción: Supongmos que es derivble en, tenemos que demostrr que o que, tommos límites cundo y por tnto es continu en 3. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. Dd un unción y=, l ts de vrición o incremento de l unción en = es: y y su derivd: Pr vlores pequeños de, podemos escribir: Deinición: Se llm dierencil de l unción en el punto = l producto. Si se design como dy, y por nlogí tommos d=: d dy

8 Ejercicio: Hll l dierencil de 3 en = Ejercicio: Clcul de orm proimd, sin usr clculdor el vlor de pr =, e A prtir de l deinición de dierencil Si tommos = y =,:,, e e,, El vlor verddero es,579 Error del,5% 4. CÁLCULO DE DERIVADAS. 4..Operciones con derivds. Si y g son dos unciones derivbles, entonces: g g b g g g g g c, cundo g g g d Se R Derivd de un unción compuest. Regl de l cden: Sen y g dos unciones tles que es derivble en y g es derivble en, entonces: g g Derivd de l unción recíproc: Supongmos que conocemos l derivd de l unción, entonces se puede demostrr que: l derivd de su unción recíproc - es: 7

9 4..Derivds de ls unciones elementles. FUNCIÓN DERIVADA DERIV. COMPUESTA =k = = n = =Ln =log =e = =sen =cos =tg =rcsen = = =n. n- n n- g = n.g. g = g. g g = Lng = g. g =. log e log g =. loge.g g =e g g e e. g =.Ln g g.ln.g =cos seng = cosg.g =-sen cosg = -seng.g = ó tgg =. cos cos g g = + tg = rcseng =. - -g g =rccos = - - rccosg =. - -g g =rctg Función potencileponencil g = g + rctgg = +g g. g g g L 8

10 Ejemplos: Tipo potencil 4 y y sen 3 sen 3 b Tipo logrítmico y log3 y L 5 y log 3 c Tipo eponencil y 5 y e y 3 3 d Tipo seno y sene e Tipo coseno y cose Tipo tngente y tg L g Tipo rco seno y rcsen Tipo rco tngente y rctg 9

11 4.3.Derivción implícit. Hst or emos trbjdo con l determinción eplícit de ls unciones, esto es, medinte un epresión del tipo y. Cundo un unción viene dd en l orm F, y, se deine y como unción implícit de. Por ejemplo y. Pr clculr y, derivmos tod l epresión teniendo en cuent que y es unción de. y y ; y y ; y y No tod ecución de l orm F, y deine un unción eplícit y. Clculremos l derivd suponiendo que eiste y Ejemplo: Hll l derivd de l unción y deinid por l ecución y 3y 4.4.Derivción logrítmic. En lgunos csos es más ácil clculr l derivd del logritmo de un unción que l derivd de l propi unción. Por ejemplo: Dd l unción y Tommos logritmos: Ly L ; Ly L y y Derivndo: L ; L y y y y L ; y L Ejemplo: Clcul l derivd de y sen cos

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