A B Trazo AB se denomina AB

Transcripción

1 PITULO I.- GEOMETRI SI.- EL punto es un ente matemático creado por el hombre para poder representar las figuras geométricas. El punto no tiene peso, ni forma ni olor ni sabor; sólo tiene posición. Se representa por la intersección de 2 líneas y se nombra con una letra mayúscula para diferenciar uno de otro. Ejemplo: D Espacio.- Es un conjunto infinito de puntos.- Línea recta.- Es un conjunto infinito de puntos ordenados siguiendo la misma dirección.- R R 1 Línea urva.- Es un conjunto infinito de puntos ordenados cambiando de dirección.- Segmento o Trazo.- Es la de los puntos y con los puntos entre y Trazo se denomina Rayo.- Es la de una semi -recta con el punto frontera.- O N Rayo ON se denomina ON

2 Rectas secantes.- Son las que se intersectan, es decir, tienen un punto en común. Rectas paralelas.- Son las que están en un mismo plano y tienen (intersección vacía) Ejercicio: Dibuja en el siguiente recuadro, los segmentos indicados., D, DF, EG, FH, HI E E G I D F H Observa la figura y completa el cuadro que sigue en la página siguiente.- D F I L M N J K H 2

3 OMPLETR Ej. Puntos Segmentos Rayos Rectas Segmentos Rectas Rectas secantes Pintar, LM, LM, LM D IL D LM F J La región interior entre las paralelas En el siguiente Plano se han dibujado diversos elementos que debes identificar.- P E D Menciona: a) uatro puntos { }, { }, { }, { } b) uatro rectas c) inco segmentos d) inco rayos e) Rectas paralelas y rectas perpendiculares. 3

4 PITULO II.- DIVERSS LSES DE NGULOS I I I Si trazamos una recta horizontal que se intersecte con una recta vertical se forman 4 ángulos de la misma medida, que es 90 º. Las regiones que I I I I V separan estas rectas se llaman UDRNTES: I, II, III. IV.- cada uno de los ángulos que se forman de esta manera, se les llama Ángulos Rectos. Def.- NGULO RETO es el que mide (Se dibuja con la escuadra) 90º Def.- NGULO GUDO Es todo ángulo menor que Def.- NGULO OTUSO.- Es todo ángulo mayor que 90 0 y menor que

5 Def.- NGULO EXTENDIDO.- Es el ángulo que mide Sus rayos forman una línea recta Def.- NGULO OMPLETO.- Es el que mide 360 0, es decir, da la vuelta completa a la circunferencia.- NGULO ES L UNION DE DOS RYOS QUE TIENEN UN PUNTO FRONTER OMUN.- Def.- NGULOS OMPLEMENTRIOS.- Son los que suman = 90 0 Def.- OMPLEMENTO DE UN NGULO.- Son los grados que le faltan a un ángulo agudo para completar 90º.-. es el complemento de 5

6 Ejemplo: Si mide 35 0, entonces su complemento es = 55 0 Def.- NGULOS SUPLEMENTRIOS. Son los que suman = Def.- SUPLEMENTO DE UN NGULO.- Son los grados que le faltan para completar = = 68 0 = 68 0 es el suplemento de MEDIIÓN DE NGULOS (6º básico) Existe una unidad universal para medir ángulos, esta unidad de medida se llama grado.- Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, cada una de esas partes es un grado. Para medir se construyó un instrumento llamado transportador. ómo se usa? Debes poner el centro del transportador en el vértice del ángulo y el cero en uno de los lados del ángulo 180º 0 La medida de este es de

7 Observa uál de estos ángulos tiene mayor medida? Si los mides con tu transportador te darás cuenta que los dos miden 30 0, o sea, tienen igual medida. onclusión: El largo de los lados de un ángulo no influye en su medida, lo importante es la abertura entre los lados.- Previo a la medición, el profesor deberá explicar en que orden se leen las letras, dejando siempre en el centro la del vértice. Ejercicios: 1) Usa tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos.- m = m = 2) Sea N un ángulo cualquiera. ópialo aquí usando regla y compás N 7

8 3) onstruye un. / m = 65 0 Luego clasifícalo.- 4) Nombra los siguientes ángulos y sin usar tu transportador, anota cuales son agudos, obtusos, rectos o extendidos.- I II III IV V VI Def.- ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VERTIE. Son los que se forman al prolongar los lados de un ángulo más allá del vértice.- es opuesto por el vértice con ; es opuesto por el vértice con Los ángulos opuestos por el vértice son de la misma medida. Def.- NGULOS ONTIGUOS.- Son los que tienen un lado común Def.- ÁNGULOS DYENTES.- Son ángulos contiguos, con 2 de sus lados formando una línea recta (180º). µ ß 8

9 Def.- POLIGONO Es una figura geométrica formada por la unión de 3 o más segmentos de recta.- TRINGULO.- Es un polígono de tres lados UDRILÁTERO.- Es un polígono de cuatro lados.- PENTGONO.- Es un polígono de cinco lados.- HEXGONO.- Es un polígono de seis lados.- HEPTGONO.- Es un polígono de siete lados.- OTOGONO.- Es un polígono de ocho lados.- NONGONO.- Es un polígono de nueve lados.- DEGONO.- Es un polígono de diez lados.- UNDEONO.- Es un polígono de once lados.- DODEGONO.- Es un polígono de doce lados.- PERIMETRO DE TODO POLIGONO. ES L SUM DE SUS LDOS. Ejemplo: alcular el P. De un triángulo. POLIGONO DE 13 LDOS.- POLIGONO DE 14 LDOS.- POLIGONO DE 15 LDOS.- ET... = 9cm.; = 10cm.; = 5cm.; P = 9cm. + 10cm. + 5cm. = 24cm. 9

10 EJERIIOS SORE ÁNGULOS.- Previo a los siguientes cálculos, el profesor explicará la operatoria con números complejos. 1) alcula el complemento de un que mide ) Si la m = , su complemento es 3) Si la m = El complemento de es 4) Si la m = Su complemento es 5) alcular el suplemento de: si la m = si la m = si la m = si la m = si la m = ) alcular el complemento y suplemento de los siguientes ángulos: m = ; m = ; m =

11 EJERIIOS SORE NGULOS (6 0 básico) 1) Mide los siguientes ángulos y clasifícalos.- m = m = m = ) Dibuja un ángulo obtuso, uno agudo y uno recto.- 3) Dibuja un ángulo de 50 0, otro de 90 0, y otro de ) omplemento de un ángulo es 5) Ángulos complementarios son 6) Dibuja el complemento de un ángulo agudo cualquiera.- 11

12 7) Suplemento de un ángulo es 8) Ángulos suplementarios son 9) Dibuja el suplemento de un ángulo cualquiera.- 10) Dados los ángulos : ; DEF ; GHI, cópialos.- D G E F H I 11) Dibuja un ángulo de 40 0, otro de 25 0 y también el ángulo suma.- 12) Dibuja la suma de los siguientes ángulos.- O D E 12

13 13) Encuentra el complemento y el suplemento de cada ángulo según medida.- m omplemento Suplemento ) onstruye un ángulo de 50 0 y otro de 30 0 y con compás construye el ángulo suma. 15) onstruye un ángulo de 70 0 y otro de 20 0 y con compás construye el ángulo diferencia.- 16) Dibuja un par de ángulos opuestos por el vértice y otro par de ángulos adyacentes.- 13

14 EJERIIOS SORE NGULOS (7 0 y 8 0 básicos) 1) Si alfa = alcular el complemento de alfa.- a) 75 0 b) 65 0 c) d) e) ) alcular el suplemento del complemento de a) 40 0 b) c) 90 0 d) e) ) lfa y eta son complementarios. Si lfa es el doble de eta. uánto mide lfa? a) 60 0 b) 30 0 c) d) e) Otro 4) lfa y eta son suplementarios. Si lfa es 5 veces eta uánto mide eta? a) 30 0 b) c) 60 0 d) 80 0 e) ) lfa y eta son suplementarios. Si lfa es 6 veces eta uánto mide lfa? a) b) 27,5 0 c) 25,7 0 d) 154,2 0 e) ). Si el D es la tercera parte Del D. uánto mide el D? D a) 45 0 b) 22,5 0 c) 30 0 d) 50 0 e) 80 0 D 7),,, colineales. D bisectriz del ángulo ; E bisectriz del ángulo D. F bisectriz del ángulo ED uánto mide F? F E a) 20 0 b) 45 0 c) 22,5 0 d) 67,5 e)

15 8) Determinar el valor del ángulo lfa. a) 30 0 b) 45 0 c) 60 0 d) f) otro 9) Determinar el valor del ángulo cuyo suplemento es igual a la mitad de su complemento. a) 22,5 0 b) 50 0 c) 30 0 d) 60 0 e) otro 10) La medida de un ángulo es 5 veces la medida de su complemento. Encontrar la medida del ángulo.- a) 75 0 b) 15 0 c) d) 30 0 e) otro 11) La medida del suplemento de un ángulo es 5 veces la medida del complemento del mismo ángulo. Encontrar la medida del ángulo. a) 67,5 0 b) 22,5 0 c) 112,5 0 d) e) N.R.. 12) Si el ángulo = 63 0 el ángulo = Qué puede concluirse acerca del ángulo del ángulo? ) Suplementarios ) omplementarios ) Opuestos por el vértice D) orrespondientes E) Otro 13) Si 2 ángulos suplementarios tienen medidas iguales uál es la medida de cada ángulo? ) 90 0 y 60 0 ) 45 0 y 45 0 ) 90 0 y 90 0 D) 60 0 y 60 0 E) Otro 15

16 14) Si la medida de un ángulo es 3 veces la medida de su suplemento uál es la medida del ángulo? a) 45 0 b) c) 90 0 d) 60 0 e) 0tro 15) La medida de un ángulo es 24 0 más que la medida de su suplemento. Encontrar la medida de cada ángulo. a) 78 0 b) c) 73 0 d) e) Otro 16) Si la medida de un ángulo es 2 veces la medida de su complemento uál es la medida de cada ángulo? a) 90 0 b) c) 30 0 d) 60 0 e) Otro 17) Si = 85 0 ; = 30 0 Determinar la medida del ángulo. a) b) 65 0 c) 85 0 d) 30 0 e) Otro 18) En el vértice del ángulo, se han trazado 2 rayos perpendiculares. uánto sumarán el ángulo ( formado por estos rayos ) y el ángulo? Por qué razón? Por lo tanto son ángulos 16

17 PITULO III.- RETS PRLELS ( / / ) Def.- RETS PRLELS son aquellas que estando en un mismo plano, tienen intersección vacía.- ( ) R 1 R 1 // R 2 R 2 Def.- La región del plano comprendida entre 2 paralelas se llama INT.- R 1 R 2 RETS PRLELS ORTDS POR UN TRNSVERSL adyacente al adyacente al 4 4 adyacente al 3 3 adyacente al adyacente al 6 6 adyacente al 8 8 adyacente al 7 7 adyacente al 5 1 opuesto por el vértice al opuesto por el vértice al 3 5 opuesto por el vértice al opuesto por el vértice al

18 Def.- NGULOS ORRESPONDIENTES.- Son los que coinciden por traslación paralela.- Si trasladamos la recta R 2 por la Transversal de manera que coincida con R 1, el punto queda sobre el punto, entonces: Los ángulos correspondientes son de la misma medida.- 5 queda sobre el 1 6 queda sobre el 2 7 queda sobre el 3 8 queda sobre el 4 Def.- NGULOS LTERNOS INTERNOS.- Son los que están dentro de la cinta y a distinto lado de la transversal.- 3 es alterno interno con 6 4 es alterno interno con Son iguales entre si porque: 6 = 2 (correspondientes) = 2 ( op. Por el vértice = 3 ( 2 cantidades iguales a una tercera, son iguales entre sí) T Def.- NGULOS LTERNOS EXTERNOS.- Son los que están fuera de la cinta y a distinto 1 2 lado de la transversal Son lternos Externos: 1 con con Son iguales entre sí.- 18

19 Def.- NGULOS INTERNOS DEL MISMO LDO.- Son los que están dentro de la cinta y al mismo lado de la transversal Son Internos del mismo lado: con 5 4 con 6 Son suplementarios porque: = (suplementarios) = 1 ( correspondientes ) T = ( cantidades iguales pueden reemplazarse una por otra ) Def.- NGULOS EXTERNOS DEL MISMO LDO.- Son los que están fuera de la cinta y al mismo lado de la transversal.- Son Externos del mismo lado con con Son suplementarios Def.- NGULOS ONTRRIOS O ONJUGDOS.- Son los que están uno dentro y otro fuera de la cinta y a distinto lado de la transversal Son ontrarios o onjugados: 1 con con con 8 4 con 7 Son ángulos suplementarios. 19

20 Def.- NGULOS DE L MISM NTURLEZ.- Los ángulos que tienen sus lados respectivamente // son de igual medida si son de igual naturaleza.- L 3 H) L 1 // L 2 ; L 3 // L 4 L 4 L 1 L 2 T) son de igual medida.- D) med = med (correspondientes entre // ) med = med ( correspondientes entre // ) med = med ( Transitividad ) EJERIIOS ON RETS // ORTDS POR TRNSVERSL.- En cada figura siguiente, encontrar x e y.- 1) L 1 // L 2 2) L 1 // L 2 // L 3 L 1 L 1 x y x L L 2 L 3 y 20

21 3) L 1 // L 2 4) L 1 // / L 2 ; L 3 / // L 4 L 1 x L 3 L 4 y L 1 y L 2 x ) L 1 // L 2 ; L 3 // L 4 6) L 1 // L 2 x L 3 L 4 y L 1 L = = L 2 x y 65 0 L 2 PITULO IV.- EL TRINGULO Def.- Es un polígono formado por la unión de tres segmentos de recta.- b a c 21

22 Elementos del triángulo.- Lados: a, b, c. Ángulos:,,. RE La amarilla es la Región Interior del triángulo.- El triángulo mismo es la Frontera separadora La verde es la Región Exterior del triángulo.- entre las dos regiones.- LSIFIIÓN DE LOS TRINGULOS SEGÚN SUS NGULOS. Def.- TRINGULO UTÁNGULO es el que tiene sus 3 ángulos agudos.- 22

23 Def.- TRINGULO RETÁNGULO es el que tiene 1 ángulo recto y dos agudos Def.- TRINGULO OTUSNGULO Es el que tiene 1 ángulo obtuso y dos agudos LSIFIION DE LOS TRINGULOS SEGÚN SUS LDOS.- Def.- TRINGULO EQUILTERO es el que tiene sus 3 lados de la misma medida. También sus interiores son de igual medida y c/u mide b a c 23

24 Def.- TRINGULO ISOSELES es el que tiene dos lados de igual medida y sus ángulos básales también son de igual medida.- a b c SE Def.- TRINGULO ESLENO es el que tiene sus tres lados de distinta medida como también sus ángulos.- Teorema.- Es una verdad que necesita ser demostrada.- onsta de 3 partes (Hipótesis, Tesis y Demostración).- La Hipótesis son los datos, es decir, lo que conocemos mediante el enunciado del teorema.- La Tesis es la que dice que es lo que vamos a demostrar.- La Demostración es un razonamiento basado en definiciones, axiomas y teoremas anteriormente aprendidos, que nos permiten llegar a una conclusión.- xioma.- Es una verdad evidente por si misma. omo por ejemplo, la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.- Un xioma no necesita demostración. Veremos a continuación ejemplos de teoremas que atañen a los triángulos.- 24

25 Teorema: L SUM DE LOS 3 NGULOS INTERIORES DE TODO TRIÁNGULO ES Dibujamos un cualquiera y por, trazamos la // a R H) triángulo cualquiera. R // T) + + = = ( Suplementarios ) Pero = ( alt. internos entre // ) y = ( alt. internos entre // ) + + = Teorema.- EL NGULO EXTERIOR DEL VERTIE, ES IGUL L SUM DE LOS ÁNGULOS INTERIORES NO DYENTES EL.- Se dibuja un cualquiera y por, se traza una // a R 25

26 H) cualquiera.- R //. T) = + D) = ( correspondientes entre //) = ( alt. internos entre //) + = = + Ejercicios.- Medidas de ángulos en polígonos convexos. Triángulos Isósceles, Triángulos equiláteros.- 1) Isósceles ase = = = 55 0 = 2) Sea equilátero y D bisectriz del.- = = D = = = = 26

27 = 1) = El es equilátero y D es altura. 2) = = = = D = = 75 0 El es isósceles de base, E es E isectriz del D = = = = = = = L 1 // L 2 = 65 0 = 85 0 x = L 1 x 3) 5) = 4) El de la figura es equilátero y F y F son bisectrices de los E y. F x D w y E x = y = z = w = x + y + z + w = equilátero 6) M // x = z L 2 x 27

28 alcular x en: 1) alcular x en: 2) x 60 0 x x x 54 0 O alcular x en: 3) alcular x y en: 4) y x x Si es congruente con, calcular 5), En la figura, los 3 son equiláteros. 7) alcular x Y Si congruente con calcular 6) x, y z. Z X Y DE equilátero; cong. con 8) alcular x y. x y E 70 0 x y D 28

29 PITULO V TRNSVERSLES DEL TRIÁNGULO LTURS.- Def.- ltura es la perpendicular bajada P desde un punto a una recta. R lturas en un triángulo.- Perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto.- lturas en un triángulo acutángulo.- h c h a h b En un triángulo acutángulo las tres alturas se intersectan en un solo punto dentro del. lturas en un triángulo rectángulo.- En un triángulo rectángulo las tres alturas se intersectan en un solo punto en el vértice del recto- h b =b h c h a = a c 29

30 lturas en un triángulo obtusángulo.- h a h b a h c b En un triángulo obtusángulo, si prolongamos las alturas, se intersectan en un punto fuera del. Los puntos de intersección de las alturas de todo triángulo se llaman ORTOENTRO. ISETRIES.- Def: isectriz de un ángulo es el rayo que lo divide en 2 partes iguales. b bisectriz = Ro b b Es el radio de la inscrita 30

31 En todo triángulo, las 3 bisectrices se intersectan en un solo punto dentro del triángulo. Ese punto es el centro de una circunferencia tangente a los 3 lados, llamada ircunferencia Inscrita y el punto se llama INENTRO.- Simetral de un trazo: es la recta que lo divide en dos partes iguales.- SIMETRLES.- M R Simetrales de un triángulo acutángulo.- S b S a M 3 M 2 M 1 S c En un triángulo acutángulo, las 3 simetrales se intersectan en un solo punto dentro del.- 31

32 Simetrales de un triángulo rectángulo.- S a S b En un triángulo rectángulo, las 3 simetrales e intersectan sobre la hipotenusa.- S c Simetrales de un triángulo obtusángulo.- S b S a S c En un triángulo obtusángulo las 3 simetrales se intersectan en un punto fuera del.- El punto centro de la circunferencia exincrita se llama IRUNENTRO.- TOMDO DE: GEOMETRI SEUENIL Para la Educación ásica.segund EDIIÓN TULIZD.(6º a 8º básicos) M. Lucía riones P.-Profesora de Matemáticas.-Universidad de hile. 32