TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA

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1 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO a Pasa a radianes los siguientes ángulos: y 7 b) Pasa a grados los ángulos: 7 rad 6 y,5 rad 7 a) rad rad b) rad rad rad 8 8 8, 5 rad, 5 ' 7" EJERCICIO : Completa la tabla: rad rad 8 8 rad rad 8 6 Por tanto: rad 8, 5 rad, ' 7" ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA EJERCICIO : Si tg α y α es un ángulo que está en el primer cuadrante, calcula (sin hallar α) : a) tg 8 α b) tg 8 α c) tg 6 α d) tg 6 α tg tg8 tg tg6 a) tg 8 c) tg 6 b) tg d) tg EJERCICIO 4 : Si sen,5 y < < 9 halla sin calcular : a) sen 8 α b) cos 8 α 8 sen 5 8 cos a) sen, b) cos Necesitamos saber cuánto vale cos : sen cos, 5 cos, 5 cos cos, 8775 cos,94 (es positivo, pues 9 ) 8 cos 94 Por tanto: cos,

2 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen 5,77, cos 5,64 y tg 5,9, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora: a) cos b) tg c) cos d) sen cos8 5 cos5, tg5, 9 cos8 5 cos5, 64 sen6 5 sen5, 77 a) cos b) tg tg c) cos d) sen RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EJERCICIO 6 : En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 cm y uno de los catetos mide cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos. Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto: a b c b 5 44 b 5 b b 9 cm b Hallamos los ángulos: sen Bˆ sen Bˆ, Bˆ 5'" Â 9 Bˆ 5 7' 48" c 5 Por tanto: a cm; Â 5 7' 48";b 9 cm; Bˆ 6 5'";c 5 cm; Ĉ 9 EJERCICIO 7 : Para sujetar un mástil al suelo como indica la figura hemos necesitado metros de cable. Halla la altura del mástil y la distancia entre los puntos A y B. sen 6 sen 5 zsen zsen h z h z zsen 6 h zsen 5 h zsen 5 zsen 6 sen 5 z 5 6 sen 6 sen 5 5 sen 5 6 zsen 5 sen 5 z sen sen z, 98 m sen 6 sen 5 sen 5 sen 6 h z sen 6, 45 m La altura del mástil es de,45 m sen 6 sen 5 Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar e y: h h, 45 tg 6 y, 99 m y tg 6 tg 6 h h, 45 tg 5 4, 9 m tg 5 tg 5 Por tanto, la distancia entre A y B es de y 4,9,99 6,9 m.

3 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato EJERCICIO 8 : Raquel ve el punto más alto de una antena bajo un ángulo de 55. Alejándose 7 metros en línea recta, el ángulo es de 4. Cuál es la altura de la antena? tg 55 tg 4 tg h h 7 tg 55 h tg 55 7tg 4 tg 55 tg 4 7tg 4 7tg 4 h tg 55 tg tg 4 9, 97 m tg 55 tg 4 55 tg 4 7 tg 4 tg 7tg 4 tg 55 h tg 55 4, 4 m La altura de la antena es de 4,4 metros. tg 55 tg 4 EJERCICIO 9 : Las diagonales de un rombo miden y 4 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos. Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: 7 5 l l 74 l 8, 6 cm 5 Hallamos los ángulos: tg   5 '6" Bˆ 9  54 7' 44" 7 ˆ A 7 4' " Los ángulos del rombo miden: ˆ B 8 55' 9" RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA EJERCICIO : En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 5 km, son recibidas señales que manda un barco, B. Si consideramos el triángulo de vértices A, B y C, el ángulo en A es de 65 y el ángulo en C es de 8. A qué distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio? Solución Hallamos el ángulo Bˆ : Bˆ 8  Ĉ 5 Hallamos los valores de a y c aplicando el teorema de los senos: a sen 65 5 sen 5 5sen 65 a sen 5 79 c 5 5sen 8 c 85, 85 km sen8 sen 5 sen 5 Por tanto, el barco está a 79 km de la estación C y a 85,85 km de la estación A. km Los metros de valla necesarios serían: a b c 5,49 55,49 m

4 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 4 EJERCICIO : Resuelve este triángulo, es decir, halla sus lados y sus ángulos: Hallamos el lado c con el teorema del coseno: c a b ab cosĉ c 9, 5 4 9, 5 4 cos 5 c 57, 4 c 7, 58 cm c 9, , 85 Como conocemos los tres lados, la solución es única. Hallamos el ángulo A ˆ: a c 9, 5 7, 58 9, 5sen 5 sen  sen Â, 96  7 45' 4" sen  senĉ sen  sen 5 7, 58 Bˆ 8  Ĉ 56 4'6" Por tanto: a 9,5 cm;  7 45' 4"; b 4 cm; Bˆ 56 4'6"; c 7,58 cm; Ĉ 5 EJERCICIO : Halla los lados y los ángulos de este triángulo: Hallamos el ángulo Bˆ con el teorema de a b 5 8 sen  sen Bˆ sen8 sen Bˆ los senos : 8sen8 sen Bˆ, 57 Bˆ 8' 46" 5 (Como A ˆ es obtuso, Bˆ y Cˆ han de ser agudos, solo hay una relación). Hallamos el ángulo Cˆ: Ĉ 8  Bˆ 4 '4 " c a c 5 Calculamos el lado c: senĉ sen  sen4 '4" sen8 Por tanto: a 5 m;  8 ;b 8 m; Bˆ 8' 46"; c, 46 m; c, 46 m Ĉ 4 '4" EJERCICIO : Calcula los lados y los ángulos del siguiente triángulo: Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de los otros dos, eiste solución única. Hallamos los ángulos A y B con el teorema del coseno: a b c bc cos  5, 84, 5 6 4cos  4 cos A, 5 6 5, 84 4 cos Â, 59 cos Â, 85  94 54'" b a c ac cos Bˆ, 5 5, , 4cos Bˆ 86, 4cos Bˆ 5, 84 6, 5 cos Bˆ, 875 ˆ B 8 58' 7" C ˆ 8 Por tanto: a 7, ˆ ˆ A B 56 7' 4" cm;  94 54'";b,5 cm; Bˆ 8 58'7";c 6 cm; Ĉ 56 7' 4" EJERCICIO 4 : Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando un ángulo de. Al cabo de horas, el primer barco está a 4 km del punto inicial y el segundo barco, a 5 km de dicho punto. En ese mismo instante, a qué distancia se encuentra un barco del otro?

5 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 5 Hallamos la distancia,, aplicando el teorema del coseno: cos 569, , 8 7, km Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 7, km. EJERCICIO 5 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia de A a B es de metros, el ángulo correspondiente a B es de 5, y el ángulo en A es de 75. Cuál es la distancia entre B y C? Y entre A y C? Hallamos el ángulo Ĉ : Ĉ 8  Bˆ 55 Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos: a sen75 sen 55 sen 75 a sen55 7, 9 b sen 5 b 9, 5 m sen5 sen 55 sen 55 Por tanto, la distancia entre B y C es de 7,9 m y la distancia entre A y C es de 9,5 m. EJERCICIO 6 : Resuelve el siguiente triángulo, es decir, halla el valor de sus lados y de sus ángulos: Hallamos el ángulo Bˆ con el teorema de los senos: a b 6 sen  sen Bˆ sen5 sen Bˆ sen Bˆ (Como 6  sen5 es obtuso,, 58 Bˆ y Ĉ Bˆ 5 5'9" han de ser agudos; Hallamos el ángulo de Ĉ: Ĉ 8  Bˆ 9 4' 5" m solo hay una solución). c a c Calculamos el lado c: senĉ sen  sen9 4'5" sen5 Por tanto: a m;  5 ;b 6 m; Bˆ 5 5'9";c 6,6 m; Ĉ 9 c 6, 6 m 4'5" EJERCICIO 7 : Sara y Manolo quieren saber a qué distancia se encuentra un castillo que está en la orilla opuesta de un río. Se colocan a metros de distancia el uno del otro y consideran el triángulo en cuyos vértices están cada uno de los dos, y el castillo. El ángulo correspon-diente al vértice en el que está Sara es de 5 y el ángulo del vértice en el que está Manolo es de 4. A qué distancia se encuentra Sara del castillo? Y Manolo? El ángulo Ĉ será: Ĉ Con el teorema de los senos hallamos los lados e y: sen4 sen5 sen4 sen5 48, 5 y sen 5 y 6, 9 m sen 5 sen5 sen5 Por tanto: Sara está a 48,5 m del castillo y Manolo, a 6,9 m. m

6 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 6 DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 8 : Demuestra que: cos sen cos a) b) cos cos sen cos cos sen c) sen y sen y sen sen y d) sen cos cos sen cos sen sen sen e) cos tg cos cos sen cos sen sen cos sen cos sen a) sen cos sen cos cos sen cos sen cos cos cos cos sen cos b) cos cos cos cos cos c) sen y sen y sen cos y cos sen y sen cos y cos sen y sen cos y cos sen y sen cos y cos sen y sen sen y cos sen y sen sen sen y sen sen y sen sen sen y sen y sen sen y sen sen y d) cos cos sen cos sen cos cos sen cos sen cos sen sen cos sen cos cos sen cos sen cos cos cos sen cos sen cos sen cos sen cos sen sen sen sen sen sen cos sen sen cos sen e) tg cos sen cos sen cos sen cos cos cos sen sen cos sen sen cos cos cos cos cos cos sen cos RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO 9 : Resuelve: a) 45 sen 45 sen b) sen cos c) cos sen sen d) cos cos cos sen e) 4cos cos f) sen cos cos sen sen 45 sen 45 sen cos 45 cos sen 45 sen cos45 cos sen 45 a) sen cos 45 sen sen sen 45 6 k donde k Z 5 6 k sen cos b) sen cos cos cos sen

7 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 7 cos sen 9 6k 7 6k 6 k sen 6 k donde k Z c) cos sen sen cos sen cos sen sen cos sen cos 6 k 8 6 k cos cos 6 k Por tanto, las soluciones son: 8 6 k cos cos 45 6 k 5 6 k donde k Z. d) cos cos cos sen cos cos sen 45 6 k 5 6 k 5 6 k 5 6 k 5 6 k 5 6 k cos cos cos sen cos sen sen cos sen sen cos sen sen 9 6 k cos k sen sen sen sen k Por tanto las soluciones son: 7 6 k e) 4cos cos 4cos sen cos 4cos 4 cos cos 4cos 4 4cos k siendo k Z (no vale) 4cos 4sen cos cos 8cos cos cos 6 5 cos 8 cos ' 4" 6 k 8 4' 56" 6 k 6 k siendo k Z f) sen cos cos sen sen cos cos sen cos sen sen cos cos sen cos sen sen cos cos sen cos sen cos cos sen cos cos cos sen cos sen 9 6 k 7 6 k sen 6 k 5 6 k REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS siendo k Z EJERCICIO a Representa la siguiente función trigonométrica: y cos b Escribe la ecuación de la función cuya gráfica es la siguiente:

8 Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato 8 a Hacemos una tabla de valores: La gráfica sería: b La gráfica corresponde a la función y cos. EJERCICIO a Escribe la ecuación de la función correspondiente a esta gráfica: b Representa la siguiente función: y cos a La gráfica corresponde a la función y sen. b Hacemos una tabla de valores: La gráfica sería:

9 EJERCICIOS TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS I º BACH EJERCICIOS TRIGONOMETRÍA TEMAS 4 Y 5 CAMBIOS DE UNIDADES EJERCICIO : Epresa en radianes las medidas de los siguientes ángulos: a) 45º b) º c) 69º d) 47º EJERCICIO : Epresa en grados los siguientes ángulos: a) rad b),5 rad c) 7 rad d) 5 rad EJERCICIO : Calcular /4 rad +,5 rectos + 5º 4 epresándolo en radianes. OPERAR CON ÁNGULOS CONOCIDOS EJERCICIO 4 : Halla, sin utilizar la calculadora, el cuadrante y las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 5º b) 45º c) º d) 6º EJERCICIO 5 : Calcula, razonadamente, las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 5º b) 4º c).º d) 7º EJERCICIO 6 : Calcula los valores de las siguientes epresiones, sin calculadora: a).tag º + 5.tag 4º - cos 7º b) cos 6º + sen 5º + sen º + cos 4º EJERCICIO 7 : Calcular las razones trigonométricas de º. EJERCICIO 8 : Sabiendo que sen 5,4, cos 5,9 y tag 5,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora las principales razones trigonométricas de 55 y de 5. EJERCICIO 9 : Calcula las principales razones trigonométricas de y de, sabiendo que: sen 4,64; cos 4,77; tg 4 84 CAMBIO DE CUADRANTES EJERCICIO : Sabiendo que sec = -4 y < <, calcular: a) cosec (/ + ) b) sen (/ - ) c) tag(6º - ) EJERCICIO : Sabiendo que sen = / y / < < /. Calcular: a) cos (/ + ) b) tag ( - ) EJERCICIO : Sabiendo que cos = -/ y < <. Calcular, sin calculadora: a) cos (/ - ) b) tag ( + ) EJERCICIO : Sabiendo que cos 5º =,6. Calcular: a) cos 7º b) sen 4º c) tag 7º d) cotag º e) sec (-5º) EJERCICIO 4 : Sabiendo que tag = ½ y que < < /, calcular:

10 EJERCICIOS TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS I º BACH a) sen (/ + ) b) cos ( + ) c) tag (/ - ) d) sec (6º - ) EJERCICIO 5 : Sabiendo que cotag = - y que < <, calcular: a) cos(/ + ) b) sen ( + ) c) cotag (/ -) EJERCICIO 6 : Sabiendo que sen (/ + ) = -/. Calcular sen y cos ( pertenece al º cuadrante) sen( / ) cos( ) sen( ) EJERCICIO 7 : Hallar el valor de la epresión cos( ) sen( ) cot ag( / ).sen( / ) EJERCICIO 8 : Calcular el valor de la epresión:.tag( ) EJERCICIO 9 : Hallar el valor de : tag( ).cos( ) cot ag( ).cos( / ) FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO : Sea / < < tal que tg = /4 calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante de : a) sen (/) b) tg ( + /4) EJERCICIO : Si cos = -4/5 y el valor de cos (/) y sen () y Calcular, sin utilizar la calculadora, el cuadrante EJERCICIO : Conociendo sen = - /5 y sabiendo / /, calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante de: a) tag ( - /4) b) sen (/) EJERCICIO : Si cos = -5/ y < <.. Calcular, sin utilizar la calculadora, el valor y el cuadrante al que pertenecen los siguientes ángulos. a) sen(.) b) tag (/) EJERCICIO 4 : Si es un ángulo comprendido entre / y / y su seno vale /5. Calcular, sin utilizar la calculadora, el sen () y cos(/). Razona los signos. EJERCICIO 5: Si sen = -/5 9º 7º Calcular y razona en que cuadrante están: a) sen (/) b) cos () EJERCICIO 6 : Sabiendo que / < < / y sen = / a) Hallar el cuadrante y el resto de razones trigonométricas de b) Hallar el cuadrante y el valor del cos () c) Hallar el cuadrante y el valor del sen (/) a) Hallar el cuadrante y el valor de tag ( - /4) EJERCICIO 7 : Sabiendo que 9º < < 7º y sen = -/5, hallar, sin utilizar calculadora, el cuadrante y el valor de : a) sen () b) cos (/) c) ctg ( + 45º)

11 EJERCICIOS TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS I º BACH SIMPLIFICAR EJERCICIO 8 : Simplificar las siguientes epresiones trigonométricas sen.tag tag.sen.sec a) b) cos cos sen tag. sec. cos.cos c) sen sen DEMOSTRAR IDENTIDADES sec tag d) : sen cos sen cos EJERCICIO 9 : Comprobar si son ciertas las siguientes identidades trigonométricas: sen a) cos b) tag tag. cos tag cos c) cos + sen + tag = cos d) tag sen EJERCICIO : Demuestra las siguientes igualdades: sen cos a) tg sen y sen y sen sen cos sen c) cos 45 cos 45 cos d) sen 5cos cos sen sen cos 4 4cos e) cos sen f) cos sen sen sen ECUACIONES b) y EJERCICIO : Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica: a) tag tag = b) cos sen + = c) sen.cos 6sen = d) cos ( + º) = - e) sec - sen.tag = - f) sen + sec EJERCICIO : Resuelve las siguientes ecuaciones: a) cos sen b) sen cos c) sen cos d) sen sen sen e) 4cos sen f) cos sen g) sen 45 sen 45 h) cos cos i) cos cos 4 j) cos (6.) + cos (8.) = -.cos k) cos5 + cos =.cos4 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO : Representa gráficamente y estudia las propiedades de las siguientes funciones: a y cos b y sen + 5 4

12 EJERCICIOS TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA MATEMÁTICAS I º BACH 4 PROBLEMAS EJERCICIO 4 : Un barco, pide socorro recibiéndose la señal en dos estaciones A y B que distan entre sí 45 Km. Desde cada estación se miden los ángulos BAC = 44º 55 y ABC = 5º 6. A qué distancia se encuentra el barco de cada estación? EJERCICIO 5 : Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km, la de BC es de 9 Km, el ángulo que forman AB y BC es de º. Cuál es la distancia de A a C?. Calcular los otros dos ángulos. EJERCICIO 6 : Desde dos puntos situados en la misma orilla de un río y separados entre si m se observa un árbol situado en la otra orilla. La distancia del primer punto al pie del árbol es de 4 m y el ángulo que forma la visual del segundo punto con respecto al árbol es de 45º 7. Calcular la distancia del segundo punto al árbol y el ángulo que forma la visual del primer punto. EJERCICIO 7 : Resolver el siguiente triángulo: A = º, a = 4 m, b = 65 m. Calcular su área. ( Enuncia las resultados teóricos que utilices ). EJERCICIO 8 : Dos amigos parten de un mismo punto en dirección a dos ciudades situadas a y Km, respectivamente, del punto de partida. El ángulo que forman dichas carreteras es de 6º. En sus coches llevan un teléfono móvil que tiene un radio de alcance de 5 Kms. Podrán ponerse en contacto cuando lleguen a su destino?. Calcular los otros dos ángulos. EJERCICIO 9 : Dos asistentes a una conferencia se sitúan en las dos butacas etremas de una fila. Cada uno desde su posición, mide el ángulo que determinan el conferenciante y el otro asistente obteniéndose resultados de 7º y 4º. A qué distancia está cada uno de ellos del conferenciante?. A qué distancia se encuentran ambos del escenario?. Desde una butaca a la otra hay una distancia de m. EJERCICIO 4 : Una antena de telefonía móvil está sujeta al suelo con dos cables desde su punto más alto, y uno de los cables tiene doble longitud que el otro. Los puntos de sujeción de los cables al suelo están alineados con el pie de la antena, la distancia entre dichos anclajes es de 7 metros y el ángulo formado por los cables es de º. Calcula la longitud de cada uno de los cables y la altura de la antena de telefonía. EJERCICIO 4 : De un triángulo ABC sabemos que a = cm, b = 8 cm y A + B = º Cuánto valen A y B? EJERCICIO 4 : En un mapa de carreteras observamos los pueblos A, B, C y D como se indica en la figura. Por un error no aparece la distancia entre los pueblos A y D, pero si las distancias y ángulos que forman las carreteras que los unen. Calcula la distancia entre los pueblos A y D. EJERCICIO 4 : En una circunferencia de radio cm trazamos la cuerda AB de 8 cm. Si O es el centro de la circunferencia, halla el ángulo AOB. EJERCICIO 44 : Desde una carretera se ve el punto más alto de una montaña, y la visual de dicho punto forma un ángulo de 4º con la horizontal. La carretera avanza hacia la montaña en línea recta, y después de avanzar 5 Km, vemos que la visual con el pico y la horizontal forma un ángulo de 75º. Qué altura tiene la montaña?