longitud de C = 211: r

Transcripción

1 a En efecto: (m + n)2 = a 2 + b 2 = (h 2 + m 2 )+ ~ 2 + n 2 ) = 2h 2 + m 2 + n 2. Luego 2m n = 2h 2, Yasí m n = h 2. El númeo 11: (pi) Desde hace apoximadamente 4000 años, se notó que el númeo de veces que el diámeto de una cicunfeencia está contenido en la longitud de ella es siempe el mismo, cualquiea sea la cicunfeencia. Ese valo constante de la azón longitud de la cicunfeencia de adio 2 se epesenta po la leta giega 11:. Tal númeo 11: no es acional y su valo apoximado es G Se sigue de la elación anteio que si C es una cicunfeencia de adio, entonces longitud de C = 211: Medida de ángulos (no diigidos o no oientados) Los ángulos se miden en gados y en adianes. La medida en gados es bien conocida y po ello sólo nos efeiemos a la medida en adianes. Consideemos un ángulo a, como se muesta en la figua sigu iente. En dicha figua el aco AB, de la cicunfeencia de cento en O y adio, tiene longitud L. 67

2 Un hecho notable paa el ángulo a es que el cociente ~ es siempe el mismo, cualesquiea sean y su coespondiente L. Ese valo constante se diá la medida en adianes del ángulo a. Po tanto, si e es la medida en adianes del ángulo a, entonces ~ = e o bien L = e. Po ejemplo, de la figua siguiente se sigue que la medida en adianes de un ángulo de 90 0 es 2 n/ 4, es deci, n/ 2. I Análogamente, la medida en adianes de un ángulo de es n adianes y la de uno de seá 2 n adianes. Relación ente gados y adianes: gados adianes} 1 () 2n n 360 2n => x = --= x es deci, Jo equivale a n/ 180 adianes. De manea simi la, adianes 2n gados} 360 => x = 1(360) = 180 2n n x es deci, 1 adián equivale a 180/ n gados ( 180 gados::::: Sl8' ). n 68

3 Nótese que un adián es la medida del ángulo cuyo aco es igual al adio, pues e= 1=. En paticula se da la siguiente coespondencia: gados H adianes O H O 30 H n/6 45 H n/ 4 60 H n/ 3 90 H n/ H n 270 H 3n/ H 2n La medida de un ángulo a la denotaemos m(la) o simplemente m(a), ya sea que se mida en gados o en adianes. Conguencia de ángulos Dos ángulos L A Y LB se dicen conguentes, y se escibe LA:::: LB, si ellos tienen la misma medida. A continuación 6 esultados básicos. 1. Ángulos opuestos po el vétice son conguentes. En la figua 15 siguiente, se tiene que L A:::: LB y L C :::: L D. FIGURA. 15 ( L A Y LB son opuestos po el vétice, lo mismo que L C y L D) Esto es consecuencia de que, po ejemplo, m(l A) + m(l C) = n = m( LA)+ m(l D), luego m(lc) = m(ld), y así L C:::: L D. 2. Ángulos coespondientes son conguentes. En la figua 16 siguiente, en la cual L 1 11 L 2 ' se tiene que: 69

4 LA~L B; LE~LF Y Le~L O ; LG~LH D H ~ FIGURA 16 L (LA Y L B son coespondientes, al igual que LE y LF, Le y L O Y LG Y LH) Nota: Pecisamente, dos ectas L y L 2 son paalelas y se escibe L I 11 L 2 si son iguales o si siendo difeentes toda ecta secante (ecta que las ataviesa) foma con ellas ángulos coespondientes iguales. 3. Ángulos altenos intenos son conguentes. En la figua 16 anteio, se tiene que L e ~ altenos intenos, lo mismo que L F Y L G ) L B Y L F ~ L G (L e y L B son 4. Angulos altenos extenos son conguentes. En la figua 16 anteio, se tiene que A ~ altenos extenos, al igual que L E Y L H) L O Y L E ~ L H (L A Y L O son 5. Teoema del ángulo exteno: En la m(l a) = m(l A)+ m(le). figua 17 siguiente, se tiene que A FIGURA 17 B (La medida m(la), del ángulo exteio La, es igual a la suma de las medidas, m(la) y m (L e), de los ángulos inteioes no-adyacentes L A y Le). Pueba: considéese la figua 18 siguiente: 70

5 Como LA=:LP, entonces m(la)+m(lc)=m( L p)+m(lc), y como m(lp)+m(lc)= m(la), entonces m(la)+m(lc) = m(la). 6. En todo tiángulo ABC se tiene que m(la)+m(lb)+m(lc)=180, si cada una de las medidas es en gados, o medidas es en adianes. Pueba: Considéese de nuevo la figua 18 anteio: m(la)+ m(lb)+ m(lc)=, si cada una de las m(la)+m(lb)= 180 Y como m(la) = m(la)+ m(lc), entonces m(l A)+ m(lb)+ m(lc)= 180. Tiángulos semejantes Dos tiángulos ABC y EFG se dicen semejantes si es posible establece una coespondencia biunívoca ente sus vétices de modo que ángulos coespondientes sean conguentes y lados coespondientes sean popocionales. Po ejemplo, los tiángulos de la figua 19 siguiente son semejantes, ya que bajo la coespondencia: se tiene y LA=:LE, LB=: L F, LC=:LG IABI IBCI ICAI 1 IEFI =IFGI= IGE I = J3 G e J3~2 3 ~ A 1 B 60 F FIGURA