Jueves, 30 de abril. Ejemplo de recursión. Ejemplo de PD. Ejemplo de programación dinámica. Programación dinámica

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Adolfo Carrizo Ávila
hace 7 años
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1 .0 Jueves, 0 de abril Programación dinámica. Recursión. Principio de optimalidad. Entregas: material de clase. Programación dinámica Transforma un problema de optimización complejo en una secuencia problemas simples. Suele empezar por el final y es una técnica descendente. Puede calcular una amplia gama de problemas. Se basa en la recursion, y en el principio de optimalidad. Creado por Richard Bellman. Ejemplo de recursión Hay personas en una habitación. De cuántas maneras se pueden seleccionar? Asumamos que f(n,k) indica el nº de subgrupos de tamaño k de n personas. Queremos f(,) 0 El número de subgrupos que contienen es f(0,). f(0,0) f(,0) f(,0) f(,0) f(,0) f(,0) f(,0) f(,0) f(,0) f(n,k) = f(n-,k-) + f(n-, k) f(n,n)=f(n,0)= f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) 0 f(,) 0 f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) 0 f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) f(,) 0 f(,) f(,) f(,) f(,) El número de subgrupos que no contienen es f(0,). Ejemplo de programación dinámica Supongamos que hay 0 cerillas en una mesa, y la persona que toma la última gana. En cada turno, mi oponente o yo podemos escoger, ó cerillas. Si empiezo yo, cómo puedo estar seguro de ganar el juego? Ejemplo de PD Gano si hay, ó cerillas. Retrocediendo un paso, pierdo si hay cerillas. Retrocediendo otro paso, gano si hay, ó cerillas. Retrocediendo otro paso, pierdo si hay cerillas. (Debatir con el compañero). Conclusión. Pierdo si hay K cerillas. De lo contrario gano.

2 Determinación de la estrategia con PD n = nº de cerillas que quedan (n es el estado/etapa). f(n) = si puede provocar una victoria con n cerillas. f(n) = 0 de lo contrario f(n) = función de valor óptimo En cada estado/etapa puede adoptar una de estas tres decisiones: tomar, o cerillas. f() = f() = f() = (condiciones de contorno) La recursión: f(n) = si f(n-) = 0 o f(n-) = 0 o f(n-) = 0; f(n) = 0 de lo contrario. De modo equivalente, f(n) = min (f(n-), f(n-), f(n-)) Desarrollo de la recursión Ejemplo similar pero más difícil Supongamos que hay 0 cerillas en una mesa, y la persona que toma la última gana. En cada turno, mi oponente o yo mismo podemos quitar, ó cerillas. Si yo empiezo, cómo puedo estar seguro de ganar el juego? Determinación de la estrategia con PD n = nº de cerillas que quedan (n es el estado/etapa) g(n) = si puede provocar una victoria con n cerillas. g(n) = 0 de lo contrario g(n) = función de valor óptimo En cada estado/etapa puede adoptar una de estas tres decisiones: tomar, ó cerillas. g() = g() = g() = (condiciones de contorno) g() = 0; g() = g() =. ( por qué?) La recursión: g(n) = si g(n-) = 0 o g(n-) = 0 o g(n-) = 0; g(n) = 0 de lo contrario. Equivalentemente, g(n) = min (g(n-), g(n-), g(n-)) 0 Desarrollo de la recursión La misma tabla Quién ve la secuencia que indica las manos perdedoras?

3 Ejemplo de BH&M pág. coste = Un camino es una secuencia de cuadros de izda. a dcha., tal que cada cuadro sea adyacente al anterior. El coste del camino es la suma de los valores del camino. Resolución del problema del camino más corto con la recursión Para cada cuadro j, sea f(j) el camino más corto que empieza en j y termina en el lado derecho. Si j es el nodo más a la derecha, entonces f(j) es el coste de j. j es el estado/etapa f(j) es la función de valor óptimo. Cuál es el camino de coste min? Ejemplo de BH&M pág. Los cálculos sencillos Considere el nodo con coste. Llámelo nodo j. Es el estado/etapa El camino más corto que empieza en ese nodo tiene un coste de. So f(j) =. f(j) es fácil de calcular para los nodos más a la dcha. Para otros nodos, hay dos decisiones posibles: ir arriba y a la derecha o ir abajo y a la derecha. Cuál es el coste del nodo con el número? Pasemos a la segunda etapa Sea R (j) el nodo a la derecha superior de j. Sea R (j) el nodo a la derecha inferior de j. Entonces f(j) = c(j) + min [ f(r (j)), f(r (j)) ]. Calcule f(j) para los nodos en la segunda columna desde la derecha. Sea c(j) = coste del rectángulo j. Por qué? Pasemos a la tercera etapa Hacer con el compañero: calcular f(j) para los rectángulos restantes. Calcule f(j) para los nodos en la tercera columna desde la derecha.

4 Programación dinámica en general Desglosar un problema de decisión complejo en una secuencia de subproblemas de decisión más pequeños. Etapas: los problemas de decisión se resuelven por etapas. En la mayoría de los casos, éstas se pueden considerar tiempo. No toda PD tiene etapas El problema del camino más corto anterior tenía seis etapas. El problema de las cerillas no tenía etapas. Programación dinámica en general Estados: los subproblemas de decisión más pequeños se suelen expresar de modo muy compacto. La descripción de estos subproblemas acostumbra a denominarse estado. problema de las cerillas: estado es el nº de cerillas que quedan En cada estado-etapa, hay una o más decisiones. La recursión de la programación dinámica determina. la mejor decisión problema de las cerillas: cuántas cerillas hay que quitar ejemplo del camino más corto:ir a la derecha y arriba o ir hacia abajo y a la derecha. 0 Principio de optimidad Un conjunto de decisiones (una política) tiene la propiedad de que, si una decisión determinada es óptima, entonces todas las subsecuentes que dependen de esa decisión específica también deben ser óptimas. (Según el enunciado de Richard Bellman). Al margen del nodo j seleccionado, el camino a partir de j hasta el final es el camino más corto empezando desde j. Expansión de la capacidad óptima: Cuál es el modo menos costoso de construir? Año Demanda progresiva Coste por planta en millones de $ Coste de $ millones en el año en el que se construye una planta. Se pueden construir un máx. de /año. Recursión hacia adelante Empezar por la etapa y determinar los valores para etapas mayores con la recursión. En el ejemplo de las cerillas, determine f(n) desde f(k) para k < n. Recursión hacia atrás Condiciones de contorno: valores óptimos para estados en la última etapa. Determinar valores optimos para otras etapas con la recursión hacia atrás.

5 Determinación del estado/etapa Stage: año Y State: número de plantas f(j, Y) = coste óptimo de la capacidad de expansión comenzando con j plantas al final del año Y. Queremos calcular f(0, 00). Determinación del estado/etapa Trabaje con su compañero para determinar f(j, 00) para cada j. Puede utilizar los valores de f(j, 00). Una vez completado, calcule f(j, 00) para cada j. Luego calcule f(j, 00) para cada j. Qué es f(j, 00) para diferente j? Resumen de programación dinámica Etapas finales Recursión Principio de optimalidad estados, etapas y decisiones útil en una gran variedad de situaciones juegos camino más corto expansión de capacidad en la próxima clase se verán más casos 0 0 Se sigue la pista del nodo siguiente en el camino óptimo a la derecha. Calcular f(j) para los nodos en las restantes columnas.

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