Colegio Universitario Boston

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1 Función Lineal. Si f función polinomial de la forma o, donde y son constantes reales se considera una función lineal, en esta nos la pendiente o sea la inclinación que tendrá la gráfica de la función, y nos indica la intersección de la función con el eje de las. Se utiliza el término lineal puesto que la gráfica de f es una línea recta. Análisis de la monotonía según la pendiente. Si la pendiente es positiva es decir creciente. f x = 2 x+1 2, la función es estrictamente Si la pendiente es negativa es decir decreciente. f x = -3 x+2 2, la función es estrictamente

2 Si la pendiente es igual a cero es decir, f x = 1 2, la función es constante Dados dos puntos utilizando la siguiente fórmula:, podemos obtener el valor de la pendiente Para calcular el valor de la intersección con el eje, se aplica la fórmula: Ejemplo. 1. Determine la ecuación de la recta que contiene a los puntos. Realizamos el cálculo del valor de la pendiente. Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto anterior, y cualquiera de los puntos dados. Por lo tanto la ecuación de la recta es. 123

3 2. Determine la ecuación de la recta que contiene a los puntos. Realizamos el cálculo del valor de la pendiente. Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto anterior, y cualquiera de los puntos dados. Por lo tanto la ecuación de la recta es. Práctica Función lineal 143. La función dada por con es biyectiva constante estrictamente creciente estrictamente decreciente 144. Si es una función tal que y, entonces la función es identidad creciente constante decreciente 124

4 145. Si es una función lineal con y se cumple que es una,, entonces el criterio de es 146. La ecuación de la recta que pasa por los puntos corresponde a 147. El criterio de la función lineal a la que pertenecen los puntos es 148. La ecuación de una recta que contiene los puntos es 125

5 149. La ecuación de la recta que contiene al punto e interseca al eje y en corresponde a 150. Si es una función lineal con y entonces la función es el valor de es 151. La recta que interseca el eje y en y el eje x en es 152. Si es una función lineal tal que y, entonces el criterio de es 126

6 153. De acuerdo con los datos de la grafica de la función real f, Cuál es la pendiente de la recta? y g x 154. De acuerdo con los datos de la grafica, el criterio de la función g corresponde a y g x 155. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal, entonces la función se clasifica como: Identidad Creciente Constante Decreciente 156. Si es una función creciente entonces se cumple con certeza que k pertenece al conjunto 127

7 157. Considere la siguiente gráfica de la función lineal f. De acuerdo con los datos de la grafica de la función real f y I. El ámbito de f es R II. La gráfica de f interseca al eje y en 2, 0 III. f es estrictamente creciente -1 1 f 2 3 x De ellas, Cuáles son verdaderas? Solo la I y la II Solo la I y la III Solo la II y la III La I, la II y la III 158. El criterio de una función lineal f, a cuyo grafico pertenecen los puntos es 159. Si es una función tal que y entonces se cumple que: 128

8 160. Considere la siguiente gráfica de la función lineal f. f y 4 g m x h -2 De acuerdo con los datos de la grafica dada, de las funciones con certeza, estrictamente creciente?, Cuál es 161. Considere la siguiente gráfica de la función lineal. De acuerdo con los datos de la grafica dada, la pendiente de la recta de la función equivalente a y b 1 x a 129

9 162. Si pertenecen al grafico de una función lineal f, considere las siguientes proposiciones. I. f es estrictamente creciente. II. El ámbito de f es Cuáles de ellas son verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 163. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal, entonces la función se clasifica como: Identidad Creciente Constante Decreciente 164. Para que la función sea creciente se debe cumplir que: 165. Si y, Cuál es el valor de b? 130

10 166. Para que la función, sea decreciente se debe cumplir que: 167. Cuál es la ecuación de la recta a cuyo grafico pertenecen los puntos? 168. Si es una función tal que y entonces es: Identidad Creciente Decreciente Constante 169. Si Cuál es el valor de? 131

11 170. Cuál es el criterio de la función lineal descrita por la siguiente gráfica? y -4 2 x 171. Si es una función lineal y pertenecen a la función, entonces es Identidad Constante Decreciente Creciente 172. La ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene por pendiente a -3 es la siguiente: 173. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal, entonces la función se clasifica como: Identidad Creciente Constante Decreciente 132

12 174. Para que la función sea decreciente se debe cumplir que: 175. La ecuación de la recta que pasa por el punto y que tiene por pendiente a es la siguiente: 176. Si y, Cuál es el valor de b? Para que la función, sea creciente se debe cumplir que: 133

13 178. Cuál es la ecuación de la recta a cuyo grafico pertenecen los puntos? 179. Si Cuál es el valor de m? Intersecciones con los Ejes 1. Intersección con el eje y Para encontrar la intersección con el eje, debemos cambiar el término que tenga a la es decir la variable independiente por cero y despejar a, en la ecuación que nos queda. Por otro lado si la ecuación de la recta es de la forma tomar el par ordenado., bastara con Ejemplos. 1. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por. Iniciamos eliminando el término que aporta la variable independiente y resolvemos la ecuación que nos queda planteada. 134

14 Por lo tanto la intersección con el eje de las ordenado., viene dada por el par 2. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por. Notemos que la función dada es de la forma constante corresponde a -8. Por lo tanto la intersección con el eje de las ordenado., donde el valor de la, viene dada por el par Intersección con el eje x Para encontrar la intersección con el eje, debemos cambiar el término que tenga a la es decir la variable dependiente por cero y despejar a, en la ecuación que nos queda. Por otro lado si la ecuación de la recta es de la forma tomar el par ordenado., bastara con Ejemplos. 1. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por. Iniciamos eliminando el término que aporta la variable dependiente y resolvemos la ecuación que nos queda planteada. 135

15 Por lo tanto la intersección con el eje de las ordenado., viene dada por el par 2. Determine la intersección con el eje de las para la función dada por. Notemos que la función dada es de la forma, donde el valor de la constante corresponde a y el valor de la constante corresponde a. Entonces Por lo tanto la intersección con el eje de las ordenado., viene dada por el par Práctica Intersecciones La gráfica de la función dada por, interseca al eje en 181. Los puntos de intersección con los ejes de la recta dada por, son 136

16 182. Si la pendiente de una recta es y el punto, pertenece a ella, entonces dicha recta interseca al eje en el punto 183. La gráfica de la función dada por, interseca al eje x en el punto 184. Si la pendiente de una recta es y el punto, pertenece a ella, entonces dicha recta interseca al eje en el punto 137

17 185. El punto de intersección de la recta definida por con el eje corresponde a Rectas Paralelas y Perpendiculares Rectas paralelas Dos o más rectas que pertenezcan al mismo plano se consideran paralelas si y solo si sus pendientes poseen el mismo valor, gráficamente dos rectas paralelas nunca se intersecan. En otras palabras si es de la forma y es de la forma y entonces podemos afirmar que. El símbolo significa paralelo o paralela a. Ejemplo. 1. Determine si las rectas definidas por y son paralelas. Para determinar si las rectas son paralelas debemos conocer el valor respectivo de sus pendientes, por lo cual vamos a transformar las ecuaciones dadas a ecuaciones de la forma. a. Por lo que 138

18 b. Por lo que Entonces ambas rectas son paralelas pues Gráficamente podemos ver que ambas rectas no se intersecan. f x = 3 x+4 g x = 3 x Determine la ecuación de la recta que pasa por y que es paralela a la recta dada por Inicialmente determinemos el valor de la pendiente de la recta dada. 139

19 De lo anterior tenemos que la pendiente de la recta dada es, lo cual nos indica que la pendiente de la recta que buscamos también va a ser, pues como conocíamos inicialmente que ambas rectas son paralelas. Ahora averigüemos el valor de la intersección con el eje. Finalmente tenemos que la ecuación de la recta dada es. Rectas perpendiculares Dos rectas que pertenezcan al mismo plano se consideran perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a, gráficamente dos rectas perpendiculares se intersecan formando entre si un ángulo de. En otras palabras si es de la forma y es de la forma y entonces podemos afirmar que. Además, si tenemos la podemos encontrar la con la formula: Ejemplo. 1. Determine si las rectas definidas por y son perpendiculares. Para determinar si las rectas son perpendiculares debemos conocer el valor respectivo de sus pendientes, por lo cual vamos a transformar las ecuaciones dadas a ecuaciones de la forma. 140

20 a. Por lo que b. Por lo que Entonces ambas rectas son perpendiculares pues, veamos Gráficamente podemos ver que ambas rectas no se intersecan. f x = 4 x+2 g x = -x

21 2. Determine la ecuación de la recta que pasa por y que es perpendicular a la recta dada por Inicialmente determinemos el valor de la pendiente de la recta dada. De lo anterior tenemos que la pendiente de la recta dada es, lo cual nos indica que la pendiente de la recta que buscamos también va a ser como conocíamos inicialmente que ambas rectas son perpendiculares., pues Ahora averigüemos el valor de la intersección con el eje. Finalmente tenemos que la ecuación de la recta dada es Intersección entre dos Rectas Por conocimientos previos sabemos que la intersección de dos rectas es un punto, el cual obtenemos al calcular la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta solución corresponde a un par ordenado de la forma, el cual se puede encontrar por los métodos estudiados en la parte de algebra recordemos entre ellos; el de reducción, igualación, entre otros. 142

22 Ejemplo. 1. Determine el punto de intersección para las rectas dadas por y Resolveremos el sistema utilizando el método de reducción Tomemos el siguiente sistema Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema Por lo tanto y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuación del sistema obtenemos que el valor de es. Lo que nos indica que el punto de intersección de las rectas es Gráficamente tenemos: f x = 3 x-8 g x = 5 x A: A (3,00, 1,00)

23 Práctica Rectas Paralelas y Perpendiculares 186. Una recta paralela a la recta dada por corresponde a 187. La pendiente de una recta paralela con la ecuación es 188. La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por es La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por es

24 190. Si los puntos pertenecen a la recta l entonces la pendiente de una recta perpendicular a la l es 191. La ecuación de una recta que contiene el punto y es perpendicular a la recta dada por está dada por 192. Una ecuación de la recta a la que pertenece el punto y es perpendicular a la recta dada por es 193. La ecuación de una recta perpendicular a la recta y que contiene al punto es 145

25 194. Considere la siguiente gráfica. y 4 l 1 l x De acuerdo con los datos de la grafica dada, si l 1 ll l 2, entonces la pendiente de l 1 es 195. Considere la siguiente gráfica. y 4 l 1 2 x -3 l 2 De acuerdo con los datos de la grafica dada, si la recta l 2 esta dada por Cuál es el punto de intersección de las rectas? 146

26 196. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto, si la ecuación de una de las recta es entonces la ecuación de la otra recta es 197. Una ecuación de la recta que contiene el punto y es paralela a la recta es 198. El valor de para que la recta sea paralela a la recta es 199. Considere la siguiente gráfica adjunta, si entonces la ecuación que define a la recta es y l l 2 x

27 200. Las rectas definidas por y son paralelas entonces el valor de es igual a 201. Considere la siguiente gráfica, De acuerdo con los datos de la gráfica, la ecuación de una recta perpendicular a la recta es y l x 202. De acuerdo con los datos de la siguiente gráfica, Cuál es una ecuación que define a la recta l y l x 148

28 203. Analice las pendientes de las siguientes de rectas. I. II. III. De estas rectas cuales son perpendiculares a la recta? Todas Ningunas Solo la II y III Solo la I y II 204. Sean funciones lineales paralelas. Si entonces podemos afirmar que: 205. Si las funciones y representan rectas paralelas, entonces el valor de k es: 206. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto y que es paralela a la recta de que pasa por los puntos 149

29 207. De las rectas y se puede afirmar que: Son paralelas Son perpendiculares Son paralelas a la recta Son perpendiculares a la recta 208. Si Cuáles de ellas son perpendiculares? Ninguna 209. Para las funciones el valor de en la intersección de ambas es: En la siguiente figura están representadas las graficas de dos funciones lineales perpendiculares. El criterio f es: 150

30 211. Sean funciones lineales de paralelas. Si entonces podemos afirmar que: 212. Si las funciones representan rectas paralelas, entonces el valor de k es: 213. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto y que es paralela a la recta de que pasa por los puntos 214. Si Cuáles de ellas son perpendiculares? Ninguna 151

31 215. Dada la siguiente grafica. y x Cuál es la ecuación de la recta que interseca al eje y en? De las rectas y se puede afirmar que: Son paralelas Son perpendiculares Son paralelas a la recta Son perpendiculares a la recta 217. Halle la ecuación de la recta que pasa por (-1,5) y es perpendicular a la recta. + 7 = 0 3 x 2 y x 2 y + 13 = 0 2 x + 3 y + 17 = 0 152

32 218. Analice las pendientes de las siguientes de rectas. I. II. III. De estas rectas cuales son paralelas a la recta? Todas Ningunas Solo la II y III Solo la I y II 219. Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a, pasa por? 220. La recta que pasa por es perpendicular a la está representada por la ecuación: 221. Las rectas dadas por se intersecan en el punto: 153

33 222. Las rectas definidas por se intersecan en el punto: 223. Considere las siguientes ecuaciones, correspondientes a dos rectas. Cuál es el punto de intersección de esas rectas? Función Inversa Si es una función tal que define al dominio de la función y define al codominio de la función, y además se considera una función biyectiva, es decir donde el codominio y el ámbito son iguales y que además todo elemento del ámbito se relaciona únicamente con un elemento del dominio. Entonces se define a la inversa de como la función que relaciona los elementos de ámbito de con los elementos del dominio de. La inversa de una función se denota por,,. Si entonces. 154

34 Ejemplos. 1. Si es una función biyectiva, denota la función inversa de. Si entonces. f f 1 Por otra parte: Si Si Si entonces entonces entonces Por lo que el gráfico de una función y el de su inversa corresponden a y 2. Si es una función lineal biyectiva y son elementos de f entonces determine la ecuación de la inversa de. 155

35 Como nos indica el ejercicio los pares ordenados pertenecen al grafico de la función por lo que inicialmente los convertiremos a pares de la inversa. Realizamos el cálculo del valor de la pendiente. Ahora obtenemos el valor de b utilizando la pendiente obtenida en el punto anterior, y cualquiera de los puntos dados. Por lo tanto la ecuación de la inversa es. 3. Si es biyectiva tal que, entonces calcule el valor de. En este caso como podemos ver se nos da el criterio de la función para que calculemos la imagen la inversa. En este caso el elemento representa a una imagen de la función, por lo cual basta con igualar la ecuación de a. Por lo tanto. 4. Si es una función biyectiva tal que, entonces determine el criterio de la inversa. En este caso como podemos ver se nos da el criterio de la función para que calculemos el criterio de la inversa. Platearemos inicialmente la ecuación de la función de la siguiente forma: 156

36 Como sabemos la función inversa plantea una relación entre el ámbito por esto es válido intercambiar la variable dependiente con la independiente. Y finalmente despejamos la variable independiente. Por lo tanto el criterio de la inversa es. Práctica 224. Si los puntos pertenecen al grafico de la función lineal entonces la pendiente de corresponde a 225. Si es una función dada por, la pendiente de la gráfica de la función inversa de es 157

37 226. Si los puntos pertenecen al gráfico de la función lineal entonces el criterio de la función inversa de es 227. Si es una función biyectiva con dominio R, entonces el criterio de es 228. Si entonces la función inversa de corresponde a 229. Si es una función y entonces la función inversa de es 158

38 230. Si entonces la preimagen de en corresponde a 231. Si y es la inversa de entonces corresponde a 232. Si es una función dada por entonces corresponde a Si es una función dada por entonces es 159

39 234. De acuerdo con los datos de la grafica de la función inversa de, se puede afirmar que y 3 2 x f De acuerdo con los datos de la grafica de la función inversa de, Cuál es el criterio de la función inversa? y 4 f 2 x 236. Si los puntos pertenecen al grafico de la función entonces la pendiente de corresponde a: 237. Si es una función biyectiva tal que ; entonces es igual a: 160

40 238. Si es biyectiva, entonces la inversa de la función esta dad por: 239. Si la función f es biyectiva tal que, entonces es igual a: 240. Si los puntos pertenecen al grafico de f, entonces la pendiente de es : 241. Si entonces la pendiente de es igual a: 161

41 242. La inversa de la función dada por, corresponde a: 243. Si la función f es biyectiva tal que, entonces es igual a: 244. Si los puntos pertenecen al grafico de f, entonces la el criterio de es : 245. Si es una función lineal tal que y entonces el criterio de es: 162

42 246. La función inversa de está dada por: a 247. Si la función f es biyectiva tal que, entonces la grafica de es: y y 3 x x -3 y y 3 x x

43 248. Si, entonces la preimagen de en corresponde a: 249. Si, entonces la preimagen de en corresponde a: 250. Si los puntos y pertenecen al gráfico de una función lineal f entonces la pendiente de corresponde a: 251. Si los puntos pertenecen al gráfico de la función lineal f, entonces: 164

44 252. Si, entonces f 1 ( 1) es igual a: 253. Si f es una función lineal tal que, entonces: Función Cuadrática Si f función polinomial de la forma, con constantes reales y, se considera una función cuadrática. Se utiliza el término cuadrática pues la variable independiente de mayor exponente se encuentra elevada al cuadrado. Gráficamente una función cuadrática dibuja a una parábola. Al realizar el estudio de una función cuadrática debemos considerar sus diferentes características, las cuales analizaremos a continuación. Concavidad. Esta característica define la forma en que la grafica de la función abrirá, esta forma quedara establecida por el valor de la constante. Por lo cual si el valor de es positivo, la grafica de la función será cóncava hacia arriba es decir que abrirá hacia arriba y si el valor de es negativo la gráfica de la función será cóncava hacia abajo es decir que abrirá hacia abajo. 165

45 Veamos esto gráficamente. a. Si es positivo es decir. Como se puede observar en la gráfica la parábola abre hacia arriba. 6 f x = 2 x 2 +5 x b. Si es negativo es decir. Como se puede observar en la gráfica la parábola abre hacia abajo. 3 2 f x = -3 x 2 +5 x

46 Discriminante. Un valor indispensable en el estudio de la función cuadrática es el discriminante, pues con este valor podemos enterarnos en cuantas ocasiones interseca la grafica de la función al eje, además que forma parte en el cálculo de el vértice de la función valor que estudiaremos mas adelante, el discriminante se define por la fórmula: Intersección con los ejes. Ejemplos. 1. Intersección eje. Para realizar el cálculo de la intersección o las intersecciones de una función cuadrática con el eje, resolvemos la ecuación, donde el valor de las soluciones de la misma serán las intersecciones con el eje. Si analizamos el valor del discriminante tenemos que: a. Si la función intersecará al eje es dos ocasiones. b. Si la función intersecará al eje en una ocasión. c. Si la función no intersecará al eje. Identificamos los valores de las constantes Realizamos el cálculo del discriminante. Por lo tanto lo que nos indica que la función intersecará al eje en dos ocasiones. Las soluciones de la ecuación son y 167

47 Por lo que las Gráficamente se representa así: 6 4 f x = x 2 -x Identificamos los valores de las constantes Realizamos el cálculo del discriminante. Por lo tanto lo que nos indica que la función intersecará al eje en una ocasión. La solución de la ecuación es 1 Por lo que la 168

48 Gráficamente se representa así: 6 4 f x = x 2-2 x Identificamos los valores de las constantes Realizamos el cálculo del discriminante. Por lo tanto lo que nos indica que la función no intersecará al eje. Gráficamente se representa así: 6 f x = x

49 Intersección eje. Para conocer el par ordenado donde la función interseca al eje tomar., basta Ejemplos. 1. De aquí tenemos que, por lo que la intersección con es. 6 4 f x = x 2 -x Vértice. Se define al vértice como el par ordenado que representa al punto más bajo o al punto mas alto en la gráfica de la función cuadrática, este comportamiento del vértice quedara determinado por el valor de la constante. De aquí que si el valor de es un número positivo, es decir la gráfica de la función es cóncava hacia arriba, el vértice representa al punto mínimo de la función. Pero si es un número negativo lo que significa que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo, el vértice representa al punto máximo de la función. Para realizar el cálculo del vértice utilizamos la siguiente fórmula: 170

50 Ejemplos. 1. Determine las coordenadas del vértice de la función. Identificamos los valores de.,, Realizamos el cálculo del discriminante. Calculamos el valor de las coordenadas del vértice. Esto nos indica que es el punto mínimo de la función puesto que el valor de. Gráficamente se tendría que: 6 f x = x 2-4 x A: (2.01, -1.00) 171

51 Eje de simetría. Es la recta vertical definida por la coordenada del vértice, la cual nos divide la gráfica de la función en dos partes iguales y la cual obtenemos con la fórmula: Ejemplo. Para la función, determine el eje de simetría. Gráficamente se puede observar que partes iguales. divide a la grafica de la parábola en dos 6 f x = x x+3 4 x = A: (2.01, -1.00) Dominio. Recordemos que una función cuadrática es de tipo polinomial por lo que: 172

52 Intervalos de monotonía y ámbito. Para realizar el estudio de la monotonía y el ámbito, debemos dividir este estudio en dos casos. a. Si, es decir cóncava hacia arriba. La grafica de la función será creciente en el intervalo La grafica de la función será decreciente en el intervalo Ejemplo. El ámbito de la función será el intervalo Para la función, determine loa monotonía y el ámbito. Realizamos el calculo de las coordenadas x y y del vértice. y 6 f x = x x+3 4 x = A: (2.01, -1.00) 173

53 b. Si, es decir cóncava hacia abajo. La grafica de la función será creciente en el intervalo La grafica de la función será creciente en el intervalo El ámbito de la función será el intervalo Ejemplo. Para la función, determine loa monotonía y el ámbito. Realizamos el calculo de las coordenadas x y y del vértice. y 6 x = 3 f x = -x 2 +6 x+-5 4 h y = 3 A A: (3.02, 4.00) 174

54 Práctica 254. Si la gráfica dada corresponde a la función cuadrática, entonces se cumple que y y y y y f x 255. De acuerdo con los datos de la gráfica en la que se cumple que y y c y y y f x 256. De acuerdo con los datos de la gráfica en la que considere las siguientes proposiciones. I. II. III. y x f De ellas son Verdaderas. Solo la I y la II Solo la II y la III Solo la I y la III Solo la III 175

55 257. La gráfica de la función interseca al eje en los puntos 258. La gráfica de la función interseca al eje en los puntos 259. La gráfica de la función interseca al eje en 260. La gráfica de la función interseca al eje en 261. La gráfica de la función dada por No interseca al eje No interseca al Interseca al eje en dos puntos Interseca al eje en dos puntos 176

56 262. El eje de simetría de la función es la recta con ecuación 263. En la gráfica de la función dada por el vértice corresponde a 264. El Vértice de la función dada por es 265. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función f es estrictamente creciente es y f -1 1 x 177

57 266. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función es estrictamente decreciente es 6 y f -3 3 x 267. De acuerdo con los datos de la gráfica, es verdadero que la función es y Creciente en Creciente en Decreciente en Decreciente en -3 5 f 2 x 268. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función es estrictamente creciente es y f x 178

58 269. Para la función dada por considere las siguientes proposiciones. I. es creciente en el intervalo II. La gráfica de interseca al eje x en De ellas son Verdaderas. Solo la I Solo la II Ambas Ninguna 270. Un intervalo en donde la función dada por es decreciente en 271. Un intervalo en el cual la función dada por es estrictamente creciente es 179

59 272. Un intervalo en el que la función es decreciente corresponde a 273. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función f es y -1 2 f 1 x 274. Dada la gráfica de la función f podemos afirmar que el ámbito o rango de f es y 1 0 f x 180

60 275. El ámbito de la función con dominio corresponde a 276. Si, el ámbito de corresponde a 277. El ámbito de la función dada por corresponde a 278. Si f es una función dada por, entonces para todo, se cumple que 181

61 279. La función, con, es estrictamente decreciente para toda que pertenezca al conjunto: 280. El conjunto de todas las imágenes de la función es igual a: 281. El vértice de la parábola descrita por la función es el par ordenado: 282. La grafica de la función interseca al eje de las ordenadas en el punto: 182

62 283. Si es el punto mínimo de la grafica de una función cuadrática de en, entonces el ámbito de la función esta dado por: 284. La función, es estrictamente creciente para toda que pertenezca al siguiente conjunto: 285. La función, es estrictamente decreciente para toda que pertenezca al conjunto: 286. El ámbito de la función, es igual a: 183

63 287. El ámbito de la función es igual a: 288. El ámbito de la función es igual a: 289. La función es positiva para toda que pertenezca al conjunto: 290. Para la función f con, se cumple que para toda que pertenezca a: 184

64 291. El vértice de la función es el par ordenado: 292. El vértice de la función es el par ordenado: 293. El vértice de la parábola dada por la función, es el par ordenado: 294. Si es el vértice de la función, entonces cuál es el valor de? 185

65 295. El eje de simetría de la parábola dada por está dado por: 296. La gráfica de la función es cóncava hacia arriba e interseca al eje x en dos puntos; entonces se cumple que: 186

66 Soluciones. Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta 1 C 26 B 51 A 76 C 2 B 27 C 52 D 77 B 3 C 28 C 53 A 78 A 4 D 29 B 54 B 79 D 5 C 30 C 55 B 80 C 6 C 31 A 56 C 81 B 7 D 32 B 57 C 82 C 8 C 33 D 58 B 83 C 9 C 34 A 59 C 84 B 10 B 35 C 60 A 85 B 11 A 36 D 61 C 86 D 12 C 37 C 62 D 87 A 13 C 38 C 63 A 88 B 14 A 39 A 64 B 89 D 15 C 40 A 65 D 90 C 16 D 41 A 66 C 91 D 17 D 42 D 67 A 92 B 18 D 43 D 68 B 93 A 19 C 44 B 69 C 94 B 20 A 45 D 70 B 95 A 21 B 46 B 71 A 96 C 22 A 47 B 72 B 97 A 23 D 48 A 73 B 98 D 24 A 49 A 74 D 99 C 25 D 50 A 75 C 100 C 187

67 101 D 126 A 151 A 176 B 102 D 127 D 152 C 177 B 103 B 128 D 153 C 178 A 104 D 129 D 154 D 179 D 105 A 130 D 155 D 180 A 106 D 131 A 156 D 181 B 107 D 132 B 157 B 182 C 108 II 133 A 158 A 183 A 109 A 134 D 159 C 184 C 110 D 135 C 160 C 185 D 111 B 136 A 161 C 186 D 112 C 137 A 162 B 187 B 113 B 138 B 163 D 188 C 114 C 139 C 164 A 189 C 115 C 140 C 165 C 190 D 116 B 141 B 166 A 191 A 117 C 142 C 167 B 192 C 118 A 143 B 168 C 193 D 119 C 144 C 169 C 194 A 120 A 145 C 170 B 195 D 121 B 146 C 171 C 196 A 122 C 147 A 172 D 197 C 123 D 148 D 173 C 198 B 124 D 149 C 174 C 199 D 125 B 150 C 175 D 200 B 188

68 201 D 226 D 251 D 276 C 202 B 227 B 252 B 277 B 203 D 228 A 253 C 278 D 204 D 229 A 254 A 279 D 205 B 230 C 255 C 280 D 206 D 231 C 256 C 281 A 207 B 232 B 257 B 282 D 208 C 233 B 258 A 283 B 209 A 234 B 259 B 284 C 210 B 235 D 260 A 285 D 211 D 236 A 261 B 286 A 212 A 237 C 262 D 287 D 213 B 238 B 263 C 288 C 214 A 239 C 264 C 289 A 215 C 240 A 265 A 290 A 216 B 241 B 266 D 291 B 217 D 242 B 267 A 292 C 218 B 243 B 268 C 293 B 219 A 244 D 269 A 294 B 220 A 245 D 270 B 295 A 221 A 246 A 271 B 296 C 222 C 247 A 272 C A 248 D 273 A A 249 C 274 D C 250 C 275 B

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