APLICACIONES DE LA DERIVADA

Transcripción

1 APLICACIONES DE LA DERIVADA ANA COLO HERRERA HECTOR PATRITTI

2 PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS TECNOLÓGICOS DEL C.E.T.P. APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicis resuelts PROF. ANA COLO HERRERA PROF. HECTOR PATRITTI

3 DERECHOS RESERVADOS POR LOS AUTORES Esta publicación n puede ser reprducida en td en parte, ni archivada trasmitida pr ninún medi electrónic, mecánic, de rabación, de ftcpia, de micrfilmación en tra frma, sin el previ cncimient de ls autres. Publicación inscrita en la Bibliteca Nacinal el 5 de ener del 004 en el Libr N.9 cn el N. habiéndse realizad ls aprtes leales crrespndientes seún Art.7 de la ley N. 979 sbre derechs de autr. anacl@adinet.cm.uy Telefa: Mntevide -Uruuay hpatritti@yah.cm.ar

4 Aplicacines de la Derivada CONTENIDO Páinas Pról Areas, Perímetrs y Vlúmenes... 5 Fórmulas Trinmétricas Tabla de Derivadas Selección de definicines y teremas Capítul Intrducción Enunciads de ejercicis Reslucines de ejercicis Capítul Intrducción Enunciads de ejercicis Reslucines de ejercicis Apéndice Unidades y equivalencias... Ejercicis suerids... 7 Biblirafía... 9 Ana Cló Herrera Héctr Patritti

5 Aplicacines de la Derivada PROLOGO Ana Cló Herrera Héctr Patritti

6 Aplicacines de la Derivada Pról - AL ESTUDIANTE La presente publicación tiene pr bjetiv pner a tu dispsición una amplia serie de ejercicis, cn sus crrespndientes reslucines, relativs a la aplicación del cncept de Derivada a prblemas de las distintas disciplinas que invlucran ls Bachillerats Tecnlóics en sus diferentes rientacines. Partims de la base de que estás familiarizad cn ls cncepts teórics crrespndientes a Funcines de Variable Real que tu dcente del curs ha desarrllad respect al cncept de Derivada. Al cmienz de la publicación encntrarás un resumen de ls cncimients que deberás tener presentes para reslver ls prblemas prpuests así cm una tabla de derivadas. Al final de la publicación te suerims aquells ejercicis que entendems adecuads seún el Bachillerat que estás cursand, sin que ell sinifique naturalmente, que ls restantes carezcan de interés para tí. Esperams que si aún n l estás, lleues a cnvencerte de la imprtancia relevante que el cncept de Derivada tiene en la reslución de prblemas relativs a la tecnlía en sus distintas disciplinas. La publicación está dividida en ds Capítuls. El Capítul se refiere a la derivada cm índice matemátic que epresa la tasa de variación instantánea rapidez de variación instantánea de una función y cnsta de veinticuatr ejercicis. El Capítul está dedicad a prblemas de Optimización y cnsta de sesenta ejercicis. Ls enunciads de aluns de ests ejercicis crrespnden a cncids prblemas que seuramente encntrarás en distints tets de Matemática per que han sid mdificads y/ adaptads pr ls autres a ls curss de ls Bachillerats Tecnlóics. Otrs sn creación de ls autres. El enunciad del ejercici N. 54 crrespnde al ejercici N.8, páina 7 del libr Cálcul de James Stewart que ha sid incluíd pr cnsiderar que se trata de una interesante muestra de aplicación de ls cncepts que estams manejand Ana Cló Herrera Héctr Patritti

7 Aplicacines de la Derivada Pról - en una disciplina aparentemente alejada de la que tú has eleid Las reslucines de tds ls ejercicis prpuests en la publicación sn de eclusiva respnsabilidad de ls autres. Deseams hacerte una precisión respect de la ntación utilizada en la reslución de ls ejercicis. De las distintas ntacines que suelen utilizarse para la función derivada primera de una función f de variable real, a saber f, f,, hems adptad la ntación de Leibnitz que entendems la más adecuada pues eplicita claramente la variable respect de la cual se efectúa la derivación, hech este que en ls prblemas técnics es abslutamente relevante. será entnces la ntación para la función derivada primera. de la función f respect de la variable. ( ) será el valr de la función derivada primera en el punt. d f será la ntación para la función derivada seunda de la función f respect de la variable. f ( d ) será el valr de la función derivada seunda en el punt. Previ al Capítul encntrarás un resumen de fórmulas de perímetrs, áreas y vlúmenes, un resumen de fórmulas trinmétricas, y una tabla de derivadas. También una selección de definicines y teremas que has vist en el curs teóric y que deberás tener presentes para reslver ls ejercicis del Capítul. Si este material que pnems a tu dispsición resulta de utilidad en tu frmación matemática habrems alcanzad nuestr bjetiv. LOS AUTORES Ana Cló Herrera 4 Héctr Patritti

8 Aplicacines de la Derivada - Triánul Rectánul b Perímetrs, Areas y Vlúmenes a c p = a + b + c h A = a b b.h p =a + b A = a.b Heán L p = 6L a A = p.a Círcul Ln. Cfa.= πr R A = π R Sectr circular θ R A = Ln. Arc = Rθ R θ Esfera Cilindr Cn h h R R R A = 4πR A ttal = πr + πrh V= πr h V= 4 π R V=π R h Ana Cló Herrera 5 Héctr Patritti

9 Aplicacines de la Derivada TRIGONOMETRIA Unidades de medida de ánuls Grads Radianes 0 Equivalencia: = π rad. rad = m π Lnitud de un arc de circunferencia de radi R que subtiende un ánul central θ s = Rθ θ en radianes Valres de líneas trinmétricas de aluns ánuls especiales. θ Grads θ Radianes 0 π 6 π 4 π π π π π π sen θ cs θ t θ 0 / - 0 / 0 Anuls suplementaris θ + ϕ = π sen θ = sen (π θ) cs θ = - cs (π θ) t θ = - t (π θ) Anuls cmplementaris θ + ϕ = π Anuls puests sen θ = cs ( π - θ ) t θ = ct ( π - θ ) Sen (- θ) = - sen θ cs ( - θ ) = cs θ t (- θ ) = - t θ Ana Cló Herrera 6 Héctr Patritti

10 Aplicacines de la Derivada Anuls que difieren en π y en π sen ( θ+ π ) = cs θ cs ( θ+ π ) = - sen θ t ( θ+ π ) = - ct θ sen (θ+π ) = - sen θ cs (θ + π ) = - cs θ t (θ+π ) = t θ Terema del sen sena senb senc = = A a b c c Terema del csen b a = b + c b c cs A B a C b = a + c a c cs B c = a + b a b cs C Fórmula fundamental sen + cs = Fórmulas de suma y resta de ánuls sen ( + y ) = sen cs y + cs sen y sen ( y ) = sen cs y cs sen y cs ( + y ) = cs cs y sen sen y cs ( y ) = cs cs y + sen sen y t + ty t ( + y ) = t ty t ( y ) = t - ty + t ty Fórmulas del ánul dble sen = sen cs cs = cs sen t = t t Fórmulas del ánul mitad sen = cs cs = + cs Ana Cló Herrera 7 Héctr Patritti

11 Aplicacines de la Derivada TABLA DE DERIVADAS f() f() k 0 sen cs cs - sen s() 0 t + t m m m- Arcsen Arccs Arct sh + ch e e ch sh L th th L Arsh + S() 0 0 Arch a a La Arth - Ana Cló Herrera 8 Héctr Patritti

12 Aplicacines de la Derivada DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS (f)() d(f) (f)() d(f) () sen () cs. k. k cs () - sen. s(). t () ( + t ). m m m- Arcsen () Arccs () Arct () + sh () ch (). e e ch () sh (). L L th () ( th ) L h dh Arsh () h + a a.la. Arch () h h dh h L + Arth () h e e dh + h. Ana Cló Herrera 9 Héctr Patritti

13 Aplicacines de la Derivada Resumen - SELECCIÓN DE DEFINICIONES Y TEOREMAS Definición de función derivable en un punt. Una función f de variable real cn dmini D se dice derivable en un punt perteneciente a D si y sól si eiste y es finit, el siuiente límite: f lim h 0 ( + h) f ( ) h h R Al valr de dich límite se le llama derivada de la función f en el punt. Terema ) Derivada de suma de funcines H) Si f y sn funcines derivables en T) d ( f + ) ( ) ( ) = + ( ) Terema ) Derivada del prduct de funcines H) Si f y sn funcines derivables en T) ( f.) ( ) ( ) = () + f( ) ( ) d Terema ) Derivada del cciente de funcines H) Si f y sn funcines derivables en cn ( ) 0 f d T) ( ) = ( ). ( ) f ( ). ( ) ( ) Terema 4) Derivada de la función cmpuesta rela de la cadena H) Si es derivable en y f derivable en ( ) T) d ( f ) ( ) [ ( )] =. ( ) Ana Cló Herrera Héctr Patritti

14 Aplicacines de la Derivada Resumen - Definicines Función creciente en un punt Una función f es creciente en un punt si cumple: f() f ( ) f() f ( ) - E, (semientrn izquierd de centr δ y radi δ ) +,δ E (semientrn derech de centr y radi δ ) Función decreciente en un punt Una función f es decreciente en el punt si cumple: f() f( ) - E, δ f() f( ) E +,δ Máim y mínim relativs f( ) es máim relativ en de la función f si se cumple: f( ) f() E,δ f( ) es mínim relativ en de la función f si se cumple: f( ) f() E,δ Terema 5) Relación entre derivabilidad y cntinuidad H) Si una función f es derivable en el punt T) f es cntínua en el punt Sbre este terema recuerda que el recíprc n es válid, es decir, eisten funcines cntínuas en un punt per n derivables en él. Teremas que relacinan la derivada en un punt cn la variación de la función en él. Terema 6) H) ( ) 0 0 > T) f creciente en el punt Ana Cló Herrera Héctr Patritti

15 Aplicacines de la Derivada Resumen Terema 7) H) ( ) 0 0 < T) f decreciente en el punt 0 Terema 8) H) f presenta máim mínim relativ en 0 ( ) 0 T) ( 0 ) = 0 Respect de este terema debes tener presente que: r) El recíprc n es ciert. Puedes tener una función cn derivada nula en un punt 0 y la función n presentar en él un etrem relativ. La fi. () te muestra esa psibilidad. d.) Una función puede presentar etrem relativ en un punt y n ser derivable en él. La fi. () te ilustra un de ests cass para una función cntínua en 0 y la fiura () para una función discntínua en 0. f() f() f() fi. () fi. () fi. () Teremas que relacinan la derivada seunda de una función cn su cncavidad. d f Terema 9) H) () > 0 T) f presenta cncavidad psitiva en 0 d f Terema 0) H) () < 0 T) f presenta cncavidad neativa en 0 Ana Cló Herrera Héctr Patritti

16 Aplicacines de la Derivada Resumen Teremas relativs a intervals (a, b). Teremas que relacinan la derivada ra. cn la variación de la función. Terema ) H) > 0 (a, b) T) f creciente en (a,b) Terema ) H) < 0 (a, b) T) f decreciente en (a,b) Terema ) H) d f > 0 (a, b) T) f tiene cncavidad > 0 en (a,b) d f Terema 4) H) < 0 (a, b) T) f tiene cncavidad < 0 en (a,b) Ana Cló Herrera 4 Héctr Patritti