UNIDAD 7 Medidas de dispersión

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1 UNIDAD 7 Medidas de dispersión

2 UNIDAD 7 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Al calcular un promedio, por ejemplo la media aritmética no sabemos su representatividad para ese conjunto de datos. La información suministrada por ella es limitada y nada nos dice sobre la forma como están diseminados los datos con relación a la tendencia central. Si existe concentración de datos alrededor del promedio, nos indica una buena aplicación en su uso, por el contrario una gran dispersión está indicando poca representatividad, por lo tanto no será confiable. Las medidas de dispersión son las indicadas cuando queremos evaluar dos o más promedios. Las medidas de dispersión más conocidas y utilizadas son la varianza, la desviación típica o estándar. 7.1 VARIANZA ( ó ) La varianza se define como la media aritmética de los cuadrados de las diferencias entre los valores que toman la variable y su media aritmética. Se simboliza en la muestra y en la población. Datos sin agrupar: al trabajar con datos sin agrupar utilizamos: = = = = = =9,2 Datos agrupados: al trabajar con datos agrupados utilizamos: = = EJEMPLO 2. y ó Calcular la varianza para las siguientes distribuciones: x i n i n i x i ,7-4,7 0,2,2 10,2-19,0-19,00 2,00 26,2 10,2 190,120 90,200 0, ,812 10,062 Σ ,00 23,700 = = EJEMPLO 1. y ó = = = =14,7 = 23,7 20 =26,187 Con los siguientes datos, 3, 1, 6, 10 calcule la varianza

3 7.2 DESVIACIÓN TÍPICA ( ó ) La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, considerada siempre positiva. = y = ó La desviación típica, es la medida de dispersión más utilizada y de mayor utilidad, dado que las unidades son expresadas en la misma de la variable; mientras que, la varianza se expresan en las mismas unidades pero al cuadrado. EJEMPLO 3. Si la varianza es =26,187, la desviación típica es: = =26,187=, COEFICIENTE DE VARIACIÓN () Se utiliza para comparar la variabilidad entre dos series de datos. Es frecuente encontrar que dos series de datos no tienen las mismas unidades, por lo tanto no podrán compararse con sus varianzas, entonces el coeficiente de variación es un buen aplicativo = = 100 EJEMPLO 4. =,12 =14,7 = 100=,12 14,7 100=34,71% EJEMPLO. Para la media y la varianza de un conjunto se han hallado, respectivamente los valores 4 y 2 qué opinión merece la media aritmética? = 100= 4 100=12% Esta media aritmética no lo es suficientemente representativa de la distribución, debido a variabilidad tan alta. 7.4 PUNTAJE TÍPICO O ESTANDARIZADO (,) Es el estadígrafo de dispersión muy utilizado en la distribución normal y en el análisis de coeficiente de correlación, mide la desviación de una observación con respecto a la media aritmética en unidades de desviación típica, determinando la posición de una observación dada, dentro de un conjunto de observaciones. = = El puntaje típico sirve para comparar dos o más datos individuales, aunque pertenezcan a distribuciones diferentes, aún en casos en que la media y/o la varianza no coincidan. Se utiliza a Z cuando la muestra es mayor de 30 y t cuando es menor EJEMPLO 6. En un examen final de estadística la puntuación media de un grupo de 10 estudiantes fue de 78 y la varianza 64. En contabilidad general, sin embargo, la media final del grupo fue de 73 y la desviación 7,6. En que asignatura hubo mayor a. Dispersión absoluta b. Dispersión relativa c. Si un estudiante consiguió 7 en estadística y 71 en contabilidad general en qué asignatura fue su puntuación relativa superior? Medidas de dispersión 49

4 0 Solución a. Dispersión absoluta = = 64 7,76 8 7,6 En estadística hubo una mayor dispersión absoluta b. Dispersión relativa CV ,102 7,6 0, ,2% 10,41% En contabilidad general hubo una mayor dispersión relativa c. Puntuación relativa , ,26 7,6 En contabilidad general hubo una mayor puntuación relativa del estudiante En los problemas prácticos las distribuciones dejan de ser simétricas para convertirse en asimétricas positivas o negativas y las tres medidas media, median y moda no tienen igual valor. Así: ó é ó é 7.6 MEDIDAS DE APUNTAMIENTO (A P ) Kurtosis o estadígrafo de apuntamiento, mide el grado de agudeza en la cima de la curva que la representa. Esta agudeza que se observa en la región del modo, comparada con las condiciones halladas para el mismo sitio en la curva normal, es lo que se llama curtosis. Si la curva es plana con relación a la normal, se denomina platicurtica; si es más aguda se llama leptocurtica; si es igual a la normal se denomina mesocurtica. Mesocúrtica Leptocúrtica Platicúrtica 7. MEDIDAS DE ASIMETRÍA O DE DEFORMACIÓN Una distribución simétrica no tiene riesgo; si consideramos que la distribución es normal y tiene la forma de una campana, denominada de Gauss o normal, ya que el promedio se ubica en el centro de ella Carlos Merlano Blanco Estadística Descriptiva

5 7.7 TALLER DE COMPETENCIAS 7 1. Dados los números: 19, 2, 18, 24, 21, y 1 encuentre la varianza, la desviación típica, 2. Un examen presentado por 40 estudiantes se calificó de 1 a 0 los resultados fueron: a. Ordene los datos. b. Construya la tabla de frecuencias agrupadas c. Calcule la media, la mediana y la moda d. la varianza, la desviación típica, 3. Los salarios semanales (en miles de pesos) pagados a los empleados de la compañía La Tacaña ltda son como se muestra en la siguiente tabla: Construya una tabla de frecuencias acumuladas, empleando las técnicas estadísticas aprendidas para ello y encuentre las medidas de tendencia central y las medidas de desviación 4. El administrador de la tienda de ropa para niño El Agáchate registró el número de prendas vendidas en un día durante el último mes. Los resultados son: a. Construir un cuadro de frecuencias agrupadas, utilizando las reglas dadas anteriormente. b. En un mismo plano, dibuje el histograma y el polígono de frecuencia. Haga una interpretación del mismo c. En un mismo plano dibuje las ojivas. d. Determine la mediana, la moda y la mediana e. El cuartil 3, el decil 3, el percentil 70 f. Realizar el análisis estadísticos de acuerdo con la información del cuadro y las calculadas g. Calcule la varianza, la desviación típica,. En el departamento médico del colegio El descalabrado se mantiene un registro de las estaturas, en centímetro, de los estudiantes de los grados noveno y décimo. A continuación, se muestran estos datos. Noveno Décimo a. construir un cuadro de frecuencias agrupadas para cada uno de los grados, usándolos intervalos: 130 a 139, 140 a 149, etc. b. Construir los histogramas de frecuencias para cada uno de los grados Medidas de dispersión 1

6 2 c. En el mismo plano y usando colores diferentes para cada grado, construir los polígonos de frecuencias correspondientes. d. En el mismo plano y usando colores diferentes para cada grado, construir las ojivas correspondientes. e. De acuerdo con los polígonos, establecer las semejanzas y diferencias entre los estudiantes de grado décimo y noveno. f. Calcule para cada grupo la varianza, la desviación típica, coeficiente de variación relativo g. Utilizar las tablas de frecuencias, la media aritmética, la moda y las medidas de dispersión para establecer las semejanzas y diferencias entre los estudiantes de grado décimo y noveno. 6. Se preguntó a 32 niños, del mismo estrato, entre 4 y 9 años sobre las horas que dedican a ver televisión en un día hábil de la semana. Los resultados son: a. Construir una tabla de frecuencias agrupadas, utilizando las reglas dadas en esta sección. b. En un mismo plano, dibuje el histograma y el polígono de frecuencia. Haga una interpretación del mismo c. En un mismo plano dibuje las ojivas. d. Realizar el análisis estadísticos de acuerdo con la información del cuadro, las gráficas y la medidas de tendencia central y las medidas de dispersión 7. Determine la medidas de tendencia central y de dispersión con la información que se sumista Intervalo 27, 32, 32, 37, 37, 47, 47, 62, Frecuencia Los jornales por hora de los operarios de Industrias Manufactures el Mocho son: a. Elabore un cuadro de frecuencias agrupadas. b. Dibuje el histograma, el polígono de frecuencia y las ojivas. c. Determine las medidas de tendencia central d. Y la varianza, la desviación típica, 9. En la institución educativa El Machete se efectuó un estudio para analizar la capacidad intelectual; se trabajo con 40 alumnos que registraron las siguientes puntuaciones: a. Elabore un cuadro de frecuencias agrupadas. b. Dibuje el histograma, el polígono de frecuencia y las ojivas. c. Calcule las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión d. Realice los análisis correspondientes Carlos Merlano Blanco Estadística Descriptiva

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