Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 3: Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados por Clases

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1 Curso de Estadístca Udad de Meddas Descrptvas Leccó 3: Meddas de Tedeca Cetral para Datos Agrupados por Clases Creado por: Dra. Noemí L. Ruz Lmardo, EdD 2010 Derechos de Autor

2 Objetvos 1. Der el cocepto de Clase Modal y Clase Medaa. 2. Calcular las meddas de tedeca cetral para datos agrupados por clases. 3. Iterpretar los resultados obtedos e las meddas de tedeca cetral a la luz del cojuto de datos. 4. Realzar aálss estadístcos de tedeca cetral e u cojuto de datos agrupados por clases.

3 Itroduccó Meddas de Tedeca Cetral para Datos Agrupados por Clases Cuado los datos está agrupados por clases se aclta la mapulacó y presetacó de los datos y el aálss estadístco, prcpalmete cuado la catdad de datos es relatvamete grade. No obstate, orece la desvetaja de que se perde ormacó ya que o se puede determar cuáles uero los valores que uero recoplados orgalmete. Sólo se cooce los tervalos detro de los cuales está cludos los valores detro de las clases. Por ejemplo, s e ua clase cuyo tervalo es de 30 a 39, la recueca absoluta es 4, o se sabe co certeza cómo se dstrbuye esos 4 datos a lo largo de los valores compreddos e el tervalo. Para represetar los datos compreddos e u tervalo se utlza la Marca de Clase (Puto Medo de la clase). La marca de clase es el valor que represeta los datos que está cludos e cada clase. Se asume que la recueca de ua clase correspode a la marca de clase repetda tatas veces como establezca la recueca. Por esta razó, la mayoría de las órmulas de tedeca cetral que se utlza cuado los datos está agrupados e clases, multplca la recueca de la clase por la marca de clase. E esta leccó se dscutrá la maera de calcular las meddas de tedeca cetral cuado los datos está agrupados por clases. A. MEDIA O PROMEDIO ARITMÉTICO Ejemplo 1 U hosptal especalzado e codcoes del rñó realza u estudo co u grupo de pacetes. Desea probar los eectos de u uevo medcameto que alega ayuda a los pacetes a mejorar su codcó real. El expermeto cosste e admstrar el uevo medcameto y medr el tempo que tarda e ucoar e el rñó. Los resultados del estudo se muestra e la Tabla 1 a cotuacó.

4 Tabla 1- Catdad de segudos que el uevo medcameto tarda e ucoar e el rñó Segudos recueca Total 14 Para hallar la meda artmétca se utlza la órmula a cotuacó: x 1 x - Represeta la meda artmétca. - Es la catdad total de datos que haya e el cojuto. m -Represeta la marca de la clase. m ( m1 es la marca de la clase 1, m2 es la marca de la clase 2, hasta la marca de la últma clase). m que es (Recuerde que la marca de clase es el puto medo de la clase. Se determa sumado los dos límtes de la clase y dvdedo por 2). -Es la recueca co que se repte la marca de clase m -Sgca la multplcacó de la marca de clase m. m por su correspodete recueca.

5 -Este es el símbolo de sumatora y sgca que se suma la sere de valores que está dedos por el símbolo. E este caso, como comeza e 1 ( 1) y terma e, se suma los productos correspodetes, desde el valor m 1 1 hasta el valor m. Para poder aplcar la órmula de meda artmétca se ecesta añadr dos columas: la columa de las marcas de clases y la columa de la multplcacó de las marcas de clase por su recueca correspodete. Tabla 2- Catdad de segudos que el uevo medcameto tarda e ucoar e el rñó Segudos m m Total Ahora se puede susttur e la órmula: x 1 m x 1 m

6 La meda artmétca de este grupo es de aproxmadamete segudos. Esto sgca que el tempo promedo que el uevo medcameto tardó e ucoar e el rñó es aproxmadamete segudos. Ejemplo 2 U grupo de legsladores desea aprobar ua ueva ley que mplataría peas severas a los coductores que se ecuetre maejado vehículos de motor co veles equvaletes a 4 ozas o más de alcohol. Para poder tomar ua mejor decsó, desga u grupo de estadístcos para realzar u estudo. El estudo cosstó e admstrar 4 oz de alcohol a u grupo de 52 volutaros. Después de cosumr el alcohol, se les presetó u estímulo vsual y se regstró el tempo e segudos que tardaro e reaccoar ate el estímulo. Los resultados se preseta e la tabla a cotuacó. Determa el tempo promedo que tardó este grupo de persoas. Tabla 3- Segudos de reaccó ate estímulo después de cosumr 4 oz alcohol Segudos Total 52 Para determar el tempo promedo se ecesta añadr dos columas a la tabla ateror, como se lustra a cotuacó:

7 Tabla 4- Segudos de reaccó ate estímulo después de cosumr 4 oz alcohol Segudos m m Total Ahora se tee todos los valores que se ecesta para susttur e la órmula: x 1 m x 1 m La meda artmétca de este grupo es de aproxmadamete segudos. Esto sgca que el tempo promedo que los partcpates e el estudo tardaro e reaccoar al estímulo después de cosumr 4 oz de alcohol es aproxmadamete segudos. Ejemplo 3 U grupo de estudates de eermería estaba teresado e coocer cuál es la edad promedo de ua persoa dabétca. Realzó u estudo dode regstraro la edad de dsttos amlares que padecía de dabetes. Los resultados se preseta e la tabla a cotuacó. Determa la edad promedo de esta muestra.

8 Tabla 5: Edades de Persoas Dabétcas Edades Total 13 Para poder susttur e la órmula de meda artmétca, se ecesta añadr dos columas, segú se lustra a cotuacó: Tabla 6: Edades de Persoas Dabétcas m Total Edades m Ahora se puede susttur e la órmula: x 1 m x 1 m

9 La meda artmétca de este grupo es de aproxmadamete Esto sgca que la edad promedo de esta muestra de persoas dabétcas es aproxmadamete años. B. MODA Segú se explcó aterormete, cuado los datos está agrupados por clases o se tee acceso drecto a los datos crudos. Por lo tato, o tee setdo hablar de la moda. E este caso os reermos a la Clase Modal. La clase modal es la clase que más datos cotee, esto es, la clase que tee la recueca mayor. Es posble que la muestra o tega clase modal o que tega más de ua. Cuado los datos está agrupados por clases, a veces se utlza la marca de la clase modal para represetar la moda. Ejemplo 4 Ua muestra de 20 corredores partcpó e ua competeca y se regstró el total de mutos que corró cada uo. La Tabla 7 muestra los resultados. Determe la clase modal de esta muestra. Tabla 7- Tempo que correro e competeca Mutos Total 20 Observe que la recueca mayor es 4 y esta correspode a la tercera y la quta clase. Por lo tato, esta muestra tee dos clases modales (bmodal) la tercera y la quta clase. Estas clases correspode a los tervalos de y Las

10 marcas de clases de estas clases modales so: 18 y 28. Podemos decr també, que la moda de este grupo lo ue 18 y 28 mutos. Ejemplo 5 Cosdere los datos del Ejemplo 1 y determe la clase modal de esta muestra. Tabla 1- Catdad de segudos que el uevo medcameto tarda e ucoar e el rñó Segudos recueca Total 14 La recueca mayor es 5, por tato la clase modal es la cuarta clase, de 14 a 16 segudos. C. MEDIANA Para calcular la medaa cuado los datos está agrupados por clases es ecesaro repasar varos coceptos estudados aterormete, tales como, rotera, recueca absoluta y recueca acumulada. E la leccó sobre dstrbucoes de recuecas se presetó el cocepto rotera. La rotera es el valor comú a dos clases cotguas e ua dstrbucó de recuecas dode la varable es cuattatva cotua. Las roteras so los límtes reales etre las clases de la dstrbucó de recuecas. Las roteras se obtee restado 0.5 al límte eror de cada clase y sumado 0.5 al límte superor de cada clase.

11 E la leccó sobre dstrbucoes de recuecas se estudó també el cocepto recueca. La recueca de u dato se reere a la catdad de veces que se repte dcho dato e el cojuto de valores. E ua dstrbucó de recuecas se dca la recueca co que ocurre los datos detro de ua clase. Esta recueca se cooce també como recueca absoluta. Para dstgur la recueca de la recueca acumulada, a veces covee llamar a la recueca, recueca absoluta. La recueca acumulada es el total de recuecas que se va acumulado a través de las clases e ua dstrbucó de recuecas. E geeral, para determar la recueca acumulada de ua clase, se suma la recueca absoluta de esa clase a la recueca acumulada e la clase ateror. La recueca acumulada es la suma acumulatva de las recuecas absolutas de cada uo de los datos. La últma recueca acumulada es gual al total de datos. La Tabla 8 a cotuacó muestra u ejemplo de cada uo de estos coceptos aterores. Tabla 8: Ejemplo de Dstrbucó de Frecuecas Froteras Clases Frecuecas (absolutas) Frecuecas Acumuladas Totales 14 E la leccó 1 y 2 se estudó el cocepto medaa y cómo se calcula cuado se tee los datos crudos y cuado los datos está agrupados por valor smple. La medaa es el valor que dvde u grupo e dos partes guales. Es el valor que está localzado justo e el cetro de ua dstrbucó de datos. Para determar la medaa se ordea los datos e orma ascedete, o sea, de meor a mayor. Luego se determa la clase dóde se acumula el 50% de los datos. Esta será la clase dóde está localzada la medaa. A esta clase se le cooce como la Clase Medaa. Para calcular la medaa cuado los datos está agrupados por clases se aplca la sguete órmula:

12 Medaa F 2 a w F es la rotera eror de la clase medaa. a es la recueca acumulada de la clase ateror a la clase medaa. es la recueca absoluta de la clase medaa. es el total de datos e la muestra. w es el acho de clase o tervalo. A cotuacó se lustra u ejemplo de cómo se aplca esta órmula para calcular la medaa. Ejemplo 6 Cosdere los datos del Ejemplo 2. Determe la medaa de esta muestra. Tabla 3- Segudos de reaccó ate estímulo después de cosumr 4 oz alcohol Segudos Total 52 Para poder aplcar la órmula se ecesta añadr la columa de recuecas acumuladas. A cotuacó se lustra esta columa:

13 Tabla 9- Segudos de reaccó ate estímulo después de cosumr 4 oz alcohol Segudos Frecuecas Acumuladas Total 52 Ahora se ecesta determar cuál es la clase medaa, o sea dóde se localza la mtad de los datos. Esto se determa dvdedo el total de datos por 2: La clase medaa será aquella dode se acumula los prmeros 26 datos. E la tercera clase se había acumulado hasta 16 datos y e la cuarta clase se acumula 36 datos. Como se lustra a cotuacó, la clase medaa es la cuarta clase. Segudos Frecuecas Acumuladas Frotera de la clase medaa es Total 52 Frecueca acumulada de la clase ateror a la clase medaa (a) Clase medaa Frecueca absoluta de la clase medaa ()

14 Ahora que se cooce la clase medaa, se puede susttur e la órmula sguete: Medaa F 2 a w Medaa (2) La medaa de esta muestra es Se puede decr que 13.5 es el valor que queda e el cetro de este grupo. Ejemplo 7 Ua muestra de 20 corredores partcpó e ua competeca y se regstró el total de mutos que corró cada uo. La Tabla 10 muestra los resultados. Determe la medaa de esta muestra.

15 Tabla 10- Tempo que correro e competeca Mutos Total 20 Para hallar la medaa se ecesta añadr la columa de recuecas acumuladas Tabla 11- Tempo que correro e competeca Mutos Frecuecas Acumuladas Total 20 Ahora se ecesta determar cuál es la clase medaa, o sea dóde se localza la mtad de los datos. Esto se determa dvdedo el total de datos por 2:

16 La clase medaa será aquella dode se acumula los prmeros 10 datos. E la tercera clase se había acumulado hasta 6 datos y e la cuarta clase se acumula 11 datos. Por tato, la clase medaa es la cuarta clase. Mutos Frecuecas Acumuladas Frotera de la clase medaa es Total 20 Frecueca acumulada de la clase ateror a la clase medaa (a) Clase medaa Frecueca absoluta de la clase medaa () Ahora se puede susttur e la órmula: Medaa F 2 a w Medaa

17 (5) La medaa de este grupo es Este es el valor que está localzado e el cetro de la dstrbucó de datos e esta muestra. EJERCICIO 1 EJERCICIOS Cosdere los sguetes datos para hallar la meda, clase modal, y medaa. Iterprete los resultados. Tabla 12: Salaro Mesual por Famla e ua comudad Salaro Mesual MARCA DE FRECUENCIA e dólares CLASE TOTAL 10 EJERCICIO 2 Ua uversdad deseaba coocer cuál es el coecete telectual (IQ) de los estudates que gresa e prmer año. Seleccoó ua muestra de 108 estudates que gresaro a prmer año y le realzaro las pruebas pertetes para determar los coecetes telectuales (IQ) de estos estudates. Los resultados se dca e la tabla a cotuacó. Determe la meda, clase modal y medaa de esta muestra. Iterprete los resultados. Cuál es el valor más típco de este grupo?

18 Tabla 13: Coecete Itelectual de Estudates Prmer Año Coecete Frecueca Itelectual Cosdere el sguete cuestoaro: ASIGNACION ESPECIAL (OPCIONAL) CUAL ES EL VALOR DE SU AUTO? Co el propósto de realzar u estudo para la clase de estadístca, solcto su cooperacó para que dque co ua X el apartado que correspode al valor aproxmado actual de su automóvl. Puede utlzar el preco que usted cree podría veder su auto. [] Meos de $3000 [] $ $18000 [] $ $6000 [] $ $21000 [] $ $9000 [] $ $24000 [] $9001 $12000 [] $ $27000 [] $ $15000 [] $27001 ó más Permta que 30 persoas coteste el msmo. Agrupe sus datos por clase segú las alteratvas del propo cuestoaro. Costruya la dstrbucó de recuecas de esta muestra. Halle la Meda, Medaa y Moda.

19 RESPUESTAS A EJERCICIOS EJERCICIO 1 Meda = La Clase Modal es la seguda. Medaa = El salaro medo mesual de este grupo es de $1, El salaro mesual más recuete ue e el tervalo de $1,501 a $2, La mtad de la muestra teía u salaro mesual meor que $1, EJERCICIO 2 Meda = 113 La clase modal es la tercera. Medaa = El cocete telectual promedo de este grupo de estudates es 113. El cocete telectual más recuete está e el tervalo de 108 a 116. La mtad de la muestra teía u cocete telectual meor que E esta muestra, sedo la meda y la medaa valores muy cercaos, podría ser ambos el valor más típco del grupo. Además, ambos valores queda e el tervalo dedo por la clase modal. Por lo que també lo podría ser la marca de clase de la clase modal que es

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