Maestría en Administración. Medidas Descriptivas. Formulario e Interpretación. Dr. Francisco Javier Cruz Ariza
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- Rosa Palma Córdoba
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1 Maestría en Admnstracón Meddas Descrptvas Formularo e Interpretacón Dr. Francsco Javer Cruz Arza
2 A contnuacón mostramos el foco de atencón de las dstntas meddas que abordaremos en el presente manual. El objetvo es que nos vayamos famlarzando con el tpo de análss que cada una de ellas va hacendo a nuestros datos y el tpo de nformacón que aporta para nuestro estudo descrptvo. De forma secundara, mostramos la fórmula para determnarlas. Habrá que recordar que el objetvo del curso no se centra tanto en el cálculo numérco, sno más ben en el análss y su nterpretacón correspondente, motvo por el cual, nclumos una nterpretacón genérca de cada medda descrptva. Es necesaro que centres tu atencón en dchas nterpretacones y que muestres tus nquetudes en clase, ya que será crucal que los lleves estudados prevamente. Como su nombre lo ndca, estas meddas enfocan su análss a aquéllos datos que se acumulan en torno al centro de nuestra dstrbucón de frecuencas. Asumendo un comportamento normalzado de nuestros datos, podemos observar que, justamente, en el centro de nuestra dstrbucón de frecuencas, se conglomeran la mayor cantdad de datos, razón por la cual adqueren una sgnfcanca muy mportante, ya que nos aportarán datos contundentes acerca de la esenca de nuestros datos. Estas meddas son quzá las más mportantes, ya que representan parámetros que rápdamente nos ayudan a ubcar la generaldad de nuestros datos. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 1
3 Partendo de una dstrbucón normal, nos damos cuenta que los datos más representatvos se encuentran al centro de la dstrbucón. Como se puede aprecar, las frecuencas más altas (y por tanto, más representatvas), se encuentran justo al centro de la dstrbucón. Es quzá la medda descrptva más representatva y conocda por todo mundo, ya que su cálculo es muy sencllo, pues solamente se requere dvdr el total de los datos recabados de la varable, y dvdrlos entre el número total de datos: NO AGRUPADOS FÓRMULA AGRUPADOS INTERPRETACIÓN X x n X x n f Es el promedo artmétco de los datos observados Algunas de sus propedades, son las sguentes: Sugere el valor únco que tendrían los datos de la varable, s es que fueran smlares. En la Meda Artmétca, se asume que todos los datos tenen la msma mportanca o peso específco, por eso se obtene medante la suma de todos ellos y dvdendo esta cantdad entre el total de observacones. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA
4 S los datos de la varable no tuveran el msmo peso o mportanca, como por ejemplo al contemplar dferentes escenaros económcos (pesmsta, base actual y optmsta) con dstnta probabldad de ocurrenca, se tendrá que recurrr a un Promedo Ponderado. S los valores de la varable son muy extremos, el promedo puede tener poca o ncluso nula representatvdad. En consecuenca, para saber qué tan buen o mal referente es el promedo, forzosamente se tendrá que aprecar el valor de la desvacón estándar y del coefcente de varacón. S la varable de estudo es sumamente dnámca (esto es, que camba constantemente o actualza sus valores con certa regulardad), se tendrá que recurrr al cálculo de la Meda o Promedo Móvl. S ordenamos todos los datos que reunmos, partendo del menor al mayor, podremos conocer el valor de la Medana: Una vez obtendo este valor, podemos asumr que todos los datos menores o guales que la medana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la medana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. Un ntervalo medano será el ntervalo que contene dcho dato. NO AGRUPADOS n 1 ó n n Se usa la prmer fórmula para bases de datos con un número par de observacones. S el número es mpar, se empleará la segunda fórmula. FÓRMULA AGRUPADOS n C X ~ L ( ) f Donde: L = Límte Inferor de la Clase medana. C= Frecuencas acumuladas de la clase nmedata anteror a la clase medana. f = La frecuenca absoluta de la clase medana. NOTA: La clase medana aquella cuya frecuenca acumulada se encuentra muy cercana al 50% INTERPRETACIÓN El 50% de los datos se encuentra por abajo del valor de la medana y el restante 50% es gual o mayor. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 3
5 S el número total de datos es mpar, la Medana será el valor central. S el número de datos es par, será el valor de los dos datos centrales. El valor de la Medana no es afectada por valores extremos; es decr, muy grandes o muy pequeños. Cuando hablamos de dstrbucones asmétrcas es recomendable utlzar la medana debdo a que los casos extremos nfluyen menos y dstorsona la nformacón. Cuando son más smétrcas las dstrbucones más parecda serán la meda, la medana y la moda Es el valor que más veces se repte dentro de una dstrbucón de frecuencas. Cabe resaltar que su valor NO SIGNIFICA QUE LA MAYORÍA DE LOS DATOS TENGA ESTE VALOR, sno smplemente que exste un mayor número de datos con ese valor. FÓRMULA NO AGRUPADOS AGRUPADOS INTERPRETACIÓN Xˆ L Mo d1 d d 1 ( ) Dato con mayor Frecuenca Absoluta Donde: LMo = Límte real nferor de la clase modal. d1 = Frecuenca absoluta de la clase modal menos la frecuenca absoluta anteror a ésta (nmedatamente). d = Frecuenca absoluta de la clase modal menos la frecuenca absoluta de la clase nmedatamente después a ésta. = Ampltud del ntervalo de la clase modal. NOTA: La clase modal es la que tene la frecuenca más alta (mayor) Exste un mayor número de observacones cuyo valor es el de la Moda. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 4
6 Esta medda descrptva es quzá, la menos representatva, pues solo basta con que dos datos tengan el msmo valor, para que conformen una moda. Una dstrbucón de frecuencas puede no tener moda (s nngún dato se repte) o ncluso tender dos o más modas. Cuando todas las puntuacones de un grupo tenen la msma frecuenca, se dce que no tene moda. Cuando agrupamos los datos es una Tabla de Dstrbucón de Frecuencas, el ntervalo modal, es decr, el que tenga la frecuenca absoluta más alta, nos ndca que ese ntervalo de valores puede ser sgnfcatvo para su análss, pues varos datos se encuentran en él. Incluso es pertnente contemplar los ntervalos que están justo por delante y/o por detrás de dcho ntervalo, pues en ocasones se puede agrupar en esos ntervalos, a la mayoría de los datos de la dstrbucón. En las meddas de tendenca central nosotros descubrmos lo mportante que es conocer estos parámetros de referenca, ya que nos denotan los valores más representatvos de nuestra dstrbucón de frecuencas, y nos ayudan a ubcar la esenca de la msma. Sn embargo, es muy mportante consderar que los datos pueden estar lejos del centro, por lo cual es necesaro consderar las Meddas de Dspersón, msmas que nos permten: Saber qué tan alejados están los datos con respecto a sí msmos y al centro. Comparar varas muestras con promedos parecdos. Determnar qué tan confables son las meddas de tendenca central; entre más dspersos sean los datos, menos representatvas serán. Alejamento que exste entre los datos con respecto a sí msmos y al centro DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 5
7 Es la medda de dspersón más smple y quzá la menos representatva. Se obtene al restar los datos mayor y menor de la dstrbucón de frecuencas. Ignora la varacón o dspersón que exste entre los datos. Se ve muy nfluencado por los valores extremos. Es la medda generalmente más útl de la dspersón, y nos dce cuánto tenden a alejarse en promedo, cada uno de los datos con respecto al promedo general de la dstrbucón. Tambén srve para calcular los límtes normales dentro de los cuales se concentra el mayor porcentaje de las fluctuacones que pueden ocurrr en la aparcón de los resultados aleatoros de un juego de azar. El resultado que se obtene al calcular la Desvacón Estándar sempre está anteceddo por el sgno más / menos (±), que nos ndca que el resultado representa un ntervalo de desvacón cuyos límtes se encuentran por arrba y por debajo del valor de la Meda de la varable analzada. Mentras más pequeña sea la desvacón estándar, es más posble obtener un valor cercano a la meda, mentras mayor sea la desvacón estándar, es más probable obtener un valor alejado de la meda. Entre más pequeño sea el valor de la Desvacón Estándar, el Promedo tenderá a ser más representatvo. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 6
8 Para cualquer tpo de dstrbucón, excepto la Normal,, el teorema de Chebyshev asegura que al menos el 75% de los valores caen dentro de ± s ( desvacones estándar) a partr de la meda µ, y al menos el 89% de los valores caen dentro de ± 3s. La Regla Empírca de éste teorema se aplca en una dstrbucón normal (acampanada) y nos dce: 1. Cerca del 68.6% de los valores caerán dentro de 1 desvacón estándar más o menos respecto de la meda.. Cerca del 95.46% de los valores se encontrarán dentro de desvacones estándar postvas y negatvas respecto de la meda 3. Cerca del 99.73% de los valores se hallarán en un ntervalo que fluctúa entre 3 desvacones estándar arrba de la meda. DISTRIBUCIÓN NORMAL QUE NOS MUESTRA LOS INTERVALOS DE UNA, DOS Y TRES DESVIACIONES ESTÁNDAR ALREDEDOR DE LA MEDIA 99.7% 95% 68% X + 3s X + s X + s X X + s X + s X + 3s MEDIDA NO AGRUPADOS FÓRMULA AGRUPADOS INTERPRETACIÓN Desvacón Meda DM X n X DM X X n f Indca el desvío promedo en térmnos absolutos de todas las observacones con respecto al valor promedo. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 7
9 X X Varanza X X S n 1 S n f Indca el desvío promedo al cuadrado en térmnos relatvos de todas las observacones con respecto al valor promedo. Desvacón Estándar S X n 1 X X X S n f Indca el desvío promedo en térmnos cuadrátcos de todas las observacones con respecto al valor promedo. Para calcularla, se dvde la suma de las dstancas al cuadrado entre la meda y cada elemento de la muestra o poblacón. Posterormente se eleva cada uno de estos resultados al cuadrado, a efecto de obtener esta dstanca con valor postvo, ya que el sgno +úncamente ndca s la dferenca entre cada dato y el promedo se encuentra por arrba o por debajo de éste. Las undades de la varanza están elevadas al cuadrado (pesos al cuadrado, undades al cuadrado, etc.) lo que hace que no sean claras o fácles de nterpretar. Para efecto de nuestra clase, no consderaremos la nterpretacón de esta medda. Se obtene medante el cálculo del valor absoluto de la dferenca que exste entre cada uno de los datos con respecto a su promedo artmétco. Fnalmente, se suman dchos valores absolutos, y se dvde entre el número total de observacones, para obtener la dferenca promedo. La nterpretacón es déntca a la de la Desvacón Estándar, solo se debe especfcar que es el desvío promedo en térmnos absolutos. Esta medda nos proporcona una estmacón de la magntud de la desvacón estándar respecto de la magntud de la meda. Expresa a la Desvacón Estándar como un porcentaje de la meda. Es muy útl para comparar dos o más muestras o poblacones. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 8
10 Interpretacón: Coefcente de Varacón = Desvacón Estándar Meda artmétca A dferenca del resto de meddas de dspersón, este coefcente no tene una nterpretacón específca como tal, sn embargo, nos srve para poder defnr qué tan representatvo es el promedo de una muestra o poblacón, dependendo del tamaño de la desvacón estándar. Para facltar su nterpretacón, es mportante consderar la sguente tabla de referenca: INTERVALOS DE VALORES (%) QUE NOS INDICA CÓMO SE COMPORTA LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LA VARIABLE Valor del Interpretacón del Coefcente Coefcente de Varabldad o Dspersón de los Representatvdad del Promedo Varacón datos de la dstrbucón 0% al 19% Baja Muy buena 0% al 59% Moderada Moderadamente representatvo 60% al 89% Alta Baja 90% y superor Muy alta Muy malo Ejemplo: Supongamos que al calcular el Coefcente de Varacón del ngreso de los habtantes de un país, el resultado obtendo es 0.78 (78%). En este caso, podríamos afrmar que la dspersón o varabldad en los ngresos de los habtantes de ese país, es alta, lo cual mplca que hay dferencas más o menos mportantes entre las condcones de vda de todos ellos, por lo que el ngreso promedo de dcho país, tene una representatvdad baja del nvel de vda de ese país (ver 3er. rango de la tabla para relaconar los calfcatvos emtdos con respecto al valor del coefcente de varacón encontrado). DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 9
11 Las meddas de forma de una dstrbucón se pueden clasfcar en dos grandes grupos o bloques: meddas de asmetría y meddas de curtoss. En general, podemos decr que nos srven para determnar qué tan sesgados están los datos de nuestra dstrbucón de frecuencas (Coefcente de Asmetría), o ben el grado de homo o heterogenedad exstente entre los datos (Curtoss). La asmetría es la medda que ndca la smetría de la dstrbucón de una varable respecto a la meda artmétca. Los coefcentes de asmetría ndcan s hay el msmo número de elementos a zquerda y derecha de la meda. En una dstrbucón smétrca, como la normal, el 50% de los datos se encuentran dstrbudos del lado derecho de la curva, y el restante 50% se encuentra del lado zquerdo. Esto sgnfca que no hay sesgo en los datos: 50% 50% Meda = Medana = Moda El sesgo es una medda de la asmetría de la curva. E n general es un valor que va de -3 a 3. Una curva smétrca toma el valor 0. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 10
12 S las tres meddas de centralzacón son dferentes, se dce que la dstrbucón es asmétrca (sesgada). 3( X X ~ ) S K S ( X SK 3 X ) N S 3 f Sesgo Postvo S Sk > 0 la dstrbucón será asmétrca postva o a la derecha (el sesgo se encuentra del lado derecho, mentras que el cúmulo de datos se encuentra por el lado zquerdo). Esto sgnfca que exste una mayor proporcón de datos que se encuentran por abajo del promedo. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 11
13 Sesgo Negatvo S Sk < 0 la dstrbucón será asmétrca negatva o a la zquerda (el sesgo se encuentra del lado zquerdo, mentras que el cúmulo de datos se encuentra por el lado derecho). Esto sgnfca que exste una mayor proporcón de datos que se encuentran por arrba (los valores son superores) del promedo. La Curtoss nos ndca el grado de apuntamento (aplastamento) de una dstrbucón con respecto a la dstrbucón normal o gaussana. Esta medda determna el grado de concentracón que presentan los valores en la regón central de la dstrbucón. Este coefcente ndca la cantdad de datos que hay cercanos a la meda, de manera que a mayor grado de curtoss, más apuntada será la forma de la curva. S F ( X X ) N 4 S 4 f DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 1
14 S este coefcente es nulo, la dstrbucón se dce normal (smlar a la dstrbucón normal de Gauss) recbe el nombre de Mesocúrtca. Es sumamente dfícl encontrar una dstrbucón con éstas característcas, por lo que se acepta como Mesocúrtca una dstrbucón con un coefcente dentro de ± 0.5. La prncpal ventaja de la dstrbucón normal radca en el supuesto que el 95% de los valores se encuentra dentro de una dstanca de dos desvacones estándar de la meda artmétca; es decr, s tomamos la meda y le sumamos dos veces la desvacón y después le restamos a la meda dos desvacones, el 95% de los casos se encontraría dentro del rango que compongan estos valores. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 13
15 Cuando la Curtoss es mayor a cero, se trata de una dstrbucón Leptocúrtca (Lepto, del grego, "empnado" o "estrecho"), lo cual mplca que los datos están muy concentrados en la meda, sendo una curva muy apuntada. Esto mplca que los datos tenden a tener un comportamento HOMOGÉNEO; o sea, que tenden a ser parecdos y cercanos entre sí y la mayoría está cercana al promedo. Cuando la Curtoss es menor a cero (negatvo), se trata de una dstrbucón Platcúrtca ( "plano" o "ancho"), lo cual mplca que hay una menor concentracón de datos en torno a la meda. Sería más achatada que la prmera. Esto mplca que los datos tenden a tener un comportamento HETEROGÉNEO; o sea, que tenden a ser dferentes y lejanos entre sí y la mayoría está lejana al promedo, por lo que este parámetro puede no ser sgnfcatvo. DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 14
16 Son meddas especalmente dseñadas para conocer con mayor detalle la poscón que ocupa la nformacón que pudera ser relevante para el análss de una varable. Son estadígrafos que dvden a una dstrbucón de frecuencas en cuatro porcones guales o ntervalos, cada uno de ellos equvalente al 5% de los datos. Se representan por Q1 Q Q3 y se lustran en el esquema sguente: Son estadígrafos que dvden a una dstrbucón de frecuencas en dez porcones guales o ntervalos, cada uno de ellos equvalente al 10% de los datos. Se representan por D1 D D9 y se lustran en el esquema sguente: DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 15
17 Son estadígrafos que dvden a una dstrbucón de frecuencas en cen porcones guales o ntervalos, cada uno de ellos equvalente al 1% de los datos. Se representan por P1 P P99 y se lustran en el esquema sguente: DR. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA 16
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