FUNCIONES ELEMENTALES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "FUNCIONES ELEMENTALES"

Transcripción

1 FUNCIONES ELEMENTALES Página 05 REFLEIONA RESUELVE A través de una lupa Mirando un objeto pequeño (un capuchón de bolígrafo, por ejemplo) a través de una lupa situada a 0 cm, este se ve notablemente ampliado. Al variar la distancia se modifica el tamaño. La relación entre ambas variables es (para una cierta lupa): A A = d d d = distancia de la lupa al objeto (en dm) A = aumento (número por el que se multiplica el tamaño) a) Para d = 0, A =. Qué significa esto? b) Calcula el valor de A para d =. c) Si damos a d los valores,5;,9 y,99, se obtienen valores de A cada vez más grandes. Por qué? d) Para d = 3, se obtiene A =. Qué significa el signo menos? a) Si se pega la lupa al objeto, el tamaño que se ve es el real. Es decir, no aumenta. b) d = 8 A = = c) El denominador se va haciendo cada vez más pequeño. Al dividir por un número cada vez más cercano a cero, el resultado es cada vez mayor. d) Significa que la imagen se ha invertido. Unidad. Funciones elementales

2 Ruido y silencio La intensidad del sonido que nos llega de un foco sonoro depende de la distancia a la que nos encontremos de él. Supongamos que: I = 00 d I = intensidad (en decibelios) d = distancia (en m) I d 3 5 Averigua a qué distancia hemos de estar para que la intensidad sea de db. 00 = 8 d 00 = 8 d =,5 =,5 m d Debemos estar a,5 metros del foco sonoro. Funciones trozo a trozo Representa gráficamente las siguientes funciones: + 3 si < + 5 si Ì 0 a) y = b) y = 5 si Ó si > 0 + si < + 5 si Ì 0 c) y = d) y = 3 si Ì Ì + 5 si > 0 7 si > a) b) c) 5 d) Unidad. Funciones elementales

3 UNIDAD Página 07. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = + b) y = c) y = d) y = e) y = f) y = / g) y = / h) y = / i) y = / j) y = / k) y = l) y = m) y = n) y = ñ) y = o) y = p) El área de un cuadrado de lado variable, l, es A = l. a) Á b) c) ] d) [, ] e) ] f) ) g) h) ) i) (, ) j) ) k) Á l) Á {0} m) Á {0} n) Á {, } ñ) Á o) Á { } p) l > 0 Página 08. Representa la siguiente función: y = + 7, é (, ] Unidad. Funciones elementales 3

4 . Una función lineal f cumple: f (3) = 5, f (7) =, Dom( f ) = [0, 0]. Cuál es su epresión analítica? Represéntala. 5 9 m = = y = 5 ( 3) = +, é [0, 0] Página 09. En una Universidad, el año 00 había matriculados 0 00 alumnos, y en el año 007, Estimar cuántos había: a) En el año 003. b) En el 005. c) En el 000. d) Cuántos cabe esperar que haya en el 00? e) en el 00? f() = ( 00) = 50( 00) a) f (003) = = 0 90 alumnos. b) f (005) = = 080 alumnos. c) f (000) = = 9 80 alumnos. d) f (00) = = 880 alumnos. e) f (00) = = 3 80 alumnos, aunque la etrapolación es demasiado grande.. El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 00 km, depende de su velocidad. A 0 km/h consume 5,7 l y a 90 km/h consume 7, l. a) Estima su consumo si recorre 00 km a 70 km/h. b) Cuánto consumirá a 00 km/h? c) a 00 km/h? 7, 5,7,5 a) f () = ( 0) + 5,7 = ( 0) + 5, f (70) = 0,5 + 5,7 =, l b) f (00) = + 5,7 = 7,7 l c) f (00) = 7 + 5,7 =,7 l, aunque la etrapolación es demasiado grande. Unidad. Funciones elementales

5 UNIDAD Página 0. Representa estas parábolas: a) y = + 3 b) y = 3 c) y = + 5 d) y = e) y = + 3 f ) y = + 3 a) b) c) d) e) 8 f) Representa las funciones siguientes: a) y = +, é [, 5) b) y = + 3, é [0, ] c) y =, é ) (, a) b) c) 8 8 Unidad. Funciones elementales 5

6 Página a 3. Las gráficas de la derecha (roja y verde) tienen por ecuaciones y = e y = b. Di qué ecuación corresponde a cada gráfica y averigua los valores de a y de b. a y = es la roja. y = b es la verde. Basta con fijarse en los dominios. a La roja pasa por (, 3), luego 3 = 8 a = La verde pasa por (, ), luego = b 8 b =. Representa: y =, Ì Ì Representa: y = 9, 0 Ì Ì Unidad. Funciones elementales

7 UNIDAD Página. Representa y = y, a partir de ella, estas otras: a) y = + 5 b) y = 5 y = + 5 y = 5 y = Representa y = y, a partir de ella: a) y = b) y = + 5 y = 5 y = + 5 y = Página 3 3. Llamamos f () a y = para >. A partir de ella, representa: a) y = f ( 5) b) y = f ( + ) c) y = f ( ) d) y = f ( + ) Unidad. Funciones elementales 7

8 f () = f ( ) 8 f () f ( + ) f ( + ) f ( 5) 3. Representa: a) y = b) y = + 3 c) y = d) y = + y = y = y = y = Página. Representa: + 3, < +, < a) y = b) y = 5, Ó, Ó 5 b 5 a 5 8 Unidad. Funciones elementales

9 UNIDAD. Representa: y = si Ì si < < si Ó Página 5. Representa las siguientes funciones relacionadas con la función parte entera: a) y = Ent () + b) y = Ent ( + 0,5) c) y = Ent ( ) d) y = Ent (3) a) y = Ent () + b) y = Ent ( + 0,5) c) y = Ent ( ) d) y = Ent (3) Unidad. Funciones elementales 9

10 . Representa: a) y = Mant () 0,5 b) y = Mant () 0,5 c) y = 0,5 Mant () 0,5 Comprueba que esta última significa la distancia de cada número al entero más próimo. Su gráfica tiene forma de sierra. a) y = Mant () 0,5 b) y = Mant () 0, c) y = 0,5 Mant () 0,5 3 3 Página. Representa: y = Representa gráficamente: y = ß 3 ß Unidad. Funciones elementales

11 UNIDAD Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 a) y = b) y = + ( ) c) y = d) y = e) y = f) y = + a) Á {, 0} b) Á {} c) Á { /} d) Á e) Á {0, 5} f ) Á {, } Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = 3 b) y = c) y = d) y = 3 a) 3] b) [/, c) ] d) 0] 3 Halla el dominio de definición de estas funciones: a) y = 9 b) y = c) y = d) y = 5 e) y = f ) y = 3 a) 9 Ó 0 8 ( + 3) ( 3) Ó 0 8 Dominio = 3] «[3, b) Ó 0 8 Dominio = Á c) Ó 0 8 ( ) Ó 0 8 Dominio = [0, ] d) 5 Ó 0 8 ( + ) ( 5) Ó 0 8 Dominio = ] «[5, e) > 0 8 > 8 Dominio = ) f) 3 > 0 8 ( 3) > 0 8 Dominio = 0) «(3, Unidad. Funciones elementales

12 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición y su recorrido: Los dominios son, por orden: [, ]; ) «(, y [, Los recorridos son, por orden: [0, ], (0, y [0, 5 De un cuadrado de cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribe el área del octógono que resulta en función de. b) Cuál es el dominio de esa función? su recorrido? a) A () = b) Dominio: (0, ). Recorrido: (8, ) Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones, / y cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. Cuál es su recorrido? a) V () = 3 b) Dominio: (0, 0). Recorrido: (0, 000) Funciones lineales. Interpolación 7 Di cuál es la pendiente de cada recta: a) y = 5 b) y + = 0 c) + y 5 = 0 d) y = 5 a) b) c) d) 0 Unidad. Funciones elementales

13 UNIDAD 8 Escribe las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por P(, 5) y Q(0, ). b) Pasa por ( 7, ) y su pendiente es 0,75. c) Corta a los ejes en (3,5; 0) y (0, 5). d) Es paralela a la recta 3 y + = 0 y pasa por (, 3). ( 5) a) m = = 0 9 y = 5 + ( ) = b) y = 0,75 ( + 7) = 0,75 3,5 y 0 c) + = 8 y = 5 3,5 5 7 d) m = 3; y = ( + ) = Elige dos puntos en cada una de estas rectas y escribe su ecuación: a) 5 b) c) 0, d) 0, a) y = + b) y = c) y = 0,05 0,05 d) y = 30 0 Calcula, mediante interpolación o etrapolación lineal, los valores de y que faltan en cada tabla: a) b) y 0,5 0,5 0, 0,5 y c) d) y 5 y Unidad. Funciones elementales 3

14 a) y =, ( ) 0,5) 8 y 0 =, (0,5 ) 0,5) =, b) y = 8 + 0,9( 7) 8 y 0 = 8 + 0,9(0 7) = 39,3 c) y = 5 + 0,9( 3) 8 y 0 = 5 + 0,9(7 3) =, y = 5 + 0,9(5 3) = 5,8 d) y = 500 +,9( 85) 8 y 0 = 500 +,9( ) = 795,75 Esta tabla muestra la temperatura atmosférica tomada a diferentes alturas: ALTURA (m) TEMPERATURA ( C) 5,7 8, 5, Calcula la temperatura a 00 m y a 000 m. y = 5 0,00 8 f ( 00) = 5 0,00 00 = 7,08 f ( 000) = 5 0, =,8 Página Gráfica y epresión analítica Dos de estas gráficas no son funciones. Di cuáles son y asocia a cada una de las otras cuatro la epresión analítica que le corresponde. a) y = I b) y = 0,5 II c) y = d) y = No son funciones III y VI. a) 8 IV b) 8 I c) 8 V d) 8 II 8 III IV V VI Unidad. Funciones elementales

15 UNIDAD 3 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones analíticas: a) y = + b) y = + 3 c) y = ( + 3) d) y = + I II a) 8 III b) 8 IV c) 8 I d) 8 II III IV Representación de funciones elementales Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, los puntos de corte con los ejes de coordenadas y algún punto próimo al vértice: a) y = 0,5 3 b) y = + 3 c) y = d) y = 3 a) Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, 3) b) Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: ( 3, 0), ( 3, 0), (0, 3) Unidad. Funciones elementales 5

16 c) Vértice: (0, ). Corte con los ejes: (, 0), (, 0), (0, ) d) 8 Vértice: (0, 0). Corte con los ejes: (0, 0) 5 Representa las siguientes funciones: a) y = + + b) y = c) y = d) y = a) b) c) d) 8 Unidad. Funciones elementales

17 UNIDAD En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de ellas corta el eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda del vértice y represéntalas gráficamente: a) y = ( + + ) b) y = 5 ( + ) + c) y = 3 d) y = ( + ) a) b) Vértice: (, 3 ) Vértice: (, ) c) d) Vértice: (0, ) Vértice: ( 3 0, ) 7 Representa gráficamente las siguientes funciones: si < 0 3 si < a) y = b) y = si 0 Ì < si Ó si Ó si < + si < c) y = d) y = (3 5)/ si Ó + 3 si > a) b) Unidad. Funciones elementales 7

18 c) d) 8 Representa las siguientes funciones: a) y = + b) y = c) y = d) y = a) b) 3 c) d) 9 Representa las siguientes funciones: a) y = b) y = + 3 c) y = + d) y = a) b) 8 8 Unidad. Funciones elementales

19 UNIDAD c) d) 8 Página 5 Transformaciones en una función 0 Representa f () = y, a partir de ella, representa: a) g() = f () 3 b) h() = f ( + ) f () = a) b) Esta es la gráfica de la función y = f (): Unidad. Funciones elementales 9

20 Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = f ( ) b) y = f () + a) b) A partir de la gráfica de f () = /, representa: a) g() = f () b) h() = f ( 3) c) i() = f () d) j() = f () a) f () = g () = f () b) c) h() = f ( 3) i () = f () 0 Unidad. Funciones elementales

21 UNIDAD d) j() = f () Representa la función f () = y dibuja a partir de ella: a) g() = + b) h() = 3 c) y = d) y = a) b) f() g() 0,8 0, f() 0, 0, 0, 0,8 0, 0, h() 0,5 0,5 3 c) d) y = f() f() y = Valor absoluto de una función Representa la función y = 5 y comprueba que su epresión analítica en intervalos es: + 5 si < 5 y = 5 si Ó Unidad. Funciones elementales

22 5 Representa las siguientes funciones y defínelas por intervalos: a) y = b) y = + c) y = 3 d) y = 3 a) y = si < + si Ó 8 0 b) y = si < + si Ó c) y = + 3 si < 3 3 si Ó d) y = 3 si Ì si > 3 Representa y define como funciones a trozos : 3 3 a) y = b) y = 3 + c) y = d) y = Mira el ejercicio resuelto número 8. a) 3 si < 3 b) y = y = 3 si Ó 3 3 si < 3 + si Ó Unidad. Funciones elementales

23 UNIDAD c) y = si < d) y = si Ó si < + si Ó PARA RESOLVER 7 La factura de la energía eléctrica de una familia ha sido en noviembre 95 por 375 kw h de consumo, y en enero 30, por 55 kw h. Cuánto tendrán que pagar si consumen 0 kw h? y = ,( 375) y(0) = 0 euros 8 Las ventas obtenidas por una empresa han sido de con unos gastos en publicidad de y de con unos gastos publicitarios de Estima cuáles serán las ventas si se invierte en publicidad 000. y = ,5( 3 000) y( 000) = euros 9 El precio del billete de una línea de cercanías depende de los kilómetros recorridos. Por 57 km he pagado,85 euros, y por 8 km, 3, euros. Calcula el precio de un billete para una distancia de 00 km. y =,85 + 0,095( 57) y (00) =,9 euros 30 Un rectángulo tiene 0 cm de perímetro. Escribe la función que da el área de ese rectángulo en función de su base. Cuál es el dominio de esa función? y + y = 0; A = y A () = 0 ; Dom = (0, 0) Unidad. Funciones elementales 3

24 3 Observamos en una farmacia una tabla con los pesos de los niños menores de años, según su edad: (años) 3 9 y (kg) 0 0 Estima el peso de un niño a los 5 años y a los 0 años. y = 0 + ( ) y = 0 + = 8 kg a los 5 años. y = = 8 kg a los 0 años. 3 Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de televisores son G =000+5, en euros, y los ingresos mensuales son I = 0 0,0, también en euros. Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? La función Beneficio viene dada por la epresión: B = I G = 50 0, = 0, Se trata de una parábola con las ramas hacia abajo. El máimo de la función se encuentra en el vértice: b 5 0 = = = 5 a 0,0 El beneficio máimo se obtendrá para 5 televisores. 33 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + t t (t en segundos y h en metros). a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura del edificio. c) En qué instante alcanza su máima altura? a) ALTURA (m) 0 b) 80 metros. c) segundos TIEMPO (s) Unidad. Funciones elementales

25 UNIDAD Página 3 El precio de venta de un artículo viene dado por p = 0,0 ( = número de artículos fabricados; p = precio, en cientos de euros). a) Si se fabrican y se venden 500 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? b) Representa la función N-º de artículos-ingresos obtenidos. c) Cuántos artículos se deben fabricar para que los ingresos sean máimos? a) Si se venden 500 artículos, su precio será: 0,0 500 = 7 cientos de euros 8 Ingresos = b) INGRESOS I() = p = 0, Nº DE ARTÍCULOS c) Deben fabricar 00 artículos para obtener los ingresos máimos ( euros). 35 Un fabricante vende mensualmente 00 electrodomésticos a 00 euros cada uno y sabe que por cada 0 euros de subida venderá menos. a) Cuáles serán los ingresos si sube los precios 50 euros? b) Escribe la función que relaciona la subida de precio con los ingresos mensuales. c) Qué subida produce ingresos máimos? a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 50 euros cada uno; luego los ingresos serían de = euros. b) I () = (00 + 0) (00 ) = c) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: b 00 = = = euros a 0 3 El coste de producción de unidades de un producto es igual a euros y el precio de venta de una unidad es 50 / euros. a) Escribe la función que nos da el beneficio total si se venden las unidades producidas. b) Halla el número de unidades que deben venderse para que el beneficio sea máimo. Los ingresos por la venta de unidades son (50 /) euros. Unidad. Funciones elementales 5

26 a) B () = 50 ( ) = b) El máimo se alcanza en el vértice de la parábola: = = 5 Deben venderse 5 unidades. 37 En la base de una montaña de 00 m, la temperatura es de 0 C y sabemos que baja C por cada 80 m de ascensión. Cuál será la temperatura en la cima? Representa la función altura-temperatura y busca su epresión analítica. y = Si = 00 8 y = 0 = 3, 3 ) 80 La temperatura en la cima será de 3,3 C. TEMPERATURA ( C) ALTURA (m) 38 Dibuja las gráficas de las siguientes funciones: a) y = si Ì b) y = si Ì ( )/3 si > 3 si > c) y = si < d) y = si < 0 si Ó si Ó 0 a) b) c) d) Unidad. Funciones elementales

27 UNIDAD 39 Representa: a) y = b) y = si Ì si < < si Ó / + si < 3 si Ó a) b) 0 Elena va a visitar a su amiga Ana y tarda 0 minutos en llegar a su casa, que está a km de distancia. Está allí media hora y en el camino de vuelta emplea el mismo tiempo que en el de ida. Representa la función tiempo-distancia y busca su epresión analítica. DISTANCIA A SU CASA (km) TIEMPO (min) f () = (/0) si 0 Ì Ì 0 si 0 < Ì 50 /0 ( 70) si 50 < Ì 70 Busca la epresión analítica de estas funciones: a) b) a) f () = si Ì 3 b) f () = si > 3 si Ì si > Unidad. Funciones elementales 7

28 Representa y define como funciones a trozos : a) y = b) y = c) y = + d) y = + si < a) y = + si Ì Ì b) y = si > si <, + + si, Ì Ì 3, si > 3, ( /) si < c) y = ( /) + si Ì Ì d) y = ( /) si > + si <,7 + si,7 Ì Ì 0,7 + si > 0,7 dividendo resto 3 Utilizando la relación = cociente + podemos escribir la divisor divisor + 3 función y = de esta forma: y = +. Comprueba que su gráfica coincide con la de y = / trasladada unidad hacia la izquierda y ha- + + cia arriba. y = Unidad. Funciones elementales

29 UNIDAD y = Representa, utilizando el procedimiento del ejercicio anterior: 3 a) y = b) y = c) y = d) y = a) y = = b) y = = Unidad. Funciones elementales 9

30 c) y = = d) y = = 8 8 Página 7 CUESTIONES TEÓRICAS 5 Una parábola corta el eje de abscisas en = y en = 3. La ordenada del vértice es y =. Cuál es la ecuación de esa parábola? f () = k ( + ) ( 3) = k ( 3) 3 + ( ) Vértice 8 = = ; f () = k = 8 k = La ecuación de la parábola será, por tanto: f () = 3 30 Unidad. Funciones elementales

31 UNIDAD Encuentra los valores de c para que la función y = + + c tenga con el eje de abscisas: a) Dos puntos de corte. b) Un punto de corte. c) Ningún punto de corte. b ac = + c a) + c > 0 8 c > 3 b) + c = 0 8 c = 3 c) + c < 0 8 c < 3 7 Esta es la gráfica de una función del tipo: y = a + b Cuáles son los valores de a y b en esa gráfica? 3 a = ; b = 3 PARA PROFUNDIZAR 8 La distancia que recorre un vehículo desde que se pisa el freno hasta que se para es: d = v v + (d en metros y v en km/h) 00 a) Representa la función en el intervalo [0, 0]. b) Si un obstáculo está a 00 m, cuál debe ser la velocidad máima que puede llevar el automóvil para evitar el accidente? v a) d (m) b) 00 = = v + 00v v + 00v = 0 v v (km/h) 00 ± v = = v = 59,07 (no vale) = v = 5,73 La velocidad debe ser menor de 5 km/h. Unidad. Funciones elementales 3

32 9 Las tarifas de una empresa de transportes son: 0 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 0 t. Si la carga es mayor que 0 t, se restará, de los 0 euros, tantos euros como toneladas sobrepasen las 0. a) Dibuja la función ingresos de la empresa según la carga que transporte (carga máima: 30 t). b) Obtén la epresión analítica y represéntala. a) INGRESOS CARGA (t) b) f () = Es decir: 0 si 0 Ì Ì 0 [0 ( 0)] si 0 < Ì 30 f () = 0 si 0 Ì Ì 0 0 si 0 < Ì 30 Página 7 AUTOEVALUACIÓN. Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) y = 3 b) y = 3 ( ) c) y = d) y = 5 a) Al ser una función polinómica, su dominio es todo Á. b) Su dominio es todo Á, salvo los puntos que anulan el denominador. ( ) = 0 8 = 0 8 = 3 Por tanto: Dom y = Á {3} 3 Unidad. Funciones elementales

33 UNIDAD c) Su dominio son los puntos que hacen que el radicando no sea negativo. Ó 0 8 Ì 8 Ì = Por tanto: Dom y = ] d) Al igual que en el apartado anterior: 5 Ó 0 8 (5 ) Ó 0 Esto ocurre si: Ó 0 y 5 Ó 0 8 Ó 0 y Ì 5 8 é [0, 5] Ó 0 y 5 Ì 0 8 Ì 0 y Ó 5 8 Esto no es posible. Por tanto: Dom y = [0, 5]. Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes epresiones: 3 a) y = b) y = c) y = + d) y = + I II a) II b) III c) IV d) I III IV 3. Representa las siguientes funciones: a) y = 0,5 + b) y = 5 + c) f() = si Ì si > 0 a) b) c) Unidad. Funciones elementales 33

34 . Asistir a un gimnasio durante meses nos cuesta. Si asistimos 5 meses, el precio es 570. Cuánto tendremos que pagar si queremos ir durante un año? Vamos a hacer una interpolación lineal. Hallamos la recta que pasa por los puntos (, ) y (5, 570) Su pendiente es m = = = Por tanto, la ecuación de la recta es: y = 3( ) + 8 y = De este modo, si queremos saber cuánto se debe pagar si vamos al gimnasio durante un año ( meses), hacemos: y () = = Habrá que pagar. 5. Ponemos al fuego un cazo con agua a 0 C. En 5 minutos alcanza 00 C y se mantiene así durante media hora, hasta que el agua se evapora totalmente. Representa la función que describe este fenómeno y halla su epresión analítica. TEMPERATURA ( C) La gráfica pasa por los puntos (0, 0) y (5, 00). 00 Hallamos la ecuación de esta recta: Pendiente: = 8 8 y = 8( 0) TIEMPO (min) Para valores de mayores que 5, la temperatura se mantiene constante 8 y = 00. Epresión analítica: f () = si 0 Ì < 5 00 si 5 Ì Ì 35. A partir de la gráfica de y = f (), representa: a) y = + f () b) y = f ( ) c) y = f () y = f () 3 Unidad. Funciones elementales

35 UNIDAD a) La gráfica se desplaza una unidad hacia arriba. + f () b) La gráfica se desplaza una unidad hacia la derecha. f ( ) c) La gráfica es simétrica a la de f (), respecto al eje. f () Unidad. Funciones elementales 35

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página PARA EMPEZAR, REFLEIONA RESUELVE Problema Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con

Más detalles

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1

Página 123 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Dominio de definición PARA PRACTICAR UNIDAD. 1 Halla el dominio de definición de estas funciones: 2x + 1 Página 3 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Dominio de definición Halla el dominio de definición de estas funciones: 3 x a) y = y = x + x (x ) c) y = d) y = e) y = x + x + 3 5x x f) y = x x

Más detalles

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

LAS FUNCIONES ELEMENTALES UNIDAD LAS FUNCIONES ELEMENTALES Página 98. Las siguientes gráficas corresponden a funciones, algunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas. Las ecuaciones correspondientes

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES 0 FUNCIONES ELEMENTALES Página 5 REFLEIONA RESUELVE Asocia a cada una de las siguientes gráficas una ecuación de las de abajo: A B C D 80 (, π) 50 0 5 E F G H 0 (5, ) 50 0 50 0 (, ) 5 I J K L LINEALES

Más detalles

Funciones. Rectas y parábolas

Funciones. Rectas y parábolas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo de la figura, calcula: el perímetro. el área. P I E N S A C A L C U L A Perímetro = ( + ) = 6 Área = = Indica cuál de las siguientes gráficas

Más detalles

TEMAS 4 LAS FUNCIONES ELEMENTALES

TEMAS 4 LAS FUNCIONES ELEMENTALES TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS CCSSI º Bach. TEMAS 4 LAS FUNCIONES ELEMENTALES Son funciones? EJERCICIO : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función.

Más detalles

Completa esta parábola y señala sus elementos y sus propiedades. 1 X. El dominio de la función es todos los números reales:.

Completa esta parábola y señala sus elementos y sus propiedades. 1 X. El dominio de la función es todos los números reales:. Representa la función que relaciona el área de un triángulo rectángulo isósceles la longitud del cateto. a) Cuál es la variable dependiente? b) la variable independiente? = a) La variable independiente

Más detalles

Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3

Solución: Para calcular la pendiente, despejamos la y: La ordenada en el origen es n. 3 Puntos de corte con los ejes: 1 Eje Y 0, 3 EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la recta 6y 0. Represéntala gráficamente. Para calcular la pendiente, despejamos la y: 6y 0

Más detalles

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA

Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una

Más detalles

Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes:

Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes: Funciones, 3º ESO () RECTAS Las únicas funciones cuyas gráficas son rectas son las siguientes: - Lineales, de fórmula y mx. Las gráficas de estas funciones pasan por el origen de coordenadas. m es la pendiente

Más detalles

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Página 75 REFLEIONA RESUELVE Tomar un autobús en marca En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un autobús que arranca de la

Más detalles

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.

a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3. 6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se

Más detalles

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2

2. Calcula las velocidades medias anteriores tomando valores sobre la ecuación del movimiento de dicha partícula: s = 2 Unidad. Derivadas Resuelve Página 0 Movimiento de una partícula Un investigador, para estudiar el movimiento de una partícula, la a iluminado con destellos de flas cada décima de segundo (0, s) durante

Más detalles

1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2

1. y = 3x 5-4x y = x+ln x 3. y = 2x 2 -e 2 4. y = xe x 5. y = x x 6. y = x+2 x-2 Colección A.. Calcula la derivada de las siguientes funciones:. y = 5-4 -4. y = +ln. y = -e 4. y = e 5. y =. y = + 7. y = ln 8. y = e + 9. y = (+) 0. y =. y = e -. y = (-)e - e. y = - 4. y = ln 5. y =

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

5Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 102

5Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 102 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 0 Pág. La red de la canasta ha sugerido a estos chicos construir el aparato de abajo. Al girar uno de los aros, las cuerdas configuran esta bonita forma.

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente

APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente

Más detalles

Características globales de las funciones

Características globales de las funciones Características globales de las funciones. Funciones Considera los rectángulos con un lado de doble longitud que el otro. Expresa el perímetro y el área en función del lado menor. P = (x + x) = x A = x

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto

Más detalles

UNIDADES 1 y 2: FRACCIONES Y DECIMALES. POTENCIAS Y RAÍCES. NÚMEROS APROXIMADOS. 1º.- Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

UNIDADES 1 y 2: FRACCIONES Y DECIMALES. POTENCIAS Y RAÍCES. NÚMEROS APROXIMADOS. 1º.- Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: UNIDADES y : FRACCIONES Y DECIMALES. POTENCIAS Y RAÍCES. NÚMEROS APROXIMADOS. º.- Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: ; 6 5 7 4 ; 5 4 ; ; ; 8 6 9 º.- Efectúa las siguientes operaciones y

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

Sistema de ecuaciones e inecuaciones

Sistema de ecuaciones e inecuaciones 5 Sistema de ecuaciones e inecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Piensa y calcula Indica, en cada caso, cómo son las rectas y en qué puntos se cortan: c) r r s P r s s Las rectas r y s son

Más detalles

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el

Más detalles

Revisora: María Molero

Revisora: María Molero 57 Capítulo 5: INECUACIONES. Matemáticas 4ºB ESO 1. INTERVALOS 1.1. Tipos de intervalos Intervalo abierto: I = (a, b) = {x a < x < b}. Intervalo cerrado: I = [a, b] = {x a x b}. Intervalo semiabierto por

Más detalles

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x

Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD . Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea

Más detalles

3º ESO TEMA 7.- FUNCIONES Y GRÁFICAS. Página web del profesor: Profesor: Rafael Núñez Nogales

3º ESO TEMA 7.- FUNCIONES Y GRÁFICAS. Página web del profesor:  Profesor: Rafael Núñez Nogales 3º ESO TEMA 7.- FUNCIONES Y GRÁFICAS Página web del profesor: http://www.iesmontesorientales.es/mates/ 1.-LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS. (Págs: 13 y 133) 1.1.- Qué es una función? Esta gráfica representa

Más detalles

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría

6 Funciones. 1. Estudio gráfico de una función. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Funciones 1. Estudio gráfico de una función Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes funciones es polinómica y cuál racional: 2 + 5 f() = f() = 3 5 2 + 6 4 2 4 Racional. Polinómica. Aplica la teoría

Más detalles

1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2 2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 4 3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página EJERCICIOS DE REFUERZO Página 22

1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2 2. EJERCICIOS DE INICIACIÓN Página 4 3. EJERCICIOS DE DESARROLLO Página EJERCICIOS DE REFUERZO Página 22 1. ESQUEMA - RESUMEN Página 2 2. EJERIIOS DE INIIAIÓN Página 4 3. EJERIIOS DE DESARROLLO Página 10 4. EJERIIOS DE REFUERZO Página 22 1 1. ESQUEMA - RESUMEN Página 1.1. OORDENADAS Y GRÁFIAS ARTESIANAS.

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE TALLER DE MATEMATICA INGRESO 2016 LIC. ENFERMERÍA PRACTICO UNIDAD 3

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BARILOCHE TALLER DE MATEMATICA INGRESO 2016 LIC. ENFERMERÍA PRACTICO UNIDAD 3 PRACTICO UNIDAD 3 Nota: Los ejercicios propuestos en los prácticos deben servirle para afianzar y practicar temas. Si nota que algunos ejercicios ya los sabe hacer bien, continúe con otros que le impliquen

Más detalles

1. [2014] [EXT-A] En una localidad la concentración de polen de olivo, medida en granos de polen/m 3 de aire, se puede ajustar a la

1. [2014] [EXT-A] En una localidad la concentración de polen de olivo, medida en granos de polen/m 3 de aire, se puede ajustar a la 1. [2014] [EXT-A] En una localidad la concentración de polen de olivo, medida en granos de polen/m 3 de aire, se puede ajustar a la función f(t) = t3 3-22t2 +448t-2600, siendo t el tiempo medido en semanas,

Más detalles

TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES

TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento

Más detalles

5 2,7; ; ; 3; 3,2

5 2,7; ; ; 3; 3,2 Actividades de recuperación para septiembre 3º ESO, MATEMÁTICAS La recuperación de la asignatura consta de dos partes: Entregar los siguientes ejercicios resueltos correctamente. Aprobar el examen de recuperación.

Más detalles

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,

Más detalles

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).

f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y). TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:

Más detalles

Funciones. Guía de Ejercicios

Funciones. Guía de Ejercicios . Módulo 4 Funciones Guía de Ejercicios Índice Unidad I. Concepto de función, dominio y recorrido Ejercicios Resueltos... pág. 02 Ejercicios Propuestos... pág. 06 Unidad II. Gráfico de funciones Ejercicios

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: - Cotas, supremo (ínfimo) y etremos absolutos en 1,1 0 f. Indica las características de la siguiente función: : Cipri

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

PROBLEMAS DE REPASO. Solución: Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que: x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 El volumen del cono es:

PROBLEMAS DE REPASO. Solución: Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que: x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 El volumen del cono es: PROBLEMAS DE REPASO 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado

Más detalles

Matemáticas. Tercero ESO. Curso 2012-2013. Exámenes

Matemáticas. Tercero ESO. Curso 2012-2013. Exámenes Matemáticas. Tercero ESO. Curso 0-03. Exámenes . 9 de octubre de 0 Ejercicio. Calcular: 3 5 4 + 3 0 3 7 8 5 3 5 4 + 3 0 5 + 6 0 3 0 3 7 8 5 3 56 0 3 8 0 84 74 5 5 5 Ejercicio. Calcular: 5 6 [ ( 3 3 3 )]

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una

La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ANÁLISIS MATEMÁTICO. PAU CASTILLA Y LEÓN A) EJERCICIOS DE APLICACIÓN A LAS CCSS La concentración de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad viene dada por la función C ( ) 90

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD FUNCIONES Representación gráfica Monotonía Curvatura - Asíntotas 1. Dadas las funciones siguientes, 6 + 1 a) b) = c) = 1 + d) + 4 1 = e) = f) = 1 g) + 1 + 1 = h) = i) =, 1 +

Más detalles

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad

Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad página / Problemas Tema 3 Enunciados de problemas de Derivabilidad Hoja. Calcula la derivada de f ()= +3 8 +9 +3. Encuentra tres números no negativos que sumen 4 y tales que uno sea doble de otro y la

Más detalles

FUNCIONES Y GRÁFICAS

FUNCIONES Y GRÁFICAS FUNCIONES Y GRÁFICAS Material de clase INTRODUCCIÓN: EJEMPLOS Una función es una correspondencia (relación) entre dos conjuntos (magnitudes ), de forma que a cada elemento (objeto) del primer conjunto

Más detalles

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.

La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x. Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio

Más detalles

Derivadas Parciales. Aplicaciones.

Derivadas Parciales. Aplicaciones. RELACIÓN DE PROBLEMAS FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Curso 2004/2005 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola Departamento de Matemática Aplicada I Tema 3. Derivadas Parciales. Aplicaciones.

Más detalles

Solución: Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es:

Solución: Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es: Representa las rectas y = x + e y = x y calcula el punto que tienen en común El punto que tienen en común estas dos rectas se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: y = x + y = x 3 x =,

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ANDALUCÍA Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress. FUNCIONES I: LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVAVILIDAD 1- Sea : definida por a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1/2 y que la recta tangente en el punto de

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Página 68 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece

Más detalles

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170 PÁGINA 70 Pág. P RACTICA Representación de rectas Representa las rectas siguientes: a) y b) y c) y d) y c) b) a) d) Representa estas rectas: c) a) y 0,6 b) y c) y, d) y d) a) b) Representa las rectas siguientes,

Más detalles

Inecuaciones: Actividades de recuperación.

Inecuaciones: Actividades de recuperación. Inecuaciones: Actividades de recuperación. 1.- Escribe la inecuación que corresponde a los siguientes enunciados: a) El perímetro de un triángulo equilátero es menor que 4. (x = lado del triángulo) b)

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales 7 Sistemas de ecuaciones lineales 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica a) En qué punto se cortan la gráfica roja la azul del dibujo de la izquierda? b) Tienen algún punto en común las rectas de la

Más detalles

Trabajo de Matemáticas AMPLIACIÓN 3º ESO

Trabajo de Matemáticas AMPLIACIÓN 3º ESO Trabajo de Matemáticas AMPLIACIÓN º ESO ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN TEMA : NÚMEROS FRACCIONARIOS O RACIONALES Problema nº Un grifo tarda en llenar un depósito horas y otro tarda en llenar el mismo depósito

Más detalles

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

IES PADRE SUÁREZ MATEMÁTICAS II DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Ejercicios de continuidad y derivabilidad. Selectividad de 008, 009, 00 y 0 Anális 008 Ejercicio.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f() = + a + b y g() = c e -(+). Se sabe que las gráficas

Más detalles

FUNCIONES CON DESCARTES. HOJA DE TRABAJO

FUNCIONES CON DESCARTES. HOJA DE TRABAJO FUNCIONES CON DESCARTES. HOJA DE TRABAJO Escena 1 a) Inventa un texto que ilustre de forma clara el gráfico. b) Cuál es la variable independiente y en qué unidad se mide? c) Cuál es la variable dependiente

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 6 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

8Soluciones a los ejercicios y problemas

8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 38 Pág. P RACTICA Interpretación de gráficas Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo, David, cada mes desde que nació hasta los meses. Estas son las gráficas de la longitud y del peso de David

Más detalles

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. Cuáles son esos números?

El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. Cuáles son esos números? TEMA 4: INECUACIONES Y SISTEMAS SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado. La resolución de estos sistemas se

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al

Más detalles

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica

1. Sistemas lineales. Resolución gráfica 5 Sistemas de ecuaciones 1. Sistemas lineales. Resolución gráfica Dado el sistema lineal formado por las ecuaciones del gráfico de la parte derecha: a) cuántas soluciones tiene? b) halla la solución o

Más detalles

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES

DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES UNIDAD 6 DERIVADAS. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN. APLICACIONES Página 5 Problema y f () 5 5 9 Halla, mirando la gráfica y las rectas trazadas, f'(), f'(9) y f'(). f'() 0; f'(9) ; f'() Di otros tres puntos en

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello

Más detalles

MATEMÁTICAS 3º ESO PENDIENTES HOJA 1 GEOMETRÍA PLANA. 1.- Calcular el área y el perímetro de los siguientes polígonos:

MATEMÁTICAS 3º ESO PENDIENTES HOJA 1 GEOMETRÍA PLANA. 1.- Calcular el área y el perímetro de los siguientes polígonos: MATEMÁTICAS º ESO PENDIENTES HOJA GEOMETRÍA PLANA.- Calcular el área y el perímetro de los siguientes polígonos: a) Un cuadrado de lado 5 cm de lado b) Un cuadrado de diagonal 0 cm. c) Un rectángulo de

Más detalles

Funciones polinómicas

Funciones polinómicas Funciones polinómicas Contenidos 1. Funciones polinómicas Características 2. Funciones de primer grado Término independiente Coeficiente de grado uno Recta que pasa por dos puntos Aplicaciones 3. Funciones

Más detalles

< variable independiente < variable dependiente

< variable independiente < variable dependiente Estudiar en el libro de Texto: Pág. 152 y 156 EL MODELO LINEAL : y = mx + n Algunos ejemplos Una empresa decide alquilar una fotocopiadora por una cantidad fija anual de 2000 euros, más un coste de 0,05

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONOCIDAS. FUNCIONES LINEALES. Se llaman funciones lineales a aquellas que se representan mediante rectas. Su epresión en forma eplícita es y f ( ) a b. En sentido más estricto, se llaman funciones

Más detalles

Ecuaciones de la forma. y se sabe que pasa por el punto ( 4 ;16 ), cuál es la ecuación de la recta? con m > 0. contenga los puntos ( 2;? por qué?

Ecuaciones de la forma. y se sabe que pasa por el punto ( 4 ;16 ), cuál es la ecuación de la recta? con m > 0. contenga los puntos ( 2;? por qué? Ecuaciones de la forma y = m. Haga las gráficas de y = y = y = y = y y y y y y a. Como son las rectas b. Cuales son simétricas respecto al origen c. La recta y que tipo de simetría presenta respecto a

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

1. a) Qué significa una potencia de exponente negativo?... ; b)

1. a) Qué significa una potencia de exponente negativo?... ; b) MATEMÁTICAS - SEPTIEMBRE TAREA DE VERANO 4º E.S.O.-B 1. a) Qué significa una potencia de eponente negativo?..... b) Simplificar: b 1) : b 4 ) b ) 9 1 b 4) 1 4. Simplificar potencias: a) 4 ( ) d) 9000 0'000000006

Más detalles

ECUACIONES E INECUACIONES

ECUACIONES E INECUACIONES ECUACIONES E INECUACIONES 1.- Escribe las expresiones algebraicas que representan los siguientes enunciados: a) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches. b) Número de céntimos para cambiar x

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones

ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones ACTIVIDADES UNIDAD 6: Funciones 1. Indica las características de la siguiente función: Dominio:, 1 1,1 1, 1,1 Imagen o recorrido:,0 1, Monotonía: - Creciente:, 1 1,0 - Decreciente: 0,11, - Máimos relativos:

Más detalles

BLOQUE III Funciones y gráficas

BLOQUE III Funciones y gráficas BLOQUE III Funciones y gráficas. Características globales de las funciones 9. Rectas e hipérbolas 0. Función cuadrática Características globales de las funciones. Funciones Considera los rectángulos con

Más detalles

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES DE CADA EPÍGRAFE Pág. Página Completa la siguiente tabla: Nº- de vídeos 0 6 7 8 9 0 Coste no socios 0, 7, 0, 7, 0, Coste socios 6 7 8 9 0 Completa en tu cuaderno la gráfica de la derecha, representando los resultados con

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos.

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos. Análisis, y programación lineal resueltos. Problema 1: Se considera la función f(x) = ax 3 + b ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada

Más detalles

FUNCIÓN LINEAL. Funciones 2 INTRODUCCIÓN FUNCIÓN LINEAL. f : R R / f(x) mx b

FUNCIÓN LINEAL. Funciones 2 INTRODUCCIÓN FUNCIÓN LINEAL. f : R R / f(x) mx b Funciones INTRODUCCIÓN FUNCIÓN LINEAL Observamos que: La longitud que se alarga un resorte es proporcional a la fuerza que se hace para alargarlo. El dinero que se debe pagar por un crédito en un banco

Más detalles

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN

PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN Capítulo 2 PENDIENTE MEDIDA DE LA INCLINACIÓN 2.1.2 2.1.4 Los alumnos utilizaron la ecuación = m + b para graficar rectas describir patrones en los cursos anteriores. La Lección 2.1.1 es un repaso. Cuando

Más detalles

2.- Representa los siguientes números en la recta númerica: 2,5,3,5,8,6

2.- Representa los siguientes números en la recta númerica: 2,5,3,5,8,6 ACTIVIDADES TEMA 1 1.- Escribe con palabras los siguientes números: 1.034.456: 20.004.080: 100.060.201: 35.001.001: 2.- Representa los siguientes números en la recta númerica: 2,5,3,5,8,6 3.- Ordena de

Más detalles

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CONSTANTE - RELACIÓN LINEAL

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CONSTANTE - RELACIÓN LINEAL FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CONSTANTE - RELACIÓN LINEAL ) a) Determine pendiente, ordenada al origen y abscisa al origen, si es posible. b) Grafique. -) a) y = ( x ) aplicando propiedad distributiva y= x se

Más detalles

7. Sistemas de ecuaciones lineales

7. Sistemas de ecuaciones lineales 76 SOLUCIONARIO 7. Sistemas de ecuaciones lineales 1. SISTEMAS LINEALES. RESOLUCIÓN GRÁFICA PIENSA CALCULA a) En qué punto se cortan la gráfica roja la azul del dibujo? s r 3. Aplica el criterio que relaciona

Más detalles

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ejercicio nº 1.- a) Resuelve por sustitución: 5x y 1 3x 3y 5 b) Resuelve por reducción: x y 6 4x 3y 14 Ejercicio nº.- a) Resuelve por igualación: 5x y x y b) Resuelve

Más detalles

7 Aplicaciones de las derivadas

7 Aplicaciones de las derivadas Solucionario 7 Aplicaciones de las derivadas ACTIVIDADES INICIALES 7.I. Calcula el volumen del cilindro que está inscrito en el cono de la figura: cm 8 cm Aplicando el Teorema de Pitágoras, se calcula

Más detalles

FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS

FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES RACIONALES. HIPÉRBOLAS 1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA El área de un rectángulo es 18 cm 2. La siguiente tabla nos muestra algunas medidas que

Más detalles

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES

FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA. Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA Folleto De Trabajo Para La Clase ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Eveln Dávila Contenido TEMA: Ecuaciones Lineales En Dos Variables... Solución

Más detalles

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas

BLOQUE IV. Funciones. 10. Funciones. Rectas y parábolas 11. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas 12. Límites y derivadas BLOQUE IV Funciones 0. Funciones. Rectas y parábolas. Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Límites y derivadas 0 Funciones. Rectas y parábolas. Funciones Dado el rectángulo

Más detalles

APELLIDOS Y NOMBRE:...

APELLIDOS Y NOMBRE:... 1º BACHILLERATO Fecha: 6-09-011 PRUEBA INICIAL APELLIDOS Y NOMBRE:... NORMAS El eamen se realizará con tinta de un solo color: azul ó negro No se puede usar corrector Se valorará potivamente: ortografía,

Más detalles

1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?

1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? Pág. 1 Puntos 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? 2 Los puntos ( 2, 3), (1, 2) y ( 2, 1) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas

Más detalles

Representaciones gráficas

Representaciones gráficas 1 MAJ99 Representaciones gráficas 1. Se considera la función 3 f ( ) 1 60 3 (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente.

Más detalles

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de

Por ejemplo si a = 1 y c = 2 obtenemos y x 2 2. 2 1, su gráfico es el mismo que el de. En general, a partir del gráfico de Caso 3: En la ecuación general a b c, a 0 b 0, obtenemos a c, a 0. 10 = + = 8 6 4 = -1 3 - -1 1 3-1 Por ejemplo si a = 1 c = obtenemos. El gráfico de, es el mismo que el de desplazado unidades hacia arriba.

Más detalles

Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de las derivadas 11 Aplicaciones de las derivadas 1. Representación de funciones polinómicas Piensa y calcula Calcula mentalmente: a) lím ( 3 3) b) lím ( 3 3) +@ a) + @ b) @ @ Aplica la teoría Representa las siguientes

Más detalles

9. Rectas e hipérbolas

9. Rectas e hipérbolas 08 SOLUCIONARIO 9. Rectas e hipérbolas Representa gráficamente las siguientes ecuaciones. Di cuáles son funciones y clasifícalas: 8. y =. FUNCIONES CONSTANTES LINEALES PIENSA CALCULA y = Halla mentalmente

Más detalles

PROGRAMA DE REFUERZO 3º Evaluación

PROGRAMA DE REFUERZO 3º Evaluación COLEGIO INTERNACIONAL SEK EL CASTILLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMA DE REFUERZO 3º Evaluación MATEMÁTICAS 3º de E.S.O. ALUMNO: Ref E3.doc3 Página 1 Matemáticas 3º ESO MATEMÁTICAS 3º E.S.O. (010/011)

Más detalles

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N 13 CÁLCULO I

UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N 13 CÁLCULO I UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva MÁXIMOS Y MÍNIMOS Criterio de la segunda derivada Supongamos que

Más detalles

MUESTRA GLOBAL MÓDULO de MATEMÁTICA INGRESO 2015

MUESTRA GLOBAL MÓDULO de MATEMÁTICA INGRESO 2015 LEER: El listado siguiente, es solo una serie de formas de ejercicios que pueden aparecer en el examen. Sin embargo, el Global está planificado para 2 horas reloj, por lo que la extensión será menor, es

Más detalles

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas.

Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. Tema 7: Geometría Analítica. Rectas. En este tema nos centraremos en estudiar la geometría en el plano, así como los elementos que en este aparecen como son los puntos, segmentos, vectores y rectas. Estudiaremos

Más detalles