Combinatoria Básica: Conteo

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1 Capítulo III Combinatoria Básica: Conteo En este capítulo continuamos determinando la cardinalidad de varios conjuntos interesantes, en particular, permutaciones y combinaciones. Como parte de esto encontramos el teorema binomial. III.1. Conjunto de Partes El conjunto de partes ó conjunto potencia de un conjunto X, denotado P(X), es el conjunto de todos los subconjuntos de X: Por ejemplo P(X) {A : A X} P({1, 2, 3}) {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Estamos interesados en el tamaño de P(X): Teorema 1 Si X es n conjunto finito, entonces P(X) 2 X. Este resultado se puede verificar usando la regla del producto: un subconjunto A de X se puede formar tomando la decisión para cada elemento a de X de si a A ó a A. Estas decisiones son independientes. Por lo tanto el número de subconjuntos posibles es 2 X. Para cada A P(X), la decisión para cada elemento de X se puede registrar como una cadena de bits (0 s y 1 s) de longitud n en la cual el i-ésimo bit es 1 si el i-ésimo elemento de X pertenece a A ó 0 si no pertenece. Por ejemplo para P({1, 2, 3}) en el orden dado arriba, se tienen las cadenas correspondientes: 000, 100, 010, 001, 110, 011, 101,

2 2 CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO Se tiene una correspondencia (función biyectiva) entre P(X) y tales cadenas. El número de tales cadenas es 2 X por la regla del producto. Otra correspondencia importante es la de un subconjunto A de X con su función característica 1 χ A : X {0, 1}, definida como χ A (x) { 1 si x A 0 si x A Por ejemplo, con X {1, 2, 3} y A {2}, se tiene χ A {(1, 0), (2, 1), (3, 0)}. De nuevo, el número de tales funciones es 2 X. Una forma alternativa es por inducción. El caso base con n 0 es obvio: P( ) { }. Para el paso de inducción, sea X con X n + 1. Tomemos un a X y sea Y X {a}. Por hipótesis de inducción, puesto que Y n, se tiene que P(Y) 2 Y. Además, podemos dividir los subconjuntos de Y entre los que no contienen a, que es igual a P(Y) y los que contienen a, que es igual a la unión de cada conjunto en P(Y) con {a}: (Como ejemplo P(X) {A : A P(Y)} {A {a} : A P(Y)} P({1, 2, 3}) {, {1}, {2}, {1, 2}} {{3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. ) Esta es una unión disyunta. Además, el segundo conjunto tiene una correspondencia uno a uno con el conjunto P(Y): es una biyección. Por lo tanto equis P(Y) {A {a} : A P(Y)} A A {a} P(X) P(Y) + P(Y) 2 Y + 2 Y 2 Y +1 2 X. 1 χ es la letra griega chi que desafortunadamente acá es difícil de diferenciar de la letra

3 III.2. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN/EXCLUSIÓN 3 III.2. Principio de Inclusión/Exclusión El principio de inclusión/exclusión extiende la computación de la unión de conjuntos al caso en que estos no sean disyuntos. Teorema 2 Si A y B son conjuntos finitos, entonces A B A + B A B Prueba. Podemos escribir A B como la unión disyunta A B (A (A B)) B, lo cual se verifica fácilmente. De aquí que, usando (i), A B A (A B) + B. ( ) Similarmente, tenemos la unión disyunta A (A (A B)) (A B) y la correspondiente igualdad A A (A B) + A B de donde A (A B) A A B. ( ) De ( ) y ( ) se obtiene que A B A (A B) + B ( A A B ) + B A + B A B. Alternativamente, se puede verificar que cada elemento en A B contribuye 1 a la suma en la derecha, y que un elemento que no está en A B contribuye 0 (en clase, en lugar de la tabla, se uso un diagrama de Venn): A B A B total A B A B A B A B

4 4 CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO La generalización a tres conjuntos (la cual se puede derivar del caso para dos conjuntos) es A B C A + B + C A B B C A C + A B C. y en este caso podemos ver las contribuciones A B C A B B C A C A B C total A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C Ejemplo. Determine el número de enteros entre 1 y 1000 divisibles por 3 ó 5 Solución. Los enteros divisibles por 3 y divisibles por 5 son exactamente los enteros divisibles por 15. Por lo tanto enteros entre 1 y 1000 divisibles por 3 ó 5 enteros entre 1 enteros entre 1 enteros entre 1 y 1000 divisibles + y 1000 divisibles y 1000 divisibles por 3 por 5 por 3 y El principio de inclusión/exclusión se generaliza a la unión de n conjuntos A 1, A 2,..., A n de la manera natural: La cardinalidad de la unión es igual a la suma de las cardinalidades de las intersecciones de subcolecciones, con signo positivo ó negativo dependiendo de si el tamaño de la subcolección es impar ó par: A i A i A j + A i A j A I n A i1 1 i<j n 1 i<j< n + + ( 1) n 1 A 1 A 2 A n. Esto se puede escribir en forma más compacta como se hace en el siguiente teorema.

5 III.3. CONTEO DE FUNCIONES 5 Teorema 3 Sea I n {1, 2, 3,..., n} y A, 1,..., n, una colección de conjuntos finitos. Entonces (al lado derecho se muestran tres formas diferentes de escribir lo mismo): A A j I n 1 J I n, J j J ( 1) J 1 A j J I n j J ( 1) J 1 A J J I n donde A J j J A j (la suma en la izquierda es sobre todos los en I n y la suma en la derecha es sobre todos los subconjuntos de I n no vacíos). Este teorema se puede probar por inducción sobre n (ejercicio). Una prueba alternativa que generaliza los argumentos dados antes para el caso 2 y 3 (las tablas) se presentará más tarde. III.3. Conteo de Funciones Usamos F(A, B), I(A, B), B(A, B) para denotar los conjuntos de funciones f : A B tal que f es arbitraria, inyectiva, y biyectiva, respectivamente. Como ejercicio en formalidad, en esta sección determinamos detalladamente las cardinalidades de estos conjuntos. Las dos próximas secciones reconsideran permutaciones y combinaciones más informalmente. Proposición 4 Sean A, B conjuntos finitos con A y B n. Entonces { n si 0 ó n 0 (i) F(A, B) 1 si n 0 n(n 1)(n 2) (n + 1) si n (ii) I(A, B) (n )! 0 si > n (iii) B(A, B) { si n 0 si n Prueba. (i) Si 0 entonces F(A, B) { } y F(A, B) 1; si 0, n 0 entonces F(A, B) y F(A, B) 0. Entonces podemos asumir, n 0 y

6 6 CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO usamos inducción sobre. Para el paso inductivo, consideramos A con A > 0; fijamos a A y sea A A {a}. Note que A 1. Entonces F(A, B) b B F b (A, B) donde F b {f : A B : f(a) b}. Esta unión es disyunta y por lo tanto F(A, B) F b (A, B). b B Se tiene la correspondencia (biyección) g b : F b (A, B) F(A, B) f f A, y por lo tanto, usando la hipótesis de inducción, F b (A, B) F(A, B) n 1. Reemplazando en la ecuación anterior tenemos F(A, B) F b (A, B) n 1 n n 1 n. b B b B (ii) Sabemos que una función inyectiva sólo es posibe si n. Vamos a probar que I(A, B) por inducción sobre con n. Como caso base, (n )! para 0 y n arbitrario, I(A, B) { } y por lo tanto I(A, B) 1. Para el paso inductivo consideramos A, B con > 0 y n > arbitrario. Fijando un a A, sea A A {a} y para cada b B sea B b B {b}. Entonces I(A, B) b B I b (A, B) donde I b (A, B) {f I(A, B) f(a) b}. Note que la unión es disyunta y por lo tanto I(A, B) I b (A, B). b B

7 III.3. CONTEO DE FUNCIONES 7 Ahora, para cada b B la función g b : I b (A, B) I(A, B b ) f f A es una biyección. Por lo tanto, usando la hipótesis de inducción, I b (A, B) I(A, B b ) (n 1)! ((n 1) ( 1))! (n 1)! (n )!. Así que reemplazando en la ecuación anterior para I(A, B), tenemos que I(A, B) (n 1)! (n )! b B (n 1)! n (n )! (n )! (iii) Sabemos que en una biyección es posible sólo si A B n. El resultado deseado B(A, B) se obtiene de (ii) con n. Usamos P (A) para denotar la colección de subconjuntos de A con cardinalidad : P (A) {B A : B }. Para n N y Z, el coeficiente binomial de n en, denotado ( n ) es! (n )!, si 0 n, y es 0 en otro caso. Proposición 5 Para B con B n y 0 n, P (B). Prueba. Sea A I {1, 2,..., } y consideremos I(A, B). Para f I(A, B), f(a). Definimos una relación de equivalencia para f, g I(A, B): f g sii f(a) g(a).

8 8 CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO Sea [f] la clase de f. Para cualquier f, [f]! porque u : B(A, A) [f] σ f σ es una biyección. Ahora I(A, B) {f I(A, B) : f(a) X} X P (B) y por lo tanto I(A, B) P (B)! y P (B) I(A, B)!!(n )!. III.4. Permutaciones Una -permutación de un conjunto X de n elementos es una sucesión de elementos diferentes de X. Formalmente es una función inyectiva (los elementos no se pueden repetir) f : {1, 2, 3,..., } X. Por ejemplo, si X {a, b, c, d, e} entones bda, deb son 3-permutaciones de X (los escribimos aquí unidos porque no hay ambiguedad; en otros casos puede ser conveniente separar los elementos por comas). En el primer ejemplo, la función f es f(1) b, f(2) d y f(3) a, pero usualmente es suficiente con la lista ordenada. Estamos interesados en contar el número de -permutaciones posibles de un conjunto de n elementos. Denotamos este número por P(n, ) y para obtenerlo usamos la regla del producto: una -permutación se puede obtener eligiendo sucesivamente el primer elemento, el segundo elemento, etc, hasta el -ésimo elemento. Para el primer elemento se tienen n opciones, pare el segundo se tienen n 1 opciones (porque debe ser diferente del primero), y en general para el i-ésimo elemento se tienen n (i 1) n i + 1 opciones. Así que por la regla del producto, el número total de posibles -permutaciones es P(n, ) n (n 1) (n + 1).

9 III.5. COMBINACIONES 9 Este número se puede escribir en forma más compacta en términos de factoriales multiplicando y dividiendo por (n )!: P(n, ) n (n 1) (n + 1) (n )! (n )! (n )!. III.5. Combinaciones Una -combinación ó -subconjunto (ó -conjunto) de un conjunto X es un subconjunto de X de tamaño. A diferencia de una -permutación, como conjunto, el ordenamiento no importa. Si X n entonces el número de -combinaciones se denota por C(n, ). Por ejemplo, si X {a, b, c, d, e} entonces las posibles 2-combinaciones son: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e} El valor de C(n, ) se puede derivar de la siguiente manera: una -permutación se puede obtener eligiendo primero una -combinación y luego una permutación de esta. En el primer paso el número de opciones es C(n, ) y en el segundo es!. En el ejemplo anterior, las 2-permutaciones se obtienen pemutando las 2-combinaciones, se obtienen 10 2! 20: {a, b} ab; ba {a, c} ac; ca {a, d} ad; da {a, e} ae; ea {b, c} bc; cb {b, d} bd; db {b, e} be; eb {c, d} cd; de {c, e} ce; ec {d, e} de; eb En general, usando la regla del producto se obtiene y de aquí que C(n, ) P(n, ) C(n, )! P(n, )! (n )!! Este valor también recibe el nombre de coeficiente binomial (por su papel en el teorema binomial que se presenta más adelante) y se denota (n )!!

10 10 III.6. CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO Interpretación Combinatorial Con frecuencia igualdades entre coeficientes binomiales se pueden verificar interpretándolas como diferentes formas de contar la misma colección de objetos. Sea I n {1, 2, 3,..., n}. Damos un par de ejemplos: ( ) ( ) n n 1 n 1 Contamos subconjuntos de I n con un elemento especial, ó más formalmente pares (a, X) con a X y X I n. Para obtener el conteo de la izquierda de la igualdad, seleccionamos primero el subconjunto de elementos, y luego el elemento especial del subconjunto entre sus elementos. Para obtener el conteo de la derecha, seleccionamos primero el elemento especial y luego los 1 elementos restantes para X entre los n 1 elementos restantes de X. ( ) s s ( )( ) n n s Contamos pares (X, Y) con X Y I n, Y s y X. Para obtener el conteo de la izquierda, seleccionamos primero Y como subconjunto de I n, y luego seleccionamos X como subconjunto de Y. Para obtener el conteo de la derecha, seleccionamos X como subconjunto de I n, y luego seleccionamos Y X como subconjunto de I n X. III.7. Teorema Binomial El teorema binomial generaliza las expresiones bien conocidas para el cuadrado y el cubo de una suma X + Y donde X y Y son variables: (X + Y) 2 X 2 + 2XY + Y 2 (X + Y) 3 X 3 + 3X 2 Y + 3XY 2 + Y 3. (Para ser precisos, estamos asumiendo que X y Y conmutan, es decir XY YX, y las leyes usuales de exponentes X i X j X i+j.) Los coeficientes de la expresión

11 III.7. TEOREMA BINOMIAL 11 general (X + Y) n son los enteros en la n-ésima fila del triángulo de Pascal: 0 n0 1 1 n n n n n n n En cada fila el primer y último elementos son 1 y los demás se obtienen sumando los dos enteros en la fila anterior inmediatamente antes y después. Mientras que n indexa las filas como se muestra, indexa las diagonales que corren de arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda, como también se muestra en la figura. El coeficiente con índices n y es el -ésimo coeficiente de (X + Y) n. Este coeficiente, para n 0 y 0 n, lo denotamos con c n, y de acuerdo con la construcción satisface la ecuación de recurrencia para n 0 y 1 n: c n+1, c n, 1 + c n, con casos base c n,0 c n,n 1 para n 0. Veamos primero que c n, Para esto es suficiente ver que ( ( n 0) n ( n) 1 (el caso base) y probar que n ) satisface la misma recurrencia que c n,. Esta es la llamada relación de Pascal: Lema 6 Para n 0 y 1 n, se tiene que Esto se puede verificar algebraicamente, o usando un argumento combinatorial. Este último es esencialmente que para un (+1)-subconjunto X de {1, 2,..., n+ 1} existen dos posibilidades: X contiene n + 1 y contiene otros 1 elementos de {1, 2,..., n}, ó X no contiene n + 1 y contiene elementos de {1, 2,..., n}.

12 12 CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO Prueba. (Alternativa 1) Tenemos la derivación algebraica: ( ) ( ) n n + 1 (n + 1)! ( 1)! + (n )!! ( (n )! ( 1)! 1 n ) (n )! ( 1)! + n + 1 (n + 1) (n )! ( 1)! (n + 1)! (n + 1)!! + 1. n + 1 (n + 1) Prueba. (Alternativa 2) Ahora vamos a dar una prueba biyectiva. Sean A {X {1, 2, 3,..., n + 1} : X } B {X {1, 2, 3,..., n} : X 1} C {X {1, 2, 3,..., n} : X } Sabemos que ( n + 1 A ), B, C 1 Definimos la función f : A B C como { X {n + 1} si n + 1 X f(x) X si n + 1 X En el primer caso la imagen está en B y en el segundo en C. Es fácil de ver que f es biyectiva: Uno a uno: Sean X 1, X 2 A con f(x 1 ) f(x 2 ). Si f(x 1 ) f(x 2 ) está en B entonces X 1 f(x 1 ) {n + 1} y X 2 f(x 2 ) {n + 1} y por lo tanto X 1 X 2. Si f(x 1 ) f(x 2 ) está en C entonces X 1 f(x 1 ) y X 2 f(x 2 ) y por lo tanto X 1 X 2. En ambos casos X 1 X 2 y por lo tanto f es uno a uno. Sobre: Sea Y B C. Si Y B entonces para X Y {n + 1}, se tiene X A y f(x) Y. Si Y C entonces para X Y, se tiene X A y f(x) Y. Por lo tanto f es sobre.

13 III.7. TEOREMA BINOMIAL 13 Puesto que B y C son disyuntos, se obtiene que A B + C y de aquí que ( ) ( ) n + 1 n + 1. En la prueba anterior, la verificación de que f es una biyección es más fácil mostrando la inversa: { Y {n + 1} si Y B g(y) Y si Y C Se verifica fácilmente que f(g(y)) Y y g(f(x) X. Puesto que c n, y ( n ) satisfacen la misma ecuación de recurrencia, entonces deben ser iguales: c n, (formalmente se verifica por inducción). Ahora podemos establecer el teorema binomial. La expresión para la n-ésima potencia de (X + Y) se llama con frecuencia la fórmula del binomio de Newton. Teorema 7 (Teorema Binomial) Para n N 0, se tiene (X + Y) n 0 X Y n. En este enunciado, X y Y son variables que conmutan (pueden tomar valores por ejemplo enteros, racionales ó reales). Así que (X + Y) n es un polinomio en las dos variables X y Y. Prueba. El resultado de (X + Y) n es una suma de términos X Y n y es suficiente identificar el coeficiente c de cada uno de estos. Afirmamos que c ( n ). Esto es cierto porque en el producto (con n términos) (X + Y) (X + Y) (X + Y) (X + Y) (X + Y) después de aplicar distributividad, cada término equivalente a X Y n resulta de escoger X en factores y Y en los n factores restantes. Así que el coeficiente de X Y n es igual al número de formas de escoger elementos de un total de n elementos. Este número es ( n ).

14 14 CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO Como ejemplo, si n 5 y 2, entonces los ( 5 2) 10 productos que resultan en X 2 Y 3 son: XXYYY XYXYY XYYXY XYYYX YXXYY YXYXY YXYYX YYXXY YYXYX YYYXX Alternativamente, se puede dar una prueba por inducción que usa la relación de Pascal. Prueba alternativa. Por inducción sobre n. Para n 0, (X + Y) 0 1 y por otra parte ( 0 0) 1 y X 0 Y 0 1. Para el paso inductivo, consideramos, (X + Y) n+1 (X + Y) n (X + Y) X Y n (X + Y) 0 ( n X +1 Y n ( n X +1 Y n+1 (+1) n+1 ( n X Y (n+1) (( ) ( n n X n ( n + 1 X n n X Y (n+1) 0 donde se ha usado el lema anterior. III.7.1. Aplicaciones ) X Y n +1 ) X Y (n+1) ) X Y (n+1) )) X Y (n+1) + Y n+1 ) X Y (n+1) + Y n+1 Del teorema binomial se puden derivar otras igualdades que aparte de ser interesantes por sí mismas, tienen interpretaciones combinatoriales (de conteo) también interesantes. Sea I n {1, 2, 3,..., n}. 2 n 0

15 III.7. TEOREMA BINOMIAL 15 Derivación: Se obtiene del teorema binomial con X 1 y Y 1 Interpretación combinatorial: Se cuentan todos los subconjuntos de I n, es decir P(I n ). A la izquierda está el conteo ya conocido 2 n y a la derecha está la suma sobre del número de subconjuntos de tamaño. 0 ( 1) 0 Derivación: Se obtiene del teorema binomial con X 1 y Y 1: ( 1 + 1) n i0 ( 1). Interpretación combinatorial: Pasando todos los términos negativos al otro lado, la identidad se puede reescribir como. par impar Esta identidad se puede verificar por medio de una biyección (función biyectiva) entre los subconjuntos de {1, 2,..., n} de tamaño par y los subconjuntos de {1, 2,..., n} de tamaño impar, de la siguiente manera. Sea P par (I n ) {A I n : A } Definimos la función como P impar (I n ) par impar {A I n : A } f : P par (I n ) P impar (I n ) f(a) { A {n} si n A A {n} si n A Claramente, si A P par (I n ) entonces f(a) P impar (I n ). Verificamos que f es una biyección mostrando su inversa: g : P impar (I n ) P par (I n )

16 16 CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO dada por g(b) { B {n} si n B B {n} si n B (f y g son restricciones de la misma función definida en P(I n ) a sus dominios.) Es claro que f(g(b)) B y g(f(a)) A. n 2 n 1 1 Derivación: Con Y 1 en el teorema binomial se obtiene (X + 1) n X. 1 Derivando ambos lados con respecto a X se obtiene n(x + 1) n 1 X 1 Reemplazando X 1 se obtiene n2 n 1 1. Interpretación combinatorial: Esta igualdad se puede interpretar como dos formas diferentes de contar pares (a, A) donde A I n y a A. Para obtener el término a la izquierda se escoge primero a I n y luego A {a} de I n {a}. Para obtener el término a la derecha, primero se escoge y un subconjunto A de tamaño y luego a A. 3 n 2 0 Derivación: En el teorema binomial reemplace X 2 y Y 1. 1 Interpretación combinatorial: Taller. ( ) m + n j0 ( ) ( ) m n j j Derivación: Taller. Interpretación combinatorial: Taller.

17 III.8. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN 17 III.8. Principio de Inclusión-Exclusión Ahora regresamos a la generalización de la relación A B A + B A B al caso de más de 2 conjuntos. Teorema 8 Sea I n {1, 2, 3,..., n} y A i con i I n una familia de conjuntos finitos. Entonces j J A j i I n A i J I n ( 1) J 1 En la prueba χ A denota la función característica de A U. Recuerde que χ A : U {0, 1} dada por { 0 si x A χ A (x) 1 si x A Prueba. Una alternativa es inducción sobre n, la cual se puede encontrar en el texto de Bloch. Aquí presentamos una prueba basada en funciones características. Por conveniencia, abreviamos las intersecciones en el enunciado como A J j J A j. Sea A i In A i. Si x A entonces χ A (x) 0 y χ AJ (x) 0 para todo J I n, y por lo tanto la contribución de x en ambos lados es cero. Si x A, entonces sea I x {i I n : x A i } y I x. Para J I x, se tiene χ AJ (x) 1. Entonces mientras que la función característica evaluada en el lado izquierdo es obviamente 1, χ A (x) 1, en el lado derecho se tiene que la contribución que no se anula directamente es J I x ( 1) J 1 i1 i1 ( 1) i 1 J i;j I x ( ) ( 1) i 1 porque i sumando sobre los tamaños posibles i de J ( ) es el número de -subconjuntos. i Esta suma es exactamente 1 si (cambiando de lado la suma y entrando el 1 a la suma) ( ) ( 1) i 0 i i0

18 18 CAPÍTULO III. COMBINATORIA BÁSICA: CONTEO lo cual es cierto por el siguiente lema (que es realmente una de las aplicaciones presentadas arriba del teorema binomial). Es decir cada x contribuye 0 ó 1 en la izquierda y correspondientemente 0 ó 1 en la derecha. Por lo tanto la igualdad es válida. Lema 9 Sea 0, entonces i0 ( ) ( 1) i 0. i Prueba. El resultado se puede deducir aplicando el teorema binomial a (X + Y) con X 1 y Y 1 porque entonces ( 1 + 1) 0 i0 ( ) ( 1) i. i Ejercicio. n. Pruebe el principio de inclusión-exclusión usando inducción sobre Aplicación: Número de Desarreglos Un desarreglo de I n {1,..., n} es una permutación σ S n tal que para todo i I n, σ(i) i. Sea D n el conjunto de desarreglos. Para i I n, sea A i S n el conjunto de permutaciones con σ(i) i. Entonces D n i I n A i, donde A i denota el complemento de A i. Tenemos entonces que D n i I n A i i I n A i. Así que podemos determinar la cardinalidad de esta unión usando el principio de inclusión-exclusión y luego substraer esa cardinalidad de Para esto usamos que dado J I con J, A i (n )! i J

19 III.8. PRINCIPIO DE INCLUSIÓN-EXCLUSIÓN 19 porque si σ J A i entonces σ(j) j para j J y σ J es una permutación de I J. Así que A i ( 1) J 1 A i i I n J I i J ( 1) 1 (n )! Entonces D n 1 ( 1) 1 (n )!! (n )! 1 ( 1) 1! 1 1 ( 1) 1! ( 1) Note que la suma es la parte inicial de la serie de la función e x evaluada en x 1. Esto significa que cuando n, D n / 1/e. (Note que I n ( ) significa lo mismo que n 1 ( )) En el siguiente capítulo usamos este principio para determinar la función φ de Euler. 0!