UNIDAD I. El Punto y la Recta

Transcripción

1 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect UNIDD I E Punto y ect SESIÓN 4 L ect: Posición Obicu. Determinción de erdderos tmños y ánuos JOGE L. CLDEÓN S.

2 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect ect en posición obicu con respecto os pnos de proyección En este cso os ores que doptn os ánuos α y β son distintos de cero y de noent rdos. Esto tre como consecuenci que ninun de s proyecciones diédrics refejn e Verddero Tmño de un determindo semento de rect en est posición; de iu mner, os propios ores de α y β precen distorsiondos. nte est reidd, se ce necesrio picr un método uxiir que permit determinr os ores nures y e Verddero Tmño, bien medinte e cmbio de posición de semento de rect objeto de estudio, bien medinte introducción de nues proyecciones ciíndrics ortoones (Fi y 1.12). En ener, existen dos csos de rect en posición obicu, oriindos por considerción de un tercer pno de proyección: e pno coordendo XZ o uno preo é. ect de Perfi: En est posición, rect form ánuos distintos de cero y noent rdos con os pnos de proyección ertic y orizont, pero es pre pno coordendo XZ (Pno Lter), por o que se cumpe que α + β = 9 E Verddero Tmño de un semento de rect en est posición se refej en un proyección uxiir, cu se ce sobre un pno cuquier preo pno coordendo XZ y, por o tnto, perpendicur LT. Como este pno uxiir se proyect como ínes rects en os pnos de proyección principes, será necesrio btiro sobre uno de eos pr orr er proyección ter resutnte. E btimiento se reiz comúnmente en torno intersección entre PV y e pno ter uxiir medinte un iro de 9. Pno Lter uxiir = L L = L 1' 2' = L L L = 1 LT L 2 Fi. 1.11: ect de Perfi. E procedimiento pr encontrr es proyección ter prtiendo de s proyecciones diédrics, es e siuiente (Fi. 1.11): Se comienz ubicndo cuquier distnci de orien de coordends preferibemente derec de s proyecciones de rect de perfi un pno ter, e cu se represent por ínes perpendicures íne de tierr que se JOGE L. CLDEÓN S.

3 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect cortn sobre e en e punto. enseuid se trzn por s proyecciones orizontes de os puntos que definen semento de rect ínes de referenci pres LT y que cortn proyección orizont de pno ter uxiir en 1 y 2. Lueo, con centro en y rdios 1 y 2 se dibujn curtos de circunferenci que definen sobre íne de tierr os puntos 1 y 2. Si se entn perpendicures LT por 1 y 2, y pres LT por s proyecciones ertices de os puntos que definen semento de rect, se obtienen, en os cortes correspondientes, s proyecciones teres btids de estos puntos, y, en consecuenci, proyección ter btid de rect de perfi (Fi. 1.11). L proyección ter permite tmbién determinción de s trzs de rect: e corte ect en Posición ccident, en Posición Cuquier o ect Obicu: En est posición, rect form ánuos distintos de cero y noent rdos con os tres pnos coordendos, es decir, no es pre PV, PH ni PL, por o que e erddero tmño de un semento de rect en ests condiciones no se refej ni en s proyecciones diédrics ni en proyección ter. Por o nterior se cumpe que α + β < 9 y que os pnos de proyección PV y PH formn entre sí 9. j Q Q = P j Q P P j P j Q P j Q = Fi : ect Obicu scendente ci dente. Si se soci un rect con tryectori ide de un mói, si se supone ese moimiento de izquierd derec, y se consider obserdor en primer reión de espcio, puede entonces brse de cutro situciones eneres pr rect en posición ccident: scendente ci dente (Fi ), scendente ci trás (Fi b), Descendente ci dente (Fi c), Descendente ci trás (Fi d). JOGE L. CLDEÓN S.

4 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect N N M = M M = M N N M N Fi b: ect Obicu scendente ci trás. k k S S k S k S = = S k Fi c: ect Obicu descendente ci dente. = T T T U U U = T T U U Fi d: ect Obicu descendente ci trás. JOGE L. CLDEÓN S.

5 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect Métodos Indirectos utiizdos en determinción de Verddero Tmño de sementos de rect Como y se indicdo, os sementos de rect en posición obicu no refejn en s proyecciones diédrics su Verddero Tmño. Lo mismo ocurre con os ores nures α y β. Por t motio, es bsoutmente necesri picción de métodos indirectos que permitn resoución de os siuientes tipos de probem: Ddo un semento en posición obicu, determinr su Verddero Tmño y os ores de α y β. Determinr un punto P sobre un rect en posición obicu, teniendo como referenci distnci que y entre P y cuquier otro punto de rect. Construir s proyecciones de un rect si se conocen e Verddero Tmño de un semento sobre e, y os ores α y β. Los métodos comúnmente empedos pr orr e objetio pntedo siuientes: 1. btimiento 2. Giro 3. Introducción de nueos pnos de proyección son os 1. btimiento: Consiste en rotción de un semento de rect en torno un eje preo uno de os pnos de proyección (eje de btimiento) st orr que dopte un posición forbe, es decir, un en que su Verddero Tmño se proyecte sobre uno de os pnos de proyección. Se un semento e cu define un rect - en posición obicu (Fi ). Si se trz un rect pre proyección orizont de semento por su extremo de menor cot (), se ener un triánuo rectánuo denomindo triánuo de btimiento. Su ipotenus es e semento en e espcio (Verddero Tmño), e ánuo formdo entre e y rect pre proyección orizont de es α y e cteto opuesto este ánuo es un semento perpendicur PH de onitud iu diferenci entre s cots de y ( Z = Z Z ). or bien, si e triánuo rot un ánuo de 9 en torno cteto dycente ánuo α (eje de btimiento), dopt un posición de preismo con respecto PH, por o que, si se proyect e triánuo sobre este pno de proyección, se obtiene e Verddero Tmño (VT) de semento y e or re de α. L proyección de punto (nue posición de punto ) se denot por ( btido). En representción diédric se procede de siuiente mner: se trz por proyección ertic de extremo de semento de menor cot ( ) un pre LT, que cortr referenci de otro extremo define diferenci de cot. Enseuid se copi e or de est diferenci usndo e compás sobre un perpendicur proyección orizont de semento de rect, trzd por icnorfí (proyección orizont) de extremo de myor cot (), o que resut en e punto. Lueo, e semento definido por y proyección orizont de otro extremo ( ) es ipotenus de triánuo de btimiento, cuy onitud es e Verddero Tmño (VT) de semento. Finmente, e ánuo formdo entre e Verddero Tmño de semento y su proyección orizont tiene e mismo or de ánuo α, formdo entre dirección definid por y y e pno orizont. De mismo modo, es posibe enerr un triánuo de btimiento que permit isuizción de Verddero Tmño de semento y de or re de ánuo formdo entre dirección y PV, es decir, β. JOGE L. CLDEÓN S.

6 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect Z Z ' VT Z r Y '' VT Y Y 1.13-b Fi. 1.13: Triánuo de btimiento. Su construcción se e cbo ubicndo un pre proyección ertic de semento, en e punto de menor ueo (), siendo su ipotenus e semento en e espcio, β es e ánuo formdo entre y pre proyección ertic y e cteto opuesto β tiene un tmño iu diferenci entre os ueos de y ( Y = Y Y ) (Fi b). JOGE L. CLDEÓN S.

7 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect Medinte un moimiento de rotción de 9 en torno rect pre proyección ertic de semento, e triánuo de btimiento e ser preo PV, por o que, si se proyect sobre este pno en nue posición, se obtiene que e semento definido por y es e Verddero Tmño de, en tnto que e ánuo formdo entre ese Verddero Tmño y proyección ertic de semento tiene e mismo or que e ánuo β. L construcción de este seundo triánuo de btimiento en e sistem diédrico es náo de primero, y es fácimente deducibe de Fi b. 2. Giro: iu que e btimiento, e Giro se fundment en rotción de un semento de rect en posición obicu en torno un rect pre uno de os pnos de proyección. L diferenci entre mbos métodos rdic en que e iro se reiz en torno rects de pié o de punt (eje de iro), o que impic que e ánuo de rotción o iro se de noent rdos únicmente si se trt de sementos de rect en posición de perfi. L rotción se reiz st conseuir que e semento obicuo dopte un posición orizont (eje de punt) o front (eje de pié). Con e fin de simpificr e procedimiento, se seeccion un eje de iro que ten un punto común con e semento de rect objeto de estudio y se ce, demás, coincidir ese punto con uno de os extremos de dico semento. Se un semento e cu define un rect - en posición obicu (Fi ). Considérese un rect de punt que ps por e punto como eje de iro. E rdio de iro será e semento. L rotción de punto en torno ese eje se reiz en un pno preo PV, por o que tryectori de se proyect en e pno ertic como un circunferenci de rdio. Como se quiere er e semento un posición orizont, e corte de es circunferenci con un pre íne de tierr trzd por proyección ertic de centro de iro, d como resutdo nue proyección ertic de ( ). Considerndo que e iro de se reiz en un pno preo PV, es eidente que su ueo permnece inribe, por o que, en e corte de un pre LT trzd por con un perpendicur LT trzd por, se obtiene proyección orizont de punto en su nue posición ( ). Cro está que picrse e iro de semento como se indicdo, e ánuo que form con e pno ertic permnecido constnte; sí, en s proyecciones diédrics, e ánuo β de rect definid por y es iu formdo entre nue proyección orizont de semento y íne de tierr, y que en nue posición rect es orizont. Por est mism rzón, e semento constituye e Verddero Tmño de semento. náomente, e iro de semento obicuo en torno un eje de pié se reiz en un pno preo PH. Supónse que e eje de iro ps por (Fi b); e ueo de permnece constnte en e moimiento, sí como tmbién es constnte e ánuo formdo entre rect y e pno orizont, es decir, α. En seund posición, e semento es front, por o tnto, su Verddero Tmño se proyect sobre PV seún e semento. Finmente, e ánuo formdo entre y íne de tierr tiene e mismo or que e ánuo α que dirección de rect, definid por y, form con e pno ertic de proyección. E procedimiento en representción diédric de iro de un semento en torno un eje de pié es náoo picdo cundo e eje es de punt. JOGE L. CLDEÓN S.

8 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect = ' = ' ' ' ' VT ' '' '' VT '' '' '' = '' = 1.14-b Fi. 1.14: Giro de un semento de rect. 3. Introducción de nueos pnos de proyección ( Cmbio de Pno): diferenci de os dos métodos expuestos nteriormente, no se fundment en e cmbio de posición de semento de rect obicuo objeto de estudio. Consiste en creción de nueos pnos de proyección y por ende de nueos sistems de referenci - que sen preos rect objetio. Se un semento que define rect en posición obicu (Fi ). Si se introduce un nueo pno de proyección orizont PH2 que se preo rect y perpendicur pno ertic, se ener un seundo sistem de proyección, en e que os puntos y se proyectn en 2 y 2. Nótese cómo seund íne de tierr LT2 debe ser pre proyección ertic de semento, y que e nueo pno orizont de proyección es preo rect en e espcio. En nue proyección ( 2 2 ), e semento se encuentr en Verddero Tmño, y, como en e sistem constituido por os pnos de proyección PV y PH2 rect está en posición orizont, e ánuo formdo JOGE L. CLDEÓN S.

9 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect entre proyección 2 2 y LT2 es e ánuo β de rect, puesto que dic rect no rido su posición reti con respecto PV. E procedimiento en representción diédric comienz por e trzdo de nue íne de tierr LT2, pre proyección orizont de y cuquier distnci de este semento. Seuidmente se trzn por y ínes de referenci perpendicures LT2. Como os sistems LT y LT2 comprten e mismo pno ertic, e ueo de os puntos y es e mismo, sí, determinmos s nues proyecciones de y de copindo s distncis de y LT sobre s referencis perpendicures LT2 y prtir de e. Es importnte señr que si e ueo de uno de os puntos es netio en e sistem LT se mntendrá netio en e sistem LT2, pues, como y se dico, mbos comprten e mismo pno ertic de proyección. PH2 PV LT2 LT2 Y LT Y 2 LT PH Fi : Introducción de un nueo pno orizont de proyección. Considérese or un nueo pno ertic PV2 (Fi b), perpendicur PH, preo rect y cuquier distnci de e; intersección de PV2 con PH resut en un nue íne de tierr LT3 que es pre proyección ertic de rect. Ls proyecciones ortoones de y sobre e nueo pno refejn e erddero tmño de semento, por posición front que éste tiene en e sistem diédrico definido por PH y PV2; por es mism rzón, e ánuo formdo entre 3 3 y LT3 tiene e mismo or de ánuo α de rect. Finmente, como e pno orizont es común pr os sistems LT y LT3, cot de os puntos y no rí de un sistem otro. E trzdo en diédrico en este cso es náoo nterior. JOGE L. CLDEÓN S.

10 SISTEMS DE EPESENTCIÓN 1 E Punto y ect PV 3 PV2 3 LT 3 LT3 LT Z 3 3 Z LT3 PH Fi b: Introducción de un nueo pno ertic de proyección. EJECICIOS POPUESTOS 1. Determine s proyecciones diédrics de rect [(1, 1, 2); (65, 4, -1)]. He sus trzs, erddero tmño de semento comprendido entre y trz orizont y os ánuos que form con os pnos de proyección. 2. Determine s proyecciones diédrics de rect b[c(1, 45, -1); D(6, -2, 3)]. He sus trzs, erddero tmño de semento CD y os ánuos que form con os pnos de proyección. 3. Determine s proyecciones diédrics de rect c[e(15, 3, ); F(6,, 35)]. He sus trzs, erddero tmño de semento EF y os ánuos que form con os pnos de proyección. Determine e punto medio de semento comprendido entre sus trzs. 4. Determine s proyecciones diédrics de rect d[g(1, -15, -4); H(7, 45, 1)]. He sus trzs, erddero tmño de semento comprendido entre s trzs y os ánuos que form con os pnos de proyección. 5. Determine s proyecciones diédrics de rect e[i(1, 1, 35); (3, 45, -1)]. He sus trzs, y determine s proyecciones de punto N perteneciente e, sbiendo que se encuentr 3mm derec de I. 6. Determine s proyecciones diédrics de rect [(2, 1, -1); L(5, 3, 3)]. He sus trzs, erddero tmño de semento L y os ánuos que form con os pnos de proyección. H pertenecer est rect e punto P(??,??, 2). JOGE L. CLDEÓN S.