UNIDAD I. El Punto y la Recta

Transcripción

1 SSTEMS E REPRESENTÓN 10 UN SESÓN 3 L Ret: efiniión, trzs y posiiones notles ORE L. LERÓN S.

2 SSTEMS E REPRESENTÓN L RET Es el eleento geoétrio unidiensionl y puede deterinrse trés de un segento de ret, el ul, su ez, se define oo l enor distni entre dos puntos. El estudio de ls proyeiones diédris de l ret se reliz tendiendo ls distints posiiones que ést puede doptr on respeto l siste de refereni epledo, es deir, on respeto los plnos oordendos de proyeión: Plno Vertil y Plno Horizontl. Ls riles ojeto de estudio es ls proyeiones diédris son, en definiti, ls onernientes ls rterístis de l ret: tño de un segento (longitud) y ángulos que for on los plnos de proyeión (direión). L lsifiión de ls distints posiiones de ret se reliz rindo estos ángulos, oenzndo por ls posiiones notles, que son quells situiones en ls que l ret for on los plnos de proyeión ángulos notles: ero y noent grdos. on l finlidd de diferenirls de los puntos, ls direiones de ret se norn usndo letrs inúsuls, denotndo on un superíndie ( o ) d un de sus proyeiones. Por otr prte, el superíndie l será usdo en quells proyeiones relizds sore el plno lterl de proyeión. Si un punto del espio pertenee un deterind ret, ls proyeiones de quél deen siturse sore ls proyeiones oónis de ést Trzs de l ret Se un ret definid por el segento ; los puntos perteneientes un ret que se enuentrn sore los plnos de proyeión se denoinn trzs de l ret. En ist de que existen dos plnos priniples de proyeión, se llrá trz orizontl () de l ret l punto oún entre ell y PH, y trz ertil () de l ret l punto oún entre ell y PV (ig. 1.8). 0 0 ig. 1.8: Trzs de un ret. Eidenteente, l trz ertil es tién el punto de interseión de l ret on su proyeión ertil, y oo este punto se ll en el plno ertil, tendrá su proyeión ORE L. LERÓN S.

3 SSTEMS E REPRESENTÓN 10 orizontl en l líne de tierr. Por otr prte, siendo l trz ertil un punto perteneiente l ret en el espio, su proyeión ertil deerá enontrrse sore l proyeión ertil de ; por lo tnto, l proyeión orizontl de l trz ertil orresponde l orte entre l proyeión orizontl de on l líne de tierr. nálogente, el orte de l proyeión ertil de l ret on l líne de tierr es l proyeión ertil de l trz orizontl (punto de PH, Z = 0); l proyeión orizontl de ese punto se enuentr sore l proyeión orizontl de l ret. Nótese óo los puntos de trz rn un io de región de l ret. En el ejeplo (ig. 1.8), l izquierd de se enuentr l segund región; entre y, l ret está en l prier región y l dere de, se sitú en l urt región del espio. oo y se indido, l ret dopt posiiones notles undo for ángulos de ero o noent grdos on respeto los plnos de proyeión, le deir, undo es prlel o perpendiulr uno de ellos. En el prier so, un segento de ret de deterind longitud se proyet oo otro segento de igul tño, en tnto que en el segundo so, se proyet oo un punto, y que los ryos proyetntes orrespondientes d uno de los infinitos puntos de l ret se onfunden en uno solo. Se denoin α l ángulo que se for entre l ret y el plno orizontl y β l fordo on el plno ertil. tendiendo est onsiderión, es posile relizr l siguiente lsifiión: Ret en posiión prlel l Plno Horizontl El ángulo fordo on el plno orizontl (α) es, oiente, igul ero. L interseión de l ret on este plno () es un punto ipropio, o lo que es lo iso, está en el infinito (ig. 1.9). ependiendo del lor del ángulo fordo por l ret on respeto l plno ertil, se otienen los siguientes sos: Ret de Punt: En est situión, l ret for un ángulo on PV β = 90, por lo que su proyeión ertil ( ) se redue un punto. L proyeión orizontl de l ret ( ) es otr ret, l ul es perpendiulr l líne de tierr y se present en Verddero Tño, y que un segento en est posiión se proyet en on su is longitud. = = == = E E E = = = 0 E E : Ret de Punt : Ret Prlel l Líne de Tierr : Ret Horizontl ig. 1.9: Ret en posiión prlel l Plno Horizontl. ORE L. LERÓN S.

4 SSTEMS E REPRESENTÓN 10 Ret Prlel l Líne de Tierr: En este so prtiulr, l ret es prlel os plnos de proyeión, por lo que β = 0. Se represent en s proyeiones oo rets prlels l líne de tierr y en Verddero Tño. os puntos de trz ( y ) resultn ser puntos ipropios. Ret Horizontl: L ret en est posiión, es oliu on respeto PV, le deir, β 90 y β 0. oo onseueni, l proyeión ertil ( ) es un ret prlel l líne de tierr uy longitud es enor on relión l gnitud de l ret en el espio (), en un proporión igul l oseno del ángulo β. L proyeión orizontl ( ) reflej el Verddero Tño y es un ret inlind on respeto l líne de tierr; el lor de este ángulo es el iso lor de β Ret en posiión prlel l Plno Vertil El ángulo fordo on el plno ertil (β) es igul ero. L interseión de l ret on este plno () es un punto ipropio, o lo que es lo iso, está en el infinito (ig. 1.10). ependiendo del lor del ángulo fordo por l ret on respeto l plno orizontl, se presentn los siguientes sos: Ret de Pié: En est situión, l ret for un ángulo on PH α = 90, por lo que su proyeión orizontl (d ) se redue un punto. L proyeión ertil de l ret (d ) es otr ret, l ul es perpendiulr l líne de tierr y se present en Verddero Tño, y que un segento H en est posiión se proyet en H on su is longitud. d H d H e = e e H d 0 e =H = ==d =H = =d d: Ret de Pié : Ret Prlel l Líne de Tierr e: Ret rontl e ig. 1.10: Ret en posiión prlel l Plno Vertil. Ret Prlel l Líne de Tierr: edo que en est posiión l ret tién es prlel PH, se trtó en el nuerl Ret rontl: L ret en est posiión, es oliu on respeto PH, le deir, α 90 y α 0. oo onseueni, l proyeión orizontl (e ) es un ret prlel l líne de tierr uy longitud es enor on relión l gnitud de l ret en el espio (e), en un proporión igul l oseno del ángulo α. L proyeión ertil (e ) reflej el Verddero Tño y es un ret inlind on respeto l líne de tierr; el lor de este ángulo de inlinión es el iso lor de α. ORE L. LERÓN S.

5 SSTEMS E REPRESENTÓN 10 EEROS PROPUESTOS 1. eterin ls proyeiones diédris de ls rets dds. ndique posiión de d ret, ángulos que for on los plnos de proyeión, trzs y erddero tño del segento que l define. [(05, 40, 20); (15, 10, 20)] [(30, 25, 40); (60, 25, 10)] [E(80, 40, 10); (80, 40, 40)] d [(90, 45, 30); H(120, 45, 43)] e [(150, 40, 10); (150, 10, 40)] g [K(210, 10, 10); L(210, 45, 45)] 2. eterine ls proyeiones diédris de los segentos: : frontl; (20, 10, 05), ide 30 y for 45 on el plno orizontl ( l izquierd y de yor ot que ). eterine ls proyeiones del punto 1(??,??, 25) perteneiente l ret definid por., de perfil; (50, 05, 40), ide 35 y for 60 on el plno orizontl ( de enor ot y yor uel que ). eterine ls proyeiones del punto 2(??, 10,??) pr que pertenez l ret definid por. E, orizontl; E(125, 05, 30), ide 45 y for un ángulo β=60 ( l izquierd y de yor uelo que E). H, de punt; (190, 00, 20), ide 30 (Soluión en l región)., de pié; (200, 20, 00), ide 45 (Soluión en l región). KL, prlel LT; K(220, 20, 10), ide 30 (L l dere de K). ORE L. LERÓN S.