EXAMEN PARCIAL I

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM MT 7 Control Moderno y Óptimo EXAMEN PARCIAL - 04I Problema : Un tanque vacio con masa m o es posicionado sobre g un resorte lineal con rigidez k. El tanque es estable en y o = 0 y solo se puede mover verticalmente. La fuerza del resorte es definida tal que F k (y o ) = 0. La densidad del agua bombeada al tanque es ρ, con flujo volumétrico variable V i (t) = V max Cy(t). La V in electrónica de la bomba puede cambiar apropiadamente el flujo volumétrico que ingresa al tanque dependiendo de la posición y(t) medida por el sensor. Pump La masa de las tuberias unidas al tanque además de la propia masa del tanque están consideradas en k m o. Sensor Una válvula a la salida del tanque puede ser ajustadayesconsideradacomolaentradau(t) = V out (t) Fig.() Tanque llenandose de agua. del sistema.. ( ptos) Calcular las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento vertical del tanque. Usar z = y(t), z = ẏ(t) y z 3 = m tanque (t) como estados. La entrada al sistema es u(t) = V out (t) y la salida (señal medida) es w(t) = y(t). Escribir las ecuaciones en la forma espacio de estados, incluyendo ecuación de salida. Ayuda: Recordar la ley de conservación de masa: ṁ(t) = ṁ in (t) ṁ out (t), y que m(t) = ρv(t).. ( pto) El tanque tiene que mantenerse en equilibrio a la distancia y e, tal que la masa total permanezca en m e. Qué valor de señal de entrada u es requerida para este propósito. 3. ( ptos) Linealizar las ecuciones diferenciales con respecto al punto de equilibrio anterior. Representar las ecuaciones en la forma espacio de estados estándar con matrices del sistema {A,B,C,D}. y(t) V out y 0 Problema : Considerar un sistema de potencia eléctrica con componentes válvula-turbina-generador, la entrada de control es el ingreso de combustible u(t) y salida controlada es la velocidad angular del generador ω G (t). El proceso físico es definido por un modelo normalizado en tiempo continuo como sigue: J ω G +Dω G = P T P L τ u P T = P T +K t u, dondej,d,τ u sonelmomentodeinerciadelgenerador, coeficientedeamortiguamientodelgenerador, y constante de tiempo de la turbina. Las variables de estado son ω G y P T, y corresponden a la frecuencia del generador y potencia de la turbina. P L representa la potencia consumida por la carga y K t es el coeficiente de la posición de la válvula. Sean J =, D = 0.05, τ u = 0. y K t = 0.5. [ ] ωg (t). ( ptos) Calcular las ganancias K y k r de la ley de control u(t) = K P T (t) permite regular la frecuencia del generador en un valor constante. Asumir que todos los estados son medidos. Ubicar los polos del sistema controlado en s = { 3, 4}. +k r ω ref G (t) que. ( ptos) Siendo que la ley de control anterior es muy dependiente del modelo usado, calcular la dinámica del controlador considerando efecto integral y presentar el diagrama de bloques de la implementación. Asumir realimentación de estados. Ubicar el polo adicional en s = { 5}.

2 Mecánica P.A ( pto) integral. Problema 3 Presentar la implementación en Matlab/Simulink del sistema de control incluyendo efecto Sea el sistema de péndulo-carroo como se muestra en la Fig. La dinámica del subsistema "péndulo"" está dada por lass ecuaciones diferenciales. x x x sin x u cos x, 0 Se desea diseñar un compensador que permita controlar ell ángulo x del péndulo, para lo cual se debe seguir los siguientess pasos: Fig péndulo-carro. (pto) Linealice alrededor de {x,x }={0,0}(punto de equilibrio) y encuentre la forma de Espacio Estado: x Ax Bu y Cx Con x= [x,x ] T. Se mide el ángulo x y u es una fuerza externa.. (pto) Es establee el subsistema en Lazoo abierto? 3. (ptos) Demuestre que es posible posicionar el sistema de lazoo cerrado con valores propios dobles en -. Determine la ganancia de Retroalimentación K. 4. (ptos) Demuestre que es posible posicionar los valores propios en - de la matriz del error de estimación A-LC. Calcule la ganancia L. 5. (pto) El principio de separación en este caso da resultados satisfactorios en el diseño al determinar el compensador? Justifique usando los valores propios de la matriz del compensador con entrada y y salida u. 6. (pto) Determinee la ganancia de alimentación directa kr o Nbar para seguir una referencia constante. 7. (ptos) Solo paraa esta pregunta considerar =, implemente la ecuación del Sistema en lazo cerrado determinando en la Fig. 3 la ecuación del compensador G uy (s) en la retroalimentaciónn y G ur (s) en la alimentación directa. Consideree una entrada constantee r(t). Fig 3 Modelo del Sistema de Control del Péndulo Las Profesorass

3 Mecánica P.A. 04- Problema

4 Mecánica P.A. 04- Problema

5 Mecánica P.A. 04- Problema a) A B= 0 C= 0 b) Los polos del sistema en lazo abierto es: s=± es inestable, presenta un polo en el semi plano derecho. c) Polinomio deseado; ( s ) s s des 0 Co Rango(Co) = completamente Controlable, si es posible el diseño del retro-alimentador de estados completo K [ 0 ] Co (A) 0 des [0 ] 0 0 d) ob Rango(ob) = completamente observable, si es posible el diseño del 0 observador de estados completos T T L K [0 ] Ob d (A ) T 0 T es [ 0 ] 0 L e)matriz del Compensador Ac=A-BK-LC C

6 Mecánica P.A A c 0 Polinomio característico: s 4s ( ) 5 0 s 4s 0 Como 0, siempre va a ser asintóticamente estable, por lo que el diseño del compensador será satisfactorio. 4 s, f) g) Kr=-/ 4 5s 4 ) G uy s 0 4s 0 y G ur s 0 ( ) 9 s 4 4s 0

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