CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semana 1 30 Julio al 3 Agosto 2007
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- Juan Antonio Tebar Toledo
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1 CÁLCULO Ejercicios Resueltos Semaa 0 Julio al Agosto 007 Ejercicios Resueltos. Estime el área ecerrada por la curva de ecuació y, el eje X y, para ello, divida el itervalo [0,] e cico partes iguales, y estime el área mediate la suma de áreas de los cico rectágulos cuyas alturas se determia por: (a) los etremos de la derecha, y (b) los etremos de la izquierda. (c) A partir de la iformació reuida e (a) y (b), complete esta afirmació: El área es meor que, pero mayor que. (a) y y 0 De la figura, el acho de cada rectágulo es / y el alto es determiado por el valor a la derecha de cada rectágulo bajo y, El área de los cico rectágulos es igual a: ( )
2 (b) Como suma iferior (caso (a) es como suma superior) el área de los cico rectágulos es igual a: 0 80 ) (0.8 Cocluimos que el área es meor que.88 pero mayor que.8. y y 0
3 . Estime el área bajo y y sobre [,] de la siguiete maera: (a) Divida el itervalo [,] e cico seccioes de igual logitud. (Trácelas). (b) Halle las coordeadas del puto medio de cada secció. (Señale los putos e el diagrama). (c) E cada secció trace u rectágulo cuya altura sea el valor de medio. (Elabore los cico rectágulos) e el puto (d) Halle la altura de cada rectágulo. (Señale las alturas e el diagrama). (e) Halle el área total de los cico rectágulos. (c),(d) (e) El área total es ( 7 )
4 . U egocio que e la actualidad o obtiee beeficios debe aumetarlos de maera gradual e los próimos tres años hasta que alcace ua razó de milloes de dólares por año. Al fial del primer semestre la razó debe ser u cuarto de milló aual, y al fial del segudo año de milloes auales. E geeral, al cabo de t años, e que t es u umero etre 0 y, su razó de beeficios ha de ser t milloes auales. Estime el beeficio total durate esos tres años si el pla es eitoso. Utilice seis subitervalos de igual logitud y los putos medios. Dividiedo el periodo de años e subitervalos de igual logitud total es aproimadamete. 7 ) 7 ( 8.7 milloes de dólares.
5 . Para la curva de ecuació y se, co [ 0, π ]. a) Dibuje la regió b) Trace seis rectágulos del mismo acho cuya área total se aproima por eceso al área de la regió c) E el dibujo idique la altura y el acho de cada rectágulo d) Halle el área total de los seis rectágulos (b) y y si 0 π / π (d) El área total es igual a la suma de los seis térmios: π π si π π π π π π π π π π si si si si si π si π π si π π si π π π π π si si si π.777 ( ) π
6 . Cosidere u estimativo del área de la regió por debajo de y sobre [0,] obteido por la divisió e seccioes de igual logitud, dode es u etero positivo. Sea B() el valor del estimativo por eceso obteido mediate los etremos derechos y C() el valor del estimativo por el defecto usado los etremos izquierdos. Sea A el área por calcular. [Ya se sabe que C() 7.0 A 0. B()]. (a) Eplique por qué B() C() 7/ (b) Qué ta grade debe ser el valor de para que B() C() 0.0? Respuesta a) Sobre estimació es B() ( ) Y por defecto C().... La diferecia etre B() y C() es 7 b) Requerimos B() C() cosiderar Etoces 0.0, luego se debe. Dé u ejemplo de ua fució F cuya derivada sea a) ( ) b) ( ) c) se d) e) (Verifique sus respuestas mediate difereciació) a) Dado que ( ) ', ua atiderivada de ( ) es ' ( ) ( ). Cualquier fució de la forma costate, tiee como atiderivada a ( ). ( ) ( ), etoces C, dode C es ua b) Note que ( ), luego ua atiderivada es C, C cte.
7 c) Dado que (cos ) ' se, cocluimos que ua atiderivada de se d) Como ( )' C, C cte. y es cos C, C cte. ' cos ' se, luego se sigue que la atiderivada de es e) Como ( )', es claro que ( C) ', C cte.
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