Análisis de un circuito RC con resistencia no lineal

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1 Aálss de u crcuto RC co ressteca o leal Joaquí Castro Z, Lucas Provezao & Emlo F. Restell () Facultad de Igeería, Cecas Exactas y Naturales, Uversdad Favaloro. joaqu_882@hotmal.com, lucasprovezao@hotmal.com, emlofrestell@gmal.com RESUMEN: Se estuda la carga de u codesador e sere co ua ressteca que o respode a la ley de Ohm (flameto de ua lámpara cadescete). PALABRAS CLAVES: Crcuto RC, ressteca o óhmca. INTRODUCCIÓN U crcuto coformado por u codesador y u resstor coectados e sere se cooce como crcuto RC sere. Cuado el crcuto se cerra co ua fuete de voltaje, el codesador se carga hasta que alcaza u valor máxmo, al que llega astótcamete. Durate el proceso de carga, la correte e el crcuto tede a cero de la msma maera Es usual aalzar al crcuto RC cuado el resstor tee comportameto óhmco. E este caso, durate la carga, la dfereca de potecal v(t) e el codesador está dada por: [] t / RC v( t) = V ( e ), () 0 dode V 0 es el voltaje de la fuete. La correte varía e el tempo desde el valor cal máxmo I 0 = V 0 /R hasta cero segú: ( t) dq t / RC = = I 0e. (2) Después de u tempo gual a RC, la correte dsmuye a /e de su valor cal, y el voltaje alcaza el 63% de su valor fal V 0. El producto RC caracterza la rapdez de carga del codesador y se cooce como costate de tempo τ: τ = RC. (3) Luego de u tempo, el sstema alcaza u estado estacoaro y el voltaje e el codesador alcaza astótcamete su valor máxmo. Este tempo suele llamarse tempo de establecmeto del sstema t e, que e la práctca se estma como t = 5τ. (5) e El objetvo de este trabajo es estudar e forma detallada el proceso de carga de u codesador e u crcuto RC sere, e el caso e que el resstor o preseta comportameto óhmco. Para ello usamos como ressteca del crcuto el flameto de ua lamparta cadescete, cuya ressteca aumeta a medda que aumeta la tesdad de la correte. [2] La ressteca de u alambre como el flameto de la lamparta, de seccó uforme A y logtud L, está dada por: [] L R = ρ (6) A dode ρ es la resstvdad del materal. A medda que se cremeta la correte por la lamparta, la temperatura del flameto aumeta, por lo que aumeta la resstvdad depedete de la temperatura. Además, se da el proceso de expasó térmca, lo que modfca la logtud y área del flameto. Como ua cosecueca global del aumeto de la temperatura, la [3, 4, 5] ressteca del crcuto també aumeta. Por la prmera ley de Krchoff, el voltaje e u crcuto RC como el estudado e todo state es gual a las caídas de potecal e la ressteca y e el codesador: [] q = R + C ε (8) dode q es la carga del codesador e la correte del crcuto. La expresó dferecal respecto del tempo de la ecuacó (8) es: dr dq 0 d R + + C =, (9)

2 que tee e cueta la varacó de R. Teedo e cueta que dq =, (0) y que e el caso o-óhmco R depede de la correte: dr dr d =, () d la ecuacó (9) se puede reescrbr como d. (2) C dr R + d La ecuacó (2) puede ser resuelta umércamete usado el método de Euler. S se dscretza la ecuacó se obtee: t + + t C R + dr d. (3) Aquí, hace refereca al eésmo paso e el tempo. S la correte e el paso es coocda, se puede escrbr la correte e el sguete paso de la sguete forma: + t + t. (4) C dr R + d La ecuacó (4) da lugar al modelo umérco que se utlza e el presete trabajo para el aálss de los datos. A partr del modelo se aalza el comportameto de la correte del crcuto e estudo. 2 METODO EXPERIMENTAL Para llevar a cabo el expermeto se dseñó u crcuto eléctrco RC sere que costa de ua fuete de tesó cotua varable, ua lamparta de ltera y dos codesadores de F coectados e paralelo (C = 2 F). Se utlzó además ua ressteca patró de valor (R p =,8 Ω) para medr la correte del crcuto a partr de la medcó de la caída de tesó e sus bores. El dspostvo expermetal se muestra e la Fgura. Se tee especal cudado de o superar la correte permtda por la lamparta ( máx = 0,3 A). Fgura. Crcuto RC sere que utlza ua lámpara como resstor. El procedmeto expermetal cosste, prmero, e eceder la lámpara s que la correte pase por el crcuto RC. Para eso el crcuto dspoe de u terruptor que srve como llave selectora. De esta maera la lamparta está ecedda e el mometo de comezar a cargar el codesador. Segudamete, se camba la poscó de la llave terruptora, y se estuda el comportameto del crcuto durate la carga. Esta opcó permte car la carga del codesador co la ressteca calete, cuado está e u régme de comportameto o leal. Para regstrar los datos se usó u sstema de adquscó de datos por computadora (MPLI de Vermer) y se mdero e fucó del tempo las caídas de potecal e la lámpara y e la ressteca patró v p. El msmo crcuto srve para realzar u barrdo de la correte por la lamparta para caracterzar el comportameto o ómhco del flameto medate ua curva voltaje-correte. Posterormete, se aalzó la respuesta del crcuto durate la carga del capactor segú el modelo propuesto por (4). Es ecesaro aclarar que el valor de la ressteca patró utlzada para coocer el valor de correte fluye també e el comportameto del crcuto e estudo. E el modelo a utlzar, esto mplca que la ressteca R es la suma de las resstecas de la ressteca patró y de la lamparta para cada valor de correte. Para la solucó umérca del modelo se requere: la correte cal, el valor de la ressteca de la lamparta e todo state y la forma e que varía co la tesdad de la correte. La solucó umérca se obtuvo usado ua plalla Excel.

3 3 RESULTADOS A partr de los datos recoplados se realzó el gráfco de la Fgura 2, dode se observa el voltaje e la lamparta e fucó de la correte, obteda como = v p /R p.. Cabe mecoar que se trata de u proceso e el que la correte dsmuye. Esto sgfca que e el state cal la correte es máxma, y el barrdo se realza para corretes decrecetes. VR (V) 2,50 2,00,50,00 0,50 0,05 0,0 0,5 0,20 0,25 0,30 Fgura 2. Voltaje e la lámpara fucó de la correte E el gráfco de la Fgura 3 se preseta la varacó de la ressteca a medda que la correte dsmuye, lo que muestra su comportameto o-óhmco. De este gráfco correspodete a R() se obtee el valor de dr/d. Para ello ajustamos R() co u polomo de grado 6 (R 2 ) y tomamos su dervada. 9 0,25 0,20 0,5 0,0 0, t (s) Fgura 4. Carga del capactor. Correte e fucó del tempo. La Fgura 5 muestra la comparacó de la solucó umérca de (4) co los datos expermetales. 0,25 0,20 0,5 0,0 0,05 Modelo Dato expermetal t (s) Fgura 5. Represetacó e cojuto del modelo y los datos expermetales para el proceso de carga del codesador. 6 R (Ω) 3 0 0,05 0,0 0,5 0,20 0,25 0,30 Fgura 3. Varacó de la ressteca e fucó de la dsmucó de correte. A f de hacer u aálss más detallado del comportameto de la lamparta, se realzó el gráfco de la Fgura 6, dode se observa u comportameto aómalo de la curva resultate. Se ota la preseca de dsttas respuestas de acuerdo al aumeto o dsmucó de la tesdad de correte. La curva feror correspode al aumeto de la correte y la superor al proceso verso, para u expermeto de cclado que duró uos 30 segudos. La Fgura 4 muestra la varacó de la correte e el crcuto RC durate la carga del codesador. Nótese el comportameto de la correte, que claramete o tee ua varacó expoecal.

4 V [V] 2,5 2,0,5,0 0,5 0,0 0,0 0,20 0,30 0,40 0,50 I [A] Fgura 6. Comportameto de la lamparta. Hstéress. 4 DISCUSIÓN A partr del aálss de la Fgura 2, se puede ver claramete que el comportameto de la ressteca de la lamparta o obedece a la Ley de Ohm. El comportameto leal se verfca sólo para corretes muy bajas (Fgura 6). Al aumetar la correte y por ede la temperatura, la ressteca abadoa este comportameto. De la Fgura 3 se deduce la preseca de u aumeto proucado e el valor de la ressteca de la lamparta a partr de u certo rago de correte. E el gráfco de la Fgura 4 se observa que la respuesta del crcuto RC e estudo o se correspode co la de u crcuto del msmo tpo co ua ressteca leal. Esto se debe a la flueca de la ressteca que depede de la correte. La correlacó exstete etre el modelo propuesto e la ecuacó (4) y los datos expermetales es buea para todo el tervalo meddo, auque debe realzarse ua correccó de u 25% e el valor de capacdad del codesador. De todas maeras, se trata de ua aproxmacó aceptable. E la Fgura 6 se puede dstgur ua dfereca e el comportameto de la curva voltajecorrete geerada para varacoes crecetes y decrecetes de la correte. Este comportameto puede ser tratado como u cclo de hstéress. [6] 5 CONCLUSIONES Luego del aálss de datos, se cocluye que ua lamparta como la estudada e la realzacó expermetal o obedece a la ley de Ohm para todos los valores de correte. La respuesta de la ressteca preseta u comportameto aproxmadamete óhmco sólo para bajas tesdades de la correte. Cuado ésta aumeta, se produce u cambo abrupto y se abadoa el régme leal. Este proceso es atrbuble al aumeto de temperatura del flameto de la lámpara que causa varacoes o leales de la resstvdad. A partr del estudo de la respuesta del crcuto RC co ua ressteca de estas característcas se cocluye que la varacó de la ressteca explcada aterormete cde de maera drecta e el comportameto del crcuto. S be la correte dsmuye moótoamete e el tempo, la varacó deja de ser expoecal. La solucó del modelo obtedo a partr de la ecuacó del crcuto tee buea correlacó co los datos expermetales. Por últmo, cabe resaltar la preseca de u comportameto aómalo de la ressteca. Se da u proceso típco de u cclo de hstéress, que dca que la varacó de la ressteca es dferete s se aumeta o dsmuye de maera cotua la correte. Se puede atrbur este comportameto a u efecto de erca térmca. [6] AGRADECIMIENTOS Los autores agradece al Dr. Eduardo Rodríguez por su permaete colaboracó y dedcacó para la realzacó del presete proyecto y a Rubé Farías por su ayuda e el desarrollo expermetal. 6 REFERENCIAS [] Sears F. &. Zemasky M. Físca Uverstara: Volume II. Addso Wesley Logma, Méxco D.F., 999. [2] Ross R. & P. Veugopal, O the problem of (ds)chargg a capactor through a lamp, Am. J. of Phys., 74, , [3] Wager W., Temperature ad Color of Icadescet Lamps, Phys. Teach., 76-77, 99. [4] Deardo B., Temperature of a Lghtbulb Flamet, Phys. Teach., 40, 0-05, [5] MacIsaac D., G. Kaer & G. Aderso, Basc Physcs o the Icadescet Lamp (Lghtbulb), Phys. Teach., 37, , 999.

5 [6] Mrada E., S. Nkolskaa, R Rba & E. Atoo, Itegrado calor y electrcdad e la eseñaza de la Físca, Revsta Igeería Académca,, 5-20, 2007.