Ejercicios de Análisis Matemático Sucesiones numéricas

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1 Ejercicios de Aálisis Matemático Sucesioes uméricas. ado " > 0, calcula m " N tal que ara todo >m " se verifique jx xj < " dode x, x viee dados e cada caso or: a/ x C ; x 3 I b/ x 3 C 3 ; x 0 c/ x a.a > 0/; x I d/ x ; x 0 e/ x C ; x 0I f / x a.jaj < /; x 0 Sugerecia. Como cosecuecia del biomio de Newto, ara x > 0 se verifica que x.c.x // >C.x /: Esta desigualdad, coveietemete usada, ermite resolver co facilidad los casos b), c), d) y e). Solució. Como regla geeral, e este tio de ejercicios hay que trabajar hacia atrás, esto es, se calcula y simlifica jx xj y se covierte la desigualdad jx xj < " e otra equivalete a ella de la forma > '."/ dode '."/ es u úmero que deede de ". Basta etoces tomar m " como la arte etera de '."/ más, m " E '."/ C, co lo cual ara todo > m " se tiee que < '."/ y, or tato, jx xj < ". Este rocedimieto admite muchos atajos. Hay que teer e cueta que o se ide calcular el m " ótimo, es decir, el meor valor osible de m " tal que >m " jx xj < ", sio que se ide calcular cualquier valor de m " ara el cual sea cierta dicha imlicació. Para ello es suficiete co obteer, a artir de la desigualdad jx xj < ", otra desigualdad del tio > '."/ de forma que se verifique la imlicació > '."/ jx xj < ". E este rocedimieto hay que quitar valores absolutos. Esto siemre uede hacerse orque la desigualdad jx xj < " equivale a las dos desigualdades " < x x < ". Co frecuecia, el úmero x x es siemre ositivo o siemre egativo ara todo > 0, lo que ermite quitar directamete el valor absoluto y sustituirlo or la corresodiete desigualdad. Por suuesto, e estos ejercicios hay que trabajar co u valor geérico de " > 0, es decir, o está ermitido cosiderar valores articulares de " orque se trata de robar que ua cierta desigualdad es válida ara todo " > 0. La verdad es que se tarda más e escribir lo aterior que e hacer el ejercicio orque las sucesioes que se da so muy secillas y la sugerecia muy útil. a) Teemos que jx xj C 3 ˇ3 50 3ˇ 09 ˇ9 50ˇ : El deomiador es ositivo ara todo > 7. Pogamos 7 C dode N. Etoces jx xj C 9 < 09 9 < 3 : educimos que ara que se tega jx xj < " es suficiete que tomar 7 C dode se elige de forma que 3 3 < ", es decir, > ". Por tato, oiedo m " 8 C E. 3 " / odemos asegurar que ara todo > m " se verifica que jx xj < ". Observa que las acotacioes desejar de la desigualdad 09 se obtiee u valor de mayor). 09 3C9 < 09 9 < 3 3C9 o so imrescidibles; de hecho, odemos < ", ero las acotacioes hechas facilita este aso (auque to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

2 Ejercicios de Aálisis Matemático b) Teemos que: 0 < x 0 3 C 3 3 r 3 C! : Pogamos z 3 r C. Teemos que z > 0 y, usado la sugerecia dada: educimos que: Por tato: La desigualdad 3 E 7" 3. 3 Observa que la acotació 3 e la desigualdad 3 valor mayor ara ).. C z / 3 C > C 3z z 6 3 x 3 z : 3 < " x < " jx 0j x < " 3 < " se verifica ara todo >. Por tato, es suficiete tomar m 7" 3 " C o es imrescidible; de hecho, odemos desejar < ", ero la acotació aterior facilita este aso (auque se obtiee u c) Sea a >. Etoces < a. Pogamos z jx j a > 0. Teemos que: educimos que:. C z / a > C z z < a a < " z jx j < " La desigualdad a < " se verifica ara todo > a ". Por tato, es suficiete tomar m " C. E a " Si 0 < a <, oiedo b a y usado lo ya visto, teemos que: 0 < b a < b < b a b a e dode se sigue que odemos tomar m " C E a a". e) Sea x C. Teemos que: 0 < x jx 0j C r C! : Pogamos z r C. Teemos que z > 0 y:. C z / C > C z z < : Por tato, usado la desigualdad??, teemos que: jx 0j z < < C 0 C 6 3 educimos que tomado m " C E 3 ", ara todo > m" se verifica que jx 0j < ". to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

3 Ejercicios de Aálisis Matemático 3. Sea A u cojuto o vacío y mayorado de úmeros reales. Prueba que u úmero real, ˇ, es el suremo de A si, y sólo si, ˇ es u mayorate de A y hay algua sucesió de utos de A que coverge a ˇ. Solució. Suogamos que ˇ su.a/. Etoces ˇ es, claro está, u mayorate de A. Veamos que hay ua sucesió de utos de A que coverge a ˇ. Como ˇ es el míimo mayorate de A, igú úmero meor que ˇ uede ser mayorate de A. Por tato, dado " > 0, como ˇ " < ˇ, tiee que haber algú a " A tal que ˇ " < a ". E articular, ara " tiee que haber algú a A tal que ˇ < a y, or suuesto, a 6 ˇ. educimos así la existecia de ua sucesió, fa g, de utos de A que verifica ˇ < a 6 ˇ. Es claro que fa g! ˇ. La afirmació recíroca te la dejo aara que la hagas tú. 3. Suuesto que lkımfx g x, rueba que Afx WNg[fxg tiee máximo y míimo. Solució. Los elemetos de A so los térmios de la sucesió juto co el límite de la misma. Observa que el cojuto A uede ser fiito o ifiito. El caso e que A es fiito es trivial orque sabemos que todo cojuto fiito tiee máximo y míimo. Coviee cosiderar, or tato, que A es ifiito. La idea ara hacer este ejercicio es la siguiete: aú siedo A ifiito, todos sus elemetos está e u itervalo de la forma x "; x C"Œ, co la osible exceció de u úmero fiito de elemetos de A que uede quedar fuera de dicho itervalo. Para robar que A tiee máximo debemos fijaros e los elemetos más grades de A. ichos elemetos debería estar a la derecha del úmero x C " ara " > 0 suficietemete equeño. Pero o tiee or qué haber igú elemeto de A e estas codicioes, y eso asa justamete cuado x es el mayor elemeto de A, e cuyo caso x sería el máximo de A. Esto lleva a razoar de la siguiete forma. Si x es el máximo de A, hemos acabado. E otro caso, tiee que haber algú elemeto e A, digamos a A que sea mayor que x, a > x. Tomemos u " > 0 tal que x C " < a (or ejemlo ".a x/=). Etoces, todos los elemetos de A está e x "; x C "Œ exceto u úmero fiito de ellos que queda fuera de dicho itervalo; además, como a > x C ", el cojuto B fua W u > x C "g o es vacío (a B), es fiito y, evidetemete, se tiee que mkax.b/ mkax.a/. 4. a) Sea fx g ua sucesió y suogamos que hay úmeros 0; Œ; N, tales que ara todo > es jx C j 6 jx j. Prueba que lkımfx g 0. b) Sea fx g ua sucesió de úmeros o ulos verificado que lkım jx Cj, dode 06 < jx j. Prueba que lkımfx g 0. Alicació. ados a ; Œ; N, rueba que lkım! f a g 0. Solució. a) Podemos hacer este aartado de dos maeras. La rimera cosiste e darse cueta de que la hiótesis jx C j 6 jx j ara todo >, juto co que 0 < <, imlica que la sucesió jx C j es decreciete y, como es de úmeros ositivos, tiee que coverger a u N úmero > 0. Por tato lkımfjx jg. La desigualdad jx C j 6 jx j imlica que 6 y, como 0 < <, la úica osibilidad ara que dicha desigualdad se cumla es que 0. Otra forma cosiste e escribir ara > : jx C j jx Cj jx j jx j jx j jx j jx j jx Cj jx j jx j 6 C jx j C jx j MC dode hemos uesto M jx j que es ua costate que o deede de. La desigualdad aterior, teiedo e cueta que, or ser 0 < <, se verifica que! 0, imlica que jx j! 0. b) Tomado " > 0 de forma que C " < (basta tomar ". /=), se sigue que hay u úmero N tal que ara todo > se verifica que: jx C j jx j 6 jx C j 6 jx j: to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

4 Ejercicios de Aálisis Matemático 4 Y, or lo visto e el aartado aterior, cocluimos que fx g! 0. La alicació que se rooe e este ejercicio es u resultado imortate que debes memorizar. Pogamos x a, dode se etiede que es u úmero atural fijo y a es u úmero real co jaj <. Teemos que: jx C j jx j C jx C j jaj lkım jaj < :! jx j Y odemos alicar el resultado del uto aterior ara cocluir que lkım! f a g Estudia la covergecia de las sucesioes siguietes. a/ x C. /. C / C. / b/ x 7 C 3 3 C c/ x d/ x a 3 C b.a > 0; b > 0/ X e/ x f / x x.x R/ C! g/ x C 3 C h/ x C C C Sugerecia. E alguos casos uede usarse el riciio de las sucesioes ecajadas o el ejercicio aterior. Solució. a) Teemos que fx g! 3=7, fx g! =7. Luego fx g o coverge orque tiee dos sucesioes arciales que coverge a límites distitos. b) Teemos que 0 6 x 6 3 y, como 3! 0 or lo visto e el ejercicio aterior, se sigue que fx g! 0. d) Sea mkax a; b. Etoces 6 x 6. Como!, cocluimos que fx g!. e) Teemos que: Puesto que lkım que lkım h)!! X 6 6 : C C C lkım, el riciio de las sucesioes ecajadas imlica C! C X. C q C 6. Estudia la covergecia de la sucesió: C C C C C C C C C C C q C C q! C C x X to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

5 Ejercicios de Aálisis Matemático 5 Solució. Estudiaremos la mootoía y acotació. Teemos que: x C x C C C > C C q > C C C 4 0: C Por tato x C > x y la sucesió es estrictamete creciete. Además: x C x C < C C C C C Sumado estas desigualdades ara 6 6 obteemos que x x < <, de dode se sigue que x < ara todo N. Luego fx g es creciete y mayorada, or tato es covergete. Alterativamete, alicado el teorema del valor medio a la fució f.x/ x e el itervalo Œ; C teemos que hay algú úmero c ; C Œ tal que: Como < c < C se verifica que: educimos que: C c C < c < : 0 < C C < C : Y volvemos a obteer las acotacioes ateriores de forma más cómoda. 7. Prueba que la sucesió dada or x 0 y ara > : x log.log / X es covergete y su límite es meor o igual que log.log /. Solució. Teemos que: x C x log.log. C // log.log / log. C / log. C / : Alicado el teorema del valor medio a la fució f.x/ log.log x// e el itervalo Œ; C ara >, teemos que hay algú úmero c ; C Œ tal que: Como < c < C se verifica que: educimos que: log.log. C // log.log / c log c :. C / log. C / < c log c < log : 0 < x C x < log. C / log. C / : to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

6 Ejercicios de Aálisis Matemático 6 Esta desigualdad rueba que la sucesió fx g es creciete. Además, sumado las desigualdades ateriores desde hasta resulta que: x C x < log. C / log. C / < log x C < x C log.log /: log Por tato, la sucesió está mayorada y, como es creciete, es covergete y su límite es meor o igual que log.log /. 8. ados 0 < a < b, defiamos ara todo N: b C a C b ; a C a b : Justifica que las sucesioes así defiidas so moótoas y coverge al mismo úmero (que se llama media aritmético-geométrica de a y b ). Solució. Teiedo e cueta que la media geométrica de dos úmeros es meor que su media aritmética, y que ambas está comredidas etre dichos úmeros, se sigue que a < a < b < b. Volvemos a razoar ahora igual co a < b ara obteer que a < a 3 < b 3 < b. Este roceso uede cotiuarse idefiidamete. educimos que fa g es creciete y fb g es decreciete. Además, ambas está acotadas orque ara todo N es a < a < b < b. Por tato, ambas coverge. Pogamos fa g! a y fb g! b. e la igualdad a C a C b se sigue que a a C b, de dode se obtiee que a b. 9. Estudia la covergecia de las siguietes sucesioes. a) x, x C 3x. b) x 3, x C 3 C 3x 3 C x. c) x, x C 4 C 3x 3 C x. d) ado a ; Œ, defiimos x a, x C x x C 4. e) ado a > 0, defiimos x a, x C a C x. f) x 0, x C. 3 x g) ado a > 0, a, defiimos x a, x C 3 x C a. x h) ado ar, defiimos x a, x C 4 C.x /. i) ado a ; Œ, defiimos x a, 3x C C.x / 3. Sugerecia. Estudia e cada caso mootoía y acotació. La covergecia uede deeder del valor iicial de a. Solució. E este tio de ejercicios uede ser útil calcular de etrada, cuado sea osible y bajo el suuesto de que la sucesió sea covergete, el límite de la sucesió. esués deberemos robar que efectivamete la sucesió coverge. a) Suuesto que fx g!, de la igualdad x C 3x, se sigue que 3, or lo que 3. Observa que o hemos robado que fx g sea covergete. Lo que hemos robado es que, suoiedo que fx g sea covergete, etoces su límite es 3. Este dato os ayudará e lo que sigue. Por ejemlo, como x < x 3, odemos sosechar que fx g es creciete. E tal caso debería verificarse que x < 3 ara todo N. Emezaremos robado esta desigualdad. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

7 Ejercicios de Aálisis Matemático 7 Teemos que x < 3; suuesto que x < 3 deducimos que x C 3x < 9 3. Luego, or iducció, cocluimos que x < 3 ara todo N. Probemos ahora que fx g es creciete. Teemos que: 3x x C x Cx C < 3x C x < x C or tato, la sucesió es estrictamete creciete y, como está mayorada or 3, es covergete y, or lo visto al riciio, su límite es 3. b) Suuesto que fx g!, de la igualdad x C 3 C 3x, se sigue que 3 C 3 3 C x 3 C, de dode resulta que 3, or lo que deberá ser 3 ya que el límite debe ser u úmero o egativo ues, evidetemete, todos los térmios de la sucesió so ositivos. Observa que o hemos robado que fx g sea covergete. Lo que hemos robado es que, suoiedo que fx g sea covergete, etoces su límite es 3. Este dato os ayudará e lo que sigue. Por ejemlo, como x 3 > x, odemos sosechar que fx g es decreciete. E tal caso debería verificarse que x > 3 ara todo N. Emezaremos robado esta desigualdad. Claramete x 3 > 3. Por otra arte: x C > 3 3 C 3x 3 C x > 3 3 C 3x > 3 3 C 3x x 3. 3 / > 3. 3 / x > 3 Por tato, si x > 3 tambié es x C > 3. Luego, or iducció, cocluimos que x > 3 ara todo N. Probemos ahora que fx g es decreciete. Teemos que: x C x 3 C 3x 3 C x x 3 x 3 C x < 0 x C < x or tato, la sucesió es estrictamete decreciete y, como está miorada or 3, es covergete y, or lo visto al riciio, su límite es 3. Estrategia. Para estudiar las sucesioes recurretes uede usarse técicas de derivadas; ara ello hay que exresar la sucesió recurrete e la forma x C f.x /, dode la fució f geeralmete es fácil de obteer a artir de la defiició de la sucesió. E uestro caso, teemos que x C 3 C 3x, or lo que deberemos cosiderar la fució f.x/ 3 C 3x. Co ello, 3 C x 3 C x teemos que x C f.x /. Esta relació, juto co x 3 determia la sucesió. Seguidamete, hay que elegir u itervalo dode la fució f va a estar defiida. Teemos que elegir dicho itervalo de forma que la fució tome valores e él. E uestro caso, la elecció es fácil ues, si x > 0 tambié es f.x/ > 0, or ello vamos a cosiderar que f está defiida e R C o. Podemos volver a euciar uestro ejercicio como sigue. Sea f W R C 3 C 3x o! R la fució dada ara todo x > 0 or f.x/ 3 C x. efiamos fx g or x 3 y x C f.x /. Estudiar la covergecia de fx g. Lo rimero que debemos observar es que la sucesió está bie defiida ues x 3 > 0 y, suuesto que x > 0, tambié es x C f.x / > 0 or lo que tiee setido f.x C /. Si la sucesió coverge, su límite debe ser u úmero > 0 y, or ser f cotiua, f ermuta co el límite, or lo que debe verificarse que lkımfx C g lkımff.x /g f.lkımfx g/ f. /: e dode se obtiee que 3. Para estudiar la mootoía calculamos la derivada de f. Teemos que f 0 6.x/.3 C x/. Como f 0.x/ > 0, se sigue que f es estrictamete creciete. Como x 3 > x f.x / y, al ser creciete, f coserva las desigualdades, se sigue que x f.x / > f.x / x 3. Este roceso to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

8 Ejercicios de Aálisis Matemático 8 uede seguirse idefiidamete, esto es, la misma relació de orde que hay etre dos térmios cosecutivos se coserva siemre: x > x C x C f.x / > f.x C / x C : Obteemos así que fx g es decreciete. Además, como es de térmios ositivos, está miorada, luego es covergete. Su límite ya sabemos que es 3. Observa que, al roceder de esta forma, odemos robar muy fácilmete el decrecimieto de la sucesió, si ecesidad de robar reviamete que x > 3. Las sucesioes recurretes del tio x C f.x / dode f es ua fució cotiua, cuado so covergetes, fx g!, su límite viee dado or f. /, es decir, es u uto fijo de la fució f. e) efiamos f W R C o! R or f.x/ a C x. La sucesió está dada or x a y x C f.x /. Como f es cotiua, si la sucesió es covergete, su límite debe ser u uto fijo de f, es decir, debe ser solució de la ecuació f. /, lo que imlica que a C y deducimos que C C 4a ; dode hemos elegido la solució ositiva de la ecuació. Puesto que x a < x a y, evidetemete, f es estrictamete creciete, se sigue x f.x / < f.x / x 3 y, e geeral, x < x C. Por tato fx g es estrictamete creciete. Veamos que está mayorada. Probaremos que x <. Claramete x a <. Suogamos que x <. Etoces: x C a C x < a C x C < Cocluimos, or iducció, que x < ara todo N. Luego fx g es creciete y mayorada, or tato coverge y su límite es. Para a, teemos que: C 5 lkım s C r C q C C f) Teemos que x 0 y x C. Cosideremos la fució f.x/. La sucesió 3 x 3 x que os da está defiida or x 0, x C f.x /. La derivada de f viee dada or f 0.x/ x. ebemos cosiderar defiida la fució f e u itervalo I que cotega el 0 (orque.3 x / x f.0/ =3) y de forma que f.i/ I. Como f.0/ =3 debe estar e I, deberá ser I Œ0; 3Œ. Como f es creciete e Œ0; 3Œ y f./ =, se sigue que f.œ0; / Œ0; = Œ0;. Cosideraremos e lo que sigue que la fució f está defiida e el itervalo Œ0;. Como f.œ0; / Œ0; y los valores de la sucesió fx g so valores de f obteidos or alicació reiterada de f a artir del valor iicial x 0 Œ0;, dichos valores está siemre e Œ0;. Por tato 0 6 x 6 ara todo N. Como f es estrictamete creciete e Œ0; y x 0 < x f.0/ =3, se sigue que x f.x / < f.x / x 3 y, e geeral, suuesto que x < x, se sigue que x f.x / < f.x / x C. Luego fx g es estrictamete creciete. Como está acotada, cocluimos que fx g es covergete. Sea fx g!. Como 0 6 x 6, se sigue que Además, como f es cotiua e Œ0;, debe ser u uto fijo de f, esto es, f. /. educimos que verifica la ecuació 3 3 C 0. Las raíces de la ecuació x 3 3x C 0 o so imediatas de calcular ero odemos decir alguas cosas sobre ellas. Pogamos h.x/ x 3 3x C. Teemos que h. / < 0, to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

9 Ejercicios de Aálisis Matemático 9 h.0/ > 0, h./ < 0 y h./ 3 > 0. educimos que e cada uo de los itervalos ; 0Œ, 0; Œ y ; Œ hay ua úica raíz de la ecuació. Por tato, la sucesió dada coverge a la úica raíz de la ecuació x 3 3x C 0 que está e 0; Œ. g) ado a > 0 y a, defiimos x a, x C x C a. Teemos, evidetemete, que 3 x x > 0 ara todo N. Cosideremos la fució f.x/ x C a dode, e riciio, 3 x x > 0. Teemos que: f 0.x/ x 3 a 3 x 3 educimos que f 0.x/ < 0 ara 0 < x < 3 a y f 0.x/ > 0 ara x > 3 a. Por tato f es estrictamete decreciete e 0; 3 a y estrictamete creciete e Œ 3 a; CŒ. Cocluimos que e 3 a la fució f tiee u míimo absoluto e R C. Como todos los térmios de la sucesió fx g so (co la osible exceció del rimero x a) valores que toma f e utos de R C, se sigue que x > f. 3 a/ ara todo >. U calculo imediato da f. 3 a/ 3 a, es decir, resulta que 3 a es u uto fijo de f e R C. Como f es cotiua e R C, si fx g es covergete dicho uto debe ser el límite de fx g. Pero ates debemos robar que fx g es covergete. Para estudiar la mootoía debemos teer e cueta que como x > 3 a ara todo >, todos los térmios de la sucesió está e el itervalo I Œ 3 a; CŒ. No es or eso restrictivo suoer que a > (orque si fuera 0 < a <, odemos elimiar el rimer térmio de la sucesió lo que o afecta ara ada a su estudio). Comaremos x co x. Teemos que: x x 3 a a a a a C 3a a 3a Por tato se tiee que x < x y, como f es estrictamete creciete e I, las desigualdades se coserva or f, luego, suuesto que x < x, se tiee tambié que x C f.x / < f.x / x. Resulta así que fx g es decreciete. Además es de térmios ositivos (de hecho mayores que 3 a), luego fx g es covergete y su límite es 3 a. h) Cosideremos la fució f.x/ 4 C x. Teemos que f.x/ >. Como los térmios de la 4 sucesió dada, co la osible exceció del rimero, so todos ellos valores de f, se cumle que x > 4 ara todo >. No es restrictivo or eso suoer que a >. Pogamos I Œ=4; CŒ. 4 Teemos que f.i/ I. Como f 0.x/ x, se sigue que f es estrictamete creciete e I. Por tato la sucesió fx g será moótoa creciete si x 6 x y será moótoa decreciete si x < x. Teemos que: x 6 x a 6 a C a C 4 a < 0 a a educimos que se verifica x 6 x y, or tato, la sucesió es creciete. Cuado dicha sucesió esté mayorada será covergete y su límite debe ser u uto fijo de f e I. Teemos que f.x/ x es lo mismo que x x C 4 0, esto es, x 0, cuya úica solució es x =. E cosecuecia, la sucesió fx g será covergete a solamete cuado x 6 ara todo N, esto es, a C 4 6, que equivale a que a 6 4, esto es, jaj 6 y, como a > 4, resulta que debe ser 4 6 a 6. educimos tambié que ara a >, la sucesió o uede ser covergete y, al ser creciete, o está mayorada. Observa que cuado a resulta la sucesió costate x ara todo N. 0. Para cada N sea x C C C log./; y x : Prueba que fx g es estrictamete decreciete e fy g es estrictamete creciete. educe que ambas sucesioes coverge a u mismo úmero. icho úmero se llama la costate de Euler, se rereseta or la letra griega. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

10 Ejercicios de Aálisis Matemático 0 C = C C = a) educe que lkım! log./ b) Justifica que lkım! c) Justifica que lkım! Solució. Teemos que:. C C C C C C 3 x x C log. C / log log : 4 C C. /C log : C log C C > 0: esigualdad que es cosecuecia de que log. C x/ < x ara todo x > 0. Tambié odemos tomar logaritmos e las desigualdades?? ara obteer que: C < log C < educimos que fx g es estrictamete decreciete. Teemos tambié: y y C log. C / log log C < 0: educimos que fy g es estrictamete creciete. Además, ara todo N teemos que x < x < y < y, or lo que ambas sucesioes está acotadas. Cocluimos que dichas sucesioes coverge. Como x y! 0, deducimos que lkımfx g lkımfy g. a) Como fx g es covergete y C = C C = log./ log C x log! 0, se sigue que x log log! 0. b) Pogamos H C C C. Teemos que: C x log : C C C C C H H x C log./ x C log x x C log Como fx g es ua sucesió arcial de fx g se tiee que fx x g! 0. c) Pogamos A C 3 4 C C. /C. Teemos que: A C 3 4 C 5 6 C C C 3 C 5 C C C 4 C 6 C C C 3 C 5 C C H H H H H H Por el aartado aterior, teemos que lkımfa g log. Como A A C, deducimos que tambié lkımfa g log. Cocluimos que (ver ejercicio resuelto??) lkımfa g log. La sucesió fa g se llama serie armóica alterada. Estrategia. Para calcular límites dode iterviee la serie armóica H C C C uede ser coveiete escribir dicha sucesió como H log C dode f g!. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

11 Ejercicios de Aálisis Matemático. Sea fx g ua sucesió y suogamos que hay dos sucesioes arciales fx./ g y fx s./ g que coverge a u mismo úmero x y tales que.n/ [ s.n/ N. Prueba que fx g coverge a x. Solució. ado " > 0, existe úmeros aturales m " y " tales que jx./ xj < " ara todo >m " y jx s./ xj < " ara todo > ". Sea mkax fm " ; " g y ogamos Af./ W > g[ fs./ W > g. Como, or hiótesis es.n/ [ s.n/ N, se sigue que el cojuto B N A es fiito ues B f./ W 6 < g [ fs./ W 6 < g. efiamos m mkax.b/ C. Para q > m se tiee que q 6 B, o sea, q A, es decir, q es de la forma q./ o q s./ co >, e cualquier caso se verifica que jx q xj < ". Este resultado suele alicarse cuado./ y s./, es decir, a las sucesioes arciales de los térmios ares e imares. Cuado sabemos que fx g y fx g coverge a u mismo úmero, odemos cocluir que fx g coverge a dicho úmero. Este resultado uede geeralizarse de maera fácil. Por ejemlo si fx 3 g, fx 3 g y fx 3 g coverge todas a u mismo úmero, tambié fx g coverge a dicho úmero.. Sea fx g ua sucesió de úmeros reales y suogamos que hay úmeros 0; Œ, M > 0 y N tales que jx C x j 6 M ara todo >. Prueba que fx g es covergete. Sugerecia. Teiedo ahora e cueta que ara todos ; h N se verifica que: Ch C Ch C C < deduce que fx g verifica la codició de Cauchy. Solució. Sea ; hn, teemos: Xh h jx Ch x j.x ˇ CC x C / ˇ 6 X ode hemos uesto K que: 0 jx CC Xh M M h < M K 0 Xh x C j 6 M C 0 M, que es ua costate ideediete de y de h. educimos K < " jx Ch x j < " ara todo hn ado " > 0, determiamos m " or la codició de que m " < "=K. Etoces ara todo > m " y ara todo hn se verifica que jx Ch x j < ", lo que rueba que la sucesió fx g verifica la codició de Cauchy y, or tato, es covergete. 3. Sea fx g ua sucesió de úmeros reales y suogamos que existe 0; Œ; N, tales que jx C x j 6 jx x j ara todo >. Prueba que fx g es covergete. Sugerecia. Justifica que jx C x j 6 M dode M es ua costate ideediete de. Solució. Es muy fácil, basta iterar la desigualdad del euciado. Sea > : jx C x j 6 jx x j 6 jx x j 6 6 jx C x j M : ode M jx C x j es ua costate ideediete de. El ejercicio aterior os dice que la sucesió fx g es covergete. 4. Sea I u itervalo cerrado (uede ser I R); f W I! R ua fució, y suogamos que hay u úmero 0; Œ tal que: jf.x/ f.y/j 6 jx yj; ara todos x; y e I: () to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

12 Ejercicios de Aálisis Matemático Se dice etoces que f es ua fució cotractiva e I. Suogamos además que f.x/ I ara todo x I. ado u uto a I, defiamos fx g or x a; y x C f.x / ara todo N. a) Prueba que fx g coverge a u uto x I que es el úico uto fijo de f, es decir, f.x/x. b) Justifica que si la fució f es derivable e I y se verifica que hay u úmero 0; Œ tal que jf 0.x/j 6 ara todo x I, etoces f es cotractiva e I. Solució. a) Es cosecuecia imediata del ejercicio aterior. b) Es cosecuecia imediata del teorema del valor medio. 5. Estudia la covergecia de las sucesioes defiidas ara todo N or: a/ x ; x C C x I b/ x ; x C x : Solució. a) Cosideremos la fució dada or f.x/. La sucesió que os ide estudiar C x es la sucesió de iteradas de dicha fució a artir del valor iicial x. Como f 0.x/. C x/ < 0, la fució f es estrictamete decreciete. Por tato, la sucesió x C f.x / o es moótoa. Pues si, or ejemlo es x < x, como f, al ser decreciete, ivierte las desigualdades, se tedrá que x f.x / > f.x / x C. Es evidete que x > 0 ara todo N. Por tato C x > x C <, luego x 6 ara todo N, de dode C x 6 x C >. educimos que todos los térmios de la sucesió está e el itervalo I Œ=; CŒ. Para x > = se tiee que jf 0.x/j Podemos alicar, or tato, el ejercicio aterior y deducimos que fx g es covergete. Además, su límite es el úico uto fijo de f e I, que viee dado or x C x x C x 0, de dode, x C Suogamos que la ecuació x bx C a tiee dos raíces reales distitas y ˇ. ados dos úmeros reales y, defiamos fx g or: x C ; x C ˇ; x C bx C C ax Prueba que x C ˇ ara todo N. Alicacioes. i) La sucesió fx g defiida ara todo N or: x x ; x C x C C x se llama sucesió de Fiboacci. Calcula exlícitamete x. ii) Estudia la covergecia de la sucesió defiida ara todo N or: x a; x b; x C.x CC x /: Solució. La igualdad x C ˇ es cierta ara y ara. Sea N, co >, y suogamos que la igualdad se verifica ara todo N co 6. Etoces, teiedo e cueta que b C a y ˇ bˇ C a, teemos que: x C bx C ax b C bˇ C a C aˇ.b C a/ C.b C a/ˇ C ˇ Lo que rueba la igualdad ara C. Cocluimos, or iducció, que la igualdad es cierta ara todo N. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

13 Ejercicios de Aálisis Matemático 3 i) Como x C x C Cx, deducimos que ab. Por tato, y ˇ so las raíces de x xc, las cuales viee dadas or: 5 ; ˇ C 5 Calculemos y or las codicioes x C, x C ˇ. Fácilmete se obtiee que: 5 5 ; 5 C 5 educimos, or lo ates visto, que: x 5 5! 5 C 5 C 5 C! 5 iii) Pogamos x a b 0, x a 0 b, x a b q. Etoces: Teemos las ecuacioes: x C a C b q C a. CC / b.q CCq / : ; 0; C C C ; q 0; q ; q C q C C q Ambas ecuacioes so de la forma x C x C C x or lo que a b y y ˇ so las raíces de x x C. Por tato, ˇ. E cosecuecia: C ; q C ; ebemos ahora calcular ; y ; ara que se verifique las resectivas codicioes iiciales ; 0 y q 0; q. Fácilmete se obtiee que 3, 3, 3,. educimos que: 3 x a 3 C 3 b 3 3! a 3 b 3 3 ab : 7. Prueba que flog! g es asitóticamete equivalete a f log g. Solució. Pogamos x log, y log!. Alicaremos el criterio de Stolz ara calcular el límite de la sucesió f x y g. Teemos que: x C x. C / log. C / log y C y log. C / Teiedo e cueta que log C log C o xc x y C y log C log. C / C! y que log! C, obteemos que! y, or el criterio de Stolz, cocluimos que f x y g!. 8. Justifica que la sucesió C = es asitóticamete equivalete a = C, dode > 0. Solució. Pogamos x C =. Como 6 x 6, deducimos, or el riciio de las log x sucesioes ecajadas, que fx g!. Sabemos que lkım, orque dicho límite es la x! x derivada e de la fució logaritmo. Por tato, ara toda sucesió fz g! se verifica que to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

14 Ejercicios de Aálisis Matemático 4 lkım log.z / z, esto es, z log.z /. Aálogamete, se tiee que log. C u / u ara toda sucesió fu g! 0. educimos que: x log.x / log C C 9. Calcula los límites de las sucesioes fx g defiidas or: a) x C C 3 C C C, dode >. b) x q. C a /. C a /. C a /, dode N, a j R; 6j 6. c) x a C ˇ! b dode a > 0, b > 0 y ; ˇ R, C ˇ 0. C ˇ d) x C! = C 3 = C C =, dode N.! e) x C C 3 C C, dode N. C C 3 C 3 C 5 C C. / f) x 4 3 g) x C 3 log. C =/ h) x C C C C 3 C log.!/ Solució. a) Pogamos x u v. Alicamos el criterio de Stolz, lo cual uede hacerse orque, al ser > se tiee que C es ua sucesió estrictamete creciete. u C v C u v. C /. C / C C C C C Usado las equivalecias asitóticas x log.x /, válida cuado fx g!, y log.cu / u, válida cuado fu g! 0, teemos que: " C C # log C. C / log C C. C / C : u v C v educimos que lkım u C C y, or el criterio de Stolz, lkım x C. b)teemos que: q r. C a /. C a /. C a / C a a a C C h log C a a C X j log C a j ode hemos teido e cueta que lkım log C a! a. a i C a C a C C a! : to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

15 Ejercicios de Aálisis Matemático 5 c) Es ua sucesió de otecias de la forma x u v, dode u a C ˇ b ; v C ˇ Claramete u!, or lo que teemos ua idetermiació del tio. Usaremos el criterio de equivalecia logarítmica. v.u / a C ˇ! b. a / C ˇ.! b / C ˇ C ˇ educimos que lkım fx g a ˇ Cˇ b Cˇ.! C ˇ. a / C ˇ C ˇ. b /!! C ˇ log a C ˇ C ˇ log b log a ˇ Cˇ b Cˇ d) Es ua sucesió de otecias de la forma x u v, dode u C C 3 C C ; v Claramete u!, or lo que teemos ua idetermiació del tio. Usaremos el criterio de equivalecia logarítmica. v.u / C! C 3 C C C 3 C C Teiedo e cueta que lkım. a / log a, deducimos que: lkım v.u / log C log 3 C C log log! lkımfx g!:! f) Es ua sucesió de otecias x u v, dode: u 3 C 3 C 5 C C. / ; v 4 3 : La base fu g coverge a, ues alicado Stolz co a C3 C5 C C. / y b 3, teemos: a C a. C / b C b. C / 3 4 C 4 C 3 3 C 3 C! 4 3 : Se trata de ua idetermiació del tio. Alicaremos el criterio de equivalecia logarítmica. 3 v.u / C 3 C 5 C C. / C 3 C 5 C C. / Aliquemos ahora el criterio de Stolz co z 3 C 3 C 5 C C. / 4 3,w. Teemos: z C z 3. C / 4. C / 3 C 4 3 : w C w to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

16 Ejercicios de Aálisis Matemático 6 educimos que v.u /! 3 4 y, or tato, lkımfx g e e 3 h. g) x C i. Pogamos z 3 log.c=/ C 3 log.c=/ La sucesió fz g es ua idetermiació del tio. Teemos que: E cosecuecia: 3 log. C =/ log. C =/! 0 z! : x log.z / log! C 3 log C 3 log C log C Luego lkımfx g lkım. log C 0. Calcula los límites de las sucesioes fx g defiidas or: log C C C a/ x b/ x e e 3 e e log.log / c/ x C log log. C / log d/ x log. C / e/ x X log Y C j f / x. / j j s log. C /./! g/ x log h/ x.; q N/ log.q/ P 5 i/ x 4 j / x 5 log C! e e se.=/ / x l/ x C 3 C 43 C C.C/ 3 se.=/ Solució. a) Usaremos la estrategia??. Pogamos H log C x dode fx g!. Teemos que: log C C C log log C x log log.log / log.log C x / log.log / log.log / C log log.log / C x log log.log / C log C x log log.log /! : Observacio. Es sabido que H log, ero de aquí o uede deducirse directamete que log.h / log.log / que es lo que hemos robado. La razó es que o es cierto e geeral que si fx g fy g tambié sea log.x / log.y /. Por ejemlo, las sucesioes fe g y fe g so asitóticamete equivaletes orque ambas coverge a, ero sus logaritmos so las sucesioes f g y f g que o so asitóticamete equivaletes. E geeral, o hay garatías de que ua equivalecia asitótica etre sucesioes se coserve or ua determiada fució. : c) Tomado logaritmos teemos que: log x log C log log log C log log to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

17 Ejercicios de Aálisis Matemático 7 Esta exresió es de la forma log. C u / Teemos que: u dode u! 0. Recordemos que: log. C x/ x lkım x!0 x log C log log.log / log x log Poiedo u log, como u! 0, deducimos que la rimera de las dos fraccioes ateriores.log / coverge a y la seguda! 0. Cocluimos que log x! 0 y, or tato, fx g!. e) x X log Y C j. Pogamos: j j e esta forma, se tiee que: z log Y j C j j X X j z j log C j : x : Como fz g es la sucesió de medias aritméticas de la sucesió y log C, y lkımfy g, se sigue, or el criterio de la media aritmética, que fz g!. Como fx g es la sucesió de las medias aritméticas de fz g, volviedo ahora a alicar el mismo criterio, deducimos que fx g!. f) x. /. Pogamos: r x r! q q Se trata de ua sucesió de otecias de la forma x u v dode u y v. Claramete u!, or lo que se trata de ua idetermiació del tio. Alicaremos el criterio de equivalecia logarítmica. v.u / r r! r! log r! log! 0: log.c/ log educimos que x!. log. C / g) La sucesió x log es de la forma b.a / dode log, a b log. Veamos que fa g!. Para ello, como se trata de ua idetermiació del tio, alicamos el criterio de equivalecia logarítmica: log. C / log C log C! 0 log log log to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

18 Ejercicios de Aálisis Matemático 8 Por tato, fa g!. Podemos alicar ahora el criterio de equivalecia logarítmica a la sucesió b.a /. Teemos que: a b log. C / log log Esta sucesió es ua idetermiació del tio y odemos volver a alicarle el criterio de equivalecia logarítmica. log. C / log log C! : log Cocluimos que fx g!. s./! h) x.q/ dode ; q N. Es ua sucesió del tio x z dode z./! Teemos que: z C z. C /!.q/. C /. C /. C /.q C q/ C./!.q C q/ C.q/. La fracció.c/.c/.c/ es u cociete de dos oliomios e la variable del mismo.qcq/ grado y coeficietes líder iguales a y q resectivamete, or tato su límite es igual a. q La sucesió C C coverge a e. Por tato, e virtud del corolario.??, la sucesió dada coverge a q e e e se.=/ ) x se.=/ e e se. / se. /. Cosideremos la fució f.x/ ex ese x x se x. Pogamos y. Teemos que x f.y /. Como y! 0, el límite de fx g es igual al límite de f.x/ e x 0. Teemos que: e se x f.x/ ex x se x ese x ex se x x se x ese x.x! 0/ ode hemos usado que la fució ex se x x se x es de la forma eh.x/ h.x/ dode lkım h.x/ 0, or lo x!0 que dicha fució tiee límite igual a e x 0.. Sabiedo que fa g! a, calcula el límite de las sucesioes: a) x. a / b) x ex.a / C ex.a =/ C C ex.a =/ log c) x a C a = C C a = log Solució. b) Es ua sucesió del tio x u v. Alicaremos el criterio de Stolz. u C v C u ex a C C v log C a C C! a: ode hemos usado la equivalecia asitótica e z z válida siemre que z! 0 y log. C y / y, válida siemre que y! 0. Cocluimos que fx g! a. xc. Sea fx g ua sucesió de úmeros ositivos tal que x o!l>0. Calcula el límite de la r x sucesió x x x ṅ to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

19 Ejercicios de Aálisis Matemático 9 Solució. Es ua sucesió del tio w y dode y??. Teemos que: x x x x. Alicaremos el corolario y C y x C x x x x x x x x C C L C x C x x x.c/ E virtud, del citado corolario, se tiee que C x C! L. Sea z x x x.c/. Cosideremos la sucesió: log z log.x / C log.x / C C log.x /. C / Pogamos a log.x / C log.x / C C log.x /, b. C /. Alicaremos el criterio de Stolz. a C a log.x C/ b C log C x C! log L log L: b C educimos que log z! log L, or lo que z! L y tambié y C y corolario?? imlica que w! L.! L. El citado 3. Sea a, b úmeros ositivos; defiamos x ac. /b ara cada N y sea G la media geométrica de x ; x ; : : : ; x y A su media aritmética. Calcula el límite de la sucesió G A. Solució. Teemos que A G a C. / b x x x A a C b a C b. Por tato: r x x x a C b r x x x Calcularemos el límite de la sucesió U, que es del tio U z, usado el corolario??, teemos: z C z x C. C / C x C C! b C e : educimos que f G A g! e. 4. Sea fx g!x, fy g!y, x y. efiamos z x, y z y. Justifica que la sucesió es covergete. z C z C C z Solució. Pogamos u z C z C C z. Teemos que: u z C z 3 C C z C z C z 4 C C z x C x C C x C y C y C C y! x C y x C y : ode hemos alicado el criterio de la media aritmética. Aálogamete se comrueba que fu g! xcy. Cocluimos que fu g! xcy. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

20 Ejercicios de Aálisis Matemático 0 Observa que o se uede calcular el límite de fu g alicado el criterio de Stolz. Llamado Z z C z C C z, V, teemos u Z V y: Z C Z xmc ; si m es ar; Z C Z V C V y m ; si m es imar. Por tato, la sucesió Z C Z V C V o es covergete. 5. a) Justifica las desigualdades: 0 < log ex x < x.x > 0/I x < log ex x < 0.x < 0/: b) ado x 0 defiamos x x, y ara todo N: Estudia la covergecia de fx g. x C log ex x : Solució. a) E virtud del teorema del valor medio teemos que: e x e 0 x 0 ex e c x dode c es u uto comredido etre x y 0, esto es, c 0; xœ si x > 0, y c x; 0Œ si x < 0. E el rimer caso es < e c < e x y e el segudo es e x < e c <. Á artir de aquí se deduce eseguida las desigualdades del euciado. b) efiamos f.x/ log ex y f.0/ 0. La fució f es cotiua e R. Suogamos que x x < 0. Etoces, como cosecuecia de la seguda de las desigualdades del aartado aterior, se tiee que la sucesió fx g es creciete y x < 0 ara todo N. Por tato, dicha sucesió coverge y su límite es u úmero 6 0, que debe verificar la igualdad f. / lo que exige que Se cosidera la fució f W R C! R defiida ara todo x > 0 or f.x/ log x x C. a) Prueba que f tiee exactamete dos ceros, y ˇ, co < < ˇ. b) ado x ; ˇŒ, se defie la siguiete sucesió or recurrecia: x C log x C ; 8N: Prueba que fx g es ua sucesió moótoa creciete y acotada que coverge a ˇ. Solució. a) Como lkım f.x/ lkım f.x/ y f./ > 0 y, evidetemete, la fució x!0 x!c f es cotiua e R C, odemos alicar el teorema de Bolzao a los itervalos 0; y Œ; CŒ, ara deducir que f tiee algú cero e cada uo de ellos. Como f 0.x/ x, se sigue que f es estrictamete decreciete e Œ; CŒ y estrictamete creciete e 0;. Por tato solamete uede aularse ua vez e dichos x x itervalos. b) Como la fució h.x/log x C es estrictamete creciete ara x > 0 y h. /, h.ˇ/ˇ, se deduce que ara todo x ; ˇŒ es < h.x/ < ˇ. Además, como h.x/ x es cotiua y o se aula e ; ˇŒ debe teer sigo costate. Como h./ > 0, deducimos que x < h.x/ ara todo x ; ˇŒ. Por tato, dado x ; ˇŒ, se tiee que x < h.x /x y, suuesto que x < x se tiee que x h.x / < h.x / x C. Por tato fx g es ua sucesió estrictamete creciete y, además, todos sus térmios está e ; ˇŒ, luego dicha sucesió coverge y su límite,, debe verificar la igualdad h./; uesto que < 6 ˇ, se sigue que ˇ. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada

21 Ejercicios de Aálisis Matemático 7. ado u úmero 0; Œ, se defie la sucesió fx g dada or x se, x C se x. (a) Justifica que la sucesió fx g es covergete y calcula su límite. (b) Calcula el límite de la sucesió z xc x Solució. a) La coocida desigualdad 0 < se x < x, válida ara todo x 0; Œ, imlica que la sucesió es estrictamete decreciete y de úmeros ositivos. e aquí se deduce eseguida que es covergete y su límite es 0. b) z x C x x se.x / x 4 se.x / x x se.x / x se.x / se.x / C x x se.x /! x x 3 3 : 8. Calcula el límite de la sucesió z cos C i se. Sugerecia. Recuerda que el límite de la sucesió Solució. z cos C cos C i se C es bie coocido. C i se! log C i 9. Sea z C, co jzj, z. Prueba que la sucesió fz g o coverge ( qué asa si suoes que coverge?). educe que si ' es u úmero real que o es u múltilo etero de, las sucesioes fcos.'/g y fse.'/g o coverge. Solució. Siguiedo la sugerecia, suogamos que fz g coverge a u úmero w C. Como jz j jzj, debe ser jwj. Por ua arte, es claro que fz C g! w y tambié fz C g zfz g! zw, or tato debe ser z wz, lo que imlica que.z /w 0 lo cual es imosible orque z y w 0. Cocluimos que fz g o coverge. Sea ' u úmero real que o es u múltilo etero de. Pogamos z cos ' Ci se '. Teemos que z y jzj. Por lo ates visto, la sucesió fz g fcos.'/ C i se.'/g o coverge. Veamos que esto imlica que igua de las sucesioes fcos.'/g, fse.'/g coverge. E efecto, de la igualdad: se..c/'/se.'/ cos 'Ccos.'/ se ' cos.'/ se ' se..c/'/ se.'/ cos ' se deduce que si fse.'/g coverge, tambié coverge fcos.'/g y, or tato, la sucesió fcos.'/ C i se.'/g coverge, lo que es cotradictorio. Aálogamete, de la igualdad: cos..c/'/cos.'/ cos ' se.'/ se ' se.'/ se ' cos..c/'/ cos.'/ cos ' se deduce que si fcos.'/g coverge, tambié coverge fse.'/g y, or tato, la sucesió fcos.'/ C i se.'/g coverge, lo que es cotradictorio. to. de Aálisis Matemático Uiversidad de Graada