Sucesiones de números reales

Transcripción

1 Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es pues 5 cotd? lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es pues L sucesió tiee cot iferior y superior por lo que está cotd.. Hllr el térmio geerl el límite (si lo tiee) y clsificr l siguiete sucesió: E el umerdor vemos que l difereci d etre dos térmios es por tto se trt de u progresió ritmétic de l form

2 ( ). Como 4 el térmio geerl del umerdor será 4. Siguiedo el mismo rzomieto pr el deomidor obteemos b 4. Etoces l sucesió cosiderd tiee como térmio geerl: c 4 Su límite será: / / L sucesió es covergete de límite 4.. Hllr pr l sucesió ) El térmio que ocup el lugr ; b) su límite y c) el térmio de l sucesió prtir del cul l difereci co el límite es e vlor bsoluto meor que /00. ) El térmio geerl es será: por tto el que ocup el lugr () () b) Pr clculr el límite dividimos primero los dos sumdos del umerdor etre el deomidor 0 c) Impoemos l codició:

3 < < < 00 > 00 > 50 < 00 Por tto prtir de 50 l difereci co el límite es meor que / Clcul L Hllr el y sbiedo que b 5 b. Clculmos primero los límites de y b. E mbos csos teemos u idetermició del tipo por lo que dividiedo umerdor y deomidor por l poteci máxim de que hy e el deomidor se simplific l expresió Como y b 5 plicdo ls propieddes de los límites se tiee que. b 5 6. Clcul L.

4 4 Teemos u cociete de poliomios elevdo otro cd uo de los cules produce u idetermició del tipo. Clculmos por seprdo los límites de l bse y del expoete: Por ls propieddes de los límites L será igul Clcul ( ) L. Aprece u idetermició del tipo. Multiplicmos y dividimos por l expresió rdicl cojugd: ( ) ( ) 0 L 8. Clcul ( ) L. Como e e ejercicio terior multiplicmos y dividimos por el cojugdo: ( ) ( ) ( ) L

5 5 Hemos obteido u expresió idetermid del tipo. Dividimos umerdor y deomidor etre y tommos límites: 0 L Hllr el límite de l sucesió cuyo térmio geerl es. Detro del corchete os qued u expresió de l form que tiede l úmero e cudo m. Por tto m m e 0. Sbiedo que l difereci e u progresió ritmétic es y el térmio vigésimo vle 8 hll el primer térmio y l sum de los 0 primeros. Despejdo e l fórmul del térmio geerl co 0 obteemos: 0 9d 8 9 ( ) 9 L sum de los 0 primeros será: 0 S 0 0 (9 8)0 0. U r quiere cruzr u chrco de metros. L r es cpz de sltr metro e el primer slto pero se v csdo por lo que cd slto es más pequeño que el terior segú l relció L L r siedo r <. Si e el

6 6 curto slto vz /8 verigu l rzó y si l r coseguirá llegr l otr orill. Despejmos l rzó de l fórmul del térmio geerl r r r Pr obteer l distci máxim que l r es cpz de recorrer sltdo clculmos l sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric decreciete de rzó r / : S r Por tto l r o cosigue cruzr el chrco pues ecesitrí u tiempo ifiito.

7 7 Ejercicios propuestos (ls solucioes se ecuetr l fil). Hll el térmio geerl de ls siguietes sucesioes ) b) c) Determi si ls siguietes sucesioes está cotds. ) b) b 5 c) c 6. E l sucesió de térmio geerl hll u térmio prtir del cul los siguietes diste de meos de u milésim. 4. Defiimos l sucesió cuyo térmio geerl tiee l siguiete expresió: si es impr si es pr Es u sucesió moóto? Coverge? 5. Dds ls sucesioes cuyos térmios geerles so b y c clculr los siguietes límites: ) ( ) b b) ( ) c c) ( c ) d) ( b ) c e) ( ) b f) ( b c )

8 8 6. Clcul los siguietes límites: ) d) 5 b) c) e) ( ) f) ( 7 ) 7. Demuestr que l sucesió 4 7 tiee por límite Comprueb que ls sucesioes de térmio geerl ( ) y b ( ) crece de límite. 9. Hll el límite de ls siguietes sucesioes cudo tiede ifiito. ) b) b 7 0. E u progresió ritmétic el primer térmio es 7 el último es 5 y l sum 48. Clcul l difereci y el úmero de térmios de l progresió.. Hll los águlos de u triágulo rectágulo sbiedo que está e progresió ritmétic.. Clcul l difereci de u progresió ritmétic e l que el tercer térmio es 4 y l sum de los ocho primeros es 4.. Clcul l rzó de u progresió geométric si se cooce y 4. 4

9 9 4. Hll el primer térmio y l rzó de u progresió geométric sbiedo que el tercer térmio es y el sexto es Hll l sum de los térmios de l progresió iitd siguiete

10 0 Solucioes los ejercicios propuestos. 5 ) c) ( ) ( ) b). ) Sí; por ejemplo etre y. b) Sí; por ejemplo etre 0 y /5. c) Sí; por ejemplo ete / y 4/9.. A prtir de 50 iclusive. 4. No. No ) b) c) d) e) f) 0 ) b) / c) d) e) 0 f) 7. Pr culquier ε > 0 bst co tomr 8. ) { } b) { } ε >. 49ε 9. ) e b) 7 e 0. d.. o o o α 0 β 60 γ 90.. d 4 /.. r / ; r /. 5. S /.