EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

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1 EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES

2 Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que E k... E E A sea una matriz escalonada, donde: a) A= 0 b) A= - c) A= ) Halle el rango, mediante la reducción de matrices, de las matrices n+ A n = n+ y B n = n+ n n+ n+ según los valores del parámetro real n. 0 0 n Estudio y resolución de sistemas lineales 3) Estudie, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, la compatibilidad de los siguientes sistemas según los distintos valores de los parámetros reales. Resuelva, cuando sea posible, los que dependan de un único parámetro: x 3y + 5z = x + y + az = a x + ay + z = a) x 4y + z = b) x + ay + z = c) x + ay + z = a 5x y + 9z = k ax + y + z = x + ay + a z = ax + by + z = ax + by + z = d) ax + y + bz = e) ax + (b ) y + z = ax + y + z = b ax + by + (b+3) z = b 4) Resuelva, por el método de eliminación de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 3y + z = x + 3y z = 0 x + y + z + t = 3x + y z = 0 a) x + y z = 6 b) x y + z = 0 c) x y z + t = 4 d) x y z = x + y + z = x + 9y 5z = 0 x y + z + t = 6 x + y + z = 0 x + y z + t = 0 x y 3z = 7 5) Elimine los parámetros en las siguientes ecuaciones paramétricas: x = + a x = 3a + b x = a + b x = a + b c x = a + b + c a) x = + a b) x = a b c) x = b + c d) x = a b e) x = a + b + 3c x = 3a x 3 3 = + b x 3= a + 3 c x 3 = 3b x 3 = a + c x 4 = b + c x 4 = 0 x 5 = a b + c x 5 = a b Cálculo de la inversa de una matriz 6) Halle, por el procedimiento de Gauss-Jordan, la inversa, si existe, de cada una de las siguientes matrices: a) a a a b) c) a 0 d) 0 a a 0 0 a b c e) f) 000 g)

3 Ecuaciones matriciales 7) Sea A= 3 m ; halle el subconjunto S={ B M x / AB=0 }, según el valor del parámetro real m. 8) Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales: a) 0 Aplicaciones 0 X = 0 ; b) X = - 0 ; c) ) Determine la ecuación de la parábola, con eje vertical y en el plano XY, que pasa por los puntos P = (, 4), Q = (, 6) y R = (, 9) 0) Encuentre la ecuación del plano, en el espacio XYZ, que pasa por los puntos P = (,, ), Q = (,, 0) y R = (,, 5) ) Encuentre todos los polinomios p(x) = ax + bx + c con coeficientes reales tales que: a) p() =, p( ) = 4, p(3) = 6 b) p() = 0, p( ) = 0. X =

4 Espacios vectoriales ESPACIOS VECTORIALES ) En el conjunto R se definen las operaciones siguientes: (α, α ) + (β, β ) = (α + β, α + β ) α (α, α ) = (α α, 0) Es R un espacio vectorial sobre R respecto de las citadas operaciones? Subespacios vectoriales ) Averigüe si los vectores a = (,, 0) y b = (, 3, ) pertenecen al espacio vectorial generado por el conjunto de vectores {v = (, 5, ), v = (3, 4, ), v 3 = (5, 9, )}. 3) Demuestre que los conjuntos A = {(, 0, ), (,, 0), (0,, )} y B = {(,, ), (,, )} de vectores de R 3 generan el mismo subespacio vectorial de R 3. Demuestre que el conjunto C = {(,, ), (,, 0)} no genera dicho subespacio. 4) En R 4 se considera el subespacio generado por los dos vectores (, 3,, 5), (0,,, 3). Determine el valor de los escalares p y q para los que el vector (, p, 3, q) pertenece al citado subespacio. 5) Cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales? a) S = { (x, y, z) R 3 / y = 0} b) S = { (x, y, z) R 3 / x + y + z = 0} c) S = { (x, y, z) R 3 / x + z = } d) S = { (x, y, z) R 3 / x + z = 0} e) S = { (x, y, z) R 3 / x + z 0} f) S = { (x, y, z) R 3 / xy = 0} g) S = {p(x) P 3 (R)/ p(x) = x 3 + ax + b} h) S = {p(x) P 3 (R) / p(x) = ax 3 + b} Dependencia e independencia lineal 6) Estudie si los siguientes conjuntos de vectores de R 3 son linealmente independientes: a) {(0,, 0), (,, ), (, 0, )} c) {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, 0)} b) {(0, 0, ), (0,, 0), (,, )} d) {(, 0, a), (a,, 0), (a, 0, )}, a R 7) Estudie si los siguientes conjuntos de polinomios de P (R) son linealmente independientes: a) {, + x, + x + x } b) {x, x, x + x } c) { x, + x, x x, x + x } d) { + x, + x } 8) Para qué valores de a el conjunto 0 0 a 0 0, 0 0 a 0 0, a 0 a 0 0 es linealmente dependiente? 9) Determine si los vectores de los siguientes conjuntos son linealmente dependientes. En caso afirmativo, determine una relación de dependencia y un subconjunto con un número máximo de vectores l.i. a) {(,, 3), (, 3, ), (0,, )} b) {(, 0,, 0), (,, 3, ), (0,,, ), (,, 4, )} c) { + 3x + 4x, 4 + x, 3 + x + x } en el espacio de polinomios P (R). Base de un espacio vectorial 0) Halle una base del espacio vectorial generado por el siguiente conjunto de vectores {v = (3,, 0, 5), v = (, 0, 3, 4), v 3 = (,, 3, ), v 4 = (0,, 9, 7)}. ) Para qué valores del número real a es base de R 3 el conjunto {(a,, 0), (, a, ), (0,, a)}? Halle las coordenadas del vector (,, 3) respecto del citado conjunto de vectores para a =. ) En R 4 se consideran los vectores ( + a,,, ), (, + a,, ), (,, +a, ) y (,,, + a). Determine según los valores del parámetro a la dimensión y una base del subespacio vectorial que generan.

5 3) Demuestre que los polinomios {, ( x), ( x), ( x) 3 } forman una base del espacio vectorial P 3 (R). Obtenga las coordenadas del polinomio 3x + x + x 3 respecto de la base anterior. Indicación: Divida el polinomio por x. 4) En P (R) se considera el conjunto {, x + 3, (x + 3) }. Pruebe que es base de P (R) y calcule las coordenadas del polinomio a + bx + cx respecto de dicha base. 5) Estudie si el conjunto de soluciones de cada uno de los siguientes sistemas es un subespacio vectorial de R 4 y en caso afirmativo obtenga una base: a) x +x =0 b) x +x = x 3 +x 4 =0 x 3 +x 4 =-. 6) Se considera el subespacio vectorial de R 5 de las soluciones del siguiente sistema: x+y-3t+w=0 x+y+z-4t-w=0 y+z-t-w=0 x+z-t-3w=0 Obtenga un sistema de generadores, una base y la dimensión del citado subespacio 7) En IR 3 se consideran S = {(x, y, z) / x = z} y S = {(x, y, z) / x = z y }. a) Pruebe que S y S son subespacios de R 3. b) Encuentre una base B de S. Calcule las coordenadas del vector (x, y, z) S respecto de B. c) Pruebe que B = {(0,, ), (,, 0)} es base de S. Encuentre las coordenadas de (,, ) S respecto de B. 8) Halle una base y la dimensión del subespacio vectorial M definido de la siguiente forma: a + b + 3c a b M={ / a, b, c R }. a c a + b + 5c Suma e intersección de subespacios 9) Sean S y T subespacios vectoriales de R 4 definidos por S = L({(, 0,, ), (,,, 0), (0,,, )}), T = {(x, y, z, t) / x z t = 0, y + z = 0} Obtenga una base de los subespacios S + T y S T. Escriba las ecuaciones paramétricas e implícitas para los subespacios citados anteriormente. 0) En P 3 (R) se consideran los subconjuntos: S = {p(x) / p( ) = 0} y T = {p(x) / p(x) = ax 3 + bx + (a + b)x + b, a, b R} a) Pruebe que S y T son subespacios vectoriales de P 3 (R). b) Obtenga las ecuaciones implícitas y paramétricas de S y T. c) Calcule S T y S + T. ) Se consideran los subespacios de M (R): V = { a b -b a Halle una base de los espacios V, V, V + V, V V. ) Sean U y W los subespacios vectoriales de R 3 definidos por U = {(x, y, z) R 3 / z = 0}, W = L{(0,, ), (, 0, ), (,, )}. Obtenga una base y la dimensión de los subespacios U, W, U W y U + W. a,b R} y V = { c d e -c c, d, e R}. 3) Sean S y T los subespacios vectoriales de R 4 definidos por S = {(x, y, z, t) / x + y + z + t = 0, x y + z t = 0, 4x + y + 4z + t = 0} T = {(x, y, z, t) / x = a + b + c, y = b + c, z = a + b, t = 3b + 3c} Obtenga una base y la dimensión de S, T, S + T y S T.

6 4) Dados los subespacios vectoriales de R 4 : S = L{(, 0,, ), (0,,, 0), (,, 6, )} y T = L{(,, 4, ), (, 0, 0, ), (,,, )}. Demuestre que dim (S + T) = 3 y dim (S T) =. 5) Para cada a R se considera el subespacio vectorial V(a) = L{(, a,, ), (, a, a, 0), (0,, a, ), (, + a, + a, )} a) Halle una base de V(a). b) Estudie si el vector (, + a, + a, a + 3) V(a) para algún a R. c) Obtenga las dimensiones de los subespacios V(0) + V() y V(0) V(). Suma directa de subespacios 6) En R 3 se consideran los subespacios: U = {(x, y, z) R 3 / x = z }, V = {(0, 0, c) / c R} y W = {(x, y, z) R 3 / x + y + z = 0 }. Pruebe que: a) R 3 = U + V, b) R 3 = V + W, c) R 3 = U + W En qué casos la suma es directa? 7) Se consideran los subespacios vectoriales de R 3 : S = L{(, 0, ), (,, ), (,, 0)} y T = L{(, 0, ), (0, 0, ), (3, 0, )}. Halle un subespacio U tal que R 3 = S U y la suma T + U no sea directa. 8) Estudie si la suma de los subespacios vectoriales S = L{(, 0,, 0), (,, 0, ), (0,,, )} y S = L{(,,, 0), (,,, )} de R 4 es directa. Halle una base del subespacio suma. 9) Sean los subespacios vectoriales de P 3 (R): V = L{ + x 3, + x + x, x x, + 3x } y W = L{ + 3x x 3, + 4x + x x 3, x x }. Demuestre que W V y halle un subespacio suplementario de W en V. α β 30) Halle una base del subespacio vectorial F = : α, β R de M (R). β 0 Amplíe la base obtenida hasta formar una base de M (R). Halle a continuación un subespacio suplementario de F.

7 Rectas y planos en el espacio afín R 3 GEOMETRÍA AFÍN ) Dados los puntos P = (,, ) y Q = (0,, ) y los vectores u = (,, 0), v = (,, ), halle las ecuaciones paramétricas e implícitas de las siguientes rectas de R 3 : a) recta que pasa por P con dirección u v. b) recta que pasa por P y Q. c) recta que pasa por Q con dirección 3v. ) Halle las ecuaciones de la recta que pasa por (,, ) y es paralela a la recta 3x y + z = x + y 3z = 0 3) Obtenga las ecuaciones implícitas de la recta que se apoya en las rectas r y s y es paralela a la recta t, donde x = z x = 5z + 4 r : s : t : { x = y = z y = 3z + y = 4z 3 4) Dados los puntos P = (,, 3), Q = (,, 3) y R = (0,, ) y los vectores u = (0,, ) y v = (5,, ), halle las ecuaciones paramétricas e implícitas de los siguientes planos de R 3 : a) plano que pasa por P, Q y R. b) plano que pasa por P y R y es paralelo a la recta que pasa por Q con dirección u v. c) plano que contiene a R y cuyo subespacio de dirección es L{u + v, u + v}. 5) Obtenga las ecuaciones paramétricas e implícitas de las siguientes variedades afines de R 3 : z x y + a) recta que pasa por el punto (/,, ) y es paralela a la recta s : = = 3 b) recta paralela a la recta s del apartado anterior y que pasa por el origen. x = 3n + m c) recta que pasa por (,, ) y es paralela a los planos α : + x 3y + z = 0 y β : y = n m z = + m d) plano paralelo al eje y, y que pasa por los puntos (,, 4) y (3, 0, ). e) plano paralelo al plano 3x + 4y + z + 7 = 0 y que corta al eje x en el punto de abcisa x =. f) plano paralelo al plano x + y + 3z = 8 y que pasa por el punto (,, 0). g) plano que pasa por el punto de intersección de los tres planos siguientes: x + z = 0, + y z = 0, + 3x y = 0 y es paralelo al plano x 3y + 6z + 7 = 0. 6) Determine el plano que contiene a la recta x y = = z + 3, y es paralelo a la recta x + y + z = x y + z = 0 7) Sean r la recta que pasa por (, 0, ) y tiene subespacio de dirección {(x, y, z) / x + y = 0, y + z = 0} y s la recta que pasa por (,, 0) y ( 3,, ). Pruebe que se cortan y obtenga las ecuaciones paramétricas del plano que determinan. 8) Determine, si existe, la intersección de los siguientes pares de planos en R 3 π : x y + z = π a) : ( x, y, z) = α(,, ) + β( 0,, ) b ) π : x + y 3z = 4 π : x, y, z = 0,,0 + λ 0,, + µ,3,5 ( ) ( ) ( ) ( )

8 9) Determine la posición relativa de los siguientes pares de rectas de R 3 y si se cortan, encuentre el punto de intersección: a) (x, y, z) = (,, ) + α (4, 3, ) (x, y, z) = (0,, 0) + β (, 3, ). x + 4 y 3 z + x + 9 y z 3 b) = = = = x 3y z = 3 c) x 3y = 4 x + y = y z = 0) Averigüe la posición relativa de los planos siguientes tomados dos a dos: π : x + y z + = 0 π : x y 4z + = 0 π 3 : 4y + 7z 3 = 0 π 4 : x + y z 3 = 0. Variedades afines de R 4 ) Halle el hiperplano de R 4 que es paralelo al hiperplano definido por la ecuación x y + z t = 0 y pasa por el punto P = (0,,, ). ) Halle la intersección de los siguientes planos de R 4 : M : {x + t = 0, y z = } y M : (x, y, z, t) = (0, 0,, ) + L{(a,,, 4), (, 0,, 0)} según los valores del parámetro a. 3) Encuentre el valor del número real a para el que es no vacía la intersección de los planos S y S : x= a+ 3λ + µ x = + α + β y = λ µ y = S S z = 4 + λ z = + α+ β t = 6+ 5λ + µ t = 3α 4) En R 4, halle un hiperplano paralelo al plano Π = (, 0,, 0) + L{(,,, ), (,,, 0)}, y que pase por los puntos P = (,, 0, 0) y Q = (, 0, 0, ).

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