EJERCICIOS ADICIONALES.

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1 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR PREPARADURIA DE MATEMATICAS MATEMATICAS 4 (MA-5) Miguel Guzmán (magt_3@hotmail.com) Tema: SUCESIONES EJERCICIOS ADICIONALES..- Considere la sucesión establecida por la relación Estudiar si es acotado o no. = ; = Solución. Datos tenemos que =, observamos los términos siguientes = ; = 4 ; = 8 Podemos pensar que la cota para la sucesión seria. Probemos por inducción Entonces la sucesión si está acotada. < ; = < ; = < ; = = <.- Estudiar si la sucesión es creciente = + Solución. Observamos los primeros términos de la sucesión =0; = ; =0; = 4 ; =0; = 6 ; Observamos que para números impares la sucesión es 0 y para números pares se puede escribir como =. Entonces la sucesión no es creciente ni decreciente.

2 3.- Establezca para que valores de la sucesión = Es monótona. Solución. Observamos para números negativos <0, la sucesión cambia de signo para par o impar. Entonces no hay monotonía. Para =0 la sucesión es constante a 0. Para >0, estudiamos la monotonía creciente > => > => > => > Por lo cual se concluye que la función será monótona creciente para > y caso contrario < => < => < => < Es monótona decreciente para <. Para = es monótona ya que es constante e igual. 4.- Demuestre que la sucesión Es acotada pero no es monótona. = + + Solución. Observamos los primeros términos de la sucesión. =0 ; =3 ; = ; = 5 3 ; = 3 ; = 7 5 ; Podemos concluir que para números pares es mayor que y para números impares es menor que. Veamos = = + =+ =+ => > = = + = + => < Entonces comprobamos lo que se sospechaba, por lo tanto no es monótona. Veamos si es acotada. Para los pares. =+ ; como > => > y luego +=> 3

3 Para los impares. Luego concluimos que la sucesion es acotada a 3. = + < 5.- Compruebe que Es acotada. =! Solución. Observamos los primeros términos y podemos suponer que es decreciente veamos, < => +! <! => +! <! => < => <+ + > Lo cual es cierto por lo tanto la sucesión es decreciente. Es acotada por 0 inferiormente y la cota superior será. 6.- Determine el límite de la sucesión = + 3 Solución. Debemos tener en cuenta + es continua para 0 = lim = lim = lim + 3 = lim + = +3 => =3 => = 3 3 lim = +3

4 7.- Determine la convergencia/divergencia de las sucesiones siguientes. a.- = ; =+. = ; = cos + b.- = ; =. = ; = : + h Se define, como = + ; = ; = ; = y suponga > > > Pruebe que convergen demuestre por inducción la suposición y tienen el mismo límite. Solución. Para el primer término. = ; =, se cumple > > > Ahora se debe demostrar para +, es decir > > > Lo realizamos por partes. + Verificada la primera desigualdad. > => >0 => = + = >0 > => >0 + Verificada segunda desigualdad, por último = >0 > => >0

5 Verificada la tercera desigualdad luego, por inducción = >0 > > > Es verdadero. Concluimos que la funciones son monótonas y ambas convergen Para el límite, suponemos que, lim = ; lim = Luego Por otro lado = lim = lim = lim + = lim + lim = + =+ => = = lim = lim = lim =lim lim = = => =0 => =0 = Tema: SERIE 9.- Pruebe la convergencia de la serie. Solución. + + Probemos que es convergente, cuando observamos que lim + = lim + = Probamos con comparación al límite con = Se tiene que lim + + = lim + + = Luego tienen el mismo comportamiento, y como es serie geométrica con = converge luego la serie problema CONVERGE.

6 0.- Estudie la convergencia o la divergencia de la serie. sin Solución, por comparación tenemos que 0< sin <, asi que sin La serie nueva es la serie p con = converge y por comparación la serie problema CONVERGE..- Para las siguientes series, calcular a.- La suma de los cuatro primeros términos. b.- El error cometido al aproximar la serie por la suma de estos 4 primeros términos. C.-Cuantos términos se tienen que sumar si queremos un error menor a 0, Solución. a.- Veamos si cumple las condiciones para el criterio de la integral. Sea = es continua para >0, y positiva, veamos la primera derivada = es siempre negativa por lo cual es siempre decreciente. Tenemos que =+ + + =,77, el error viene por = = lim Por lo tanto =,7766±0,035 = lim = 3 =0,035 Para buscar el número de términos necesario para que <0,0 entonces realizamos = <0,0 => =7,07 => 8 0,0

7 b.- Veamos las condiciones para aplicar el criterio de la integral, observamos la primera derivada. = + ; = + + Entonces la función es decreciente para > criterio de la integral. => >0, es continua y positiva luego aplicamos el Tenemos que para los cuatro primero términos Y el error viene Por lo cual = + = =0,8 = + + = ln++ln =ln5 ln4=0,3 =0,8±0,3 Si queremos saber el número de posiciones necesarias para que <0,0, apliquemos la integral Y se tiene + =ln ln+=ln =ln + + ln + + <0,0 => <, =>+ <, => >, =>>99,5 Entonces para 00, se cumple el error pedido..- Calcular el valor de la serie dado con un error menor que 0, Solución. a.- Observamos que + > y por lo tanto < así se tiene = + < = = Imponemos que <0,0 y despejamos n. Se tiene >,=6,64 => 7,

8 Por lo cual =0,756=0,76 + b.- Observamos que < y por lo tanto = < así que + < = = Por lo tanto si queremos que el error sea menor a 0,0 decimos que Así tenemos que, <0,0 => ln <ln0,0 => >ln0,0 ln0,5 + =0,606 =0,6 => 6,64 => Determine si la serie converge. alternante +cos3 + Solución. Evaluamos la serie de valor absoluto y tenemos Luego la serie +cos3 = +cos3 + < + + < ; serie = Por comparación termino a término converge la serie problema, dado a que es la serie de valores absoluto se concluye que la serie CONVERGE ABSOLUTAMENTE.