Cálculo II (0252) TEMA 5 SERIES NUMÉRICAS. Semestre

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1 Cálculo II (05) Semestre -0 TEMA 5 SERIES NUMÉRICAS Semestre -0 José Luis Quitero Julio 0

2 Deprtmeto de Mtemátic Aplicd U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) José Luis Quitero Ls ots presetds cotiució tiee como úico fi, el de prestr poyo l estudite y fcilitr su etedimieto e el tem de series umérics. L guí cotempl u pequeño resume de l teorí correspodiete que sirve de repso los coteidos teóricos que compoe el tem. Se preset ejercicios resueltos y propuestos, lguos so origiles, otros se h tomdo de guís redctds por profesores, tmbié hy ejercicios tomdos de exámees y de lguos textos. Se h trtdo de ser lo más didáctico posible y se esper prestr u poyo l eseñz del Cálculo II e Igeierí. Agrdezco ls observcioes y sugerecis que me pued hcer llegr e l mejor del presete mteril, ls misms puede ser evids l siguiete direcció de correo: quiterodvil@hotmil.com.

3 INDICE GENERAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) Deprtmeto de Mtemátic Aplicd José Luis Quitero TEMA 5. SERIES NUMÉRICAS 5.. Sucesioes 5.. Serie ifiit 5.3. Serie geométric 5.4. Serie telescópic 5.5. Criterio de l itegrl 5.6. Serie lter 5.7. Covergeci bsolut y covergeci codiciol 5.8. Criterios de comprció 5.9. Criterio de l rzó 5.0. Criterio de l ríz 5.. Problems propuestos G

4 SUCESIONES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: de 50 José Luis Quitero 5.. SUCESIONES L importci e el Cálculo de ls sucesioes y series ifiits surge de l ide de Newto de represetr ls fucioes como sums de series ifiits. Por ejemplo, l determir áres, meudo itegrb u fució expresádol primero como u serie y después itegrdo cd térmio de l serie. Muchs de ests fucioes que surge e l físic mtemátic y e l químic, como ls fucioes de Bessel, se defie como sums de series, por lo tto, result importte fmilirizrse co los coceptos básicos de covergeci de sucesioes y series ifiits. Defiició. U sucesió es u fució cuyo domiio es el cojuto {,,3,4,...,,...} de todos los úmeros eteros positivos. Los úmeros del cotrdomiio de u sucesió se deomi elemetos. U sucesió cosiste de los elemetos de u fució sucesió listdos e orde. Ejemplo. Se f l sucesió defiid por f() =, =,,3,.... () + Se tiee que f es u sucesió y 4 f() =, f() =, f(3) =, f(4) =, f(5) = y sí sucesivmete. Los elemetos de l sucesió defiid por f so,,,,, etc; y l sucesió es l () Puesto que el domiio de cd sucesió es el mismo, puede emplerse l otció {f()} pr deotr u sucesió. Así, l sucesió () puede deotrse por { / ( + )}. Tmbié se utiliz l otció de subídice f() =. { } pr expresr u sucesió pr l cul Defiició. U sucesió { } tiee límite L si pr culquier ε > 0 existe u úmero N > 0 tl que si es u úmero etero y si > N etoces L < ε y se escribe lím + = L.

5 SUCESIONES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: de 50 José Luis Quitero Ejemplo. Siedo se tiee que =, lím = 0 + por lo tto se tiee que l sucesió es covergete. Ejemplo 3. por lo tto l sucesió diverge. 0 lím = Ejemplo 4. o existe por lo tto l sucesió diverge. lím se() + {se()} Ls sucesioes o se puede derivr porque su domiio so putos isldos. Co l filidd de provechr l teorí de fucioes reles de vrible rel pr el estudio de crecimieto, decrecimieto y cálculo de límites de sucesioes es útil socir u fució de vrible rel co u sucesió (fució de vrible turl) e l form siguiete: Se reemplz e por x pr defiir u fució f(x) tl que f() =. Ejemplo 5. Se se defie l fució socid como + =, x + f(x) =. x

6 SUCESIONES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 3 de 50 José Luis Quitero TEOREMA. Se f(x) u fució tl que = f() pr cd N.. Si f es decreciete e [0, + ) etoces { } es estrictmete decreciete. b. Si f es creciete e [0, + ) etoces { } es estrictmete creciete. c. Si lím f(x) = L etoces lím = L. x + + sucesió. Este teorem permite plicr l regl de L Hospitl e el cálculo del límite de u Ejemplo 6. Estblezc si l sucesió.rctg() 3 + coverge o diverge y ecuetre el límite e cso de que se covergete. Solució..rctg() π π lím = lím. lím rctg() =. = Por lo tto l sucesió coverge. = Ejemplo 7. Estblezc si l sucesió e coverge o diverge y ecuetre el límite e cso de que se covergete. Solució. Se = x f(x) = e l fució rel socid. Aplicdo L Hospitl se tiee: Por lo tto l sucesió coverge. x x lím = lím = lím = 0. e e e x + x x + x x + x x Ejemplo 8. Estblezc si l sucesió + coverge o diverge y ecuetre el límite e cso de que se covergete. Solució. =

7 SUCESIONES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 4 de 50 José Luis Quitero Por lo tto l sucesió coverge. + lím = lím + = e. Ejemplo 9. Estblezc si l sucesió l( π + ( ) ) 3 coverge o diverge y ecuetre el límite e cso de que se covergete. Solució. Pr l( π ) l( π + ( ) ) l( π + ) =,,..., l( π ) l( π + ( ) ) l( π + ) Como se deduce que Por lo tto l sucesió coverge. + = l( π ) l( π + ) lím = lím = l( π + ( ) ) lím = 0. 3 Ejemplo 0. Estblezc si l sucesió π.cos( ) + 0 coverge o diverge y ecuetre el límite e cso de que se covergete. Solució..cos( π) π lím = lím. lím cos( ) = Por lo tto l sucesió coverge. = Ejemplo. Estblezc si l sucesió ( + ) l() coverge o diverge y ecuetre el límite e cso de que se covergete. Solució. Se x(x + ) f(x) = l(x) =

8 SUCESIONES U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 5 de 50 José Luis Quitero l fució rel socid. Aplicdo L Hospitl se tiee: Por lo tto l sucesió diverge. x(x + ) (x + ) + x x + x lím = lím = lím = l(x) x x x x 5.. SERIE INFINITA Defiició 3. Si { } es u sucesió y 3 s = etoces {s } es u sucesió de sums prciles deomid serie ifiit y se deot por = = Los úmeros,, 3,..., so los térmios de l serie ifiit. Ejemplo. Cosidere l sucesió { / }:,,,,,...,,... A prtir de est sucesió se form l sucesió de sums prciles: s = 3 s = + s = 7 s3 = + + s 4 3 = 4 5 s4 = s = = = 6 s s s = Est sucesió de sums prciles = {s } es l serie ifiit deotd por = Est serie es u ejemplo de u serie geométric, l cul se discutirá posteriormete.

9 SERIE INFINITA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 6 de 50 José Luis Quitero Ejemplo 3. Se l serie ifiit = ( + ). = =. Obteg los primeros cutro elemetos de l sucesió de sums prciles {s }. b. Determie u fórmul pr s e térmios de. Solució.. Como s = s + se tiee s = = =, s = s + = + = s3 = s + 3 = + =, s4 = s3 + 4 = + = b. Como k =, k(k + ) se tiee, medite frccioes prciles, k = k k + Por tto, =, =, =, =, = +. De est form, como s = , s = Al elimir los prétesis y reducir los térmios semejtes se obtiee s = +. El método empledo e l solució del ejemplo terior se plic sólo u cso especil. E geerl, o es posible obteer u expresió de este tipo pr s. Defiició 4. Cosidere que deot u serie ifiit dd pr l cul {s } es l sucesió de sums prciles. Si lím s + existe y es igul S, etoces l serie es covergete y S es l sum de l serie. Si

10 SERIE INFINITA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 7 de 50 José Luis Quitero lím s + o existe, etoces l serie es divergete y l serie o tiee sum. Ejemplo 4. Determie si l serie del ejemplo 3 tiee u sum. Solució. E l solució del ejemplo 3 se mostró que l sucesió de sums prciles pr l serie dd es Por tto, + {s } = { ( + )}. lím s = lím = + +. Por lo que l serie ifiit tiee u sum igul, y se escribe = = =. ( + ) 6 0 ( + ) TEOREMA. Si l serie coverge etoces + lím = 0. El eucido terior es equivlete decir: Si lím 0 etoces l serie diverge. + Ejemplo 5. Como etoces l serie diverge. lím = = +

11 SERIE INFINITA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 8 de 50 José Luis Quitero Ejemplo 6. L codició lím = 0 + o es suficiete pr determir l covergeci, e efecto: coverge y + lím = 0, diverge y lím = 0. + Ests series será estudids posteriormete (series p) e prticulr l últim recibe el ombre de serie rmóic SERIE GEOMÉTRICA Defiició 5. U serie ifiit de l form = se deomi serie geométric. r = + r + r r +... L serie ifiit discutid e el ejemplo es u serie geométric co = y r =. TEOREMA 3. L serie geométric coverge l sum Demostrció. r L -ésim sum prcil de l serie geométric está dd por De l idetidd () se puede escribir como Ahor bie, si r < y diverge si r. s = ( + r + r r ). () r = ( r)( + r + r r ) + ( r ) s = si r. r ( r ) r lím = lím. r r + r

12 SERIE GEOMÉTRICA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 9 de 50 José Luis Quitero Como + lím r = 0 si r < se tiee que + ( r ) r lím = lím = si r <, r r + r r por lo tto l serie geométric coverge y su sum es igul. r Si r > etoces r puede hcerse t grde como se desee tomdo suficietemete grde, e cosecueci l serie diverge. Si r = ± es clro ver l divergeci por hcerse l sum t grde como se desee o bie por o existir el límite, e mbos csos el límite o es igul cero SERIE TELESCÓPICA Defiició 6. Se es llmd serie telescópic. {b k} u sucesió. U serie de l form k = (b b ) k k + E u serie telescópic u térmio ccel lguo de los siguietes, por lo cul l sum se reduce geerlmete sólo lguos térmios. L serie del ejemplo 3 es telescópic. E los dos tipos de series teriores, geométrics y telescópics, se h podido determir l covergeci de l serie obteiedo el térmio geerl de l sucesió de sums prciles y luego se exmi lím s. + Desfortudmete est técic o es tre secill pr l myorí de ls series. Seguidmete se eucirá e ilustrrá lguos criterios utiles pr determir l covergeci; si embrgo estos criterios, e el cso de covergeci, o idic como clculr su sum.

13 SERIE TELESCÓPICA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 0 de 50 José Luis Quitero Ejemplo 7. Cuál es el vlor de c si Solució. ( + c) =? = ( c) ( c) ( c) c c + c c + c( c) + c + c + c c( + c) + = = ( + c) = = = = = = = c + c = ± ± 3 ± c + c = 0 c = = = c =, c = Se elige c = (,). Ejemplo 8. Ecuetre l sum de l serie + ( ) + + L Solució. = + + ( ) + ( ) + + L = + L = = = Serie geométric: = = = = ( ) ( ) ( ) = = = =. =. =. = Serie telescópic: + /(+ ) / = = = + L() L( + ) L( + ) L = L( + ) L() = = lím + + ( + ) Se plic L Hospitl: Por lo tto : + + x+ x + x + (x + ) x + x + x + L(x ) L(x ) x R, f(x) =, lím = lím = lím = 0. + ( ) + + L = = Ejemplo 9. Clcule l sum de l serie ( )/ + =

14 SERIE TELESCÓPICA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: de 50 José Luis Quitero Solució. ( )/ ( )/ = = = ( )/ / = = 0 = = = = 3 = =. (Serie geométric) ( + ) = = = Se tiee: + + = = = lím = = (Serie telescópic) = + = = = ( )/ CRITERIO DE LA INTEGRAL TEOREMA 4. Se k u serie de térmios positivos, es decir > 0 pr todo myor o igul k, y se f(x) l fució rel socid l sucesió, es decir f() = pr todo. Si f(x) es cotiu y decreciete pr x k etoces coverge o diverge mbs. + y k k f(x)dx Ejemplo 0. Estudi l covergeci de l serie Solució.. (l())

15 CRITERIO DE LA INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: de 50 José Luis Quitero Se f(x) = x(l(x)) l fució socid, es cotiu e [, ). Se verá que es decreciete e este itervlo: l(x) + f '(x) = < 0 x (, ). 3 x (l(x)) Se estudirá hor l covergeci de l itegrl impropi: b x(l(x)) + x(l(x)) b dx = lím dx = lím =. b + l(x) l() L itegrl impropi coverge, luego l serie coverge. b Defiició 7. Ls series de l form se deomi series p. p co p > 0 Se usrá el criterio de l itegrl pr estudir co cules vlores de p l serie coverge o diverge. Se f(x) =, p > 0 p x l fució socid que es cotiu e [, ). p f '(x) = < 0 e (, ) p x + luego decrece e dicho itervlo. si p > dx = lím p b p p = p. x + b + si 0 < p < Pr p = se tiee b dx = lím l(x) = +. x b +

16 CRITERIO DE LA INTEGRAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 3 de 50 José Luis Quitero Se cocluye que coverge pr p > y diverge si 0 < p. E prticulr l serie rmóic diverge y que p =. p 5.6. SERIE ALTERNA Defiició 8. Si > 0 pr todos los úmeros eteros positivos, etoces l serie y l serie se deomi series lters. = = ( ) = ( ) = TEOREMA 5. Supog que se tiee l serie lter + ( ) o ( ), = dode > 0 y + < pr todos los úmeros eteros positivos. Si lím = 0, + etoces l serie lter es covergete. =

17 SERIE ALTERNA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 4 de 50 José Luis Quitero Ejemplo. Dd l serie se tiee: = > = = ( + ) +. + b. lím = lím = Por lo tto l serie lter dd coverge. = + ( ) pr cd, luego l sucesió es decreciete CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL Defiició 9. L serie ifiit es bsolutmete covergete si l serie es covergete. Ejemplo. Cosidere l serie + + ( ) = ( ) +... (3) = Est serie será bsolutmete covergete si l serie = = es covergete. Como ést es l serie geométric co r = <, etoces es covergete. Por tto, l serie (3) es bsolutmete covergete. 3

18 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 5 de 50 José Luis Quitero Ejemplo 3. Dd l serie = ( ) es covergete (criterio de serie lters). Est serie o es bsolutmete covergete debido que l serie de vlores bsolutos es l serie rmóic, l cul es divergete. L serie del presete ejemplo e ocsioes es llmd serie rmóic lter y costituye u ejemplo de u serie codiciolmete covergete. + Defiició 0. U serie que es covergete, pero o bsolutmete covergete, se deomi codiciolmete covergete. L importci de l covergeci codiciol se muestr e el ejemplo siguiete: Ejemplo 4. Cosidere l serie rmóic lter: + ( ) = (4) = l cul se sbe es codiciolmete covergete. Se reorderá y gruprá los térmios de est serie como sigue: = = (5) Observe que l serie etre prétesis terior es l mism que l serie (4). Debido que l serie (4) es covergete, tiee u sum igul S. L serie (5) tmbié tiee u sum, pero evidetemete l sum de (5) es u medio de l sum de l serie (4). Est situció se preset debido que l serie (4) es solo codiciolmete covergete e vez de ser bsolutmete covergete. Del ejemplo terior, prece que o se puede cmbir el orde de los térmios de u serie codiciolmete covergete y preservr l sum. TEOREMA 6. Si

19 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 6 de 50 José Luis Quitero es u serie covergete de térmios positivos, etoces sus térmios puede regruprse de culquier mer, de modo que l serie resultte tmbié será covergete y tedrá l mism sum de l serie origil. TEOREMA 7. Si l serie es covergete, etoces l serie es covergete CRITERIOS DE COMPARACIÓN TEOREMA 8. Supog que so series co térmios positivos.. Si y = = es covergete y b pr tod, etoces tmbié coverge. b. Si es divergete y b pr tod, etoces b b b

20 CRITERIOS DE COMPARACIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 7 de 50 José Luis Quitero tmbié diverge. TEOREMA 9. Supog que so series co térmios positivos. Si y = = lím + b = c, dode c es u úmero fiito y c > 0, etoces mbs series coverge o diverge. Además. Si c = 0 y es covergete, etoces tmbié coverge. b. Si c = + y es divergete, etoces tmbié diverge. b b b Ejemplo 5. Determie l covergeci o l divergeci de ls siguietes series:. = ( ) + l() Solució. Se liz l covergeci de l serie

21 CRITERIOS DE COMPARACIÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 8 de 50 José Luis Quitero b. l(). = Por comprció simple: Se (serie rmóic) (diverge) Se tiee que. l() Por lo tto l serie diverge. Se estudirá l serie lter: + b+ b l() + l( + ) l ( + ) l( + ) l() lím = lím = 0. l() ( l()) Por lo tto l serie propuest coverge codiciolmete. = tg Solució. Criterio de comprció por pso l límite: Se = 3/ (Serie p co 3 = = Se sbe que est serie coverge. Por lo tto tg( ) tg(z) lím = lím = + z 0 z Por lo tto l serie propuest coverge bsolutmete. p = > )

22 CRITERIO DE LA RAZÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 9 de 50 José Luis Quitero 5.9. CRITERIO DE LA RAZÓN TEOREMA 0. Se u serie ifiit pr l cul cd es diferete de cero:. si + + lím = L <, etoces l serie es bsolutmete covergete; b. si + + lím = L > o si lím + + l serie es divergete; c. si + lím =, + = +, o se puede cocluir d cerc de l covergeci prtir de este criterio. Ejemplo 6. Determie si l serie es covergete o divergete: + ( ). Solució. Si Por tto, De modo que = + = ( ) y = ( ) = lím = lím = <. + + Por tto, por el criterio de l rzó, l serie dd es bsolutmete covergete.

23 CRITERIO DE LA RAZÓN U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 30 de 50 José Luis Quitero Ejemplo 7. Determie si l serie es covergete o divergete:. =.cos( π) e Solució. = = Se estudirá l covergeci de l serie plicdo criterio del cociete:.cos( π) ( ). = (Serie lter). e e + + e + e.e e e.e.e ( + )e + lím = lím = lím = lím = <. e e Por lo tto l serie coverge bsolutmete. e Ejemplo 8. Ecuetre los vlores eteros positivos de k pr los cules l serie coverge. Solució. Aplicdo el criterio de l rzó: (!) (k)! ((+ )!) (k( + ))! (( )!).(k)! = = + (!) + (!).(k( + ))! + (k)! + ( + )!.( + )!.(k)! lím lím lím!.!.(k( + ))! ( + ) = lím + (k + k).(k + k )...(k + ) E el deomidor se tiee u poliomio de grdo k y el coeficiete del térmio x k es igul k k. Por lo tto si k = 0 y si k = l serie diverge y si k es igul el límite es igul ¼. Pr k 3 el límite es igul cero y de cuerdo l criterio del cociete l serie coverge pr k =,3,...

24 CRITERIO DE LA RAÍZ U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 3 de 50 José Luis Quitero 5.0. CRITERIO DE LA RAÍZ TEOREMA. Se u serie ifiit pr l cul es diferete de cero:. si lím = L <, etoces l serie es bsolutmete covergete; + b. si lím = L >, o si lím + + = +, l serie es divergete; c. si lím =, o se puede cocluir d cerc de l covergeci prtir de este + criterio. Ejemplo 9. Aplique el criterio de l ríz pr determir si l serie es covergete o divergete: Solució. Al plicr el criterio de l ríz se tiee + 3 ( ). = / + (/) lím = lím = lím = 0 <. Por tto, por el criterio de l ríz, l serie dd es bsolutmete covergete. Los criterios de l rzó y de l ríz está ítimmete relciodos. Si embrgo, el criterio de l rzó geerlmete es más fácil de plicr; si los térmios de l serie cotiee fctoriles, este es ciertmete el cso. Si los térmios de u serie cotiee potecis, plicr el criterio de l ríz puede ser más vetjoso que plicr el criterio de l rzó. Ejemplo 30. Estblezc si l serie = + coverge bsolutmete, codiciolmete o diverge. Solució.

25 CRITERIO DE LA RAÍZ U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 3 de 50 José Luis Quitero Aplicdo criterio de l ríz: / lím = lím = lím = < e Por lo tto l serie coverge bsolutmete.

26 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 33 de 50 José Luis Quitero 5.. PROBLEMAS PROPUESTOS. Estblezc e cd cso si l sucesió coverge o diverge y ecuetre el límite de ls sucesioes covergetes:. se().e + 0 = b. { + } = c. se( ) = d. { } + 3 = e. { l() l( + ) } = f. g. h. i. j. k. l. l( π + e ) (l()) = = = ( + ) ( + ) e 8 + 5e + = + = = = diverge Rt. 4 Rt. -4

27 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 34 de 50 José Luis Quitero. Dd l serie 3 :. Idetifiquel como u serie geométric y obteg el vlor de su sum. b. Trsformel e u serie telescópic y obteg el vlor de su sum. Respuest: l sum es igul. 3. Clcule l sum de l serie = 4. Clcule l sum de l serie = 5. Clcule l sum de l serie +. Rt:. ( + ) = 6. Clcule l sum de l serie. Rt. /. ( + )( + 3) = 0 7. Clcule l sum de. ( + )( + ) = 8. Clcule l sum de ( + 3)( + 4) = 3 9. Exprese = l( + ) l() l().l( + ) como u serie telescópic y clculr su sum. Rt.. l()

28 PROBLEMAS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (05) TEMA 5 Series Numérics Pág.: 35 de 50 José Luis Quitero 0. Clcule l sum de l serie = Diverge. Usdo el criterio de l itegrl, estblezc l covergeci o divergeci de l serie Coverge. Itegrl 3e. 3 e.. Usdo el criterio de l itegrl, estblezc l covergeci o divergeci de l serie e. Coverge. 3. Aplicdo el criterio del cociete, estblezc l covergeci o divergeci de l serie = ( ). Rt. Diverge Aplicdo el criterio del cociete, estblezc l covergeci o divergeci de l serie. Rt. Diverge.! 5. Estudie l covergeci de ls siguietes series lters:. b. c. ( ) Rt. Coverge codiciolmete 3 + = ( ) Rt. Coverge bsolutmete (3 + ) = + ( ) ( + ) Rt. Coverge codiciolmete =