GUÍA DE CONSULTA ALGEBRA

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1 FACULTAD D DE CIENCIAS IAS ECONÓMICAS, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS GUÍA DE CONSULTA ALGEBRA Versió 1.0 Oruro Bolivi 014 Guí de cosult de Algebr 1

2 ALGEBRA DOCENTES Lic. Freddy Chuc Butist Lic. Eddy Adrde Roch Lic. Rubé Vásquez Céspedes Lic. Reé Medrdo Slis Lurio Lic. Vid Delfo Codori Quispe Lic. Toms Edwi Choqueticll Tborg Lic. José Cstro López Lic. Ju Crlos Flores Espioz Lic. Ley Jhov Flores Cáceres Lic. Evristo Mmi Chu Lic. Jime Vrgs Gbriel Lic. Dvid Ágel Hullt Choque Lic. Luz Mrí Cstro Vásquez Lic. Milto Aro Chmbi REVISIÓN Y DIAGRAMACIÓN Lic. Rubé Vásquez Céspedes Lic. Freddy Chuc Butist Lic. Eddy Adrde Roch COORDINACIÓN Lic. Isís Mrcelo Cárdes Cstillo Uiv. Kevi Félix Peñ Escobr SUPERVISIÓN Lic. Alfoso Luc Choque Director Ciecis Básics Lic. Ágel Mird Siles Vice Deco

3 CONTENIDO Tem Titulo Pági I Itroducció l Algebr... 4 II. Descomposició Fctoril III. Frccioes Algebrics IV. Ecució Liel de Primer Grdo... 4 V. Teorí Geerl de Expoetes y Rdicles... 3 VI. Ecucioes de Segudo Grdo VII. Logritmos

4 TEMA I INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA 4

5 TEMA I INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA A difereci de l ritmétic elemetl, que trt de los úmeros y ls opercioes fudmetles, e álgebr -pr logrr l geerlizció- se itroduce demás símbolos (usulmete letrs) pr represetr prámetros (vribles o coeficietes), o ctiddes descoocids (icógits); ls expresioes sí formds so llmds «fórmuls lgebrics», y expres u regl o u pricipio geerl. El álgebr coform u de ls grdes áres de ls mtemátics, juto l teorí de úmeros, l geometrí y el álisis. Notció lgebric Cosiste e que los úmeros se emple pr represetr ctiddes coocids y determids. Ls letrs se emple pr represetr tod clse de ctiddes, y se coocids o descoocids. Ls ctiddes coocids se expres por ls primers letrs del lfbeto:, b, c, d, Ls ctiddes descoocids se represet por ls últims letrs del lfbeto: u, v, w, x, y, z. Los sigos empledos e álgebr so tres clses: Sigos de operció, sigos de relció y sigos de grupció. Sigos de operció E álgebr se verific co ls ctiddes ls misms opercioes que e Aritmétic: sum, rest, multiplicció, elevció potecis y extrcció de ríces, que se idic co los priciples sigos de ritmétic excepto el sigo de multiplicció. E lugr del sigo suele emplerse u puto etre los fctores y tmbié se idic l multiplicció colocdo los fctores etre prétesis. Así b y ()(b) equivle b. Sigos de relció Se emple estos sigos pr idicr l relció que existe etre dos ctiddes. Los priciples so:, que se lee igul. Así, b se lee igul b. >, que se lee myor que. Así, x + y>m se lee x + y myor que m. <, que se lee meor que. Así, <b + c se lee meor que b + c. Sigos de grupció Los sigos de grupció so: el prétesis ordirio ( ), el prétesis gulr o corchete [ ], ls llves { } y l brr o vículo. Estos sigos idic que l operció colocd etre ellos debe efecturse primero. Así, ( + b)c ídic que el resultdo de l sum y b debe multiplicrse por c; [ b]m idic que l difereci etre y b debe multiplicrse por m, { + b} {c d} ídic que l sum de y b debe dividirse etre l difereci de c y d. El orde de estos sigos so de l siguiete form { [ ( ) ] }, por ejemplo: { [ ( + b) - c] d} idic que l resultdo de l sum de + b debe restrse c y el resultdo de esto multiplicrse por d. Sigos y símbolos más comues Los sigos y símbolos so utilizdos e el álgebr y e geerl e teorí de cojutos y álgebr de cojutos co los que se costituye ecucioes, mtrices, series, etc. Sus letrs so llmds vribles, y que se us es mism letr e otros problems y su vlor v vrido. 5

6 FACULTAD D DE CIENCIAS IAS ECONÓMICAS, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS Aquí lguos ejemplos: Expresió + c o k Primers letrs del becedrio, b, c,.... Últims letrs del becedrio..., x, y, z Expoetes y subídices Sigos y símbolos Uso Además de expresr dició tmbié es usd pr expresr opercioes biris Expres térmios costtes Se utiliz pr expresr ctiddes coocids Se utiliz pr expresr icógits Expres culquier úmero (1,,3,4,...,) Expresr ctiddes de l mism especie, de diferete mgitud. Leguje lgebrico Leguje lgebrico Leguje e comú U úmero culquier. U úmero culquier umetdo e siete. L difereci de dos úmeros culesquier. El doble de u úmero excedido e cico. L divisió de u úmero etero etre su tecesor L mitd de u úmero. El cudrdo de u úmero L semisum de dos úmeros Ls s dos tercers ers prtes de u úmero dismiuidos e cico es igul 1. Tres úmeros turles cosecutivos. L prte myor de 100, si l meor es w El cudrdo do de u úmero umetdo e siete. Ls s tres quits prtes de u úmero más l mitd de su cosecutivo equivle tres. El producto de u úmero co su tecesor eso equivle 30. Leguje lgebrico m m + 7 f - q xx + 5 x/( /(x-1) d/ y^ (b+c)/ /3 (x-5) 1 x,, x + 1, x w + 7 b 3/5 p + 1/ (p+1) 3 x(x-1) 30 Guí de cosult de Algebr 6

7 Ejemplo 1 Se los poliomios A(x) 18x 5 4x 18x + 6 B(x) x 5 x 4 + 3x 6x + 8 C(x) 0x 5 + x 3 5x 15 Hllr A(x) B(x) + C(x) Opermos los moomios semejtes por seprdo A(x) 18x 4x 18x B(x) +x + x 3x + 6x 8 17x + x 7x 1x + C(x) 0x + x 5x 15 3x 5 + x 4 + x 3 3x 1x 17 Filmete A(x) B(x) + C(x) 3x + x + x 3x 1x 17 Ejemplo Se los poliomios: A x 3 +4x -6x+ B 4x 3 -x +8x-14 C x 3 +x -1x-4 D -x+ Hllr: [(A+B)-C]D Solució: A+B A x 3 +4x -6x+ B 4x 3 -x +8x-14 6x 3 +x +x-1 (A+B)-C (A+B) 6x 3 +x +x-1 -C -x 3 -x +1x+4 _ 4x 3 +14x - 8 [(A+B)-C]D (A+B)-C 4x 3 +14x-8 D -x+ -4x 4-14x + 8x 8x 3 +8x-16 [(A+B)-C]D -4x 4 +8x 3-14x +36x - 16 Ejemplo 3 Se los poliomios: A x 3 +x y+xy +y 3 B y +10x C 4x +3y -6x+4y- D 3x -y +x -4y+3 7

8 Hllr: [(C+D)-(A*B)] Solució: C+D C 4x +3y -6x +4y- D 3x - y +x -4y+3 C+D 7x +y -4x +1 (A*B) A x 3 +x y+xy +y 3 B y +10x x 3 y + x y 3 + xy 4 +y 5 10x 5 +10x 4 y+10x 3 y + 10x y 3 (A*B)10x 5 +10x 4 y +11x 3 y + 11x y 3 +xy 4 +y 5 [(C+D)-(A*B)] C+D 7x +y -4x +1 -(A*B) -10x 5-10x 4 y -11x 3 y - 11x y 3 -xy 4 -y 5 [(C+D)-(A*B)] 7x +y -4x+1-10x 5-10x 4 y -11x 3 y - 11x y 3 -xy 4 -y 5 Ejemplo 4 Se los poliomios M 3x 5x 3 N x + x + 1 M + 4N + 3K Hllr Q Solució: K x x + Q 11x 8x M (3x 5x 3) Multiplicmos por 4N 4 x + x + 1 Multiplicmos por 4 3K 3 x x + Multiplicmos por 3 M ()3x ()5x ()3 4N (4) x + (4) x + (4)1 3K (3)x (3) x + (3) +M 6x 10x 6 +4N x + 3x + 4 Summos los poliomios +3K 3x x + 11x 8x + 0 M + 4N + 3K 11x 8x Q 11x 8x 1 8

9 Ejemplo 5 UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO Multiplicr (5x 3 + x x+6) por (-x² - 5x + 5) 5x 3 + x x + 6 x² 5x + 5 5x 5 x 4 + x 3 6x 5x 4 5x 3 +10x 30x 5x 3 + 5x 10x x 5 6 x 4 +x 3 + 9x 40x + 30 Filmete (5x 3 + x x+6) (-x² - 5x + 5) 5x 5 6 x 4 +x 3 + 9x 40x + 30 Ejemplo 6 Multiplicr: 3x y xy + 5y 3 por x y xy + 6y 3 Solució: Multiplicdo: 3x y xy + 5y 3 Multiplicdor: x y xy + 6y 3 3x 4 y x 3 y 3 + 5x y 4 6x 3 y 3 + x y 4 10xy 5 18x y 4 6xy y 6 3x 4 y 7x 3 y 3 + 5x y 4 16xy y 6 Ejemplo 7 Dividir 3x y + 5x y 6xy 4x y 3x y 4x y + 5x y 4x y 6xy 4x y 3 xy y x 3 xy 3y 4 x Ejemplo 8 Dividir 45x 4 1x 3 y 18x y + 1xy 3 9y 4 Etre 15x + 3xy 9y 45x 4 1x 3 y 18x y + 1xy 3 9y 4 45x 9 x y + 7x y 30x y + 9x y + 1xy 9y +30x y + 6x y 18xy 15x y + 3 xy 9y 15x y 3xy + 9y 0 15x + 3xy 9y 3x xy + y 9

10 Filmete Ejemplo 9 UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO 45x 4 1x 3 y 18x y + 1xy 3 9y 4 15x + 3xy 9y 3x xy + y Dividir: 3x -5x + 4 etre x 4 Solució: Ordedo: 3x 5x + 4 x 4 3x 3 +6x x + 1 x + 4 -x + 6 Cociete: 3 x + 1 Resto: 6 Comprobmos: Multiplicdo el cociete por el divisor y sumdo el resto 3 x + 1 x xx x x 6x + x + 6 3x 6x + x + 4 Se verific que es igul l poliomio 3x 5x + 4 Pr que el proceso de l divisió se más secillo podímos modificr los poliomios e este ejemplo (x 4) dividiedo etre se quedri (x-) Dividir 3x -5x + 4 etre x 10

11 TEMA II DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 11

12 TEMA II DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL Descompoer u expresió lgebric cosiste e covertirl e el producto de sus fctores. Pero que so los fctores, se llm fctores o divisores de u expresió lgebric ls expresioes lgebrics que multiplicds etre sí d como producto l expresió origil. Descompoer u expresió lgebric cosiste e covertirl e el producto de sus fctores. Los fctores so ls expresioes lgebrics que multiplicds etre sí d como producto l expresió origil. E ritmétic hbímos estudido u procedimieto similr co los úmeros que er dividir u úmero por sus fctores primos. E este cso se covierte poliomios por sus fctores. Fctorizr poliomios es lgo muy distito que co los moomios, y e lguos csos o podremos fctorizrlos, por ejemplo el poliomio x+y, meos que se utilice úmeros complejos. Pr ello se estudirá e delte lo que se cooce como los csos de fctorizció. DIRECTRICES PARA LA FACTORIZACIÓN 1 ro. Siempre busc e primer lugr u fctor comú. do. Cosider el úmero de térmios. A) DOS TÉRMINOS: Trt de fctorizr como u difereci de cudrdos 3 3 de cubos b. Note que b b o es fctorizble., o como u sum o difereci B) TRES TÉRMINOS: Ve si l expresió es u triomio cudrdo perfecto. Si es sí, fctorícel. De otro modo fctoriz como el triomio de l form x bx c o triomio de l form x bx c (us el sp simple). C) MÁS DE TRES TÉRMINOS: Trt de fctorizr por grupció de térmios. 3 ro. Asegúrte de que l expresió esté fctorizd por completo. Es decir que cd fctor restte se primo. ALGUNOS EJEMPLOS PARA TU ESTUDIO Ejemplo 1 Fctorizr: 10 x 40b x Solució: Escribimos el biomio ddo, sí: 10 x 40b x Extremos el fctor comú x 10, sí: 10x 4b 1

13 El segudo fctor es otro cso de l fctorizció (difereci de cudrdos), por tto lo fctorizmos, sí: b b Luego, l expresió fctorizd completmete es: 10 x 40b x 10x b b Ejemplo Fctorizr: Solució: x 50 0x Escribimos el triomio ordedo, sí: x 0x 50 x 10x 5 Extremos el fctor comú, sí: El segudo fctor es otro cso de l fctorizció (triomio cudrdo perfecto), luego lo x 5 fctorizmos, sí: Ejemplo 3 Fctorizr: 6x 0x 16 x 50 0x x 5 Solució: Escribimos el triomio ordedo, sí: 6x 0x 16 Extremos el fctor comú, sí: 3 x 10x 8 El segudo fctor es otro cso de l fctorizció (triomio de l form x bx c ), por tto lo fctorizmos, sí:x 4 3x Luego, l expresió fctorizd completmete es: Ejemplo 4 5 Fctorizr: x y x Solució: y 4 x 3 y 3 6 0x 16 x 4 3x x y Escribimos el poliomio ddo, sí: 6 x 5 y x y 4 x 3 y 3 y Extremos el fctor comú y, sí: y x x y x y y El segudo fctor cost de cutro térmios, por tto grupmos los térmios de dos e dos que teg fctores comues: x x y x y y Extremos el fctor comú de cd biomio grupdo: 6 Expresió fctorizd completmete. 13

14 y x x y y x y 3 3 Extremos el fctor comú poliomio: y x y x y El segudo y tercer fctor so otros csos de l fctorizció (sum de cubos y difereci de cudrdos, respectivmete), por tto lo fctorizmos, sí: x y x xy y x y x y Luego, l expresió fctorizd completmete es: x y x y x y y y x yx y x xy y Ejemplo 5 Fctorizr: y 9 1y 36 Solució: Escribimos el poliomio ddo, sí: y 9 1y 36 No hy otro fctor comú más que 1 ó -1. Hy cutro térmios; y o es posible grupr pr extrer u fctor biomio comú. Trtemos de grupr de l siguiete mer: y 1 y 36 9 Fctorizmos l expresió grupd (triomio cudrdo perfecto), sí: y 6 9 Filmete, fctorizmos l difereci de cudrdos: y 6 3 y 6 3 Luego, l expresió fctorizd completmete es: y 9 1 y 36 y 6 3 y 6 3 Ejemplo 6 Fctorizr: 64x 1 y 3 68x 8 y 7 + 4x 4 y 11 4x 4 y 3 ( 16x 8 17x 4 y 4 + y 8 ) Extryedo fctor comú 4x 4 y 3 ( 16x 4 y 4 )( x 4 - y 4 ) Fctorizdo el triomio 4x 4 y 3 (4x + y )(4x y )(x + y )(x y ) Fctorizdo difereci de cudrdos sucesivmete 4x 4 y 3 (4x + y )(x + y)(x y)(x + y )(x + y)(x y) //R Ejemplo 7 Fctorizr: y 5 + y Cosiste e sumr y restr u mism ctidd de tl mer que se forme u sum o difereci de cubos y se preset el fctor: y + y + 1 ó y - x + 1. Algus veces tmbié se complet el poliomio. y 5 + y y 5 y + y 4 + y + 1 Sumdo y restdo y 14

15 y (y 3 1) + (y 4 + y + 1) Agrupdo y fctorizdo y (y 1)(y + y + 1) + (y 4 + y + y - y + 1) Sumdo y restdo y l segudo prétesis y (y 1)(y + y + 1) + (y 4 +y + 1 y ) Agrupdo y fctorizdo el último prétesis y (y 1)(y + y + 1) + (y + 1) y y (y 1)(y + y + 1) + [ (y + 1) + y ] [ (y + 1) - y] y (y 1)(y + y + 1) + (y + y + 1)(y y + 1) (y + y + 1)[ y (y 1) + (y y + 1) ] (y + y + 1)(y 3 y + y y + 1) Reduciedo e el º prétesis (y + y + 1)(y 3 y + 1) // R Ejemplo 8 Fctorizr l siguiete expresió lgebric: x 3 -x +x-1 Solució: Respuest: x 3 -x +x-1 (x 3 -x )+(x-1) x (x-1)+(x-1) (x +1)(x-1) x 3 -x +x-1 (x +1)(x-1) Ejemplo 9 Difereci de Cudrdos: Fctorizr l siguiete expresió lgebric: 64x 6-81y 4 Solució: Respuest: 64x 6-81y 4 (8x 3 ) -(9y ) (8x 3 +9y )(8x 3-9y ) 64x 6-81y 4 (8x 3 +9y )(8x 3-9y ) Ejemplo 10 Triomio Cudrdo Perfecto: Fctorizr l siguiete expresió lgebric: 4 +1b+9b Solució: 4 + 1b + 9b ( + 3b) ()(3b) 3b Respuest: 4 +1b+9b ( + 3b) Ejemplo 11 Otros Triomios: Fctorizr l siguiete expresió lgebric: y 1-11y Solució: 15

16 y 1-11y (y 6 ) -11y (y 6-6)(y 6-5) Respuest: y 1-11y (y 6 ) -11y (y 6-6)(y 6-5) Ejemplo 1 Fctorizr 7x y 9 Solució: 343y 9 3 7x 6 3x Riz cubic del primer termio 7y 3 Riz cubic del segudo termio Por tto 7x y 9 3x + 7x 3 3x 3x 7y 3 + (7y 3 ) 7x y 9 3x + 7x 3 9x 4 1x y y 6 Ejemplo 13 Fctorizr 9(x y) + 1(x y)(x + y) + 4(x + y) Solució. 9(x y) + 1(x y)(x + y) + 4(x + y) 3(x y) (x + y) 3(x y) (x + y) Filmete 9(x y) + 1(x y)(x + y) + 4(x + y) [3(x y) + (x + y)] Ejemplo 14 Fctorizr 30 4 x xz y + 5 yz 30 4 x xz y + 5 yz 5.(6 x - 3xz - y + yz) 5.[3x( - z) + y.(- + z)] 5.[3x( - z) - y.( - z)] 30 4 x xz y + 5 yz 5.( - z).(3x - y) Ejemplo 15 7x 6 + 8y 9 (3x ) 3 + (y 3 ) 3 (3x + y 3 )[(3x ) (3x )(y 3 ) + (y 3 ) ] (3x + y 3 ) (9x 4 6x y 3 + 4y 6 ) 16

17 Ejemplo 16 5x 4 + 6x + 1 5x 4 + 6x x 4x 5x x + 1 4x (5x ) + (5x ) + 1 4x (5x + 1) (x) (5x + 1 x)( 5x x) 17

18 TEMA III FRACCIONES ALGEBRAICAS 18

19 Ejemplo 1 Simplificr l frcció: TEMA III FRACCIONES ALGEBRAICAS x x + x (x 1) x + x + x + 10x 15 Fctorizdo y simplificdo tedremos: x (x 1 + x ) (x + x 15) + x + 10x x (x + x 3) (x + 5)(x 3) + x + 10x x (x + 3)(x 1) (x + 5)(x 3) + x(x + 5) x (x + 3)(x 1) (x + 5)[(x 3) + x)] x (x + 3)(x 1) (x + 5)(x + x 3) x (x + 3)(x 1) (x + 5)(x + 3)(x 1) x x + 3(x 1) (x 1)(x + 3)(x + 5) x x + 5 Ejemplo Sumr ls siguietes frccioes: x + 7 x ; x x + x ; 1 x x 1 Solució: Sumdo ls frccioes tedremos: x x 1 x x x + + x x + 1 (Cmbido el sigo de los térmios de este umerdor) 19

20 x x x x(x + 1) + x 1 x + 1 Se obtiee el m.c.m. de los deomidores (comú deomidor) m.c.m. x(x + 1) (x + 1)(x + 7) + (x ) + x(x 1) x(x + 1) x + 8x x + x x x(x + 1) Fctorizdo el umerdor y simplificdo tedremos: () ()() () Ejemplo 3 Efectur ls opercioes y simplificr: Solució + x () ()( ) ( )( ) ()( )()( ) ( )( ) x ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x 0

21 Simplificdo qued: 1 x x (x ) Ejemplo 4 Simplificr l siguiete expresió + b d + bd b d + bd ( + b) (d + bd ) ( b) ( d + bd ) ( b) d ( b) ( b) d ( b) ( b)( d ) ( b)( d ) ( d ) ( d ) ( d )( + d ) ( d ) ( + d ) Filmete + b d + bd b d + bd + d Ejemplo 5 Simplificr l siguiete expresió Solució b b b b 1 bb b b b b b 1 bb b () () ()() ( )( ) ( ) 1

22 4b( b ) b( b ) Solucio 4 Ejemplo 6 15 x 0 x x x x + (x + 3) x + x + x 3 x + 3 x + x (x + 1) 90 0(x + 1) Ejemplo 7 1 A (x + 1) 9 4x + A A Ejemplo 8 Simplificr: () ( ) A ( + 1)( + 1) ( 1)

23 A ( + 1) ()() ( )() ( ) 1 ( 1) Ejemplo 9 Simplificr l siguiete expresió lgebric E x 8x + 7 x 11x + 30 x 36 x 1 x x 4 x 4x 5 Solucio: Fctorizmos (x 7)(x 1) (x 6)(x + 6) e (x 6)(x 5) (x + 1)(x 1) (x 7)(x + 6) (x 5)(x + 1) Simplificmos (x 7)(x 1) (x 6)(x + 6) e (x 6)(x 5) (x + 1)(x 1) (x 7)(x + 6) (x 5)(x + 1) (x 7) (x + 6) e (x 5) (x + 1) (x 7)(x + 6) (x 5)(x + 1) Se multiplic cruzdo (x 7) (x + 6)(x 5)(x + 1) e (x 5) (x + 1)(x 7)(x + 6) e 1 1 e 1 3

24 TEMA IV ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO 4

25 Ejemplo 1 UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO TEMA IV ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO Resolver l siguiete ecució: x 4x 3 3 Solució.- Respuest: x x 4x 3 3 x 4x 3 x 4x 3 9 4x 3 9 x 4x x 4x 4x x 4x 4x 40x 84 0 x 10x 1 0 x 7 x 3 0 x 1 7 x 1 7 x 3 3 dividimos etre 4 Ejemplo Resolver l siguiete ecució x + 4 x 1 x + 4 x 1 x 1 x 1 x + 4 x 1 x 1 x + 4 (x 1) (x 1)(x + 4) (x 1) x + 4x x 4 x x + 3x x x + 3x 4 x + 1 x + 3x 4 (x + 1) x + 3x 4 x + x + 1 x x + 3x x x 5 Respuest x5 x1 5

26 Ejemplo 3 Resolver el sistem de ecucioes: x + 3y 5z 7 4x + z 6y 3x 3 y + z 3 Solució: x + 3y 5z 7 4x 6y + z 6x 3y + z 6 4x 6y + 10z 14 4x 6y + z 1y + 1z 1 6x 9y + 15z 1 6x 3y + z 6 1y + 17z 7 ( ) ( 3) 1y 1z 1 1y + 17z 7 5z 15 z 3 1y + 1z 1 y z 1 y 3 1 y 1 1 x + 3() 5(3) 7 x x x 1 Ejemplo 4 Resolver el siguiete sistem de ecucioes x y + z x + y 3 z 1 3 x y + 5 z 0 6

27 Solució Relizdo u cmbio de vrible Se u y ; v 1 z x u + v 1 (1) x + u 3v 3 () x u + 5v 0 (3) Por el método de sustitució De l ecució 1 despejmos x De l ecució 3 despejmos x x 1 + u v (4) Resolvemos por el método de igulció de 4 y 5 x u + 5v (5) x x 1 + u v u + 5v u 7v 1 3 De l ecució 4 e Por tto Ecotrdo el vlor de x x + u 3v 3 (1 + u v) + u 3v 3 + u 4v + u 3v 3 4u 7v 1 (7v 1) v 3 (8v 4) 3 + 1v 7v 7 v 1 u 7v 1 3 u 7(1) 1 3 u x u + 5v x () + 5(1) x 1 7

28 Cmbido l vrible origil u yv () (y) 1 Filmete x 1, y 4, z 1 y 4z 1 Ejemplo 5 Resolver el sistem de ecucioes: 3 x 8 y 1 5 y 6 x 7 4 Solució: 3 x 8 y 1 6 x + 5 y 7 4 Cmbio de vrible Se: u 1 x v 1 y 3u 8v 1 6u + 5v 7 4 m. () Reduciedo e l primer y segud ecució l vrible u 6u 16v 1 6u + 5v 11v v 1 4 Sustituyedo v 1 4 3u u 3 8

29 u 1 Sustituyedo vlor de u 1 x 1 u x x 1 x y 1 v y 1 y 4 Ejemplo 6 Resolver el siguiete sistem de ecucioes: x 4x 16y 0 (1) x +y 4 () Solució: Alizdo l primer ecució es u ecució de segudo grdo y l segud ecució liel, pr l solució del problem podemos utilizr diferetes métodos e este cso utilizremos el método de reducció (sums y rests). x 4x 16y 0 x +y 4 m. 8 A l segud ecució multiplicmos por 8 tedrímos: x 4x 16y 0 8x +16y 3 x + 4x 0 1 Fctorizdo (x + 6)(x ) 0 x + 4x 1 0 Iguldo cd fctor (x + 6) 0 x x 1 6 (x ) 0 x 0 x 9

30 Sustituyedo x 6 e l ecució () x + y 4 ( 6) + y 4 y y 10 y 1 5 Sustituyedo x e l ecució () x + y 4 () + y 4 y 4 y y 1 Ejemplo 7 Resolver el siguiete sistem de ecucioes, hllr el vlor de k x 3y 3 (1) s.x + y 4 () x y k (3) Reduciedo x e l ecució (1) y () x 3y 3 m.(-1) x + y 4 x + 3y 3 x + y 4 5y 1 y 1 5 Reemplzdo y 1 5 x 3y 3 x e l ecució (1) x x x

31 x 18 5 Reemplzdo y 1 y x x y k e l ecució (3) k k k k

32 TEMA V TEORÍA GENERAL DE EXPONENTES Y RADICALES 3

33 TEMA V TEORÍA GENERAL DE EXPONENTES Y RADICALES Recuerde BASE EXPONENTE POTENCIA Dode: Bse Numero que se repite como fctor. Expoete Numero de veces que se repite l bse. Poteci resultdo de l operció. L operció mtemátic es l: POTENCIACIÓN EXPONENTE NATURAL Es el expoete etero y positivo que os idic, el úmero de veces que se repite u expresió como fctor. FORMA GENERAL: ; Si : 1... ; Si : IN " " veces EXPONENTE CERO O NULO Todo úmero diferete de cero o expresió lgebric elevdo l expoete cero es igul l uidd. 0 FORMA GENERAL: 1 ; IR 0 EXPONENTE NEGATIVO Tod ctidd o expresió lgebric, elevd u expoete egtivo, es igul u frcció, cuyo umerdor es l uidd y cuyo deomidor es l mism ctidd o expresió elevd l mismo expoete pero positivo, es decir, e l form práctic, si el expoete es egtivo se trbj co el recíproco o iverso de l bse y co el mismo expoete pero positivo, cudo l ctidd o expresió lgebric (bse) se igul cero l defiició y o se cumple. EXPONENTE FRACCIONARIO 1 FORMA GENERAL: ; IR 0 Todo expoete frcciorio de l form geerl m idic l extrcció de u ríz cuyo ídice es el deomidor del expoete (), siedo el umerdor (m) el uevo expoete de l bse o ctidd subrdicl. m m FORMA GENERAL: m ; IN 1 33

34 LEYES DE EXPONENTES Si: m, IN, b IR ; Pr uestro estudio cosiderremos ls siguietes leyes:. Multiplicció de potecis de bses igules m m b. Poteci de expoete sum m m c. Divisió de potecis de bses igules m m ; dode: 0 m m d. Poteci de expoete difereci ; dode: 0 m m e. Poteci de otr poteci f. Multiplicció de potecis de igul expoete b b g. Poteci de u multiplicció b b h. Divisió de potecis de igul expoete b ; dode: b 0 b i. Poteci de u divisió b b ; dode: b 0 NOTA. Ls leyes expuests pr EXPONENTES NATURALES, puede mplirse EXPONENTES REALES. CASO ESPECIAL: CADENA DE EXPONENTES SUCESIVOS L cde de expoetes sucesivos se trbj de ARRIBA HACIA ABAJO, tomdos DE DOS EN DOS. Es decir: b c d x b y d x ; Dode: c x ; b y MUY IMPORTANTE: L cde de expoetes sucesivos NO ES LO MISMO que l poteci de potecis sucesivs (poteci de otrs potecis). 34

35 Es decir: EN GENERAL: Cde de expoetes sucesivos DEFINICIÓN DE RADICAL b c d b c d Poteci de potecis sucesivs L ríz eésim de u ctidd es otr ctidd, tl que elevd l poteci eésim reproduce l ctidd dd, demás de ls leyes y defiicioes que existe, es importte ls relcioes, opercioes y trsformcioes que se pued relizr co los mismos y l operció que permite ecotrr l ríz es l rdicció. Es decir r r Dode: Es el ídice, demás: IN Es el rdicdo o ctidd subrdicl; si: IR Es el operdor rdicl. r Es l ríz; si: r IR Tmbié, es importte recordr ls siguietes igulddes: 1. 1 ; dode: IR 0 m m. m ; dode: m IR 0 LEYES DE RADICALES Se:, b, m, IR ; demás: m 0 0. Multiplicció de rdicles de igul ídice b b b. Ríz de u multiplicció b b c. Divisió de rdicles de igul ídice ; dode: b 0 b b 35

36 d. Ríz de u divisió ; dode: 0 b b b m e. Ríz de otr ríz. m f. Poteci de u ríz. m m Not.- E ests leyes, igú rdicdo debe ser egtivo cudo es pr. ECUACIONES EXPONENCIALES So quells igulddes que cotiee l o ls icógits sólo e el expoete. FORMA GENERAL: x b Ls ecucioes expoeciles se covierte e ecucioes lgebrics, plicdo ls siguietes leyes: LEYES: I. LEY DE BASES IGUALES. Si: x y 0 1 x y II. LEY DE EXPONENTES IGUALES Si: b b 0 b 0 E este cso se dmitirá que: x 0 ; cudo: b x III. Si: x x A, DONDE LA INCÓGNITA ES x SE DEBE BUSCAR FORMAR UNA ANALOGÍA O SEMEJANZA UTILIZANDO LA TEORÍA DE EXPONENTE Tmbié se expres sí: x (1) () x x x x x x ; Si : x 0 Ejemplo 1 Simplificr:

37 Solució: (31) 3* 3(41) * 13) * ( ) (16 8) (4) Ejemplo Hllr el vlor de: Solució: 37

38 Ejemplo 3 Rciolizr el deomidor: Solució: + b + b + b + b + b b + b + b ( + b) + b + ( + b) b + b + b ( + b)( + b + b) + b + b + b Ejemplo 4 Resuelve: b c c3 d Primero hcemos ls opercioes detro del prétesis: b c c d b b b 3 b 3 b c 1 4 c b d b E el umerdor y deomidor multiplicmos ls potecis de l mism bse: 38

39 Ejemplo 5 Resuelve: UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO b c b c b c d c b b c d b b c d b c c d c c d d c3 d b 3 b Primero hcemos ls opercioes detro del prétesis: b c c d b b b c c b d b E el umerdor y deomidor multiplicmos ls potecis de l mism bse: b c c b b c d b b c d b c b c d c c d d c d 39

40 Ejemplo 6 Simplificr: UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO Solució: 3 9 * ( *3 9) 3 3 *3 (3) 3 3 *3 3 * Ejemplo 7 Simplificr l expresió: E (8 ) ( ) + (4 ) E (8 ) ( ) + ( ) E ( ) ( ) + ( ) E E + + E E Ejemplo 8 Clculr el vlor de l siguiete expresió: E 40

41 E. E. E 4 Ejemplo 9 Resolver l siguiete operció: E E E Rciolizdo de omidores rdicles: E E M.C.M. 6 E E E E 3 Ejemplo 10 Simplificr: E Trsformdo el umerdor de l siguiete mer: X + X X X + X + X X X 41

42 x + x + x. x x Multiplicdo y dividiedo por l expresió subrdicl: Reemplzdo e el pltemieto origil: E 1 Ejemplo 11 Rciolice el deomidor b b b + b Solució b b b b b + b b b b b b b b b b b b b b + b b b b + b b b b b b + b b b b b 4

43 b + b b b( b) + b b b 43

44 TEMA VI ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 44

45 Ejemplo 1 Resolver: TEMA VI ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO x x 4 x 6 x 4 Aislmos el rdicl ( x - 1x + 36 x 4 x - 14x x 6) ( x 4) Elevmos el cudrdo 6 Form cóic ( 14) ( 14) 4(1)(40) 14 6 x Fórmul de segudo grdo (1) x 1 10 ; x 4 Remplzdo vlores, verificmos e l ecució iicil Si: x 1 10 e x x 4 6 > 10 (10) (por tto x 10 es solució) Si: x 4 e x x 4 6 > 4 (4) (por tto x 4 o es solució) Ejemplo Resolver l ecució x - 10x Si: x - 10x ríz cudrd de x x y de 5 5 Luego: (x 5) 0 (x 5)(x 5) 0 x 1, 5 Ejemplo: Resolver l ecució x + x Si: x + x ríz cudrd de x x y de 4 Luego: (x + ) 0 45

46 (x + )(x + ) 0 x 1, - Ejemplo 3 Resolver: x + 7x x + 7x > 1; b 7; c 10 b b 4c 7 x > x ( 7 ) (1) 4(1)(10 ) x 1 ; x 5 Ejemplo 4 Resolver: 3x + 5x x + 5x > 3; b 5; c -8 b b 4c 5 x > x (5 ) 4( 3)( 8 ) ( 3) 5 11 x 1 1; x Ejemplo 5 Dos úmeros turles se difereci e dos uiddes y l sum de sus cudrdos es 580. Cuáles so esos úmeros? 1 er úmero x º úmero x + x + (x + ) 580 x + x + 4x x + 4x x + x 88 0 x x 1 16 x 18 46

47 Ejemplo 6 Resolver el siguiete sistem de ecucioes Solució 3(5 x ) + (6 y1 ) (5 x1 ) 6 y 339 3(5 ) + (6 )(6 ) (5 )(5 ) (5 ) + 1(6 ) (5 ) (5 ) + 1(6 ) 807 3(5 ) Relizdo cmbio de vrible u 5 v 6 3u + 1v u v Resolviedo el sistem por el método de sustitució Despejdo v de ecució v 3u Reemplzdo ecució 3 e 1 3u + 1v 807 3u + 1(3u 339) 807 3u + 36u u 4875 u 15 Reemplzdo u15 e ecució 3 v 3u 339 v 3(15) 339 v 36 Reemplzdo u15 y v36 e el cmbio de vrible u 5 v x 3 y 47

48 TEMA VII LOGARITMOS 48

49 Ejemplo 1 Resolver l siguiete ecució Solució: TEMA VII LOGARITMOS log( ) + log log ()() + log log ()() 4 log 150 Expresdo e úmero 4 e fució del logritmo: 4 log log 10 4 log ()() log 10 log 150 Aplicdo l propiedd reciproc del logritmo de u cociete: log ()() log Elimido logritmos ()() ()() 8 4 x 3 x 4 3 x 1 x 1 x 1 x 1 Not. Ls dos solucioes so vlids. Ejemplo Resolver el siguiete sistem de ecucioes log(x + y) + log(x y) log 33 (e )(e ) e Solució Aplicdo propieddes de logritmos y expoetes log() + log(b) log( b) ( )( ) log[(x + y)(x y)] log 33 (e ) e (1) () 49

50 Elimido logritmos de ecució (1) log[(x + y)(x y)] log 33 (x + y)(x y) 33 Elimido e de l ecució () e e x + y 11 Reemplzdo ecució (4) e ecució (3) (x + y)(x y) 33 11(x y) 33 11(x y) 33 (x y) 3 x 3 + y Reemplzdo (5) e (4) x + y y + y 11 y 8 y 4 (5) (3) (4) Reemplzdo y4 e ecució (5) x 3 + y x x 7 Filmete x 7 ʌ y 4 Ejemplo 3 Resolver l ecució: Solució: x 5x + 8 x 5x (x )(x 3) 0 x ; x 3 Ejemplo 4 Resolver l ecució: log + log 4 log 3 50

51 Solució: UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO Cmbimos de bse log log x + log 4 log x log 3 log x log log x + log log x log 3 log x log log x + log log x log 3 log x 1 log x + 1 log x log 3 log x log 3 log x log 3 log x log x log 3 log x 1 log 3 log x log log 3 log x log 3 x Ejemplo 5 Hllr el vlor de l siguiete expresió: Solució: log + log log + b () () 1 () 1 () 1 51

52 1 3 Filmete: 3 Ejemplo 6 Resolver el sistem: log log log (4x + 3y) 0 56 Solució: E l ecució (1) por defiició de logritmos: log log (4x + 3y) 1 log (4x + 3y) (4x + 3y) 3 9 4x + 3y 9 (1 ) (1) () E l ecució () como 56 8 : Formmos el sistem: x 3y 1 8 x 3y 9 4x + 3y 9 x 3y 9 ( ) (1 ) ( ) Por el Método de reducció: 4x + 3y 9 x 3y 9 6x 18 x 3 (x1) (x1) 4x + 3y 9 (x1) 4x + 6y 18 9y 9 x(-) y x 3 y 1 5