Unidad Educativa Caranavi Bolivia MÓDULO 4 ALGEBRA. (Cuarto Bimestre)

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Encarnación Ortega Quintana
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1 Unidad Educativa Caranavi Bolivia MÓDULO 4 ALGEBRA (Cuarto Bimestre) Caranavi, La Paz, Bolivia

2 MÓDULO: ALGEBRA 1. DATOS INFORMATIVOS: 2. NOMBRE DE LA U. E. : Caranavi Bolivia 3. DIRECTOR : Lic. Juan Edwin UñoAriviri 4. GRADO : Tercero de Secundaria 5. ÁREA : Matemática 6. DOCENTE : Prof. Elior Choque Quispe : Prof. J. Magdalena Laura F. 7. NOTA APROBATORIA : BIMESTRE : Cuarto 2. PROYECTO SOCIOCOMUNITARIO PRODUCTIVO: Comunicación y educación sobre el uso y disposición final de residuos sólidos. 3. CONTENIDOS: EL ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y SU VALOR EN LA DIVERSIDAD CULTURAL. Factorización. Fracciones algebraicas. Ecuaciones de primer grado con una variable. Finalmente llegamos al último módulo del año, siguiendo los conocimientos sobre algebra. En este bimestrese calificará sobre 100 puntos, la puntualidad, responsabilidad, participación con argumentos y el trabajo coordinado en grupos. Luego se calificará el dominio de los conocimientos y saberes desarrollados, totalizando 100 puntos. Seguidamente se calificará el proceso de elaboración del producto de la unidad uno y el producto final como tal, totalizando 100 puntos. Finalmente se calificará la educación y concientización plasmado en acciones y conductas, sobre 100 puntos. PRACTICA Lea el siguiente fragmento de textosobre la clasificación de la basura, según la característica de cada residuo: Fuente: Residuos Sólidos 2

3 Con esta información, colecciona fotografías y vídeos de cada tipo de basura según la clasificación propuesta y preséntalo en un CD. TEORÍA Identifica el componente común en todos los residuos que se genera en Caranavi y otras ciudades.. Seguro que observarás cartones, bolsas plásticas y otros, sin embargo, si separamos solamente los plásticos, cartones, o metales, la basura llega a ser menos contaminante. Naylon, vidrio, cascaras, latas Huesos, latas, papel Cascaras, encenderos Platos y vasos desechables, bolsas plásticas, latas, silla Clasificar significaría descomponer el conjunto de la basura en sus distintos componentes, lo que equivaldría a representar la misma basura pero separada según su característica. Basura orgánica o biodegradable Plásticos Metálicos vidrios Periódicos y cartones Pilas y baterías usadas Basura digital Este proceso de clasificación y separación de la basura, según el tipo, en algebra se llama factorización. 3

4 FACTORIZACIÓN Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como una multiplicación indicada de sus factores primos. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entres sí dan como producto la primera expresión. En la multiplicación algebraica se tiene: ( + 2)( + 3) = = Factores Producto Ahora estudiaremos la manera de descomponer polinomios en dos o más factores distintos de 1. I. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN Factor Común Monomio Factores Producto Ejemplo 1. Descomponer en factores + 3. Los dos términos y 3 tienen en común. Anotamos el factor común delante de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir cada término entre el factor común. + 3 = ( + ) = y = Ejemplo 2. Descomponer en factores Los coeficientes 10 y 30 tienen como máximo común divisor a 10. De las letras el único factor común es b, porque está en los dos términos de la expresión dada. Consideramos con su menor exponente = ( ) = = Factor común polinomio Ejemplo 3.Descomponer en factores 2 ( + 1) ( + 1) El factor común es ( + 1), dividiendo los dos términos entre el factor común ( + 1) tendremos: ( ) = 2 ( ) = 2 ( + 1) ( + 1) =. Ejemplo 4. Descomponer en factores ( + )( + 1) 3( + 1) El factor común es ( + 1), por lo que se divide cada termino entre ésta. ( + )( + 1) + 1 3( + 1) = ( + ) + 1 = 3 Por tanto: ( + )( + 1) 3( + 1) = ( + 1)[( + ) 3] = ( + )[ + ] R. Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores: 1) 2) 3) + + 4) ) + 6) ) + 6 8) ) )

5 11) 2( 1) + ( 1) 12) 3 ( 2) 2 ( 2) 13) ( + 1) 1 14) ( 3)( 4) + ( 3)( + 4) 15) ( + 1) ( + 1) 1 II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Se aplica sobre trinomios que son exactamente el desarrollo del Cuadrado de un Binomio. + + = ( + ) Para verificar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, se debe buscar que el primer y último tenga para extraer la raíz cuadrada de su coeficiente y parte literal. Luego verificar que el doble producto de ellos corresponda al segundo término del trinomio. Ejemplo 1.Factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto. a 10a + 25 = ( 5) Las raíces del primer y último término son exactas, = y = 5 El doble producto de estas raíces es el segundo tér- 2 5 mino del trinomio. Se verifica que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto, entonces sus factores serán el cuadrado de estos últimos términos. Ejemplo 2. Factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto = (3 + 5 ). El signo del binomio depende del signo del segundo término del trinomio. En éste caso es (+) Ahora te toca a ti 1) ) 2 + 3) ) ) ) ) ) ) ) Geométricamente se la comprueba así: x x 5 5 5x s55x x 5x x = x 5x 25 x = ( + 5) + 5 III. MÉTODO DE DIFERENCIA DE CUADRADOS 5

6 Se aplica a binomios que contengan una diferencia entre sus términos cuadráticos. Es una aplicación de productos notables de la Diferencia de Cuadrados. = ( + )( ) si se presenta un caso de Diferencia de Cuadrados, se extrae la raíz de ambos términos y se expresa como el producto de una Suma por la Diferencia de las raíces. Ejemplo 1. Factorizar 25. Las raíces cuadradas de ambos términos esa y = ( + )( ) El producto de la suma por la diferencia de estas Raíces es la factorización. 5 Ejemplo 2. Factorizar = ( + )( ) Ahora te toca ti Factorizar o descomponer en dos factores 1) 81 = 2) = 3) 9 4) 4 5) ) 4 9 7) 16 8) ) 49 10) IV. MÉTODO DE TRINOMIOS DE LA FORMA + + Se descompone como producto de factores que serán de la forma ( )( ). Los signos de operación en el primer factor corresponden al coeficiente b, y del segundo factor del producto de signos de los coeficientes b y c. Luego se buscan dos números m y n tal que su producto sea c y la suma b. Ejemplo 1. Factorizar por el método de trinomios = ( + 3)( + 2) Los signos en ambos factores resultan positivos. Los números multiplicados que resulten en 6 son 3 y 2. ( + 3)( + 2 ) Ejemplo 2.Factorizar por el método de trinomios de la forma = ( + 8)( 4) El signo del primer factor ( + 8) es positivo, como el coeficiente +4del trinomio. ( + 8)( 4 ) El segundo factor ( 4)lleva el signo negativo, como el producto de los signos de los coeficientes Es decir(+) ( ) = ( ). El producto (+8)( 4) = 32y la resta son+8 4 = +4. Por lo tanto los factores buscados son ( + 8)( 4). 6

7 Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores: 1) ) ) 20 4) ) ) ) ) ) ) V. MÉTODO DE RUFFINI Se emplea para factorizar polinomios de grado superior. Se trata de la división sintética de un polinomio entre el binomio de la forma, donde es un divisor del término independiente del polinomio. Ejemplo 1. Factorizar por la regla de Ruffini El polinomio es de tercer grado. El término independiente 12 tiene como divisores a 1,2,3,4,6,12, -1,-2,-3.-4,-6,-12; valores que puede asumira. Se considera el divisor = 2. Sin embargo el residuo no es cero, tiene resto. Por tanto no es posible factorizar por 2. Entonces se considera el divisor = 3. El residuo es cero, entonces uno de los factores será ( 3), ademas del cociente ( ) ( )( ) luego factorizamos el ultimo trinomio por ( )( ) métodos conocidos, quedando asi: ( )( + )( + ) Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores: 1) ) 3 2 3) ) ) VI. MÉTODO DEL ASPA Este método del aspa permite factorizar trinomios de la forma + + ; + + ; a + + y otros. Por su versatilidad, permite mayor aplicación y sustitución de algunos casos estudiados. 7

8 Ejemplo 1. Factorizar o descomponer en dos factores: = ( + )( + ) 5 4 = 2 9 = Se disponen el primer término y 10 y tercer término36 en dos factores: 5 2 = 10 y 4 9 = 36 Verificar que la suma de los productos de diagonales + sea exactamente el segundo término del trinomio:,si no se cumple, buscar otros factores para 10 y 36. Los factores de la primera fila (5 + 4 ) y segunda fila (2 + 9 ) son los factores requeridos. Ejemplo 2. Factorizar o descomponer en dos factores: = ( + )( + ) 4 5 = 2 3 = Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Cuestionario argumentativo: lea, analice y responda las siguientes preguntas con argumento crítico y propositivo. 1. Por qué es necesario clasificar la basura según su característica? R 2. Cómo ayuda esta clasificacion al medio ambiente? R Cómo se aprovecha los cartones, vidrios, latas, plasticos o los orgánicos? R. Actividad Final: Con las fotografias y vídeos logrados anteriormente, diseña y crea un spot televisivo, meme o cuña radial, enfocado a las formas de uso responsable de los residuos y la formas correctas de desechar, sin contaminar el medio ambiente.( 100 puntos) 8

9 EVALUACIÓN FACTORIZACION Apellidos y nombres:.nota:. Curso:... Fecha:.... Descomponer o factorizar en dos factores: 1) Los factores de son: (Factor Común Monomio) 2) Los factores de son: (Factor Común Polinomio) 3) La descomposición en factores de es: (Trinomio Cuadrado Perfecto) a. b. c. 4) Los factores de son: (Diferencia de Cuadrados) 5) Los factores de la expresión de son: (Trinomios de la forma ) 6) Los factores de son: (Método por Ruffini) 7) Los factores de son: (Método del Asp d) BIBLIOGRAFÍA: Baldor, Aurelio (2010) Matemática fácil con Baldor. Editorial Septiembre, Lima. Reque, Oscar. (2000) Matemática 8. Santillana de Ediciones, La Paz. ChungaraVìctor (2016) Algebra Básica. Editorial Leonardo. Columba R. y Cascos F. (2000) Matemática práctica. Santa Cruz. 9

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