Objetivos formativos de Álgebra

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1 Objetivos formativos de Álgebra Para cada uno de los temas el alumno debe ser capaz de hacer lo que se indica en cada bloque. Además de los objetivos que se señalan en cada tema, se considera como objetivo elaborado: La resolución de problemas en los que se mezclan los conceptos, métodos y algoritmos vistos en todos los temas del programa. El uso de Derive para resolver los problemas. Tema 1: Aritmética entera y modular 1. Enunciar el teorema de división euclídea sobre enteros. 2. Definir número primo y compuesto. 3. Enunciar y aplicar propiedades elementales de divisibilidad. 4. Describir el conjunto de divisores de un número dado a partir de su factorización en números primos. 5. Definir máximo común divisor. 6. Calcular mcd(a,b) usando el Algoritmo de Euclides. 7. Definir primos relativos y determinar si dos enteros lo son. 8. Enunciar el teorema de Bézout. 9. Enunciar la identidad de Bézout. 10. Usar el Algoritmo de Euclides Extendido para expresar mcd(a,b) como una combinación lineal de a y b. 11. Resolver una ecuación diofántica lineal de dos variables en Z. 12. Calcular el representante canónico de la clase de un entero x en Z n. 13. Operar en Z n : sumar, multiplicar y simplificar potencias. 14. Definir inverso de una clase en Z n. 15. Decidir si una clase de Z n tiene inverso. 16. Calcular el inverso de una clase en Z n, caso de que exista. 17. Hallar el número de soluciones que tiene una ecuación modular. 1. Demostrar propiedades de divisibilidad sencillas. 2. Modelizar un enunciado en términos de una ecuación diofántica y resolverla. 3. Resolver una ecuación modular lineal. 4. Proponer ecuaciones modulares que verifiquen condiciones dadas. 5. Construir una función de cifrado afín que verifique unas condiciones dadas. 6. Construir la función de descifrado de una función de cifrado afín.

2 Tema 2: Polinomios con coeficientes en el cuerpo de los reales y en cuerpos finitos 1. Identificar expresiones que sean polinomios con coeficientes en un cuerpo. 2. Determinar el grado y el coeficiente principal de un polinomio. 3. Definir polinomio mónico y determinar si un polinomio dado lo es. 4. Sumar y multiplicar polinomios. Determinar el grado del polinomio resultante. 5. Dividir polinomios mediante el Algoritmo de División Euclídea. 6. Dividir un polinomio entre otro lineal mediante la Regla de Ruffini. 7. Saber si un polinomio divide a otro. 8. Definir raíz de un polinomio y multiplicidad de una raíz. 9. Usar la Regla de Ruffini para hallar raíces. 10. Calcular las raíces de un polinomio con coeficientes en un cuerpo finito. 11. Definir polinomio reducible y polinomio irreducible. 12. Decidir si un polinomio de grado menor o igual que 3 es irreducible. 13. Factorizar un polinomio conocidas las raíces. 14. Enumerar todos los posibles restos de la división por un polinomio con coeficientes en un cuerpo finito. 1. Obtener el conjunto de las clases de equivalencia por la relación de congruencia módulo un polinomio. 2. Obtener el representante canónico de un polinomio módulo otro. 3. Decidir si dos polinomios son congruentes módulo un tercero.

3 Tema 3: Álgebra matricial. Resolución de sistemas. Método de Gauss Lo que viene a continuación se hará con matrices con coeficientes tanto en R como en Z p Prerrequisitos: 1. Realizar cálculos elementales con matrices: traspuesta de una matriz, producto de una matriz por un escalar, suma y producto de matrices. 2. Definir y reconocer matrices cuadradas, diagonales y triangulares superiores. 3. Aplicar la regla de Sarrus para calcular determinantes de órdenes 2 y Reconocer matrices escalonadas y escalonadas reducidas. 2. Obtener, usando respectivamente el algoritmo de Gauss y el de Gauss-Jordan, matrices escalonadas y la escalonada reducida de una dada. 3. Obtener la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. 4. Obtener el sistema de ecuaciones lineales correspondiente a una matriz ampliada. 5. Definir sistema incompatible, sistema compatible determinado y sistema compatible indeterminado. 6. Resolver sistemas de ecuaciones usando el método de Gauss. 7. Definir matriz inversa y determinar si una matriz es inversa de otra dada. 8. Calcular la inversa de una matriz usando el método de Gauss, cuando tenga sentido. 9. Definir rango de una matriz. 10. Calcular rangos y determinantes usando el algoritmo de Gauss. 11. Conocer las propiedades más importantes de determinantes y rangos. 12. Enunciar el teorema de Rouché-Fröbenius. 13. Discutir sistemas usando el teorema de Rouché-Fröbenius.

4 Tema 4: Espacios vectoriales 1. Obtener el vector resultante de una combinación lineal de vectores. 2. Determinar si un vector dado es combinación lineal o no de un sistema de vectores. 3. Definir sistema generador, sistema libre, sistema ligado y base. 4. Definir dimensión de un espacio vectorial. 5. Obtener bases, extendiendo un sistema libre o reduciendo un sistema generador. 6. Definir coordenadas de un vector en una base. 7. Obtener las coordenadas de un vector respecto de una base. 8. Obtener la expresión matricial de un cambio de base en el espacio K n. 9. Definir subespacio vectorial. 10. Saber si un subconjunto dado es un subespacio vectorial o no. 11. Determinar si un sistema es generador o base de un subespacio. 12. Obtener una base y calcular la dimensión de un subespacio vectorial a partir de un sistema de generadores del mismo. 13. Calcular unas ecuaciones paramétricas minimales respecto de la base canónica de un subespacio de K n descrito mediante un sistema de generadores. 14. Calcular unas ecuaciones implícitas minimales respecto de la base canónica de un subespacio de K n descrito mediante un sistema de generadores. 15. Pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas y viceversa. 16. Obtener una base y calcular la dimensión de un subespacio vectorial de K n a partir de unas ecuaciones del mismo (implícitas o paramétricas). 17. Determinar si dos subespacios en K n son iguales o no. 18. Definir subespacio intersección de dos subespacios. 19. Obtener unas ecuaciones implícitas minimales del subespacio intersección en K n. 20. Definir subespacio suma de dos subespacios. 21. Obtener una base del subespacio suma en K n. 22. Conocer la relación entre las dimensiones de S, T, S T y S+T. 23. Obtener los subespacios suma e intersección en casos sencillos. 24. Definir la suma directa de dos subespacios. 25. Determinar si un espacio vectorial es suma directa de dos subespacios en K n descritos ambos en términos de sendas bases. 1. Cualquier problema enunciado en un espacio vectorial genérico V L( e1, e2,.., e n ). 2. Obtener la expresión matricial de un cambio de base en K n [x]. 3. Obtener ecuaciones de un subespacio respecto de una base B distinta de la base canónica. 4. Operaciones entre subespacios (suma, intersección, contenido, igualdad) cuando éstos están definidos respecto de distintas bases. 5. Obtener subespacios que verifiquen ciertas condiciones dadas. 6. Estudiar la relación de inclusión entre dos subespacios en K n. 7. Obtener un subespacio suplementario de uno dado en K n. 8. Cualquier ejercicio relativo a los conocimientos básicos del 13, 14 y 16 para K n [x]. 9. Problemas cuya resolución involucren varios contenidos básicos. Nota: Salvo en los puntos 8, 13, 14 y 16 se trabajará en una sola base.

5 Tema 5: Aplicaciones lineales 1. Definir aplicación lineal entre espacios vectoriales f : V W. 2. Determinar si una aplicación dada en forma explícita es lineal o no. 3. Obtener la expresión matricial de una aplicación lineal f respecto de las bases canónicas a partir de la expresión explícita de la misma. 4. Obtener la expresión explícita de una aplicación lineal f a partir de la expresión matricial respecto de las bases canónicas. 5. Calcular la imagen de un vector mediante una aplicación lineal. 6. Saber que dada la imagen de los vectores de una base B de V existe una única aplicación lineal f : V W que verifica esas condiciones. 7. Obtener la expresión matricial de una aplicación lineal f: K n K m si se conoce la imagen de los vectores de una base B del espacio inicial K n. 8. Obtener la expresión matricial de una aplicación lineal f: K n K m cuando se cambia la base en el espacio inicial. 9. Definir los subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal. 10. Determinar si un vector pertenece al núcleo de una aplicación lineal. 11. Enunciar y aplicar la relación dimensional entre núcleo e imagen de una aplicación lineal. 12. Calcular la dimensión y una base del núcleo y la imagen de una aplicación lineal f: K n K m. 13. Obtener unas ecuaciones paramétricas o implícitas minimales para los subespacios núcleo e imagen de una aplicación lineal f: K n K m. 14. Determinar si una aplicación lineal f: K n K m es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. 15. Definir el subespacio f(s) dado un subespacio S. 16. Calcular la dimensión y una base del subespacio f(s) con f: K n K m. 17. Obtener, a partir de un sistema generador de S, unas ecs. paramétricas minimales de f(s). 18. Determinar si tiene sentido f g siendo f y g dos aplicaciones lineales cualesquiera dadas éstas matricialmente. 19. Obtener la expresión matricial de f g (si existe) para f: K d K m y g: K n K s. 20. Saber si una aplicación lineal f: K n K n tiene inversa. 21. Obtener la expresión matricial de f -1, si existe, dada la expresión matricial de f. 1. Estudiar si, dadas las imágenes de un sistema de vectores que no son base, existe una aplicación lineal que cumple esas condiciones o no. En caso de existir, estudiar si es única. 2. Trabajar cualquier problema de contenidos básicos en términos de bases cualesquiera. 3. Obtener subespacios que verifiquen unas ciertas condiciones respecto de f. 4. Cualquier ejercicio relativo a los conocimientos básicos del 6 en adelante para aplicaciones lineales definidas en espacios vectoriales de polinomios. 5. Problemas cuya resolución involucren varios contenidos básicos. Nota: Del punto 12 en adelante se trabajará sólo con bases canónicas.

6 Tema 6: Diagonalización 1. Definir autovalor y autovector de un endomorfismo lineal (o matriz cuadrada). 2. Determinar si un vector es autovector de un endomorfismo dado. 3. Determinar si un escalar es autovalor de un endomorfismo dado. 4. Definir endomorfismo (matriz) diagonalizable. 5. Definir y hallar el polinomio característico de una matriz cuadrada (o endomorfismo). 6. Obtener, en casos sencillos, los autovalores de un endomorfismo. 7. Definir subespacio propio asociado a un autovalor. 8. Hallar el espacio propio asociado a un autovalor. 9. Determinar si un endomorfismo lineal (matriz) es diagonalizable. 10. Hallar una matriz de paso para la diagonalización de una matriz (cuando eso sea posible). 11. Diagonalizar una matriz cuadrada A cuando sea diagonalizable. Es decir: hallar la matriz diagonal D, la matriz de paso P y dar la relación entre A, D y P. 1. Construir endomorfismos (matrices) que cumplan ciertas condiciones dadas sobre sus autovectores o autovalores. 2. Cálculo del término general de sucesiones recursivas lineales. 3. Modelización de problemas cuya resolución suponga el cálculo de potencias de una matriz. Nota: Todos los ejemplos y problemas se realizarán sobre el cuerpo de los reales. Asimismo, las raíces del polinomio característico serán fáciles de calcular.

7 Tema 7: Códigos correctores lineales 1. Definir código lineal, matriz generadora y matriz de control (o paridad). 2. Calcular la matriz generadora a partir de una función de codificación y viceversa. 3. Hallar una matriz generadora a partir de una de control y viceversa. 4. Hallar las características básicas de un código lineal (dimensión, longitud, redundancia y número de palabras). 5. Codificar una palabra del alfabeto fuente. 6. Definir matrices generadora y de control en forma estándar. 7. Definir código sistemático. 8. Determinar si un código lineal es sistemático y hallar su matriz generadora y de control estándar. 9. Construir un código sistemático equivalente a uno dado mediante la matriz generadora. 10. Calcular todas las palabras de un código lineal de dimensión menor o igual a Definir distancia y peso de un código lineal. 12. Hallar la distancia de un código lineal a la vista de las palabras que contiene. 13. Determinar la capacidad detectora y correctora de errores de un código lineal a partir de su distancia. 14. Obtener una matriz de control a partir de unas ecuaciones implícitas. 15. Definir función síndrome de un código. 16. Construir una función de síndrome de un código. 17. Definir órbita de una palabra. 18. Calcular la órbita de una palabra y un líder (para códigos de dimensión menor o igual a 3). 19. Descodificar por el método del síndrome y de distancia mínima. 1. Saber el número de órbitas de un código. 2. Construir la tabla de síndromes a partir del registro de los síndromes.

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