Polinomios y fracciones algebraicas

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1 Polinomios y fracciones algebraicas LITERATURA Y MATEMÁTICAS La máquina de leer los pensamientos Dumoulin, conoce usted al profesor Windbag? Vagamente... Sólo le vi el día que le devolvimos la visita... Me pareció brillante, untuoso y mediocre. Todos sus calificativos son justos... Windbag es, en efecto, un ser mediocre que enseña aquí Pedagogía. Da clases sobre el arte de «medir» las aptitudes de un estudiante o el valor profesional de un maestro. Sabe revestir con sabiduría un asomo de pensamiento. Fue él quien inventó, para determinar la ecuación personal de un alumno, la siguiente fórmula: X ( T TN)( I S) I I A P P T significa el número de horas de las clases semanales; N, el número de alumnos del grupo; S, se me ha olvidado lo que era; A, la edad de los padres del alumno; P, el tiempo que duró la educación del padre, y P, el tiempo de educación de la madre. Está usted de broma, Hickey. Ojalá, amigo mío, fuera una broma, pero no es así! Estas locuras se enseñan seriamente a los futuros profesores, que luego preparan, bajo la vigilancia del profesor Windbag, cualquier tesis increíble sobre «El papel de la mujer de hacer faenas en los cursos superiores de las jóvenes estudiantes...». Y no solamente se enseñan estas cosas, sino que inspiran la mayor admiración a ciertos señores y bienhechores nuestros. ANDRÉ MAUROIS Opera en esa epresión hasta convertirla en una fracción algebraica con varias variables. ( T TN)( I S) ( T TN)( I S) PP X I I A APP IP IP P P 8

2 SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios. f 8 g) 7yz 5 5y e) y h) ydf 8 7z 5 f) 5yzd Coeficiente: Parte literal: Grado: Coeficiente: 5 Parte literal: y Grado: Coeficiente: 7 Parte literal: z 5 Grado: 5 Coeficiente: Parte literal: f 8 Grado: 8 e) Coeficiente: Parte literal: y Grado: f) Coeficiente: 5 Parte literal: yzd Grado: 5 g) Coeficiente: 7 Parte literal: yz 5 Grado: 7 h) Coeficiente: Parte literal: ydf 8 Grado: 0 00 Indica si los monomios son o no semejantes, y determina su opuesto. yz, y e y ab, a b y7b 87y y 7 y No No No 00 Haz estas operaciones. y + 8y + 9y 0y y a b 5a b + 7a b 5 8 : 0y 0 y a b Aplica la propiedad distributiva en las siguientes epresiones. 7( + ) ( )( + 7) ( 5) 9( ) Saca factor común en las epresiones. (n + )n + (n + ) (7n 7) (7n 7)(n 8) (n + )(n + ) (7n 7)( (n 8)) 7(n )( n) 00 Desarrolla las siguientes igualdades notables. ( + y) ( a ) ( + )( ) + y + 9y 9 a + a 8

3 Polinomios y fracciones algebraicas ACTIVIDADES 00 Dado P() +, reduce este polinomio y halla su valor numérico para: 0 P() + P(0) P() + P( ) + + P() Reduce los siguientes polinomios y calcula su valor numérico para. P() + + P() + + P() P() P() P() Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para. P() + P() + P() + P() + P() P() P() P() 00 Halla el valor numérico del polinomio P() n + para. Qué observas? P() n + P( ) ( ) n + Si n es par, entonces: P( ) + Si n es impar, entonces: P( ) Suma y resta cada par de polinomios. P() Q() + P() Q() 5 + P() Q() S() ( ) + ( + ) R() ( ) ( + ) + 7 S() ( ) + ( 5 + ) R() ( ) ( 5 + ) S() (0 + + ) + ( ) R() (0 + + ) ( )

4 SOLUCIONARIO 00 Halla la suma, la resta y el producto de cada par de polinomios. R() + S() + R() + S() + R() S() + P() ( + ) + ( + ) + + Q() ( + ) ( + ) P() ( + ) + ( + ) + Q() ( + ) ( + ) P() ( ) + ( + ) Q() ( ) ( + ) Calcula el resultado de multiplicar los siguientes polinomios. R() + + S() R() S() R() + S() + R() S() + P() ( + + ) + + P() ( ) P() ( + )( + ) ( + ) + ( + ) P() ( )( + ) 5 ( + ) + ( + ) + + ( + )

5 Polinomios y fracciones algebraicas 008 Indica el grado del polinomio resultante de esta operación. ( + )( + ) Es la suma de los grados: Realiza las siguientes divisiones de polinomios, y señala las que son eactas. ( ) : ( ) : ( + ) ( 5 + ) : ( ) ( + + ) : ( + ) No es eacta Es eacta Es eacta No es eacta 00 Halla las divisiones y luego comprueba que P() Q() C() + R(). ( ) : ( ) : ( + ) ( ) : ( ) ( ) : 8

6 SOLUCIONARIO ( + )( + ) ( ) Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini. ( ) : ( + ) ( 0 + 0) : ( ) ( 5 + ) : ( ) ( 5 + 0) : ( + ) e) ( ) : ( + ) f) ( ) : ( ) 5 5 Cociente: +. Resto: Cociente: 7 +. Resto: Cociente:. Resto: 87

7 Polinomios y fracciones algebraicas Cociente: 5 +. Resto: e) f) Cociente: 7. Resto: Cociente: +. Resto: 0 0 Calcula el valor de m para que las divisiones sean eactas. ( + m) : ( ) ( m) : ( + ) ( m) : ( + ) ( m) : ( ) Una vez que obtengas el valor de m, escribe el dividendo como producto de dos factores m m + m + 0 m Descomposición: ( )( ) m m 7 m 7 0 m 7 Descomposición: ( + )( ) m m 9 m 9 0 m 9 Descomposición: ( + )( 5 + 9) m m +.0 m m.0, Descomposición: ( )( ) 88

8 SOLUCIONARIO 0 Calcula, mediante el teorema del resto, el valor numérico del polinomio P() para los valores de indicados en cada apartado. P() e) 5 7 f) P() e) P(5) 5 P( ) P(7) 0 P() 0 f) P( 5) 0 Dado P() +, halla, utilizando la definición de valor numérico y mediante el teorema del resto, su valor para: P() + P() P( ) P() + P( ) 0 0 P( ) 05 Determina cuánto vale a, sabiendo que el valor numérico de P() + a, para, es nulo: P() 0. a 0 0 a a 0 a 89

9 Polinomios y fracciones algebraicas 0 07 Calcula estos números combinatorios ! 9 7 7! 5!!!! ! 5! 5!! 7!! Desarrolla las siguientes potencias, utilizando el binomio de Newton. ( 5) ( + ) 5 ( 5) ( + ) Comprueba si los siguientes números son raíces del polinomio P() P() Por tanto, es una raíz del polinomio. P() P( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) 8 8 P( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) 8 0 Por tanto, es una raíz del polinomio. 09 Calcula las raíces enteras de estos polinomios. P() Q() La raíz entera del polinomio es. Las raíces enteras son {, 5, 7}. 00 Factoriza estos polinomios ( + )( )( ) ( + )( )( ) ( + )( + )( + ) 90

10 SOLUCIONARIO 0 Encuentra las raíces enteras de los polinomios La única raíz entera es. Esta raíz no es entera. Las raíces enteras son {, }. Sacamos factor común: ( ) Las raíces enteras son {, 0}. 0 0 Simplifica estas fracciones algebraicas. + + ( + ) ( 9)( y ) y( )( y + ) ( ) ( ++ ) + ( + )( )( y + )( y ) ( )( + y ) y( )( y + ) y( y + ) Reduce a común denominador. + y y y, y ( ) ( )( y ) y y( y ) y( + ) y( y ) ( ) ( )( +), y ( ) ( ) ( ) 9

11 Polinomios y fracciones algebraicas 0 Resuelve las operaciones y simplifica el resultado. 7( ) + y y ( ) + y y e) ( + ) y y f) y y y y y + y y y y y y y + ( ) y y e) f) ( ) + ( + )( ) ( + + ) Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado. y y y y ( ) : y + ( + ) : ( + ) + ( y ) ( y ) y y( ) y( ) ( ) y ( + )( + ) ( + )( + ) 9

12 SOLUCIONARIO 0 Sean los polinomios P() 5 +, Q() y R() +. Determina los siguientes valores numéricos. P() P( ) Q( ) e) R( ) + Q() f) Q R P ( ) 5 + P( ) Q ( ) + 5+ Q( ) R ( ) + R P( ) e) R( ) + Q( ) + f) Q Encuentra el valor de a y b de modo que, para P() 8 + a + b +, se cumple que P( ) 9 y P. P( ) 9 8( ) + a( ) + b( ) + 9 a b a P 8 a b a b b 08 Realiza las siguientes operaciones. ( + 5)( ) ( )( + ) ( ) ( a + ) e) (p q) f) ( ) g) (5a b ab )(5a b + ab ) ( + 5)( ) 0 ( )( + ) ( ) + 9 ( a+ ) 9a + e) ( p q) p pq+ 9q f) ( ) g) ( 5ab a( 5ab+ a 5ab ab 9

13 Polinomios y fracciones algebraicas 09 Efectúa y compara los resultados de estas operaciones. 5( + ) ( + ) 5( ) + + 5( ) + ( + ) 5 ( + )( + ) e) (5 + )( + ) 5( + ) ( + ) 5 5( ) ( ) + ( + ) ( + )( + ) + 7 e) ( 5 + )( + ) Los resultados son diferentes según el orden de las operaciones determinado por los paréntesis Efectúa y simplifica lo máimo posible. ( 5)( + ) + ( + y) + ( y) a 5a(a (a 5(a ( 5)( + ) ( + y) + ( y) y + y a 5a( a 5a + a ( a 5( a a a + 0a Realiza las operaciones, siendo: P() + 5 Q() + 5 R() P() + Q() R() P() Q() R() (P() Q()) R() Q() ( + ) R() e) P() + Q() f) P() R() P( ) + Q( ) R( ) 7+ 7 P( ) Q( ) R( ) ( P( ) Q( )) R( ) Q( ) ( + ) R( ) + 5 ( + )( ) + e) P( ) + Q( ) f) P( ) R( ) 5 + 9

14 SOLUCIONARIO 0 Haz estas divisiones y comprueba su resultado. ( + ) : ( + ) ( 5 + ) : ( + ) ( + ) : ( ) ( + ) : ( ) ( + )( 5) ( + )( + ) ( )( + + ) ( ) Comprueba si esta igualdad es cierta. ( + )( ) + ( ) ( + )( ) + ( ) ( )

15 Polinomios y fracciones algebraicas 0 Encuentra P(), Q(), R() y S(), tales que: P() + ( + 5) + + Q() + 5 R ( ) + ( ) S ( ) P( ) + ( + 5) Q( ) + ( + 5 ) + 5 R ( ) ( ( + ))( ) ( )( + ) + 7 S( ) ( ) : ( + ) S( ) Cuánto deben valer a y b para que se cumplan estas igualdades? ( )(a a( ) + b( + ) (a + )( a( + ) + b( + 7) + 5 ( )( a ( a + )( a b a b a a ( ) + b( + ) b 5 a a ( ) b( 7) b 0 Realiza estas divisiones, empleando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto. ( + 5 ) : ( ) ( + + 5) : ( + ) ( + ) : ( + ) ( ) : ( ) 5 5 C( ) + R( ) 5 9

16 SOLUCIONARIO C( ) R( ) C( ) R() C( ) R( ) 07 Completa las siguientes divisiones Determina el valor de m. m 0 0 m 0 m m 5 m m 0 m 5 0 m 09 Utiliza la regla de Ruffini para decidir si el primer polinomio es divisible por el segundo. P() y Q() P() y Q() No es divisible No es divisible 97

17 Polinomios y fracciones algebraicas 00 Comprueba, sin emplear la regla de Ruffini, si el primer polinomio es divisible por el segundo. P() + 5 y Q() P(y) y + y y 9 y Q(y) y + P() Es divisible P( ) No es divisible 0 Calcula el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas ni emplear la regla de Ruffini. P() + + y Q() P() 0 + y Q() P( t) t + t 8 y Q( t) t + 5 P() 0 y Q() + R P() R P() 0 + R P( 5) R P( ) Qué valor debe tomar a para que el resto de dividir + a a entre sea 7? R P( ) 7 + a a 7 5a 5 a 0 Determina a y b de manera que el polinomio + a + b sea divisible por y por +. Si es divisible por P( ) 0 8+ a+ b 0 a+ b Si es divisible por + P( ) a b 0 9a b a+ b a a b b 5 0 Comprueba si M() 5 + es divisible por y, en caso afirmativo, encuentra un polinomio N() que permita escribir M() de la forma: M() ( ) N(). 5 0 N( ) Calcula para que se cumplan las siguientes igualdades. 8 a a a 5 Desarrolla y simplifica. 5 ( + ) (p + ) e) g) ( + ) i) ( y ) 5 ( y) 5 ( p + p ) f) ( p 5p ) h) ( 5 ) 5 j) + 98

18 SOLUCIONARIO ( + ) ( y) ( y) + ( y) ( y) ( y) ( y) y + 0 y 0 y + 5y y 5 5 ( ) ( ) ( 0 p+ p + p) + ( p) + p + 8p + p ( + ) ( ) + p p p 0 + ( p) p ( p) ( p ) + ( p) ( p ) + + ( p ) p p + p p + p e) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) f) ( ) ( ) + p 5p p 0 ( ) + ( 5 ) ( ) ( p p p 5p ) + 5 ( p ) 5 7p 5p 5p 5p g) ( + ) 0 ( ) + ( ( ) )+ ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) h) ( 5 ) ( ) + ( ) ( )+ 5 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) + 5 ( 5 ) i) ( y ) ( y) ( y) ( ) ( y) ( ) ( y) ( ) y ( ) ( ) y 5 y + 90 y 70 y + 05 y j) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )

19 Polinomios y fracciones algebraicas 07 Determina en los desarrollos los términos que se indican. Séptimo término de ( + y) 0. Décimo término de ( ) 5. Decimoseto término de (p + q ) 8. Decimocuarto término de ( a + ). 0 ( y). 0 y 5 ( ) ( ) ( p) ( q ) p q (... a Encuentra los términos indicados de los siguientes desarrollos. El término central de (p q). El término que contiene en ( + ) 9. El término que contiene en. 0 ( p ) ( q). 0. p q 9 ( ) ( ) Calcula, empleando la fórmula del binomio de Newton, el valor de 5, y 0,99 ; teniendo en cuenta que: 5, 5 + 0, 0,99 0,0 5, 5 0, ( ) , 0, 0, 5 + 7,5 + 0,5 + 0,00,5 0,99 0,0 0 + ( ) + ( 0,0) ( 0,0) 0,0 + 0,000 0,980 00

20 SOLUCIONARIO 050 Estas epresiones se obtienen al desarrollar algunas potencias. Hállalas a a p + p + p + 9p ( + 5) a a + 9 (a ) ( ) 8p + p + p + 9p + (p + ) 05 El séptimo y el octavo términos del desarrollo de una potencia son.79 y y.0y, respectivamente. Calcula la potencia. Al ser dos monomios consecutivos y positivos, la potencia corresponde a un binomio con dos términos positivos. Como las potencias de en los monomios conocidos corresponden al antepenúltimo y al penúltimo términos del desarrollo del binomio de Newton, y se trata de los términos séptimo y octavo, entonces la potencia correspondiente es y y ( y ) y y 7 ( y ) La potencia es ( + y ) Factoriza estos polinomios e) f) 8 9 g) ( )( )( + ) ( )( + )( ) ( + )( + )( + ) ( ) ( + ) e) ( + ) ( + ) f) 8 9 ( )( + )( + ) g) ( + )( + + 8) 0

21 Polinomios y fracciones algebraicas 05 Determina las raíces de los siguientes polinomios. ( )( + 5)( ) e) ( ) ( + ) f ) ( )( + )( + ) g) h) + + ( )( + 5)( ) {, 5, } ( ) ( + ) 0,, ( )( + )( + ),, + 8 ( )( )( + ) {,, } e) ( + )( + )( + 5) {,, 5} f) ( )( + )( + ),, g) + + ( ) ( )( ),, h) + + ( ) ( + ) {, } 05 De un polinomio de segundo grado, P(), se sabe que P(), que P(0) y que una de sus raíces es. Determina ese polinomio. Por ser de segundo grado, el polinomio es de la forma: P() a + b + c Si P() a + b + c Como P(0) c Si es una raíz del polinomio: P() 0 9a + b + c 0 a+ b a Entonces, tenemos que: 9a+ b b 5 Así, el polinomio es: P() Obtén el valor de m para que el polinomio P() m + 8 tenga como raíz. Si es una raíz del polinomio: P() 0 8m m m 05 Halla el valor de n para que el polinomio P() + + n + tenga como raíz. Si es una raíz del polinomio: P( ) n + 0 n n 0

22 SOLUCIONARIO 057 Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean, y 5, y otro polinomio con el mismo grado que tenga como raíces, y. P( ) ( )( )( 5) Q( ) ( + )( + )( ) Encuentra un polinomio P() de segundo grado cuyas raíces sean y, y tal que P() 0. P( ) a( )( + ) a( + ) Si P( ) 0 a 0 0 a Luego, el polinomio es: P( ) Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean, y y tal que Q() 8. Q( ) a( )( + ) a( 5 ) Si Q( ) 8 a ( 9) 8 a Por tanto, el polinomio es: Q( ) 0 00 Descompón estos polinomios y calcula su máimo común divisor. y y z 8y z e) f) g) h) i) j) m.c.d. ( y, y z, 8y z) y ( ) 5 0 5( ) 7 7( ) m.c.d. (, 5 0, 7 ) 8 + 8( + ) + ( + ) m.c.d. ( 8 +, +, 0 + 0) ( + ) + ( )( + ) m.c.d. ( +, ) ( )( + ) 0

23 Polinomios y fracciones algebraicas e) + 9 ( )( + ) m.c.d. ( + 9, + ) + ( )( + ) ( + ) + f) + + ( + ) ( + )( + 5) m.c.d. ( + +, + + 0) ( + ) + g) ( ) m.c.d. (, ) ( + )( ) ( ) h) 5 + ( )( )( + ) ( )( )( + ) m.c.d. ( 5 +, ) ( )( ) + i) ( + )( + ) m.c.d. ( + 5 +, + 9 ) + 9 ( + ) ( + ) + j) ( ) ( ) ( 7 5, ) m.c.d ( ) ( ) + 0 Obtén el valor numérico de estas fracciones algebraicas en los valores que se indican. + para para a a a para a y y + y para e y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 + ( ) 0 Simplifica, si es posible, estas fracciones algebraicas. yz z abc 8bc f) g) + a 5a a abd ba 5 h) 0 8a+ a + 8a + i) ab a b a e) + j)

24 SOLUCIONARIO yz y z z f) + + abc 8bc ab c g) a 5a a a 5 abd d ba ab 5 h) 0 8a+ a + 8a 5 a + a + a + i) ab a b a a( b ( b a e) + j) ( + ) 8 ( + ) 0 Realiza estas operaciones y simplifica. e) f) a 7 a + a 5 0 a a a a 8 y + ab 8a : c b a 7 a + a a 5 + 5a+ a a a a a a a 9 a a 8a e) f) 8y 9 y 8y 9 ab 8a b : c b 8ac

25 Polinomios y fracciones algebraicas 0 Efectúa estas operaciones y simplifica. 5 a+ b + a b ab e) p p p p + + y 5y y y y f) a + a a a a a 8a a g) + + a+ a+ a+ 5 a+ b b 5a+ a+ b a+ b + a b ab ab ab + y 5y 5 y y + y y + y + y y y 8 y + y + y y a a a a a 9a a a 8 + a + a 8a a a a a + + a 8 a+ a+ a+ ( a+ ) a+ e) f) p p + p+ p p+ p+ p + + p p p ( p + )( p + ) a + a a a p + p + 5p+ g) ( + )( ) 5 05 Realiza estas sumas y restas, y simplifica el resultado a a a a a a

26 SOLUCIONARIO ( + ) ( + )( ) + a a a a a a a a 8+ a a + a a 8a ( a+ ) ( a ) a + a 8 a a + 8a a+ 8a ( )( + )( ) Calcula y simplifica el resultado. + a + + a : + y y + : a a a + a + a + + a a a a + 5 e) f) : + + : + y y y y 5y y + ( )( ) : : ( )( ) ( + ) ( + ) 9 ( + )( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) + 8 e) f) : : : 8 07

27 Polinomios y fracciones algebraicas 07 Demuestra esta igualdad ( )( + ) + 08 Halla los valores de A y de B para que se cumpla la igualdad. A B A B A B A B A + + ( ) + ( + ) ( + ) + B ( + )( ) 8 8 A+ B A B A + A+ B A B 8 B 09 La relación entre el dividendo (D), el divisor (, el cociente (C) y el resto (R) en una división se puede epresar como: D R C + d d Es decir, si al dividir entre + obtenemos como cociente + y resto, podemos escribir: Epresa de esta manera las siguientes fracciones algebraicas

28 SOLUCIONARIO La igualdad ( + 5) es falsa, porque: ( + 5) Usa el mismo procedimiento para comprobar que las siguientes afirmaciones son falsas, y después escríbelas correctamente. ( p) 9 p ( ) + (5 )(5 + ) 5 Respuesta abierta: ( ) 9 ( p) 9 p + p Respuesta abierta: ( ) + ( ) + Respuesta abierta: (5 )(5 + ) 5 (5 )(5 + ) Cómo puedes factorizar el polinomio 8 5, sabiendo que es múltiplo de + 5? ( + 5)( ) Cómo puedes factorizar el polinomio 8 0, sabiendo que una de sus raíces es? Si es una raíz, entonces es un factor del polinomio ( )( + )

29 Polinomios y fracciones algebraicas 07 Divide por medio de la regla de Ruffini el polinomio P() + + entre: C( ) + R( ) ( ) + C( ) + 5 R ( ) 5 07 Determina un polinomio del que sabemos que: Es de tercer grado. Se anula para. Solo tiene dos términos. P() 8 Al ser un polinomio de tercer grado es de la forma: P() a + b + c + d Si se anula para : P() 0 a + b + c + d 0 Como P() 8 8a + b + c + d 8 Si solo tiene dos términos, hay tres posibilidades: a+ b 0 a 7 ) Si b 0 y c d 0 P( ) 7 7 8a+ b 8 b 7 a a+ c 0 ) Si c 0 y b d 0 P( ) 8a+ c 8 c a+ d 0 a ) Si d 0 y b c 0 P( ) 8a+ d 8 c 075 Escribe dos polinomios cuyo máimo común divisor sea ab c y cuyo mínimo común múltiplo sea a b c d. Respuesta abierta. P() a b c Q() ab c d 07 Escribe dos polinomios cuyo máimo común divisor sea ( )( + 5) y cuyo mínimo común múltiplo sea ( ) ( + 5) ( + 7). Respuesta abierta. P() 8( )( + 5) ( + 7) Q() ( ) ( + 5) 0

30 SOLUCIONARIO 077 Calcula estas raíces, sabiendo que los dos polinomios son cuadrados perfectos ( ) ( ) 078 Comprueba con varios ejemplos que si m y n son dos números naturales consecutivos, entonces: m + n + m n es un cuadrado perfecto. Encuentra una demostración general de esta propiedad. Si m y n m + n + m n 9 Si m y n m + n + m n 9 7 Si m y n m + n + m n 9 En general: n m+ m + m+ + m m+ m + m + m+ + m + m ( ) ( ) + m m + m + m + m+ ( m + m+ ) 079 El término general de la progresión aritmética: 5, 8,,, 7, 0, es a n n +. Calcula la epresión del término general de estas progresiones., 5, 9,, 7, 5,,,,, 8,,, 7,,,, 7, 0, a n n a n n 7 a n 5n + a n n Completa esta tabla y determina el polinomio que epresa el número de diagonales de un polígono conveo en relación con su número de lados. N. o de lados 5 7 N. o de diagonales Si es el número de lados, entonces: P( ) ( )

31 Polinomios y fracciones algebraicas 08 El director de un supermercado ha observado que el número de clientes atendidos cada hora por un dependiente está relacionado con su eperiencia. Ha estimado que ese número puede calcularse de forma aproimada 0d con la función: Cd ( ), donde d d + es el número de días que el dependiente lleva trabajando y C es el número de clientes atendidos en una hora. Cuántos clientes por hora atendería un dependiente que lleve trabajando dos días? El director sabe que un dependiente empieza a ser rentable a la empresa cuando atiende a clientes por hora. Cuándo sucede eso? Investiga lo que sucede con el número de clientes atendidos por dependientes que tienen mucha eperiencia. Puedes constatar alguna característica especial? 0 C( ) clientes + 0d 0d d 9 8d 9 d días d + + N. o de días N. o de clientes 8,8 9,88 9,99 9,99 9,99 Si los dependientes tienen mucha eperiencia, el número de clientes atendidos se aproima a 0, sin llegar a superarlo. 08 Una plancha de cartón mide 0 0 cm. En cada uno de sus vértices recortamos un cuadrado de cm de lado. Doblando las solapas que quedan se forma una caja. 0 cm 0 cm Epresa su volumen en función de. Calcula el volumen si mide,, y 8 cm. Determina la medida de para que el volumen de la caja sea máimo.

32 SOLUCIONARIO V() (0 )(0 ) V().87 cm V().8 cm V().0 cm V(8).88 cm V(5).000 cm V(7).9 cm Suponiendo que el lado tiene como longitud un número entero, el volumen es máimo cuando cm. 08 Determina A, B y C para que se cumpla que: A B C Fíjate en la descomposición que hemos hecho de la fracción, para epresar estas fracciones algebraicas como la suma de otras fracciones más sencillas A B C ( + )( ) + ( + + ) ( A + B)( ) + C( + + ) A A + B B+ C + C + C ( A+ C) + ( A+ B+ C) + ( B+ C) A + C 7 C 7 A A A+ B+ C A B 0 A+ B+ 7 A B+ C 7 B A B B+ A C ( + )( + ) A B C ( A + B)( + ) + C( + ) A + A + B + B + C C + C ( A+ C) + ( A+ B C) + ( B+ C) A + C C A A 0 A+ B C A B A+ B + A + B+ C 9 B A B B+ A 9 + C ( + )( ) 9 + A + + B A+ B 9 A( ) + B( + ) ( A+ + A 5 B) A B A+ B 9 B

33 Polinomios y fracciones algebraicas PARA FINALIZAR Demuestra la propiedad que cumplen los números combinatorios. n n n n n Si n Si n Si n Los números combinatorios verifican que: n n n 0 n m n n m + m n Así, para n : Análogamente, si para n la suma es n, entonces para n + la suma es: n n + n n m 55 n m Demuestra, utilizando el método de inducción, las siguientes igualdades n nn ( + ) nn ( + )(n + ) n nn ( + ) n ( + ) Si n Suponemos que se cumple la igualdad para n k.

34 SOLUCIONARIO Entonces para n k + : kk ( + ) k + k k + k + + k + ( k + )( k + ) ( k + )(( k + ) + ) ( + )( + ) Si n Suponemos que se cumple la igualdad para n k. Entonces para n k + : kk ( + )( k+ ) k + ( k + ) + ( k + ) k + k + k + k + k + k + 9k + k + ( k k + )( + )( k + ) + + ( k )( k )( ( k + ) + ) + ( ) Si n Suponemos que se cumple la igualdad para n k. Entonces para n k + : kk ( + ) k + ( k+ ) + ( k + ) k ( k + k+ ) k + k + k + k + k + + k + k + k + k k k k k k ( )( ) ( k+ )(( k+ ) + ) 08 Dados los polinomios: P() Q() determina los polinomios A() y B() de menor grado que cumplan que: P() A() + Q() B() 0 P( ) A( ) + Q( ) B( ) 0 P( ) A( ) Q( ) B( ) A ( ) Q( ) B( ) P( ) P( ) ( )( + )( + )( ) Q( ) ( )( + )( + )( ) A ( ) Q( ) ( )( )( )( ) + + B( ) P( ) ( + + ( + )( ) )( )( )( ) ( + )( ) Así, A() + + y B()

35 Polinomios y fracciones algebraicas 087 Demuestra que, para cualquier número entero n, la siguiente epresión es múltiplo de. n + n n n n + n n n (n )n(n + )(n + ) Como el polinomio es el producto de cuatro números enteros consecutivos, al menos uno de ellos ha de ser múltiplo de. Siendo n un número entero, hay dos posibilidades: ) Si n es impar, entonces n y n + son pares y, además, son pares consecutivos; por tanto, uno de ellos es múltiplo de. Así, (n )(n + ) es múltiplo de 8, luego el polinomio es múltiplo de. ) Si n es par; entonces n + también es par, y como en el caso anterior, uno de ellos es múltiplo de. Por tanto, n(n + ) es múltiplo de 8 y el polinomio es múltiplo de. 088 Un polinomio P() verifica que: P() es divisible por +. Al dividirlo entre 5, el resto es 5. Calcula el resto de la división P() : Q(), siendo: Q() ( )( + )( 5) P() C() Q() + R(), siendo grado R() < grado Q() R() a + b + c P() C() Q() + R() C() 0 + R() a + b + c P( ) C( ) Q( ) + R( ) 0 + C( ) 0 + R( ) 0 a b + c P(5) C(5) Q(5) + R(5) 5 5a + 5b + c a+ b+ c a b+ c 0 a b c 0 5a+ 5b+ c 0 Así, el resto es: R ( ) ( + ) 089 Completa la siguiente fila del triángulo de Tartaglia n n k! n!. 00( k )!( n ( k ))! ( k )!( n ( k ))! n n! n!. 00k!( n k)! k k!( n k)! n k + n!.. n!. 00( k + )!( n ( k + ))! ( k + )!( n ( k + ))!

36 SOLUCIONARIO Igualando cada par de epresiones:. 00k!( n k)!. 00( k )!( n ( k ))! k n k ( + ) 5k n n. 00k!( n k)!. 00( k + )!( n ( k + ))! ( n k) k + n k k 9 Entonces la fila del triángulo está compuesta por: Haz esta suma. 99 n n( n+ ) A B A B 0 An ( ) Bn ( A Bn ) A nn ( + ) n A n + A B n nn ( + ) n n n