Trabajo de Matemáticas AMPLIACIÓN 3º ESO

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1 Trabajo de Matemáticas AMPLIACIÓN º ESO

2 ACTIVIDADES DE AMPLIACIÓN TEMA : NÚMEROS FRACCIONARIOS O RACIONALES Problema nº Un grifo tarda en llenar un depósito horas y otro tarda en llenar el mismo depósito 9 horas. Cuánto tiempo emplearán los dos juntos en llenarlo? Problema nº De 0 alumnos de º de ESO, aproximadamente, / estudian inglés, de cada 7 estudia informática y el resto estudia francés. Cuántos alumnos, aproximadamente, estudian francés? Problema nº De una garrafa de agua, Juan saca / del contenido y Pedro / de lo que queda. Al final restan en la garrafa litros de agua. Cuál es la capacidad de la garrafa? Ejercicio nº Reduce a común denominador las siguientes fracciones: a) b),, 0, 8 8, 6 8 Ejercicio nº Realiza las siguientes operaciones: a) b) Ejercicio nº6 Calcula el valor de la siguiente expresión:

3 7 8 : 6 7 b) a) Ejercicio nº7 Calcula el valor de la siguiente expresión: : Ejercicio nº8 Señala en la recta racional fracciones comprendidas entre y. Ejercicio nº9 Calcula el valor de las siguientes expresiones: 6 : : : b) a) Ejercicio nº0 Calcula el valor de las siguientes expresiones: : 6 : 8 7 : : b) a)

4 TEMA : NÚMEROS REALES Problema nº Una tarta está compuesta de 0,7 kg. de manzanas, 0, kg. de harina y 0, kg. de azúcar. Qué fracción de peso tendrá cada ingrediente? Problema nº Una piscina tiene 0 metros de largo y de ancho. Si está dividida en 6 calles, cuál será la máxima distancia que podrá recorrer el nadador en línea recta y sin cambiar de dirección? Represéntalo gráficamente utilizando el Teorema de Pitágoras. Problema nº Si el,% de la población son mujeres. Qué fracción de hombres hay? Ejercicio nº Escribe los siguientes números decimales en forma de fracción: a),... b) 9,... c),07... d), Ejercicio nº Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón: a), b),... c),88... d) 6,... Ejercicio nº6 Representa en la recta real el valor aproximado con tres cifras decimales de: + Ejercicio nº7 Ordena de menor a mayor los siguientes números: a),6 y,7 b) -0,0067 y -0,0067 c) 6,9 y 6,89

5 Ejercicio nº8 Representa en la recta real los siguientes intervalos de números: a), b) c) (-, 0,) [,,,7) d) -, 0 0 Ejercicio nº9 Escribe cada uno de los números,,,, en forma decimal con las mínimas cifras 6 8 para que el error sea menor que una centésima. Ejercicio nº0 Representa por aproximaciones sucesivas en la recta real

6 TEMA : POTENCIAS Y RAICES DE NÚMEROS REALES Problema nº Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar simultáneamente dos dados? Y cuántas combinaciones se podrían elaborar en una quiniela de resultados? Escribe los resultados en forma de potencia. Problema nº Un abuelo tiene el cuadrado del cubo de la edad de su nieto. Cuál será la edad de su nieto si tiene 6 años? Problema nº El volumen de un cubo es 78 cubos tiene la arista mayor? cm y la superficie de otro cubo es 76 cm. Cuál de los dos Ejercicio nº Expresa el resultado como potencia única: a) b) c) [(- 7) ] 0 - (- ) ( - ) ( - ) ( - ) 6 ( ) Ejercicio nº Escribe en notación científica y ordinaria los siguientes números: a), b) 0,00 : 000 c) : d) 0, Ejercicio nº6 Introduce en el radical los números que están fuera:

7 a) 6 b) c) d) Ejercicio nº7 Simplifica las siguientes potencias expresándolas previamente en forma radical: a) 0 6 b) 8-8 c) d) 7 8 Ejercicio nº8 Expresa las siguientes multiplicaciones en forma de potencia: a) b) ( ) ( ) ( ) c) -8 d) 6 Ejercicio nº9 Simplifica los siguientes radicales: a) b) c) d) Ejercicio nº0 Expresa el resultado como potencia única:

8 ( ) ( ) - 6 : - 6 c) 7 7 b) a)

9 TEMA : EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Problema nº Expresa mediante un polinomio el área de la figura a), y el volumen de una viga de hormigón cuya sección es la de la figura b) y su longitud es 0x. X X a) b) X X X X X + Problema nº Halla "a" para que sea correcta la siguiente igualdad: (x + ax )( x + ax ) = x + 9x + x x + Problema nº Halla un polinomio S(x) que al sumarlo con P ( x) = x x + x, resulte un polinomio cuyos coeficientes sean los de la suma de Q ( x) = x + x y el opuesto de P(x) multiplicados por dos. Ejercicio nº Halla el valor numérico, si está definido, de las expresiones: a) x = - b) x =. x 0x x A =, B = ; para: x + x 6 x + Ejercicio nº Efectúa las operaciones que se indican, y reduce los términos semejantes: a) x y [ xy ( x y xy )] b) ( x + [ ( x x ) ] )

10 Ejercicio nº6 Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes: a) (a b)x + (b c)y [(a + b)x (b + c)y] b) (x + )[ x x(x - )] Ejercicio nº7 Efectúa los siguientes cálculos simplificando el resultado: (x + y) (x y), y, después, calcula su valor cuando x =, y =. Ejercicio nº8 Saca factores comunes en las siguientes expresiones: a) x 6x y + 8x z b) ax ay + bx by c) x (x ) + x - Ejercicio nº9 Dados los polinomios P ( x) = x + x + y Q ( x) = x x +. Calcula: a) P(x) + Q(x) b) P(x) 6Q(x) Ejercicio nº0 Efectúa las operaciones que se indican, y reduce los términos semejantes: a) (x - y) [(x + y) - (x y)] b) ( x (x )) ( x + ( x + x))

11 TEMA : DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Problema nº Halla los valores de m y n para que el polinomio x + y la división P(x) : (x ) dé de resto 6. P ( x) = x + mx + x + n tenga como factor Problema nº n n Para qué valores de n el polinomio P( x) = x + es divisible por x +? Halla el cociente en uno de dichos casos con el grado superior a. Observando el resultado n n anterior, escribe el cociente de ( x + a ) : (x + a) con a >0 en general. Problema nº Halla los valores de m y n para que el polinomio x ±. P ( x) = x + x + mx + n sea divisible por Ejercicio nº Calcula el valor de a para que la división (x 6x x + x + a) : (x ) sea exacta. Ejercicio nº En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes, quedando: Puedes reconstruir la división, y escribir los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto? Ejercicio nº6 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P( x) = x x + x x es divisible por x -, y calcula con una división otro factor del polinomio. Ejercicio nº7

12 El polinomio P( x) = x x x + 8x tiene tres raíces enteras, y se descompone en producto de cuatro factores. Halla las raíces enteras, y, mediante divisiones sucesivas por el método de Ruffini, el cuarto factor. Ejercicio nº8 Utilizando el valor numérico del polinomio, comprobar que P ( x) = x + 8x + 7x + 8x + 6 es divisible por x +. Calcula el cociente de la división P(x) : (x + ), y comprueba que dicho cociente también es divisible por x +. Halla otro factor distinto de los anteriores de P(x). Ejercicio nº9 El cociente entre un polinomio y el monomio es R ( x) = x x +. De qué polinomio se trata?. x es C ( x) = x + x x +, y el resto Ejercicio nº0 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P ( x) = x + x + x + es divisible por x +, y calcula con una división otro factor del polinomio.

13 TEMA 6: ECUACIONES DE PRIMER GRADO Problema nº Hallar razonadamente una expresión algebraica, que nos dé el número de diagonales de un polígono regular de n lados. Problema nº Divide 6 en dos sumandos, de modo que al dividir el mayor entre el menor se obtenga de cociente y 8 de resto. Problema nº Los números enteros los podemos clasificar como múltiplos de, múltiplos de tres más uno y múltiplos de tres más dos. Describe con una letra cada una de las clases. Utiliza dicha clasificación para probar que el producto de un número, por el siguiente y por su doble más uno es múltiplo de 6. Ejercicio nº Transforma la expresión algebraica x x x + en otra con x y como factores comunes de parte de sus términos. Puede escribirse como producto de dos factores? Y de tres? Ejercicio nº Escribe con una letra indeterminada una expresión algebraica que nos dé el perímetro de un rectángulo, en el que el lado mayor mide cm. más que el menor. Ejercicio nº6 Escribe con una letra indeterminada el producto de tres números pares consecutivos. Desarrolla dicho producto. Ejercicio nº7 Resuelve la siguiente ecuación: x x ( x) = Ejercicio nº8 Resuelve la siguiente ecuación: x x 0 ( x) = ( ) 0 9 Ejercicio nº9

14 Resuelve la siguiente ecuación: = + x x x x x 9 ) ( ) )( ( Ejercicio nº0 Escribe mediante una letra indeterminada el cuadrado de un número menos el cuadrado del número anterior, y, con su desarrollo, justifica que es igual a la suma de ambos.

15 TEMA 7: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Problema nº Una casa rectangular cuyos lados miden m y 8m, se encuentra rodeada por un jardín de anchura constante, cuya superficie es de 8m. Qué anchura tiene el jardín? Problema nº Con el número de fichas cuadradas que tengo, al formar un cuadrado me sobran, y si quiero formarlo con una ficha más por lado me faltan 6. Cuántas fichas tengo? Problema nº El perímetro de un campo rectangular mide 0 m., y su superficie es de 7000 m. Halla sus dimensiones. Ejercicio nº Resuelve la siguiente ecuación irracional: x x = Ejercicio nº Halla las soluciones de la siguiente ecuación sacando factor común: x 0x + 9x = 0 Ejercicio nº6 Resuelve la siguiente ecuación: x = 7 x Ejercicio nº7 Halla el valor de b para que la ecuación x + bx + = 0 tenga una solución doble (iguales las dos soluciones). Calcula dicha solución. Ejercicio nº8 Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los cuadrados ni utilizar la fórmula general:

16 a) ( x ) = 0 b) ( x ) + 0( x ) = 0 Ejercicio nº9 Resuelve la siguiente ecuación: x x + x = x Ejercicio nº0 Halla las soluciones reales de las siguientes ecuaciones: a) x b) + x = x ( x + ) = + 9x

17 TEMA 8: SISTEMAS DE ECUACIONES Problema nº Al dividir la cifra de las decenas entre la de las unidades de un número de dos cifras, obtenemos de cociente y resto. Si cambiamos de orden las dos cifras, obtenemos un número que doblado sobrepasa en una unidad al número dado. Halla dicho número. Problema nº Expresa en forma de sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas el siguiente enunciado: "Dos números suman y su cociente es ". Problema nº Al dividir dos números obtenemos de cociente y 6 de resto. Si el divisor disminuye tres unidades, los nuevos cociente y resto aumentan en una unidad cada uno. Halla dichos números. Ejercicio nº Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x y + x y + = = 7 Ejercicio nº Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x y = x y = Ejercicio nº6 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ( x + ) = ( x y) x x y x ( + y) = Ejercicio nº7 Resuelve el siguiente sistema mediante tablas:

18 x y = x + y = Ejercicio nº8 En las ecuaciones con dos incógnitas x + y = y x y =, x e y representan los mismos valores. Completa: a) x + y =? b) x =? Ejercicio nº9 Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones sea x y = Ejercicio nº0 En las ecuaciones con dos incógnitas x y = y x + y =, x e y representan los mismos valores. Completa: a) x y =? b) y =?

19 TEMA 9: FUNCIONES Problema nº Si sabemos que una función es creciente en un intervalo[a,b], qué podemos decir sobre su tasa de variación en dicho intervalo? Problema nº El cociente y el resto de una división entera son iguales a. Expresa el dividendo en función del divisor. Problema nº Sabiendo que determinada función f (x) es impar, y que f () =, cuánto vale la imagen de x = mediante f (x). Y si la función fuese par, quién sería f ( )?. Ejercicio nº La función parte decimal de x, Dec (x), es una función que hace corresponder a cada número real no entero, el número decimal que se consigue al poner la parte entera como cero. Representa esta función y estudia si es periódica. Ejercicio nº Representa la siguiente función y estudia dónde es creciente y decreciente. f ( x) x + = x si x si x > Ejercicio nº6 Di para qué valores de la variable independiente no es continua la siguiente función: x + si x f ( x) = x si < x x + si < x Ejercicio nº7 Representa aproximadamente la gráfica de f (x) = x sabiendo que su dominio es R. Ejercicio nº8

20 Representa la siguiente función y di dónde es creciente, dónde es decreciente y cuáles son sus máximos y mínimos absolutos. f ( x) x + = x + si x < 0 si x 0 Ejercicio nº9 Calcula la tasa de variación en los intervalos [ 00, 00] y [, 0] viene dada por la siguiente tabla: 0 de una función que x f(x) 0, 7 0, 7,... Ejercicio nº0 La función parte entera de x, Ent (x), es una función que hace corresponder a cada número real no entero, el número entero más cercano a él, pero menor que él y a cada entero, él mismo. Representa esta función y estudia si es par, impar o ninguna de las dos cosas.

21 TEMA 0: FUNCIONES LINEALES Y FUNCIONES CUADRÁTICAS. Problema nº Supongamos dos rectas secantes en el punto (-,) y con pendientes opuestas entre sí. Si la pendiente de una de ellas es -, cuál es la ecuación de cada una de ellas? Problema nº Calcula la ecuación de una recta con pendiente 0, cuya distancia al eje de abscisas es /. Problema nº Sea la recta y =, calcula dos rectas paralelas a ella que distan de ésta unidades. Ejercicio nº Calcula el vértice y el eje de simetría de la parábola y = x 6x +. Ejercicio nº Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba y cuáles hacia abajo: y = x + x y = x y = x x + x Ejercicio nº6 La pendiente de una recta es -, y su ordenada en el origen. Cuál será la ecuación de una recta paralela a ella que tiene como ordenada en el origen -?. Ejercicio nº7 Representa la función lineal, que tiene como ordenada en el origen y como pendiente -. Ejercicio nº8 Representa la recta y = x y otra secante a esta en el punto (,). Ejercicio nº9 Representar las siguientes rectas y decir si son paralelas o secantes: y = x + e y = x + Ejercicio nº0

22 Calcula el vértice de la parábola y = x 6x y observa cómo son entre sí los puntos ( 0,0) y (6,0) pertenecientes a dicha parábola.