UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD PROBABILIDAD MISCELANEA DE EJERCICIOS UNIDAD 2

Transcripción

1 EJERCICIOS CAPITULO Un inspector de aduanas decide revisar 2 de 6 embarques provenientes de Madrid por la vía aérea. Si la selección es aleatoria y 3 de los embarques contienen contrabando; Encuentre la distribución de probabilidad para Y, donde Y es la variable aleatoria que representa el número de embarques que el inspector podría encontrar con contrabando. Encuentre el valor esperado. 2.- Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajón que contiene tres calcetines cafés y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X que represente el número de calcetines cafés que se selecciona. Encuentre la función de probabilidad f(x), y el valor esperado E(X). 3.- En una lotería se venden 200 boletos, de los cuales uno gana $ , 2 son ganadores de $ , siete son ganadores de $50.000, cinco son ganadores de $ y cincuenta de $ Sea X la variable aleatoria que representa la ganancia del jugador, Determinar la función de probabilidad y el valor esperado del juego. 4.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número igual o menor a 4, gana tantos cientos de dólares como marca el dado, pero si sale un número mayor a 4, pierde tantos cientos de dólares como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego 5.- Suponga que un comerciante de joyería antigua esta interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una pérdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, cuál es la ganancia esperada del comerciante? 6.- Una variable aleatoria X representa el número de arrestos que puede tener un adolescente que ha presentado problemas judiciales. Si la función de probabilidad de la variable aleatoria está representada en la siguiente tabla. Cuál es el valor esperado de esta variable? X f (x) Una empresa ha registrado el número de productos defectuosos que se encuentran al revisar los artículos que salen de una línea de producción (X). La tabla muestra la distribución de probabilidad correspondiente a esta variable aleatoria discreta. Cuál es la probabilidad de que en una revisión de control de calidad, se encuentren por lo menos 2 productos defectuosos? X f (X) 0,50 0,28 0,07 0,06 0,05 0, Un embarque de 6 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es una variable aleatoria discreta que representa el número de unidades defectuosas que compra el hotel: a.- Encuentre la función de probabilidad f(x) b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x) 9.- Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f (x) = a (3x - x 2 ) 0 x 3 0 en otro caso a.- Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad b.- Calcule P ( 1 < X < 2) 1

2 10.- Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $ Si X representa la ganancia del jugador: a.- Encuentre la función de probabilidad f(x) b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x) 11.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad f (x) = a (4x - x 3 ) 0 x 2 0 en otro caso a.- Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad b.- Calcule P ( 1 < X < 1,5) 12.- Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias recién contratadas a lo largo de los últimos tres años (X), encontrando que éstas cometen hasta cinco errores en una página de 20 líneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad. Si se escoge una secretaria al azar, cual es la probabilidad de que cometa máximo 2 errores? Cuál es la probabilidad de que cometa exactamente 2 errores? X f (X) 0,50 0,28 0,07 0,06 0,05 0, Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajón que contiene siete calcetines cafés y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X que represente el número de calcetines cafés que se selecciona. a.- Encuentre la función de probabilidad f(x) b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x) 14.- Suponga que los editores de una revista desean aumentar sus suscriptores. Para ello envían un número aleatorio de cartas invitando a las personas a suscribirse. De las personas que la reciben un gran número ni siquiera la leen o la botan, pero otros la leen y responden. Si la proporción de personas que responden a la invitación (0 = %, 1 = 100%) es una variable aleatoria continua X, cuya función de densidad es: f (x) = 2 ( x + 2) 0 X en otro caso a.- Verifique que en efecto f(x) es una función de densidad de probabilidad b.- Calcule la probabilidad de que entre 30% y 60% de personas que reciben la carta, la respondan. 2

3 EJERCICIOS CAPITULO En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegirá un representante de grupo, para lo cual se usará el número de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con números del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el numero que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el numero sea mayor que 3 pero menor que Según datos de la secretaria de movilidad, el 23% de los conductores de buses urbanos manejan con imprudencia. Calcule la probabilidad de que cuatro de los próximos 10 buses que pasen sean conducidos con imprudencia. 3.- Al revisar un autobús de turistas, un agente de migración sabe que el 80% de los ocupantes son extranjeros. Cuál es la probabilidad de que el noveno turista al azar sea el sexto extranjero que entrevista? 4.- En el metro de la ciudad de México, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estación, pero por razones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una estación más de tres minutos es de 0,20. Halle la probabilidad de que se detenga mas de tres minutos por primera vez, en la cuarta estación desde que un usuario lo abordo?. Halle la probabilidad de que se detenga mas de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordo? 5.- En la inspección del pavimento y el asfalto de una calle de una zona lujosa de Bogotá, se determinó que hay aproximadamente un hueco cada cuatro kilómetros, por lo que el número de huecos promedio por kilómetro es de 0,25. Encuentre la probabilidad de que en un tramo cualquiera de dos kilómetros de pavimento se detecte máximo un hueco. 6.- De un equipo de fútbol se seleccionan al azar tres jugadores para un examen antidoping. Suponga que cuatro tomaron sustancias prohibidas antes del juego. Cuál es la probabilidad de que los tres elegidos resulten positivo en la prueba? 7.- Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sin inspección adicional, si contiene: a) Cuatro calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo b) Ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo 8.- Un estudio sobre las filas en las cajas registradoras de un supermercado reveló que durante un cierto periodo, en la hora más pesada, el número de clientes en espera era en promedio de cuatro. Cuál es la probabilidad de que durante ese periodo no haya clientes esperando? 9.- La gerencia de recursos humanos de un periódico sabe que al acudir a cierta escuela a reclutar editores tendrá éxito con una probabilidad de 0,15. Determine la probabilidad de que la primera contratación ocurra en la quinta entrevista? 10.- El futbolista Falcao convierte en gol el 40% de los tiros libres que ejecuta. Determine la probabilidad de que el décimo tiro libre que cobre en las eliminatorias para el mundial sea el tercero que convierta en gol 11.- Un representante de ventas pasa la noche en un hotel, pero tiene una cita el día siguiente a la hora del desayuno con un cliente importante. Ella pide al servicio de habitaciones que le llamen a las 7:00 a.m. para despertarla, a fin de estar lista a tiempo para la reunión. La probabilidad de que el servicio habitaciones haga la 3

4 llamada es de 0.9. Si es hecha, la probabilidad de que ella llegue a tiempo es de 0.9, pero si no le hablan, la probabilidad de que llegue puntual es de 0.8. Si acude oportunamente a la cita, cuál es la probabilidad de que la llamada haya sido hecha? 12.- Los registros muestran que el 30% de todos los pacientes admitidos a una clínica médica no pagaron sus cuentas y estas nunca fueron cobradas. Si llegan cuatro pacientes nuevos a la clínica, encuentre la probabilidad de que una cuenta de estas no sea cobrada El promedio de llamadas telefónicas que entran en un conmutador es de dos cada tres minutos, si se supone que el flujo de llamadas sigue un proceso de Poisson Cuál es la probabilidad de que entren precisamente dos llamadas durante los próximos tres minutos? 14.- Un inspector de control de calidad examina una muestra aleatoria de cinco baterías, de cada caja con 24 piezas que sale de la línea de ensamble; si de hecho, una caja contiene cuatro baterías defectuosas, encuentre la probabilidad de que en una muestra aleatoria de cinco piezas, ninguna este defectuosa De un equipo de fútbol se seleccionan al azar tres jugadores para un examen antidoping. Suponga que cuatro tomaron sustancias prohibidas antes del juego. Cuál es la probabilidad de que los tres elegidos resulten positivo en la prueba 4

5 EJERCICIOS CAPITULO La duración de un tanque lleno de gasolina, para cierto automóvil de modelo anticuado, tiene una distribución normal con una media de Km y una desviación estándar de 15.9 km. Cuál es la probabilidad de que el tanque lleno dure más de 360 Km? Cuál es la probabilidad de que el tanque lleno dure entre 355 y 365 Km? 2.- El tiempo promedio que cierto usuario de Internet emplea en leer y escribir mensajes por es de 30 minutos diarios, con una desviación estándar de 10 minutos. Si se supone que el tiempo empleado tiene una distribución normal, Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera dicha persona pase menos de 10 minutos leyendo y escribiendo mensajes electrónicos? Cuál es la probabilidad de que pase entre 25 y 35 minutos leyendo? 3.- El número de veces X que un humano adulto respira por minuto cuando está en reposo varía mucho de una persona a otra. Suponga que la distribución de probabilidad para X es aproximadamente normal, con media igual a 16 y desviación estándar igual a 4. Si se elige una persona al azar y se registra el número de respiraciones por minuto en reposo, Cuál es la probabilidad de que sea mayor a 22? Cuál es la probabilidad de que sea menor a 20? 4.-- Suponga que el tiempo que tarda cierta cajera de un banco en atender a cualquier cliente (desde el instante en que llega a la ventanilla hasta el momento en que se retira de ella) tiene una distribución normal con una media de 3.7 minutos y una desviación estándar de 1.4 minutos. Encuentre la probabilidad de que un cliente elegido al azar haya esperado más de dos minutos en la ventanilla. Cuál es la probabilidad de que tenga que esperar máximo dos minutos? 5.- Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con una varianza de 9,4. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente. Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome más de media hora? Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am Qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo? 6.- Los coeficientes intelectuales de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere de un coeficiente intelectual de al menos 95 a.- Cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones?. b.- Si se considera que un coeficiente intelectual mayor a 125 es muy superior Cuántos de estos estudiantes tendrían un coeficiente intelectual muy superior al del grupo? 7.- Una empresa ha encontrado que la duración de sus llamadas telefónicas tienen una distribución normal con media tres minutos y desviación estándar de 1,8 minutos. a.- En que proporción las llamadas tendrían una duración de más de dos minutos pero menos de tres y medio minutos. b.- Si una secretaria va a realizar una llamada cual es la probabilidad de que la llamada dure más de cinco minutos 8.- Los 460 alumnos de un centro tienen 156 cm. de estatura media con una varianza de 81 cm. a) Determine el porcentaje de alumnos que miden más de 160 cm. b) Cuántos alumnos miden entre 140 y 150 cm.? 9.- Los pesos de los estudiantes de una Institución Educativa presentan una distribución normal con media 45 Kg y desviación típica 6 Kg. Calcula la probabilidad de que un Estudiante elegido al azar pese menos de 47 kg. 5

6 10.- El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la distribución de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 34 años y una desviación típica de 6 años. De un total de 400 profesores hallar: a.- Cuántos profesores habrán con edad menor o igual a 35 años? b.- Cuántos de 45 años o más? c.- Cuántos profesores habrán con edades mayores a 30 años pero menores a 35? 11.- Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración antes de quemarse (fundirse) que se distribuye normalmente con media igual a 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una bombilla dure: a.- mas de 829 horas b.- máximo 820 horas c.- entre 778 y 834 horas 12.- Supongamos que un conocido nos dice que ha obtenido en un test de inteligencia una puntuación CI igual a 95. Asumiendo que las puntuaciones en un test de inteligencia se distribuyen normalmente y sabiendo que las puntuaciones CI tienen media 100 y desviación típica 15, qué le podemos decir acerca de su puntuación?, más concretamente, (a) qué porcentaje de sujetos es de esperar que obtengan un valor inferior o igual a 95?, (b) qué porcentaje de sujetos es de esperar que obtengan un valor superior a 95?; (c) Supongamos también que nos pregunta qué puntuación CI habría que sacar en el test de inteligencia para estar en el 30% inferior (puntuación de CI que deja el 30% de sujetos por debajo); (d) y para estar en el 10% superior? (puntuación de CI que es superada solo por el 10% de los sujetos) (e) entre qué valores de CI se encuentra el 50% central de los sujetos? 6