Integración Numérica. Las reglas de Simpson.
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- Rubén Ferreyra San Segundo
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1 Integrción Numéric. Ls regls de Simpson. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidd: ITESM CEM
2 Tópicos 1 Introducción 2 Regl de Simpson 1/3 3 Regl de Simpson 3/8 4 Progrms MATLAB
3 Tópicos 1 Introducción 2 Regl de Simpson 1/3 3 Regl de Simpson 3/8 4 Progrms MATLAB
4 Regls de Simpson Pr mejorr l proximción con l regl del trpecio es necesrio hcer un segmentción más fin, Otr form pr obtener un estimción más exct de l integrl consiste en usr polinomios de grdo superior pr unir los puntos f() y f(b), Si hy otro punto l mitd entre f() y f(b), los tres puntos se pueden unir con un prbol (polinomio de segundo grdo), Si hy dos puntos igulmente espcidos entre f() y f(b), los cutro puntos se pueden unir medinte un polinomio de tercer grdo,
5 Regls de Simpson Pr mejorr l proximción con l regl del trpecio es necesrio hcer un segmentción más fin, Otr form pr obtener un estimción más exct de l integrl consiste en usr polinomios de grdo superior pr unir los puntos f() y f(b), Si hy otro punto l mitd entre f() y f(b), los tres puntos se pueden unir con un prbol (polinomio de segundo grdo), Si hy dos puntos igulmente espcidos entre f() y f(b), los cutro puntos se pueden unir medinte un polinomio de tercer grdo,
6 Regls de Simpson Pr mejorr l proximción con l regl del trpecio es necesrio hcer un segmentción más fin, Otr form pr obtener un estimción más exct de l integrl consiste en usr polinomios de grdo superior pr unir los puntos f() y f(b), Si hy otro punto l mitd entre f() y f(b), los tres puntos se pueden unir con un prbol (polinomio de segundo grdo), Si hy dos puntos igulmente espcidos entre f() y f(b), los cutro puntos se pueden unir medinte un polinomio de tercer grdo,
7 Regls de Simpson Pr mejorr l proximción con l regl del trpecio es necesrio hcer un segmentción más fin, Otr form pr obtener un estimción más exct de l integrl consiste en usr polinomios de grdo superior pr unir los puntos f() y f(b), Si hy otro punto l mitd entre f() y f(b), los tres puntos se pueden unir con un prbol (polinomio de segundo grdo), Si hy dos puntos igulmente espcidos entre f() y f(b), los cutro puntos se pueden unir medinte un polinomio de tercer grdo,
8 Integrl
9 Regls de Simpson Ls fórmuls que resultn de proximr l función integrndo por polinomios de orden superior se conocen como regls de Simpson.
10 Tópicos 1 Introducción 2 Regl de Simpson 1/3 3 Regl de Simpson 3/8 4 Progrms MATLAB
11 Regl de Simpson 1/3 L regl de Simpson 1/3 result de proximr l función integrndo por un polinomio de segundo grdo, I = f (x) dx f 2 (x) dx donde f 2 (x) es un polinomio de Lgrnge de segundo orden: f 2 (x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f(x 0) + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 1) + (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f(x 2) donde x 0 =, x 2 = b y x 1 = b+ 2 (punto l mitd entre y b)
12 Regl de Simpson 1/3 L regl de Simpson 1/3 result de proximr l función integrndo por un polinomio de segundo grdo, I = f (x) dx f 2 (x) dx donde f 2 (x) es un polinomio de Lgrnge de segundo orden: f 2 (x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f(x 0) + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 1) + (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f(x 2) donde x 0 =, x 2 = b y x 1 = b+ 2 (punto l mitd entre y b)
13 Regl de Simpson 1/3 L regl de Simpson 1/3 result de proximr l función integrndo por un polinomio de segundo grdo, I = f (x) dx f 2 (x) dx donde f 2 (x) es un polinomio de Lgrnge de segundo orden: f 2 (x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f(x 0) + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 1) + (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f(x 2) donde x 0 =, x 2 = b y x 1 = b+ 2 (punto l mitd entre y b)
14 Regl de Simpson 1/3 L regl de Simpson 1/3 result de proximr l función integrndo por un polinomio de segundo grdo, I = f (x) dx f 2 (x) dx donde f 2 (x) es un polinomio de Lgrnge de segundo orden: f 2 (x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f(x 0) + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 1) + (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f(x 2) donde x 0 =, x 2 = b y x 1 = b+ 2 (punto l mitd entre y b)
15 Regl de Simpson 1/3 L regl de Simpson 1/3 result de proximr l función integrndo por un polinomio de segundo grdo, I = f (x) dx f 2 (x) dx donde f 2 (x) es un polinomio de Lgrnge de segundo orden: f 2 (x) = (x x 1 )(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f(x 0) + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 1) + (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f(x 2) donde x 0 =, x 2 = b y x 1 = b+ 2 (punto l mitd entre y b)
16 Regl de Simpson 1/3 I = 1 3 h [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] donde h = b 2. L regl de Simpson 1/3, es l segund fórmul de Newton-Cortes, L especificción 1/3 se origin del hecho de que h est multiplicd por 1/3.
17 Regl de Simpson 1/3 I = 1 3 h [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] donde h = b 2. L regl de Simpson 1/3, es l segund fórmul de Newton-Cortes, L especificción 1/3 se origin del hecho de que h est multiplicd por 1/3.
18 Regl de Simpson 1/3 I = 1 3 h [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] donde h = b 2. L regl de Simpson 1/3, es l segund fórmul de Newton-Cortes, L especificción 1/3 se origin del hecho de que h est multiplicd por 1/3.
19 Regl de Simpson 1/3 I = 1 3 h [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] donde h = b 2. L regl de Simpson 1/3, es l segund fórmul de Newton-Cortes, L especificción 1/3 se origin del hecho de que h est multiplicd por 1/3.
20 Regl de Simpson 1/3 I = (b ) }{{} Ancho f(x 0 ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 ) } {{ 6 } Altur promedio
21 Regl de Simpson 1/3 I = (b ) }{{} Ancho f(x 0 ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 ) } {{ 6 } Altur promedio
22 Regl de Simpson 1/3 multiple I = f (x) dx = x 2 x 0 f (x) dx + x 4 x 2 f (x) dx + + x n x n 2 f (x) dx I 2h f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 ) + 2h f(x 2) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) h f(x n 2) + 4f(x n 1 ) + f(x n ) 6 +
23 Regl de Simpson 1/3 multiple I = f (x) dx = x 2 x 0 f (x) dx + x 4 x 2 f (x) dx + + x n x n 2 f (x) dx I 2h f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 ) + 2h f(x 2) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) h f(x n 2) + 4f(x n 1 ) + f(x n ) 6 +
24 Regl de Simpson 1/3 multiple I = f (x) dx = x 2 x 0 f (x) dx + x 4 x 2 f (x) dx + + x n x n 2 f (x) dx I 2h f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 ) + 2h f(x 2) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) h f(x n 2) + 4f(x n 1 ) + f(x n ) 6 +
25 Regl de Simpson 1/3 multiple I (b ) }{{} Ancho f (x 0 ) + 4 n 1 i=1,3,5,... f (x i ) + 2 n 2 j=2,4,6,... f (x j ) + f (x n ) } 3n {{ } Altur promedio
26 Tópicos 1 Introducción 2 Regl de Simpson 1/3 3 Regl de Simpson 3/8 4 Progrms MATLAB
27 Regl de Simpson 3/8 L regl de Simpson 3/8 result de proximr l función integrndo por un polinomio de tercer grdo, I = f (x) dx f 3 (x) dx I = 3 8 h [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] donde h = b 3. L regl de Simpson 3/8, es l tercer fórmul de Newton-Cortes, L especificción 3/8 se origin del hecho de que h est multiplicd por 3/8.
28 Regl de Simpson 3/8 L regl de Simpson 3/8 result de proximr l función integrndo por un polinomio de tercer grdo, I = f (x) dx f 3 (x) dx I = 3 8 h [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] donde h = b 3. L regl de Simpson 3/8, es l tercer fórmul de Newton-Cortes, L especificción 3/8 se origin del hecho de que h est multiplicd por 3/8.
29 Regl de Simpson 3/8 L regl de Simpson 3/8 result de proximr l función integrndo por un polinomio de tercer grdo, I = f (x) dx f 3 (x) dx I = 3 8 h [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] donde h = b 3. L regl de Simpson 3/8, es l tercer fórmul de Newton-Cortes, L especificción 3/8 se origin del hecho de que h est multiplicd por 3/8.
30 Regl de Simpson 3/8 L regl de Simpson 3/8 result de proximr l función integrndo por un polinomio de tercer grdo, I = f (x) dx f 3 (x) dx I = 3 8 h [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] donde h = b 3. L regl de Simpson 3/8, es l tercer fórmul de Newton-Cortes, L especificción 3/8 se origin del hecho de que h est multiplicd por 3/8.
31 Regl de Simpson 3/8 L regl de Simpson 3/8 result de proximr l función integrndo por un polinomio de tercer grdo, I = f (x) dx f 3 (x) dx I = 3 8 h [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] donde h = b 3. L regl de Simpson 3/8, es l tercer fórmul de Newton-Cortes, L especificción 3/8 se origin del hecho de que h est multiplicd por 3/8.
32 Regl de Simpson 3/8 L regl de Simpson 3/8 result de proximr l función integrndo por un polinomio de tercer grdo, I = f (x) dx f 3 (x) dx I = 3 8 h [f(x 0) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )] donde h = b 3. L regl de Simpson 3/8, es l tercer fórmul de Newton-Cortes, L especificción 3/8 se origin del hecho de que h est multiplicd por 3/8.
33 Regl de Simpson 3/8 I = (b ) }{{} Ancho f(x 0 ) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 ) } {{ 8 } Altur promedio
34 Regl de Simpson 3/8 I = (b ) }{{} Ancho f(x 0 ) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 ) } {{ 8 } Altur promedio
35 Tópicos 1 Introducción 2 Regl de Simpson 1/3 3 Regl de Simpson 3/8 4 Progrms MATLAB
36 Progrm MATLAB: Regl de Simpson 1/3 function int simpson13 v1 ( F, xi, xf, np ) % int simpson13 v1 Nombre de l funcion % F f u n c i o n mtemtic de entrd % [ x i x f] I n t e r v l o de i n t e g r c i o n % np Numero de p r t i c i o n e s h=( xf x i ) / ( 2 np ) ; x =[ x i : h : x f ] ; n=size ( x, 2 ) ; I n t =0; j =0; for i =1:2: n 1 j = j +1; I ( j ) =1/3 h (F ( x ( i ) ) +4 F ( x ( i +1) ) +F ( x ( i +2) ) ) ; I n t = I n t + I ( j ) ; s l i d 1 =[ P r t i c i o n, num2str ( j ),, num2str ( I ( j ) ) ] ; disp ( s l i d 1 ) end Slid2 =[ I n t e g r l T o t l,, num2str ( I n t ) ] ; disp ( Slid2 ) end
37 Progrm MATLAB: Regl de Simpson 3/8 function int simpson38 v1 ( F, xi, xf, np ) % int simpson38 v1 Nombre de l funcion % F f u n c i o n mtemtic de entrd % [ x i x f] I n t e r v l o de i n t e g r c i o n % np Numero de p r t i c i o n e s h=( xf x i ) / ( 3 np ) ; x =[ x i : h : x f ] ; n=size ( x, 2 ) ; I n t =0; j =0; for i =1:3: n 1 j = j +1; I ( j ) =3/8 h (F ( x ( i ) ) +3 F ( x ( i +1) ) +3 F ( x ( i +2) ) +F ( x ( i +3) ) ) ; I n t = I n t + I ( j ) ; s l i d 1 =[ P r t i c i o n, num2str ( j ),, num2str ( I ( j ) ) ] ; disp ( s l i d 1 ) end Slid2 =[ I n t e g r l T o t l,, num2str ( I n t ) ] ; disp ( Slid2 ) end
38 Problem Clculr l integrl de l función: f (x) = 400x 5 900x x 3 200x x desde = 0 hst b = 0.8. Considere el vlor excto de l integrl igul :
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