GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

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1 GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Módulo del vector : Es la longitud del segmento AB, se representa por. Dirección del vector Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. Sentido del vector El que va del origen A al extremo B. Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden. Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P. Sus coordenadas son las del punto P, porque si las restamos al origen (0,0) quedan las mismas. Coordenadas de un vector en el plano Si las coordenadas de los puntos A y B son: A(X 1,Y 1 ) B(X,Y ) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen Hallar las coordenadas de un vector cuyos extremos son: Un vector tienen de componentes (5, ). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(1, ). 1

2 ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO Utilitzeu els applets de la web: Una recta queda determinada por un punto de la recta, P y por un vector V que marque su dirección (vector director). ECUACIÓN VECTORIAL Utilitzeu els applets de les webs: La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y tiene la dirección del vector es: donde es el vector de posición de cualquier punto de la recta y es el vector de posición del punto conocido. Al vector se le llama vector director de la recta (sus coordenadas son el resultado de restar el extremo y el origen). t es un factor multiplicador. Si sustituimos los vectores de la ecuación vectorial,, por sus coordenadas obtenemos una expresión del tipo: (x,y) (p 1,p ) + t(v 1,v ) ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS Expresando por separado cada coordenada obtenemos las ecuaciones paramétricas: x p 1 + t v 1 y p + t v Para cada valor de t obtendremos un punto (x,y) de la recta. ECUACIÓN CONTINUA Despejamos T de las dos ecuaciones anteriores e igualamos. Los denominadores son las coordenadas del vector director Esta última igualdad sería la ecuación continua de la recta que pasa por un punto fijo P (p 1,p ) y que tiene como vector director v( v 1, v ). ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA Si eliminamos denominadores pasándolos al otro lado. Quitamos paréntesis y pasamos todo al primer término. (x-p 1 ) v (y-p ) v 1 v x - v p 1 - v 1 y + v 1 p 0 Transponemos términos. v x - v 1 y + v 1 p - v p 1 0

3 que es la ecuación general o implícita de la recta. ECUACIÓN EXPLÍCITA Si A v, B - v 1 y C v 1 p - v p 1 obtenemos Ax + By+ C 0 A partir de la ecuación general despejamos y A C y - x - B B Como se verá en el punto siguiente, la pendiente de una recta se define como m v / v 1 Si A v y B - v 1 entonces A m - B Y se obtiene y mx + n Que es la ecuación explícita de la recta, donde n -C/B PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX. Pendiente dado el ángulo Pendiente dado el vector director Pendiente dados dos puntos RELACIÓN DE LA PENDIENTE Y LAS DIFERENTES ECUACIONES CON EL VECTOR DIRECTOR En la ecuación vectorial (x,y) (p 1,p ) + t (v 1,v ) En la ecuación paramétrica x p 1 + v 1 t y p + v t En la ecuación continua En la ecuación general Ax + By+ C 0 En la ecuación explícita y mx + n (x,y) (1,-1) + t (,4) las coordenadas del vector director son (,4) (v 1,v ) luego la pendiente m v /v 1 4/ x 1 + t y t las coordenadas del vector director son (,4) (v 1,v ) luego la pendiente m v /v 1 4/ x 1 y las coordenadas del vector director son (,4) (v 1,v ) luego la pendiente m v /v 1 4/ 4x y -7 0 las coordenadas del vector director son (,4) (v 1,v ) luego la pendiente m v /v 1 4/ 4 7 la pendiente es 4/

4 RECTA DETERMINADA POR DOS PUNTOS Tal como hemos visto en el cálculo de las coordenadas de un vector, si éstas coordenadas de los puntos A y B son: A(X 1,Y 1 ) B(X,Y ) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen De manera que, si conociendo un punto de la recta y un vector director podemos saber las diferentes ecuaciones, conociendo dos puntos podemos averiguar las coordenadas del vector que forman, que no es otro que uno de los posibles vectores directores de la recta. Después actuamos como siempre, con uno de los dos puntos que nos han dado y con el vector director que hemos hallado. VECTOR PERPENDICULAR (O NORMAL) A UNA RECTA Un vector es perpendicular a otro (v 1,v ) (y a su recta correspondiente) si sus coordenadas son (-v,v 1 ) o (v,-v 1 ). La pendiente mv /v 1, por tanto, también cambiará a mv 1 /-v o a m-v 1 /v POSICIÓN RELATIVA DE DOS O MÁS RECTAS Dos rectas son perpendiculares, si se cortan en un punto, o paralelas, si no se cortan en ninguno. PARALELAS Dos rectas paralelas comparten el mismo vector director. En la ecuación explícita y mx + n n nos indica el punto por el cual la recta corta al eje Y cuando X0. De manera que dos rectas paralelas tendrán la misma ecuación explícita sólo diferenciada en la n. y x + 7 Son paralelas: y x + y x + 1 Como se ve, también tienen la misma pendiente (en el caso anterior ), dado que depende del vector director. Un sistema de ecuaciones de dos rectas paralelas no tendrá solución. Si las rectas son coincidentes, tendrán infinitas soluciones o, lo que es lo mismo, serán la misma ecuación (una vez reducida una de ellas. P.ej: x+y-10 y 4x+6y-0) PERPENDICULARES Tal como hemos visto, una recta es perpendicular a otra si el vector director de la primera es (v 1,v ) y el de la segunda (-v,v 1 ) o (v,-v 1 ). La pendiente mv /v 1 también cambiará a mv 1 /-v o a m-v 1 /v Por ejemplo (x,y) (1,-1) + t(4,) es perpendicular a (x,y) (1,-1) + t(-,4) y se cortan en el punto (1,-1), que pertenece a las dos. También podemos averiguar la pendiente de una sabiendo la de la otra. Si la pendiente es m v /v 1 En la primera (x,y) (1,-1) + t(4,) m /4 En su perpendicular (x,y) (1,-1) + t(-,4) m 4/- Si el sistema de ecuaciones tiene una única solución, las rectas son secantes. Si su pendiente (m) o las coordenadas del vector director están invertidas y una cambia de signo, las rectas secantes son, además, perpendiculares. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4

5 Se calcula mediante una fórmula basada en el teorema de Pitágoras. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto. Se define la distancia entre el punto P y la recta r como la distancia mínima entre P y un punto M de r. Realmente es la longitud de un vector perpendicular a la recta. Sería la distancia entre el punto dado P (origen del vector) y el punto en que el vector corta a la otra recta (M en la figura). Su ecuación es la siguiente: Donde p 1 y p son las coordenadas del punto dado y A, B y C son los valores de la ecuación general de la recta. La expresión del numerador va entre barras indicando valor absoluto, dado que una distancia no puede ser negativa. Ejemplo: Calcular la distancia del punto P(0,) a la recta r: x y + 4 Donde p 1 0, p, A, B -1, y C 4 EXEMPLES PER ALS PUNTS DEL LLISTAT DE LA UNIVERSITAT Obtenir l equació vectorial, les paramètriques, la contínua, la general o implícita i l explícita d una recta coneixent un punt pel que passa i el seu vector director. Exemple: la recta passa pel punt (1,-1) i el vector director és (4,) Eq. Vectorial (x,y) (1,-1) + t(4,) x 1+4t Eq. Paramètriques y -1+t Igualant les t x 1 y + 1 Eq. Contínua 4 x- 4y+4 Eq. General x- 4y Eq. Explícita 4 4 Trobar tres punts de la recta y x-1 1 5

6 Per a x0 y -1 (0,-1) Per a x1 y 1 (1,1) Per a x-1 y - (-1,-) Obtenir l equació vectorial, les paramètriques, la contínua, la general o implícita i l explícita d una recta coneixent dos punts pels que passa. Exemple: la recta passa pels punts (1, 1) i (-1,-) Els dos punts delimiten un vector, el qual també és un vector director de la recta. Així, calculem les coordenades del vector restant les coordenades del segon punt a les del primer. Punts (1, 1) i (-1,-) Coordenades: (-1-1, -,-1) (-, -4) Ara coneixem les coordenades d un punt i les del vector director, i podem operar com al primer exemple Eq. Vectorial (x,y) (1, 1) + t(-,-4) Eq. Paramètriques x 1-t y 1-4t Igualant les t Eq. Contínua x 1 y Eq. General -4x+4 -y+ -4x+y+0 Eq. Explícita 4 1 Obtenir l equació d una recta sabent un punt pel que passa i el seu pendent. El pendent és m v /v 1 Exemple: la recta passa pel punt (1,-1) i el seu pendent és m 1/ 1 Si y mx + n y x + n Ara cal calcular n: Si la recta passa pel punt (1,-1), substituint n n -/ 1 De manera que Si volem treure totes les equacions de la recta sabem que, si el pendent és m v /v 1, les coordenades del vector director són (v 1,v ). Així: Exemple: la recta passa pel punt (1,-1) i el seu pendent és m 1/ Vector director Serà: (,1) I l equació vectorial (x,y) (1, -1) + t(,1) I la resta com abans Obtenir el valor del pendent d una recta a partir de qualsevol de les seues equacions. El pendent és m v /v 1 i les coordenades del vector director són (v 1,v ). En l equació vectorial (x,y) (p 1,p ) + t (v 1,v ) En les equacions paramètriques x p 1 + v 1 t y p + v t En l equació contínua (x,y) (1,-1) + t (,4) les coordenades del vector director són (,4) (v 1,v ) i el pendent m v /v 1 4/ x 1 + t y t les coordenades del vector director són (,4) (v 1,v ) i el pendent m v /v 1 4/ x 1 y les coordenades del vector director són (,4) (v 1,v ) i el pendent m v /v 1 4/ 6

7 En l equació general Ax + By+ C 0 En l equació explícita y mx + n 4x y -7 0 les coordenades del vector director són (,4) (v 1,v ) i el pendent m v /v 1 4/ 4 7 el pendent és m 4/ Donada una recta obtenir rectes paral leles a la mateixa des d un punt exterior x+y7 pel punt (-1,0) Substituïm les coordenades del punt en l equació y x + n i trobem n Primer calculem l equació explícita, on tenim el terme n que ens dona el punt per on la recta talla l eix y. y x + Canviant 7/ per altre número tindriem una recta paral lela, però la nostra ha de passar pel punt (-1,0). 0 (-1) + n n -/ i la recta paral lela a la primera és 7 y x Donada una recta obtenir rectes perpendiculars a la mateixa des d un punt exterior Si ha de ser perpendicular, caldrà canviar el seu pendent (m). x+y7 pel punt (-1,0) Cal calcular la nova n 7 y x + 0 (-1) + n recta perpendicular n / i la recta perpendicular a la primera és 7 y x + y x + Relacionar la solució d un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites amb la seua incidència o paral lelisme x+y-70 Única solució x 7/11 y1/11 x-4y-0 Únic punt comú (7/11,1/11) Són secants, però no sabem si són perpendiculars. Per a saber-ho hem de comparar els seus pendents des de les equacions explícites: 7 y x + No són perpendiculars X+5y+10 x+10y0 6x+y-100 x+y-50 No tenen solució. Per tant són paral leles. Tenen infinites solucions, per ser coincidents. Calcular la distància entre dos punts del pla (o de la recta) Apliquem la fórmula Els dos punts són (0,1) i (,) D(A,B) Calcular la distància entre un punt i una recta Apliquem la fórmula r: x+4y-10 Punt: (1,-1) 7

8 Recordem que necessitem la recta en forma d equació general d(p,r) 1+ 4( 1) Recopilatori: Calcular la distància entre dos punts, u exterior i l altre d una recta, coneixent dos punts d esta (suposem que el punt exterior forma part d una recta perpendicular a la primera). Comprovar després que la distància és la mateixa que entre el punt i la recta. Els dos punts de la recta ens ajuden a trobar el seu vector director: (a -a 1,b -b 1 ) (-0,0-6) (,-6) L equació vectorial que defineix el punt P és: (x,y) (,0) + t (,-6) La recta que conté el punt (0,1) i el punt P és: (x,y) (0,1) + t (6,) Com es veu, hem canviat les coordenades del vector director per fer-lo perpendicular a l anterior. Ara tenim les dues equacions vectorials de les dues rectes perpendiculars. Calcularem les equacions generals de les dues per fer un sistema. Com les dues rectes són perpendiculars, x i y ens donaran les coordenades del punt comú on es tallen. Calculem les equacions generals de la primera... (x,y) (,0) + t (,-6) x x+t t y-6t y t - 6 x y -6x+18y 6x+y-180 x+y i de la segona (x,y) (0,1) + t (6,) x x6t t y1+t y - 1 t 6 x y - 1 x6y-6 x-6y+60 x+y+0 6 I plantegem el sistema x + y -6 0 x + y + 0 que té com a solucions x y. I el punt P on es tallen és el (,) Apliquem la fórmula per a calcular la distància entre els dos punts Ara comprovem que és la mateixa que la distància del punt a la recta. Els dos punts són (0,1) i (,) D(A,B) L equació general de la primera recta és x + y -6 0 i el punt és (0,1) Apliquem la fórmula d(p,r)

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