EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS

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María del Carmen Castillo Macías
hace 7 años
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1 EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas : x = 0 4x 3y 6 0 y Luego el punto de corte es P(0,) x 0 la recta s perpendicular a r tiene por pendiente 3 hallamos la ecuación de la recta s de la 4 que conocemos su pendiente y el punto P : y = 4 3 x 3x 4y + 8 = 0.- Escribir las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto A(-3,1) y su vector de dirección es v = (,0) x 1 t b) Pasa por el punto P(5,-) y es paralela a : t y t c) Pasa por A(1,3) y es perpendicular a la recta r: x 3y + 6 = 0 d) Es perpendicular al segmento PQ siendo P(0,4) y Q(-6,0) en su punto medio : a) x 3 t t y 1 x 5 t b) al ser paralela, su vector de dirección será (-1,) la recta pedida es : y t c) el vector director de r es (3, ), el de la perpendicular será (. -3) su ecuación es x 1 t t y 3 3t t d) Punto medio de PQ (-3, ), vector director : el perpendicular a PQ = ( -6, -4), el perpendicular (4, -6), la ecuación pedida es: x 3 4t t y 6t Página 1

2 3.- El punto P(5,-) es el punto medio del segmento AB, siendo A(, 3). Hallar B. P(5, -) = x y 3, x 5 y 3 x = 8 ; y = -7 B(8, -7) 4.- Hallar el punto simétrico de P(1, -) respecto del punto H(3,0) Si P (x,y) es el simétrico de P (1, -) respecto de H(3, 0) ; H es el punto medio de PP x 1 y, (3,0) x 1 6 y 0 P (5,) 5.- Hallar las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1,), B(5, -1) y C(6, 3). Debe de cumplirse : AB = DC ; (5-1, -1-) = (6-x, 3-y) x = ; y = 6 D(,6) 6.- Dar las coordenadas del punto P que divide al segmento de extremos A(3, 4) y B(0, -) en dos partes tales que BP = PA P(x,y) BP = PA (x-0, y+) = (3-x, 4-y) x = ; y = P(, ) 7.- Determinar k para que los puntos A(-3, 5), B(, 1) y C( 6, k) estén alineados. Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales AB = ( 5, -4) ; BC =(4, k-1) k = k 1 Página

3 8.- Hallar la distancia del punto P(, -3) a las rectas: x t a) y t 9 b) y = 4 t c) x + 5 = 0 a) Hallamos la ecuación implícita de la recta. x + y = 0 ; 1 ( 3) 4 d(p, r) = 1 5 b) d(p, r) = c) d(p, r) = Hallar la longitud del segmento que determina la recta x y + 5 = 0 al cortar a los ejes coordenados. Hallamos los puntos de corte de la recta con los ejes x y 5 0 x 0 5 A(0, ) es el punto de corte con el eje OY x y 5 0 B(5.0) es el punto de corte con el eje OX ; y 0 d(a, B) = 15 5 = Hallar la distancia entre las rectas r: x y + 8 = 0 y r : -x + 4y -7 = 0 Al ser proporcionales los coeficientes de x e y son paralelas, la distancia entre las dos rectas es la distancia de un punto cualquiera P de r a r, si x = 0 ; y = 4 ; P(0,4) r d(r, r ) = d(p, r ) = = Página 3

4 11.- Determinar c para que la distancia de la recta x 3y + c = 0 al punto (6, ) sea 10 c 6 6 c d(p,r) = 10 hay dos soluciones: c 10 Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: 10 c 10 c Hallar el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: y x 5 a) y 3x 1 b) c) 3x 5y x 6y 3 0 x 3 t x 1 3s t y t y 4 s x y 0 d) y 3 0 s a) m r = ; m s = -3 tg = 45º b) vector director de r = (5,3) vector director de s (-6, 10) cos = v u = 0 90º c) vector director de r v= (-1,) vector director de s w =(-3,1) cos = 45º d) = 63º 6 5,8 Página 4

5 13.- Qué ángulo forma la recta r: 3x y + 6 = 0 con el eje de abscisas? La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto la 3 pendiente de r es = tg ;º 18 35, Hallar n para que la recta 3x + ny = 0 forme un ángulo de 60º con el eje OX tg 60 = 3 3 n = n Hallar n y m para que las rectas r: mx y + 5 = 0 s: nx + 6y 8 = 0 sean perpendiculares y que la recta r pasa por el punto P(1,4) P(1,4) r m = 0 m = 3 r s (m,-) (n,6) = 0 n = Dada la recta r: x 1 3t y kt t hallar k de modo que r sea paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. Ecuación de la bisectriz del º cuadrante: y = -x x t y t t su vector de dirección es v(1,-1). El vector de dirección de r es w(3,k) para que sean paralelas, sus vectores de dirección han de ser proporcionales: 1 1 k = -3 3 k Página 5

6 17.- En el triángulo de vértices A(-, 3), B(5, 1), C(3, -4) hallar las ecuaciones de: a) La altura que parte de B. b) La mediana que parte de B c) La mediatriz del lado CA. a) La altura que parte de B, es una recta perpendicular al lado AC, que pasa por B, su vector de dirección: v(7,5) su ecuación en continua: x 5 y 1 5x -7y 18 = b) La mediana pasa por B y por el punto medio de AC que es M (, ) su vector de x 5 t dirección es MB =, su ecuación: 6x 18y 1 = 0 3 y 1 t 1 1 c) La mediatriz de CA es perpendicular a CA en su punto medio M (, ) CA=(7,5) 1 x 7t 5x 7y 6 = 0 1 y 5t 18.- La recta r: x + 3y 6 = 0 determina al cortar a los ejes de coordenadas, un segmento AB. Hallar la ecuación de la mediatriz de AB. x 3y 6 0 A = r OY A(0, ) x 0 B = r OX x 3y 6 0 B(3,0) y 0 AB = (3, -), vector director de la mediatriz v = (,3) 3 M es el punto medio de AB, M(,1) La pendiente de la mediatriz es 3. la ecuación punto pendiente: y 1 = 3 (x- 3 ) 6x 4y 5 = 0 Página 6

19.- Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Comprobarlo con el cuadrilátero de vértices A(3, 8) ; B(5, ) ; C(1, 0) ; D(-1, 6) Punto medio de AB: P (4,5).

7 19.- Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Comprobarlo con el cuadrilátero de vértices A(3, 8) ; B(5, ) ; C(1, 0) ; D(-1, 6) Punto medio de AB: P (4,5). Punto medio de BC: Q(3,1). Punto medio de CD: R(0,3). Punto medio de DA: S(1, 7) PQ= (-1, -4) = SR y SP = (3, -) = RQ 0.- Hallar el pie de la perpendicular (proyección ortogonal) trazada desde P(1, -) a la recta x y 4 0. Escribe la perpendicular a r desde P y halla el punto de corte con r Ecuación de s perpendicular a r desde P s: x + y = 0 P = s r P ( 4 8, Las ecuaciones de los lados del triángulo ABC son Hallar: r AB : x + y 4 = 0, r AC : x y =0, r BC : x + y = 0. a) Los vértices del triángulo. b) El vector que une los puntos medios de AB y AC. Comprueba que es paralelo a BC. Página 7

8 x y 4 0 a) A: A(, 1) x y 0 x B: y 4 0 B(-4,4) x y 0 x y 0 C: C(0,0) x y 0 b) El punto medio de AB: M( -1, 5 ), el punto medio de AC: P(1, 1 ) MP = (, -) paralelo a BC = (4, -4).- Calcular el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: r: x = 3 s: x + 3y 6 = 0 t: x y 7 = 0 A = r s A(3,0) B = r t B (3, -4) C = s tc( 7 8, ) Si consideramos como base el segmento AB = 4, la altura desde C = d(c, r) = 5 46 Área = 5 Página 8

9 3.- En el triángulo de vértices A(-1, -1), B(, 4), C(4, 1), hallar las longitudes de la mediana y de la altura que parten de B M punto medio de AC, M( 3, 0) vector BM = 1, 4, longitud mediana = BM = 65 Altura es la distancia de B a la recta AC, ecuación de la recta AC; r: x 5y 3 = 0 d(b, r) = = Hallar el punto de la recta 3x 4y + 8 = 0que equidistan de A(-6,0) y B(0, -6) P verifica las condiciones 1ª d(p,a) = d(p, B) x = y ª P r 3x 4y + 8 = 0, P( 8, 8) y x y 6 x Determinar un punto de la recta r: y = x que diste 3 unidades de la recta r : 3x y + 8 = 0 P(x,y) r y = x ; P(x, x) ; dist(p, r ) = 3 = x x y y x x 8 10 dos posibilidades: Página 9

10 6.- Los puntos P(-,4) y Q(6,0) son vértices consecutivos de un paralelogramo que tiene el centro en el origen de coordenadas. Hallar: a) Los otros dos vértices b) Los ángulos del paralelogramo a) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro (0,0) luego R(, -4) y S(-6, 0) b) PQ = SR = (8. -4) ; PS = QR = (-4, -4) PS PQ cos P = PS PQ P = 108º6 5,8 = R De forma similar obtenemos: S = 71º33 54 = Q 7.- Hallar un punto del eje de abscisas que equidiste de las rectas: r: 4x + 3y + 6 = 0 s: 3x + 4y 9 = 0 4x x P(x,0) debe verificar: d(pr) = d(p, s) 5 5 solucionesasociados a los dos valores del valorabsoluto P 1 (-15,0) se obtienen dos P ( 7 3,0) Página 10

11 8.- Los puntos A(1,-) y B(,3) son vértices de un triángulo de área 8. El vértice C está sobre la recta x + y = 0. Hallarlo Área = AB b 8 = 6 b b = 16 6 y b = d( C, r AB) Recta r AB : 5x y 7 = 0 ; b = 16 5x y 7 = 6 6 5x y x y 7 16 hay dos soluciones: C 1 : 5x y 7 16 C 1 ( 5 36, ) x y x y 7 16 C : C (-1,4) x y Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r y s r: 4x 3y + 8 =0 s: 1x + 5y 7 = 0 d(p, r) = d(p,s) 4x 3y 8 1x 5y x 3y 8 1x 5y x 3y 8 1x 5y x 64 y x 14 y 69 0 Luego hay dos soluciones, bisectrices de los ánguloscóncavo y convexoqueformanlasrectas r y s. Ambasbisectrices se cortan en el punto de corte de lasrectas r y s, y son perpendiculares. Página 11

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