RECTAS EN EL PLANO. r datos, podemos dar la ecuación de dicha recta de varias P o Ecuación vectorial

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1 RECTAS EN EL PLANO Ecuación de la ecta La ecuación de una ecta puede dase de difeentes fomas, que veemos a continuación. Conocidos un punto P(p 1, p ) y un vecto de diección d = (d 1, d ) (o sea, un vecto que lleva la misma diección que la ecta), es posible detemina una ecta (ve gáfico). Con estos datos, podemos da la ecuación de dicha ecta de vaias fomas: P o Ecuación vectoial d (x, y) = (p 1, p ) + t (d 1, d ) o Ecuaciones paaméticas x p1 td1 Es la ec. vectoial escita componente a componente. y p td o Ecuación continua x p1 y p d1 d Si se conocen dos puntos de la ecta, A = (a 1, a ) y B = (b 1, b ) d OB OA = (b 1, b ) (a 1, a ) = (b 1 a 1, b a ) es un vecto de diección de la misma, y se pueden constui las ecuaciones vectoial, paaméticas y continua. Vamos a supone siempe que hablamos de ectas no veticales ni hoizontales, de las que tataemos al final. Estas ectas pesentan peculiaidades poque sus vectoes de diección tienen nula una de sus componentes. Po tanto, no se puede escibi la ecuación continua. En una ecta, un vecto de diección puede sustituise po oto popocional (puede, pues, simplificase, dividiendo ente un mismo númeo ambas coodenadas). Eso no puede hacese con un punto. Sí que puede sustituise, en las ecuaciones anteioes, un punto po oto de la ecta, obtenido a pati de las popias ecuaciones. Po todo ello, hay infinitas ecuaciones de los tipos anteioes paa una misma ecta. s 1) Constui las ecuaciones vectoial, paaméticas y continua de una ecta que pasa po los puntos A( 1, 5) y B(, 1) Tomamos como vecto de diección: A d OB OA = (, 1) ( 1, 5) = (3, 6) d = OB OA Y, más aún. Todo vecto popocional al anteio lleva la misma diección, po lo que también seá vecto de diección de la misma ecta. Así que, en luga del O B anteio, vamos a toma como vecto de diección ése multiplicado po 1/3: d ' = (1, ). Necesitamos un punto de la ecta, y tenemos dos. Tomamos cualquiea de ellos, po ejemplo B. Ecuación vectoial: (x, y) = (, 1) + t(1, ) IES Fenando de Heea Pof. R. Mohigefe Página 1 de 8

2 Si desaollamos, nos queda: (x, y) = (, 1) + (t, t) = ( + t, 1 t). Igualando pimeas componentes de las coodenadas, y segundas componentes, tendemos las x t ecuaciones paaméticas: y 1 t x y 1 Ecuación continua: 1 Ninguna de estas ecuaciones son cómodas paa tabaja, si bien las paaméticas son útiles paa esolve deteminados poblemas (la vectoial y las paaméticas son lo mismo: éstas últimas son la vectoial componente a componente, como hemos visto en este poblema). Y la continua es muy útil paa calcula la ecuación geneal o la explícita (que se ven más adelante) conocidos dos puntos de la ecta, o un punto y un vecto de diección. ) En la ecta anteio, calcula las coodenadas de algunos puntos de la ecta, usando las ecuaciones que de ella conocemos. En la vectoial o paaméticas, basta da valoes a t. Po ejemplo, en la vectoial, paa t = : (x, y) = (, 1) + (1, ) = (, 1) + (, 4) = (0, 3) En las paaméticas es igual; po ejemplo, paa t = 3: x 3 5 (5, 7) es un punto de la ecta. y La continua es incómoda mientas no se simplifique. Al hacelo, obtenemos la que llamaemos más adelante ecuación explícita: x y 1 (x ) = y + 1 x = y y = x Y en ésta, tomamos, po ejemplo x = y = = 7 (, 7) es oto punto de la ecta. 3) Petenece el punto (, 3) a la ecta? En paaméticas (en vectoial es lo mismo), seá un punto de la ecta si hay algún valo de t que lo popocione: x t t t t 0 y 1 t 3 1 t 31 t 4 t t Lo que quiee deci que no está en la ecta, poque ningún valo de t popociona sus coodenadas a la vez (si tomamos t = 0, obtenemos la pimea coodenada, peo no la segunda; y al evés con t = ). En la ecuación que hemos llamado explícita es más mucho fácil: basta sustitui la x po y ve si obtenemos y = 3. Como no es así (se obtiene y = 1), el punto no está en la ecta. O, de ota foma, al sustitui x = con y = 3 la ecuación (explícita) debeía se cieta, y no lo es: o Ecuación geneal Ax + By + C = 0 Donde: (A, B) es un vecto nomal de la ecta (pependicula a su diección). ( B, A) es un vecto de diección. La ecuación geneal, también llamada implícita, se puede obtene simplificando la ecuación continua. Po ota pate, como de la ecuación geneal se puede obte- IES Fenando de Heea Pof. R. Mohigefe Página de 8

3 ne un vecto de diección, como se ha indicado antes, y dando un valo abitaio a x se obtienen las coodenadas de un punto de la ecta, despejando el y coespondiente, es posible constui la ecuación continua (o las paaméticas o la vectoial) a pati de la geneal. o Ecuación explícita y = mx + n m = pendiente: diectamente elacionada con la diección de la ecta, de manea que: a) Dos ectas son paalelas si, y sólo si, tienen la misma pendiente b) Si la pendiente es positiva, la ecta es ceciente, más cuanto mayo es m. Si la pendiente es negativa, es dececiente, más cuanto más negativa. Si la pendiente es nula, la ecta es hoizontal. n = odenada en el oigen. Cuando x = 0, siempe se obtiene y = n. (1, m) es un vecto de diección de la ecta. o Ecuación punto-pendiente y y 0 = m(x x 0 ) Pemite calcula la ecuación conocida la pendiente m y un punto (x 0, y 0 ). Po ejemplo, cuando se quiee calcula una paalela a una ecta dada y que pase po cieto punto. Simplificando, se obtiene la geneal o la explícita. o Ecuación nomal A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 Nos da la ecuación de la ecta cuando conocemos un vecto nomal (A, B) y un punto (x 0, y 0 ) de la ecta. s 4) Escibi las ecuaciones de la ecta que pasa po A( 1, 5) y B(, 1) de todas las fomas conocidas. Es la misma ecta anteio. Ya tenemos la vectoial, paaméticas, continua y explícita, de los ejecicios anteioes. Veamos las que nos faltan. Tomamos la explícita: y = x + 3. Vemos que su pendiente es, y su odenada en el oigen, 3. Poniéndola toda en el pime miembo, obtenemos la geneal: x + y + 3 = 0 Tomando un punto, po ejemplo B, y la pendiente, que es, escibimos la puntopendiente: y + 1 = (x ) Y de la ecuación geneal obtenemos un vecto nomal: (, 1). Po tanto, la ecuación nomal es: (x ) + 1(y + 1) = 0 5) Escibi todas las ecuaciones de la ecta 3x + y + 1 = 0. Deci, además, un vecto de diección, uno nomal, la pendiente y la odenada en el oigen. La ecuación nos viene dada en foma geneal. De ella obtenemos un vecto de diección: d =( B, A) = (, 3) y un vecto nomal: n = ( A, B) = (3, ) IES Fenando de Heea Pof. R. Mohigefe Página 3 de 8

4 Despejando y, obtendemos la ecuación en foma explícita: y = 3x 1 3x y y x, de donde concluimos que la pendiente es 3 1 m y la odenada en el oigen, n De la explícita tenemos la pendiente, ya dicha, y podemos consegui un punto. Paa esto, tomamos, po ejemplo, x = 1 y = 4 / =. Así que (1, ) es un 3 punto de la ecta. Po tanto, la foma punto-pendiente es: y ( x 1) De la ecuación geneal obtuvimos un vecto nomal: n = (3, ). De la explícita, un punto: (1, ). Con ellos constuimos la ecuación nomal: 3(x 1) + (y + ) = 0 Con el punto (1, ) y el vecto de diección d = (, 3), constuimos el esto de ecuaciones: o Continua: x 1 y 3 o Vectoial: (x, y) = (1, ) + t(, 3) x 1 t o Paaméticas: y 3t 6) Halla la paalela a la ecta 3x + y + 1 = 0 que pase po el punto (1, ). Como muchos poblemas de esta teoía, hay vaias fomas de esolvelo. Vamos a ve dos. Si volvemos a la ecuación en foma explícita, que calculamos antes, tendemos que 3 la pendiente es m. Entonces, la ecta paalela que buscamos, po se paalela, tendá la misma pendiente. Como la conocemos y, además, tenemos un punto de la ecta que buscamos, usando la foma punto-pendiente, es: 3 y ( x 1) y 4 = 3(x 1) y 4 = 3x + 3 3x + y 4 3 = 0 3x + y 7 = 0 La segunda foma de solucionalo consiste en emplea el vecto nomal n = (3, ) y el punto conocido (1, ). De esta foma, la ecuación, en foma nomal, seá: 3(x 1) + (y ) = 0 3x 3 + y 4 = 0 3x + y 7 = 0 A tene en cuenta que: La ecta obtenida es paalela, po cuanto, como se ve en la ecuación, tiene el mismo vecto nomal (podía tene vectoes nomales espectivos popocionales) y pasa po (1, ), lo que se compueba sustituyendo x = 1, y =. Es bueno compoba que no nos hemos equivocado. Las soluciones finales las damos siempe en foma geneal, explícita o paaméticas. Paalela a una ecta dada Nos dan una ecta y un punto po el que debe pasa la paalela. Si de la ecta obtenemos el vecto nomal, con el punto dado podemos constui inmediatamente la ecuación en foma nomal. IES Fenando de Heea Pof. R. Mohigefe Página 4 de 8

5 Si de la ecta obtenemos el vecto de diección, con el punto dado podemos constui la ecuación continua. Si de la ecta obtenemos la pendiente, con el punto dado podemos constui la ecuación punto-pendiente. Ve el poblema 6 anteio. Pependicula a una ecta dada Nos dan una ecta y un punto P po el que debe pasa una pependicula s a la ecta dada. Pues bien, el vecto nomal al la ecta : n, es vecto de diección de la pependicula solicitada s. De modo que podemos usa la foma continua paa obtene la ecuación de s. P n O s 7) Halla la ecuación de la pependicula a la ecta 3x + y + 1 = 0 que pase po el punto (1, ). El vecto nomal de esta ecta (3, ), es vecto de diección de la ecta pedida. De ésta última conocemos, pues, el vecto de diección y un punto (1, ). Po tanto, su ecuación en foma continua es: x 1 y (x 1) = 3(y ) x = 3y 6 x 3y + 6 = 0 3 x 3y + 4 = 0 Obseva que pasa po (1, ), como se compueba al sustitui x = 1, y = en la ecuación obtenida y viendo que es cieta, y que su vecto nomal (, 3) es pependicula al nomal de la ecta inicial (3, ), po lo que ambas ectas son pependiculaes. Y estos vectoes se sabe que son pependiculaes ente si poque su poducto escala vale 0: (, 3) (3, ) = 3 3 = 6 6 = 0 Mediatiz de dos puntos La mediatiz de dos puntos dados A y B es, po definición, la pependicula en el punto medio M del segmento que los une. Po tanto, se calcula dicho punto medio y el vecto n = AB es un vecto nomal a la mediatiz. Usando la foma nomal se obtiene su ecuación. A O s M n = OB OA B 8) Halla la mediatiz del segmento delimitado po los puntos ( 1, 3) y (5, 1). El punto medio del segmento es: x y 1 M(, 1) Po oto lado, el vecto nomal de la mediatiz seá: n OB OA ( 5, 1) ( 1, 3) (6, 4) Aunque es más fácil toma un popocional: lo multiplicamos po ½: n ( 3, ) La mediatiz, en foma nomal, es: 3(x ) (y 1) = 0 3x y 6 + = 0 3x y 4 = 0 IES Fenando de Heea Pof. R. Mohigefe Página 5 de 8

6 Posiciones elativas de dos ectas Estudiamos el sistema fomado po sus espectivas ecuaciones geneales: Ax By C 0 A' x B' y C' 0 A B Si, las ectas se cotan en un punto. Paa hallalo, basta esolve el sistema. A' B' A B C Si, las ectas son paalelas. A' B' C' A B C Si, son la misma ecta. A' B' C' s 9) Halla la posición elativa de los siguientes paes de ectas: a) x y 8 = 0; s 6x + 3y + 4 = 0 Son la misma ecta, ya que la segunda se obtiene de la pimea multiplicando la ecuación po 3. O bien, po el citeio expesado antes: b) x y 8 = 0; s 6x + 3y + = 0 Son paalelas, ya que: c) x y 8 = 0; s x + y 4 = 0 Se cotan en un punto, puesto que sus espectivos vectoes nomales no son popocionales: 1 1 Si nos pidiean aveigua el punto donde se cotan, había que esolve el sistema fomado po las ecuaciones de ambas ectas. Así, po educción: x y 8 0 x y 8 x y 4 0 x y 4 Sumando : 4x 1 x 3 Sustituyendo en la segunda ecuación: 3 + y 4 = 0 y + = 0 y = Es deci, se cotan en (3, ). Distancia de un punto a una ecta Dada la ecta Ax + By + C = 0, y un punto que no petenezca a ella: P(x 0, y 0 ), la distancia ente ambos es: Ax0 By0 C d(p, ) = A B IES Fenando de Heea Pof. R. Mohigefe Página 6 de 8

7 10) Halla la distancia ente el punto P(3, 3) y la ecta x 3y 8 = d ( P, ) ( 3) Distancia ente dos puntos Si P(a, b) y Q(a', b'), la distancia ente ambos es: d(p, Q) = ( a a' ) ( b b 11) Halla la distancia ente los puntos P(3, 1) y Q(, 5) d ( P, Q) (3 ) (1 5) ') Distancia ente dos ectas paalelas Si escibimos las ecuaciones en foma geneal peo con los mismos coeficientes paa x y paa y (siempe es posible, poque son paalelas y, po tanto, tienen vectoes de diección popocionales y, también, vectoes nomales popocionales, y los coeficientes citados son las coodenadas de sus espectivos vectoes nomales), entonces: Ax + By + C = 0 ' Ax + By + C ' = 0 d(, ') = C C' A B También puede obtenese escogiendo un punto de una de las ectas y hallando la distancia a la ota ecta, pevia compobación de que son paalelas. Áea de un tiángulo Si nos dan las coodenadas de 3 puntos y nos piden calcula el áea del tiángulo que foman, pocedemos así: 1) Tomamos dos de ellos como base del tiángulo. Calculamos la distancia ente ambos y ya tenemos cuánto mide la base. ) Calculamos la ecuación de la ecta que pasa po los dos puntos que foman la base. 3) Calculamos la distancia ente el tece punto y la ecta anteio. Dicha distancia seá la altua del tiángulo. 4) S = b h / 1) Halla el áea del tiángulo delimitado po A( 3, ), B(1, 4) y C(5, 4). La distancia ente B y C es: d ( B, C) (5 1) ( 4 4) IES Fenando de Heea Pof. R. Mohigefe Página 7 de Hallamos la ecta que pasa po B y C. Teniendo en cuenta que un vecto de diección lo obtenemos estando sus coodenadas, la foma continua seá: x 1 4 y 8x + 8 = 4y 16 8x + 4y 4 =

8 Simplificando ente 4: x + y 6 = 0. La distancia de A a esta ecta es: ( 3) 6 10 d ( A, ) 1 5 Luego el áea del tiángulo es: S b h 0 Estaemos tabajando en un sistema de efeencia. Po tanto, la unidad de longitud seá la distancia ente el oigen y el x = 1. Se mediá en metos, cm o lo que sea. Nomalmente usamos u efiiéndonos a tal unidad de longitud, sea la que sea. De modo que, po ejemplo, d ( B, C) 4 5 u S = 0 u Simético de un punto especto de una ecta Dada la ecta y un punto P que no esté en la ecta, su simético P ' puede obtenese así: P 1) Calculamos la pependicula s que pase po P (antes M vimos cómo hacelo). ) Calculamos el punto M intesección de y s (esolvemos el sistema fomado po ambas ecuaciones). O 3) M es el punto medio del segmento PP '. O, de ota P' s foma, P ' es el simético de P especto de M. (Ve el documento Geometía Analítica. Espacios vectoial y euclídeo, donde se infomaba de cómo obtene dicho punto). Rectas hoizontales y veticales Las hoizontales, como ya se ha dicho al habla de la foma explícita, tienen pendiente m = 0. Po tanto, sus ecuaciones son de la foma y = n (n = númeo fijo). Las veticales son ectas especiales, con ecuación x = k (k = númeo fijo). 13) Halla la ecta hoizontal, y la vetical, que pasan po el punto A( 3, ). Hoizontal: y = (paa que el punto ( 3, ) veifique la ecuación). Vetical: x = 3 (po la misma azón) IES Fenando de Heea Pof. R. Mohigefe Página 8 de 8