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1 ASIGNATURA: FÍSICA I TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: METROLOGÍA Fecha de realización:... Fecha de entrega:... Comisión:... Apellidos Nombres:... y Objetivo del trabajo: Conocimiento y uso de los instrumentos de medición de longitudes (regla, calibre y Palmer), y aplicación de la teoría de errores a las mediciones indirectas. 2. Materiales necesarios: Regla milimetrada, calibre, Palmer y piezas metálicas 3. Fundamentos Teóricos: El método científico experimental consiste en una serie de procedimientos que en definitiva, conducen al enunciado de una ley. Uno de los pasos fundamentales de ese proceso es la experimentación, que nos lleva a la aceptación o rechazo de una hipótesis propuesta. Interesa que las leyes enunciadas sean de carácter cuantitativo, es decir que se puedan expresar con fórmulas que vinculen las magnitudes que intervienen en el fenómeno. Para ello, durante la base experimental, es necesario medir. Qué significa medir una magnitud?. Significa compararla con otra de su misma especie que se toma como unidad, por ejemplo si decimos que la longitud de un alambre es de 10 metros queremos expresar que la unidad de medida (el metro), está contenida 10 veces en el alambre. En el proceso de una medición intervienen 4 sistemas que interactúan entre sí: a) El objeto a medir. b) El instrumento de medición. c) El sistema de referencia o unidad de medida adoptado. d) El operador. Una medición es una muestra del conjunto formado por todas las observaciones posibles y está por lo tanto sujeta a fluctuaciones que se operan en estos cuatro agentes. 1

2 Para efectuar una medición se dan una serie de instrucciones, de cuyo cumplimiento es responsable el operador y cuyo resultado final es un número acompañado de una unidad, que constituye la medida de la magnitud. : En síntesis: Operador Número y Proceso de 4 Objeto Unidad Medición sistemas Instrumento de la Unidad Magnitud Por ejemplo: Tomemos el caso de la determinación de la longitud de una varilla: 1) El sistema objeto es la varilla, cuya longitud deseamos determinar. 2) El instrumento es el aparato de medición que utilizamos, por ejemplo una regla milimetrada. 3) El sistema de referencia es aquel con el cual se compara la magnitud a medir, es decir, las unidades utilizadas. 4) El operador es el encargado de ejecutar las instrucciones que hacen que interaccionen los sistemas dos, tres y cuatro. El proceso de medición seguido da como resultado la definición de la magnitud medida. Esta forma de medir una magnitud se llama definición operacional, es decir se define la magnitud mediante la realización de una serie de operaciones preestablecidas que se realizan con el fin de medirla. Una misma magnitud puede ser definida operacionalmente mediante distintos procesos de medición, por ejemplo, si medimos la masa de un cuerpo podemos utilizar entre otros métodos a) Una balanza de platos b) Aplicándole una fuerza conocida, medimos su aceleración m = F / a c) Aplicando una fuerza conocida a un cuerpo de masa conocida, medimos la aceleración de los dos cuerpos, comparándolas tendremos el valor buscado. Estas definiciones operacionales de la misma magnitud se realizan aplicando distintas Leyes de la Física, no obstante los resultados obtenidos en forma experimental son prácticamente iguales (se cometen distintos errores en las mediciones). Siguiendo distintos métodos de medición podemos medir una misma magnitud, lo que da una idea de la coherencia de la Física. El valor de la magnitud medida, es decir el número que expresa su medida, depende de la Unidad de Medida adoptada para la medición. Los procesos de medición varían de acuerdo al grado de desarrollo de los métodos de la Física, del avance de las teorías y de la mayor perfección de los instrumentos utilizados. 3.1 Medidas Directas e Indirectas Se clasifican así, según el método empleado en obtenerlas. Medición Directa: Es cuando se realiza con un solo instrumento aplicado al objeto cuya magnitud se desea medir. Por ejemplo cuando medimos: o La longitud de un cilindro con una regla. o La masa de un cuerpo con una balanza de platos 2

3 o La corriente eléctrica con un amperímetro. o La tensión eléctrica con un voltímetro. o El peso de un cuerpo con un dinamómetro (resorte graduado) Medición Indirecta: Es la que se obtiene de la relación entre dos o más mediciones directas, mediante la aplicación de alguna Ley Física. Por ejemplo: o Medimos la masa relacionando la fuerza aplicada al cuerpo, y la aceleración que le ocasiona ésta: m = F / a o También m = volumen * densidad = V * δ o La velocidad de un móvil midiendo la distancia recorrida y el tiempo empleado: v = x / t o El área de un rectángulo A = b * c o El volumen de un prisma V = b * c * d Medición Directa Relación Medición Indirecta x t x : desplazamiento [m] t : tiempo [ s ] v = x / t velocidad [m / s] b h b : base [m] h : altura [m] S = b * h superficie [m 2 ] a c b a : lado [m] b : lado [m] c : lado [m] P = a + b + c perímetro [m] 3.2 Errores en las mediciones Cuando efectuamos una medición, tratamos que el resultado de la misma se acerque lo más posible al valor verdadero de la magnitud, pero una serie de inconvenientes se nos presentan para que ello ocurra. Si queremos medir la longitud de un cilindro con un calibre partimos del hecho que éste no es perfecto, además el operador puede apretar más o menos las mordazas del mismo, con lo que cambia su lectura, o bien no colocarlo exactamente paralelo al cilindro, no tener en cuenta la variación de temperatura y el calibre se dilata a medida que se calienta por estar en contacto con la mano, etc. Además si amplificamos nuestra visión lo suficiente a la superficie del cilindro, lo que antes parecía una superficie perfectamente pulida, ahora aparece como rugosa, y por último si seguimos amplificando nos encontraremos que las vibraciones de los átomos producen continuas fluctuaciones en la pieza e instrumento con que medimos. Qué hacer?. Luego de un procedimiento determinado obtendremos la longitud y su franja de incerteza. Aseguraremos que la pieza medida no es más larga que un determinado valor ni más chica que otro. Hemos acotado la longitud del cilindro. 3

4 Es por ello que no podemos hablar del valor exacto de una magnitud. Nos referiremos al mejor valor o valor más probable, al que también llamaremos verdadero valor de la magnitud. Sólo cuando contamos elementos (por ejemplo bolitas de acero) obtenemos un valor exacto de la magnitud medida Errores Sistemáticos: Son errores que se cometen en un solo sentido "o por exceso o por defecto. Son característicos del dispositivo experimental y pueden provenir de diversos factores, a saber: a) Una imperfección o falla del mecanismo del instrumento de medida utilizado, por ejemplo una construcción defectuosa de su escala de medida como puede ser una mala calibración del instrumento: el mal funcionamiento del mecanismo de un cronómetro que adelanta o atrasa, desgaste del aparato por su uso, como en el caso de la regla graduada gastada en sus extremos o una cinta métrica estirada, es decir, con su longitud modificada, desigualdad en los brazos de una balanza, deformación permanente de un resorte, etc. b) Error por el método empleado, por ejemplo al querer determinar la altura de una columna de agua contenida en una probeta, introduciendo en el líquido una regla graduada para efectuar la medición, utilizar una probeta graduada a 15 [ºC] para medir el volumen a otra temperatura. c) Errores personales cuando el observador tiene reacción tardía en apretar un cronómetro, cuando debido a una posición incorrecta frente a un instrumento de aguja lee de más o de menos (error de paralaje), cuando aprieta excesivamente un calibre durante la medición, etc. Los errores sistemáticos se pueden corregir sólo si se conoce su valor, de lo contrario afectan siempre a la medición en más, o en menos. En algunos casos se pueden balancear o compensar Errores Accidentales: Son debido a causas fortuitas y variables y no pueden preverse. Están fuera de control del observador y su característica es que se producen desordenadamente, es decir por exceso y por defecto, en consecuencia no puede establecerse a priori si el error será en exceso o en defecto. Algunos de ellos son: o Fatiga de la vista haciendo que el operador se equivoque en la lectura. o Error de paralaje cuando cambia permanentemente la posición del observador. o Variación de las condiciones de temperatura, presión, humedad, tensión, etc. durante la experiencia o Vibraciones. Los errores accidentales obedecen a leyes de carácter estadísticos y es a ellas a quienes se aplica la Teoría de Errores. La Teoría de Errores está destinada a acotar o estimar el límite de incerteza de una magnitud medida, pero sólo debido a los errores accidentales. Los errores sistemáticos no están comprendidos en esta teoría. Hipótesis de Gauss: 4

5 1. El error accidental del resultado de una medición, disminuye con el número de veces que se mide 2. El valor más probable de la medición, es aquel que hace mínima la dispersión de la serie de mediciones. 3. El valor más probable es la media aritmética. 4. Errores de igual valor absoluto y distinto signo, son igualmente probables (curva de Gauss). Esta teoría indica un procedimiento para obtener un valor y su franja de incerteza: a) Se repite n veces la medición. b) Se calcula la media aritmética o promedio de las n mediciones, y a este valor lo tomamos como Verdadero Valor. Σ x x V = i n c) Calculamos los errores absolutos de cada medición realizada. Llamamos Error Absoluto de cada medición a la diferencia entre la medición y el verdadero valor. i = x i - x V Si el Error Absoluto es mayor que cero decimos que es por exceso. Si es menor que cero decimos que es por defecto. Los Errores Absolutos califican cada medida, y representan el intervalo alrededor del valor x i dentro del cual esperamos que se encuentre el Verdadero Valor d) Verificamos que la Sumatoria de los Errores Absolutos sean iguales a cero: Σ i = 0 e) A partir de los errores absolutos calculamos la Franja de Incerteza del verdadero valor. v = n 2 ( Σ ) i ( n 1) x = x V ± v f) Calculamos el Error Relativo del verdadero valor como el cociente entre el Error Absoluto (en valor absoluto) y el Verdadero Valor. Multiplicando por 100 se tiene el Error Relativo Porcentual ε v % ε v = x V v V ε v % = * 100 x El Error Relativo califica al proceso de medición, y además permite comparar dos o más procesos de medición distintos y dos resultados de distinta magnitud. Representa el error cometido por cada unidad de la cantidad medida Propagación de Errores Estudia cómo se propaga al resultado de una fórmula, el error que tiene cada integrante de la fórmula. Suma y diferencia: El Error Absoluto de una suma o diferencia, es igual a la suma de los Errores Absolutos. Sea la suma s = x + y + z, tendremos que s = x + y + z v 5

6 donde x, y, z son los Errores Absolutos de x, y, z Igualmente para la diferencia d = x - y, se tiene d = x + y Producto y cociente: El Error Relativo del resultado es igual a la suma de los Errores Relativos. Sea el producto p = x * y * z, tendremos ε p = ε x + ε y + ε z p = p x * ε p donde ε x, ε y, ε z son los errores relativos De forma similar para el cociente c = x / y. se tiene ε c = ε x + ε y Potencia: El Error Relativo de una potencia es igual al error relativo de la base multiplicado por el exponente n (que se considera exacto) f = x n ε f = n * ε x f = f * ε f Raíz: El Error Relativo de una raíz es igual al Error Relativo del radicando dividido por el índice n (que se considera exacto). R = n x ε R = ε x / n R = R * ε R Problema: Se desea determinar la superficie de un rectángulo y su error o franja de incerteza. Los lados miden a = 100 ± 1 [mm] y b = 200 ± 1 [mm]. S = a * b S 1 = 99 [mm] * 199 [mm] = [mm 2 ] S 2 = 100 [mm] * 200 [mm] = [mm 2 ] S 3 = 101 [mm] * 201 [mm] = [mm 2 ] b a La superficie más probable sería la S 2. Aplicando la Teoría de propagación de los Errores tenemos: ε s = ε a + ε b ε a = 1 [mm] / 100 [mm] = 0,01 ε b = 1 [ mm ] / 200 [ mm ] = 0,005 ε s = ε a + ε b = 0, = 0,015 ε s = s / S s = ε s * S = 0,015 * [mm 2 ] = 300 [mm 2 ] Luego expresamos el valor de S con su franja de incerteza. S = 2000 ± 300 [ mm 2 ] Significa que aseguramos que la superficie está comprendida entre S 1 = [mm 2 ] y S 3 = [mm 2 ] Los errores se redondean siempre hacia arriba Regla: Es un instrumento muy simple que nos permite medir en forma directa los milímetros pero podemos estimar "a ojo" un quinto de su menor división. 6

7 La apreciación o aproximación de la regla vale un milímetro, que es el menor valor que el instrumento puede medir directamente. Hay reglas que tienen una aproximación de medio milímetro Calibre: Es en esencia una regla graduada perfeccionada para aumentar la seguridad y la precisión de las mediciones. En la figura se muestra uno de los tipos más simples de este instrumento. En la figura se muestra uno de los tipos más simples de este instrumento. Como puede verse, está formado por una regla graduada, uno de cuyos extremos forma una mordaza, sobre la regla va montada una abrazadera deslizante solidaria a una segunda mordaza. Un trazo grabado en la abrazadera indica por coincidencia con la correspondiente división de la escala, la distancia existente entre las superficies de contacto de las mordazas para cualquier posición de estas. La medición con el calibre se efectúa situando el objeto a medir entre las mordazas y llevando estas a coincidir con las superficies o puntos de la pieza entre las cuales se desea conocer la distancia. La división de la regla en coincidencia con el trazo de la abrazadera nos da directamente la lectura de la medida. Como puede apreciarse fácilmente, el calibre tiene las ventajas sobre la regla graduada de no exigir la apreciación visual de la coincidencia del cero y la más fácil lectura de la medida por hacerse esta por la coincidencia de dos trazos Nonio o Vernier: Es una reglilla o escala graduada grabada en la corredera. El origen o cero del vernier, es el trazo de lectura y coincide con el cero de la regla del calibre cuando las superficies de referencia de las patas están en contacto. 7

8 Las divisiones del nonio son de menor longitud que las divisiones de la regla y esto permite apreciar fracciones de estas últimas. Consideraremos un vernier para medir con una aproximación de una décima de milímetro. La reglilla del vernier tiene una longitud de 9 [mm] y esta dividida en 10 partes iguales como puede verse en la figura Cada una de las partes de la reglilla tendrá, una longitud de 9/10 = 0,9 [mm] y la diferencia entre una parte de la regla 1 [mm] y una de la reglilla 0,9 [mm] será de 0,1[mm], o sea una décima de milímetro. Si se desplaza la reglilla hasta que la división 1 de ésta coincida con una de la regla, la distancia entre el cero de la reglilla y la división inmediata anterior de la regla es de 0,1[mm] (una décima de milímetro). Si se desplaza la reglilla hasta que la división 2 de ésta sea la que coincida con una de la regla, la distancia entre el cero de la reglilla y la división inmediata anterior de la regla será de 0,2 [mm]. La distancia entre las mordazas al hacer una medición será igual a un número de milímetros indicado por la división de la regla inmediata anterior al cero de la reglilla, más un número de décimas igual al indicado por la división de la reglilla que coincida con una división de la regla. L = Lo + A * n o Lo : número de milímetros enteros indicados por el calibre A : apreciación o aproximación del calibre [0,1 mm]. n o : número de divisiones de la regla móvil que coincide con una división de la regla fija. La fórmula general que da la fracción medida por las divisiones del nonio es la siguiente: Aproximación = m n m m : número de divisiones de la reglilla del nonio n : número de divisiones abarcadas en la regla por la longitud total de la reglilla Así, un calibre cuya reglilla tenga 19 [mm] de longitud y esté dividida en 20 partes podrá medir fracciones de (20-19) / 20 = 1 / 20 = 0,05 [mm] Palmer, Tornillo micrométrico o Micrómetro: Es un instrumento que se utiliza para medir con precisión de centésimas de milímetro longitudes pequeñas. Su funcionamiento se basa en que si a un tornillo montado sobre una tuerca se lo hace girar, el desplazamiento del tornillo en el sentido de su longitud es proporcional al ángulo girado. 8

9 Si éste da una vuelta completa, su desplazamiento será igual al paso de la rosca. Si es elige un paso del tornillo igual a 0,5 [mm], y se dispone en la cabeza de éste una escala dividida en 50 partes, podremos medir 1/50 avas partes de una vuelta, es decir se podrán medir desplazamientos de 0,5 [mm] / 50 = El Palmer está formado por un cuerpo en forma de herradura, en uno de cuyos extremos se encuentra un asiento fijo (1) y en el otro extremo hay una regla fija graduada en medio milímetros (2) que sostiene la tuerca fija. El extremo del tornillo tiene forma de varilla cilíndrica y forma el tope móvil (3) mientras su cabeza está unida al tambor graduado hueco (4). Cuando los topes están en contacto, el tambor cubre completamente la escala y la división cero del tambor coincide con la línea de la escala. Al irse separando los topes se va descubriendo la escala y la distancia entre ellos es igual a la medida descubierta sobre la escala (milímetros y medio milímetros), más el número de centésimas indicado por la división de la escala del tambor que se encuentra en coincidencia con la línea de la escala fija. Precauciones: Dada la gran precisión de los micrómetros una presión excesiva sobre la pieza que se mide, puede falsear el resultado y además dañar el instrumento, el mando del tornillo se hace por medio del pequeño tambor moleteado (5) que consta de un embrague, lo que permite que todas las medidas se realicen con la misma presión 4 Técnica Operatoria: Como primera acción tome nota de las características de cada instrumento de medición a utilizar: marca, rango y aproximación. Instrumento Marca y modelo Rango Aproximación Regla Calibre Palmer 9

10 1) Proceda a medir un cilindro a fin de determinar su volumen. Para ello mida 10 veces el largo primero con una regla y luego con un calibre. Continúe con el diámetro, primero con una regla y luego con un palmer. Estará utilizando dos sistemas de medición. 2) Para cada parámetro y sistema calcule: el valor medio y tomándolo como verdadero valor determine los errores absolutos y verifique que su suma de cero. Calcule la franja de incerteza, exprese el resultado de cada medición. 3) Calcule los errores relativos y los errores relativos porcentuales cometidos para los distintos instrumentos y mediciones. Explique la diferencia de calidad en las mediciones. 4) Llamando D al valor medio del diámetro y L al valor medio de la longitud, calcule V para cada sistema sabiendo que el volumen de un cilindro esta dado por la expresión: 2 π D V = L 4 5) Con los datos obtenidos determine la propagación del error y exprese para cada sistema el resultado final del cálculo del volumen. 6) Analice la expresión obtenida para determinar el error del volumen y diga sobre que parámetro preferentemente trabajaría para mejorar la medición. Medic. LONGITUD Regla (sistema 1) Calibre (sistema 2) Nº L i L i L i L i Σ 10

11 Medic. DIÁMETRO Regla (sistema 1) Palmer (sistema 2) Nº D i L i L i L i Σ Simb. Fórmula de LONGITUD DIÁMETRO aplicación Regla Calibre Regla Palmer x V Σ x i / 10 v x ε x 2 i 90 x V ± v v / x V ε x % ε x * 100 Ejercicios de aplicación para trabajar con la computadora: 1) Con un calibre se realizaron dos series de mediciones distintas. Serie 1 L [mm] 01 26, , , , , , , , , ,9 Serie 2 L [mm] 01 26, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7 11

12 En la computadora y trabajando con Excel, calcular: a) el promedio b) el error absoluto y relativo de cada medición c) desviación estándar y error del promedio en cada serie. Indicar en base a los cálculos que serie de medidas fue hecha más cuidadosamente y como se puede aumentar la exactitud de un resultado. 2) En base al siguiente cuadro de frecuencias de mediciones con un tornillo micrométrico, construir el histograma y trazar la curva de Gauss agrupando las medidas en intervalos de 0,02 mm. Calcular el desvío estándar y el error del promedio. X [mm] x [mm] x [mm] x [mm] x [mm] x [mm] x [mm] x [mm] 17,80 17,90 18,00 18,10 18,20 18,30 18,40 18,50 17,81 17,91 18,01 18,11 18,21 18,31 18,41 18,51 17,82 17,92 18,02 18,12 18,22 18,32 18,42 18,52 17,83 17,93 18,03 18,13 18,23 18,33 18,41 18,53 17,84 17,94 18,04 18,14 18,24 18,34 18,42 18,54 17,85 17,95 18,05 18,15 18,25 18,35 18,43 18,55 17,86 17,96 18,06 18,16 18,26 18,36 18,44 18,56 17,87 17,97 18,07 18,17 18,27 18,37 18,45 18,57 17,88 17,98 18,08 18,18 18,28 18,38 18,46 18,58 17,89 17,99 18,09 18,19 18,29 18,39 18,47 18,59 12

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