CAMPO ELECTROSTÁTICO 2.3

Transcripción

1 CMPO LCTOSTÁTICO.3 n sta unidad, pima dl lctomagntismo, s haá una intoducción a la física d las cagas lécticas stacionaias, s dci, n poso spcto al obsvado, n la qu s studiaán los siguints aspctos: Caga léctica y sus popidads. Distibucions d caga. islants y conductos y caga po contacto y po inducción. Dscipción vctoial dl campo lctostático. l punto d patida lo constituy la ly d Coulomb d la intacción léctica paa pasa a un concpto más amplio: l campo léctico. S intoducián las línas d campo léctico paa intnta visualizalo. Finalmnt s obtndá la podosa, tanto dsd l punto d vista tóico como páctico, ly d Gauss dl campo léctico. Dscipción scala dl campo lctostático: mdiant la ngía potncial y l potncial lctostático y su lación con l tabajo léctico. S intoducián las quipotncials como una foma d visualización dl potncial lctostático. Conxión nt las dscipcions vctoial y scala dl campo lctostático. Un bv análisis dl moviminto d cagas puntuals n campos unifoms. lgunas analogías y difncias nt los campos gavitatoio y lctostático. 1. L CG LÉCTIC Las pimas obsvacions sob los fnómnos lécticos fuon alizadas po los antiguos gigos qu ya sabían qu l ámba fotado con lana adquiía la popidad d ata cupos ligos. S dic qu l ámba stá lctizado, o qu tin caga léctica, o qu stá cagado lécticamnt. Téminos qu divan dl vocablo gigo lkton, qu significa ámba. La caga léctica, psntada po q, s una cualidad d algunas patículas con popidads qu foman pat d las bass n las qu s asinta la física modna y qu s analizan a continuación: 1.1. xist n dos vaidads d caga léctica: positiva y ngativa lddo d 1750, l cintífico y stadista notamicano Bnjamín Fanklin (1706S1790) intodujo l convnio d qu l vidio cibía caga positiva (+) cuando s fotaba con un paño d sda, adquiindo ésta caga ngativa (S). Con l conociminto actual d la stuctua d la matia, sabmos qu son los lctons los potados d una d las dos vaidads d caga y los potons los d la ota vaidad; ambos con la misma caga po con signos opustos. n l átomo nuto, l númo d potons (n l núclo) s igual al númo d lctons (n la cotza), y pusto qu la matia stá fomada po átomos, sá lécticamnt nuta n cicunstancias nomals, con una caga léctica nta nula. Dicha matia pud adquii caga nta no nula dpndindo d si s l agga lctons o si s l quita lctons (a sta ganancia o pédida d lctons s dnomina ionización). Obsva qu nomalmnt ntan n jugo los lctons: s qui poca ngía paa agga o quita lctons d la cotza dl átomo, mintas qu accd al núclo paa agga o quita potons qui muchísima ngía. Cuando l vidio s fota con l paño d sda, s tansfin lctons dl vidio a la sda a tavés d las supficis n contacto, sultando la sda con más lctons qu potons y l vidio con mnos lctons qu potons. Paa s conscunts con l convnio d Fanklin d qu la caga nta dl vidio s positiva y la d la sda ngativa, dbmos asigna caga positiva al potón y caga ngativa al lctón, sindo po tanto l signo d las cagas un mo convnio abitaio. La caga léctica la psntamos con l símbolo q, qu ngloba un valo numéico, un signo y unas dtminadas unidads. s un scala con signo. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 1

2 1.. Las cagas lécticas intaccionan nt sí unqu los fnómnos lécticos s conocían dsd la antigüdad, fu n 1730 cuando l fancés Chals Du Fay dmostó qu los cupos cagados intaccionan nt sí. sta fuza a distancia nt cagas lécticas stacionaias s dnomina fuza léctica, F, qu pud s d atacción o d pulsión, dpndindo d los signos lativos d las cagas qu intaccionan: F atactiva: q i q j < 0 (dos cagas con signos opustos) F pulsiva: q i q j > 0 (dos cagas con l mismo signo) dmás d la fuza léctica nt cagas lécticas hay otas fuzas qu dpndn d su moviminto lativo y qu son l oign d los fnómnos magnéticos qu s tataán n unidads postios La caga léctica s consva La caga léctica nta n un sistma aislado pmanc constant, n l sntido d qu la caga nta total no pud s cada ni dstuida y ntndindo po sistma aislado aquél cuyos límits no pudn s atavsados po la matia. n l intio dl sistma pud xisti tansfncia d caga nt los cupos qu foman dicho sistma. s un pincipio d consvación qu s cumpl n todas las obsvacions alizadas y constituy una d las bass d las cuacions d los campos lécticos y magnéticos. dmás la caga nta d un sistma s un invaiant lativista (a difncia d la masa, longitud, ngía, tc), s dci, obsvados n distintos sistmas d fncia midn la misma cantidad d caga nta, así como tampoco influy l moviminto d los potados d caga, xistindo pubas xpimntals, tals como la nutalidad léctica n átomos y moléculas n los cuals los movimintos d sus potados d caga (lctons y potons) no influyn n dicha nutalidad La caga léctica stá cuantizada La cantidad más pquña d caga léctica s la d un lctón (o d un potón). Como la caga nta d un cupo s db a un dfcto o a un xcso d lctons, dicha caga nta s un múltiplo nto dl valo absoluto d la caga d un lctón, : q nta ±n Los hchos d qu las cantidads d caga dl lctón y dl potón san xactamnt iguals con signos opustos y d qu la caga d un cupo stá cuantizada stán apoyados po numosas pubas xpimntals. Duant l siglo XIX y pincipios dl XX s alizaon muchos tabajos xpimntals paa dtmina la caga dl lctón y su masa. S pudn dstaca a Michal Faaday (1833) con la lctólisis; a J.J. Thomson con la mdida dicta dl cocint /m n 1897 a pati dl studio d las dscagas lécticas n gass y a Millikan n 1909 qu con l famoso xpimnto d la gota d acit dtminó con pcisión acptabl l valo y signo d. La unidad natual d caga s l lctón. Sin mbago, n l SI s l culombio, C, d tal foma qu: q S. S1,6010 S19 C q p+. +1,6010 S19 C l culombio s dfin n l SI a pati dl ampio a tavés d la xpsión i q d dt d tal foma qu 1 culombio s la cantidad d caga qu atavisa la scción d un conducto po l qu cicula una coint d 1 ampio n un intvalo d 1 sgundo. Como l culombio s una unidad d caga nomalmnt dmasiado gand n lctostática, n su luga s usa l micoculombio (1 µc 10 S6 C), l nanoculombio (1 nc 10 S9 C) y l picoculombio (1 pc 10 S1 C), d acudo con las xpincias qu s manjan n lctostática. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S

3 . CGS PUNTULS Y DISTIBUCIONS CONTINUS D CG LÉCTIC Cuando s tabaja con patículas cagadas, como lctons, potons, ions, tc., s pud consida a dichas cagas como puntuals (caga concntada n un punto gomético dl spacio). Po también s pudn consida puntuals aqullas paa las qu calculamos magnituds lécticas a distancias mucho mayos qu las dimnsions dl cupo con caga nta. La caga d un lctón (o un potón) s tan pquña (y l númo d vogado tan gand) qu su cuantización no s pon d manifisto a nivl macoscópico: sí, un cupo con una caga nta d S100 nc contin unos 6, lctons n xcso. Podmos, po tanto, consida qu las cagas ntas macoscópicas stán distibuidas d foma continua (stán muy cca unas d otas n compaación con las dmás distancias d intés) y manja lmntos difncials d caga, dq, simp qu s cumpla n dq n q Dicha caga nta pud sta patida a lo lago d una dimnsión (dnsidad linal d caga), n dos dimnsions (dnsidad supficial d caga) o n ts dimnsions (dnsidad volúmica d caga)..1. Dnsidad linal d caga Si la caga nta stá patida d foma continua a lo lago d un hilo, tndmos una dnsidad linal d caga qu s simboliza po λ, psntando la cantidad d caga po unidad d longitud. n un lmnto difncial d longitud, dl, tndmos un lmnto difncial d caga, dq. sí: λ d q d [1] l con unidads d C/m n l SI. La cantidad d caga nta a lo lago d un tamo dl hilo s obtin dspjando dq d [1] intgando q dq λdl Si la caga stá unifommnt patida a lo lago dl hilo, la dnsidad linal d caga λ sá constant, facilitando la solución d la intgal []... Dnsidad supficial d caga S poduc cuando la caga nta stá distibuida d foma continua a lo lago d una lámina sin spso. Dicha dnsidad supficial s simboliza po σ qu psnta la cantidad d caga po unidad d supfici. Sindo ds un lmnto d supfici, tndmos: σ d q d S con unidads d C/m n l SI. Si la caga nta stá unifommnt patida a lo lago d la lámina, la dnsidad supficial d caga sá constant. σ [] [3].3. Dnsidad volúmica d caga Cuando la caga nta stá distibuida n un volumn, s intoduc la dnsidad volúmica d caga, ρ, como la caga po unidad d volumn: ρ d q d [4] V con unidads d C/m 3 n l SI. n la Fig.1 tnmos dos jmplos d sccions tansvsals d cupos sféicos con dnsidads volúmicas d caga. n l a Fig.1 b Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 3

4 pimo, la dnsidad s constant poqu la caga stá unifommnt distibuida po todo l volumn. n l sgundo (a mayo nivl d gis, más caga), la dnsidad volúmica d caga s una función dl adio d la sfa, ρ ( ), poqu la dnsidad d caga aumnta con l adio. Tanto n un caso como n l oto (y n otos no mncionados), las dos sfas cagadas s compotan como cagas puntuals iguals a las cagas ntas concntadas n l cnto cuando calculamos magnituds lctostáticas fua dl cupo ( aunqu dichos cálculos s fian a puntos muy póximos al cupo!), como s dmostaá al aplica la ly d Gauss a dichas distibucions d caga. Paa cualqui tipo d distibución continua d caga, l lmnto d caga dq s tan pquño qu s compota como caga puntual, paa lo cual los lmntos d lína (dl), d supfici (ds) o d volumn (dv) dbn s pquños dsd l punto d vista macoscópico, po lo suficintmnt gands a scala micoscópica paa qu pudan contn l númo suficint d cagas ntas paa cumpli con la condición d qu dicha caga vaí d foma continua con spcto a la posición, poqu d lo contaio había mucho spacio vacío con fluctuacions muy gands n los valos d la dnsidad d caga, djando d s la dnsidad d caga un concpto útil. 3. ISLNTS Y CONDUCTOS Y CG PO CONTCTO Y PO INDUCCIÓN Una vz qu un cupo ha adquiido caga léctica nta, lo qu sucda dspués dpnd d si l matial s aislant o diléctico como l vidio, plástico, mada, bonita, tc. o conducto como los mtals islants La difncia stá n la movilidad d los potados d caga: los aislants idals no pmitn la movilidad d potados d caga, po lo qu la caga nta d un aislant pmanc n la zona n la qu s colocó inicialmnt. 3.. Conductos La volución d la caga nta n un matial conducto s compltamnt difnt poqu éstos pmitn la movilidad d la caga léctica po todo l cupo. n un píodo d timpo muy pquño, la caga nta suministada al conducto s mová hacia la supfici dl mismo, si inicialmnt no staba allí, dbido a las fuzas lécticas pulsivas nt cagas dl mismo signo y s a b distibuiá po toda la supfici, csando l moviminto Fig. d las cagas, san positivas o ngativas. s dci, n un conducto cagado n quilibio lctostático (l quilibio lctostático implica qu las cagas tinn qu sta n poso), la caga nta s distibuy po la supfici, qudando lécticamnt nuto l intio dl cupo. n la Fig.a s supon qu s pud dposita una cita cantidad d caga ngativa n l intio d una sfa conductoa (s psnta su scción), qu dbido a la pulsión léctica, dichas cagas s dsplazan paa distibuis a lo lago d la supfici (Fig.b), distibución qu sá unifom po tn simtía sféica. lo lago d la unidad s pofundizaá más sob la distibución d caga lib n conductos n quilibio lctostático. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 4

5 3.3. Caga po contacto s posibl comunica caga léctica a cualqui sólido fotándolo con ota substancia. l fotaminto siv sólo paa stablc un bun contacto nt muchos puntos d las supficis, pasando lctons d una a la ota. sí, al fota una baa d bonita con pil, la bonita adqui caga nta ngativa qu pmanc localizada po s un matial aislant. sta caga s dtcta al hac contacto con la sfa dl lctoscopio (Fig.3), fomado po dos láminas dlgadas unidas a una vailla qu tmina n sfa, todo llo mtálico y dnto d un cipint aislant paa qu las coints d ai no afctn a las láminas. nts dl contacto las láminas culgan juntas vticalmnt. Dspués dl contacto, pat d la caga ngativa d la bonita s tansfi a la sfa y s popagan po la vailla y las láminas, spaándos éstas n vitud d la pulsión nt cagas dl mismo signo. bonita lctoscopio Fig.3 Baa d bonita cagada 3.4. Caga po inducción n l pocdiminto antio s ha cagado l lctoscopio po contacto, pasando pat d la caga léctica d la bonita al lctoscopio. Hay oto pocdiminto paa caga un mtal con la baa d bonita sin hac contacto n l cual l mtal adqui caga nta d signo opusto a la d la bonita sin pd ésta caga. st método s dnomina caga po inducción o inducción lctostática. Paa llo analicmos l pocso d caga po inducción n una sfa mtálica. Tngamos n cunta qu n l modlo clásico d la conducción léctica, un mtal s dscib como una disposición gula tidimnsional d ions con un gan númo d lctons libs fomando una nub lctónica con libtad d moviminto po todo l matial. n la Fig.4a s psnta la scción tansvsal d una sfa mtálica nuta. Cuando s l apoxima una baa d bonita cagada ngativamnt povoca, po pulsión, qu pat d la nub lctónica d la sfa s dsplac a la supfici d la misma opusta a la baa, xistindo un xcso d caga ngativa n dicha zona. sto oigina una pédida d caga ngativa (quda un xcso d caga positiva) n la supfici d la sfa póxima a la baa (b). Tals xcsos d caga s dnominan cagas inducidas. Obsévs qu no xistió tansfncia d caga d la baa d bonita a la sfa y qu ésta sigu sindo lécticamnt nuta. Las cagas inducidas pmancán mintas mantngamos cca la baa cagada. a b c Tia d Fig.4 n (c) s concta a tia (qu significa pon n contacto l conducto con l sulo mdiant un hilo mtálico, la pil húmda d una psona, tc., pus la popia Tia constituy un conducto qu paa muchos popósitos pud considas como infinitamnt gand), pasando los lctons d la sfa a la Tia. n (d) s ha liminado la conxión a tia y n () s apata la baa d bonita con lo qu sulta una sfa mtálica cagada po inducción con caga nta positiva (dfcto d lctons) distibuida unifommnt po la supfici d la misma. n la Fig.5 s dscib un pocdiminto paa caga po inducción con cagas d signos opustos Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 5

6 dos sfas mtálicas. n (a) y (b) las sfas stán n contacto. n () las sfas stán lo suficintmnt spaadas paa qu no xista influncia mutua. a b c d Fig.5 4. LY D COULOMB Pusto qu la fuza léctica s una fuza a distancia nt cagas, cab spa qu dpnda dl invso d la distancia al cuadado como n la ly d Nwton d la gavitación univsal. sta simtía fu sugida po Danil Bnoulli n También, po simtía, cab spa qu la fuza léctica dpnda dl poducto d las dos cagas qu intaccionan, suposición qu s complica con l signo d las cagas. La confimación d stas hipótsis fu alizada po Chals ugustin d Coulomb qu nunció la ly n 1786 dspués d mdi, con una balanza d tosión, la fuza nt pquñas sfas cagadas. La ly d Coulomb paa la fuza léctica nt dos cagas stacionaias s xpsa n fomato vctoial como: F K q q i j [5] i sob j oij cagas qu intaccionan. 0 ij ij qu nos da la fuza qu jc la caga i sob la caga j spaadas po una distancia qu s l módulo ij d, sindo ést l vcto lativo d posición qu s diig d i a j, y su cospondint vcto unitaio. S supon qu las cagas s mantinn n poso po fuzas mcánicas d algún tipo, fuzas qu no stán contmpladas n la Fig.6 n dond s psntan jmplos n función dl signo d las Fi ij sob j 0 ij 0 ij ij Fi sob j +q i +q j a -q i +q j c 0 ij Fi ij sob j 0ij ij Fi sob j -q i -q j b Fig.6 +q i -q j d 4.1. Caactísticas d la fuza léctica dada po la ly d Coulomb a. s dictamnt popocional al poducto d las dos cagas qu intaccionan. s aplicabl a cagas puntuals (lo qu s una idalización, aunqu válida si las dimnsions d los cupos cagados son muy pquñas compaadas con la distancia nt llos) y a cagas sféicas con distibución adial d caga. b. Disminuy con l invso d la distancia d spaación nt cagas al cuadado. Si las cagas son sféicas con distibucions adials d caga, dicha distancia s toma d cnto a cnto. s d lago alcanc, aplicabl paa distancias mayos qu unos 10 S14 m, pus a distancias infios pdominan las fuzas nuclas. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 6

7 c. Tin como dicción la cta qu un a ambas cagas, con sntido qu dpnd dl signo dl poducto scala d las cagas: pulsiva si las dos cagas tinn l mismo signo, atactiva si tinn distinto signo. Su módulo stá dado po la xpsión F i sob j K q q i j ij F f ( ) 0 d. l tn la foma s una fuza cntal, y al dpnd su módulo dl invso d la distancia al cuadado (s una fuza nwtoniana), s, po tanto, consvativa. Po llo, l tabajo qu aliza la fuza léctica s pud xpsa como una disminución d la ngía potncial léctica U : B W B F d U U U. Cumpl la ly d acciónsacción (Fig.7): F F i sob j j sob i [8] F j sob i +q i ij +q j F i sob j Fig.7 n st punto pudn apac dificultads d tipo tóico: Cómo y n cuánto timpo s tansmit la infomación d la intacción a distancia d la pima a la sgunda caga y, una vz qu la sgunda xpimnta dicha intacción, cómo y n cuánto timpo s tansmit la infomación d la sgunda a la pima?. codmos qu xist un límit paa la vlocidad d popagación d la infomación n l univso, qu s la vlocidad d la luz n l vacío, c, po lo cual las fuzas d acción y acción n las intaccions a distancia no sán simultánas. Po sto pud llvanos a qu no s cumpla l pincipio d acciónsacción. Pnsmos n dos cagas spaadas: Hagamos qu la pima sufa un moviminto pntino, como una oscilación, po lo qu s acla. La sgunda caga comnzaá a oscila, po con cito taso. Dbido a st taso, la fuza qu jc la pima sob la sgunda no staá acompañada po una fuza igual y opusta d la sgunda sob la pima, lo qu pac viola la ly d acciónsacción. D alguna mana tin qu hab una solución a sta posibl inconguncia, tnindo n cunta qu la ly d acciónsacción s una conscuncia dl pincipio fundamntal d la consvación d la cantidad d moviminto y d la mana n como s ha dfinido la fuza a pati d la cantidad d moviminto. La spusta vndá con la intoducción dl concpto d campo léctico. f. s mucho más intnsa qu la fuza gavitatoia (unas vcs), a psa d qu la pima nos pac mnos familia qu la sgunda. Po no hay qu olvida qu las fuzas lécticas son sponsabls d la stuctua atómica, d qu no sbalmos d una silla cuando stamos sntados, d qu nusto calzado no s dslic n l sulo al camina, tc. Substancia Vacío g 1 g. La constant d la ly d Coulomb, K, a difncia d la constant d la gavitación (G), dpnd dl mdio n qu s ncuntn inmsas las cagas a tavés d un paámto léctico d dicho mdio llamado constant diléctica dl i (sco, sin CO ) gua (a 0 ºC) Vidio paa vntanas 1, ,1 7,0 mdio o pmitividad dl mdio, K 1 4πε ε, tal qu: Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 7 B [9] Mada S 8 [6] [7] Pmitividad lativa d algunas substancias

8 n l caso d qu l mdio sa l vacío (o l ai, apoximadamnt) s psnta po, tomándola como fncia paa dfini la pmitividad lativa (adimnsional), distinto dl vacío: ε ε ε 0 ε ε 0, d oto mdio Las pmitividads dilécticas s dtminan xpimntalmnt, obtnindo paa l vacío ε 0 8,85410 S1 C N S1 m S, sultando qu paa nustos popósitos s suficintmnt xacto utiliza l siguint valo d la constant d la ly d Coulomb n l vacío (al substitui n [9]): K Nm /C [11] Tnindo n cunta qu F j i sob j 3 ij K q q i 0 ij ij ij, n los cálculos sul sulta más fácil utiliza la xpsión poqu no hay qu calcula l vcto lativo unitaio d posición, aunqu la xpsión [5] s más adcuada paa l tataminto tóico. [10] [1] 5. UN PLICCIÓN D L LY D COULOMB 5.1. Fuza qu jc una distibución discta d cagas sob ota caga Supongamos qu tnmos un conjunto n d cagas puntuals o qu s pudan consida puntuals: q 1, q,..., q n fijas (mdiant algún tipo d fuza no léctica) fomando una distibución discta d cagas. dmás tnmos, fua d la distibución, una caga q puntual o qu s pud consida puntual (Fig.8). Cada una d las cagas d la distibución q i jc una fuza léctica sob la caga q, cuya xpsión stá dada po la ly d Coulomb. Suponindo qu s cumpl l pincipio d supposición indpndncia d las fuzas, la fuza léctica total qu jcn las cagas d la distibución sob la caga q, F sob q vctoial d las fuzas individuals:, staá dada po la suma F F + F F sob q q sob q q sob q q n sob q 1 s dci, tnindo n cunta [5]: F K q q K q q K q q 1 n sob q qu d foma sumida: n n q q i F K K qiq sob q 0 i 3 i sindo i la fuza. 1 i 1 i i n i Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 8 n +q 1 1 F +q -q +qn Fig.8 l vcto lativo d posición qu s diig d la caga i a la caga q sob la cual s calcula n F n F 1 [13] [14] [15]

9 jmplo 1 Sa una distibución d ts cagas puntuals d, 4 y S8 nc situadas n los puntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m dl plano xsy spctivamnt. l mdio s l vacío. Calcula la fuza qu jc dicha distibución sob una caga d S3 nc cuando s sitúa n l punto P(1, 0) m. xistindo vaios pocdimintos paa llga al sultado, s utilizaá la xpsión analítica F K q q i i 0 3 i, paa lo cual (-1,0) q 1 nc pocdmos n tapas: 1. S sitúan las cagas n los puntos spctivos dl plano xsy (Fig.9).. S dibujan los vctos lativos d posición (s diign simp d la caga funt al punto P). 3. S xpsan analíticamnt los vctos d posición: 1 i m ( i + j) m 3 ( i j) m 4. S calculan los módulo d los vctos antios: 1 m m 3 y (0,1) (0,-1) Fig.9 q 3-8 nc 1 q 4 nc 3 q -3 nc P(1,0) 5. S calcula la fuza qu cada caga d la distibución jc sob la caga situada n P, utilizando la xpsión F i K q q i i 0 3 i substituy po su valo y signo):, substituyndo n lla los valos cospondints (la caga s ( 3) 10 9 F i 13, i N ( 3) 10 9 F ( i + j) 38, ( i + j) N ( ) ( 3) 10 F 9 10 i j, i j N 3 ( ) 3 9 ( ) ( ) 6. La fuza total jcida sob la caga d 5 nc staá dada po la suma vctoial d las fuzas antios: F ( 4, 7i 115 j ) 10 9 N x Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 9

10 6. CMPO LÉCTICO. INTNSIDD DL CMPO LCTOSTÁTICO xaminmos la fuza léctica qu jc una caga puntual q, qu dnominamos caga funt, sob una caga puntual q p, o caga d puba, situada n l punto P. La ly d Coulomb nos dic qu la fuza qu jc q sob q p stá dada po la xpsión [5] (n l caso d qu san puntuals o s pudan consida como tals): Fq p 0 P sob qp [16] F K qq q sob 0 q p Pusto qu sta fuza s dictamnt popocional a la caga d puba, podmos dividi la fuza nt la caga d puba. st cocint d la fuza sob la caga d puba sindo la distancia al cnto d la distibución) a una distancia d la misma: 0 q q -q 0 a b Fig.10 po unidad d caga d puba s dnomina intnsidad dl campo léctico, psntada po : F sob q p [17] q p d dond obtnmos la ly d Coulomb d la intnsidad dl campo léctico poducida po una caga funt puntual (o qu s puda consida como tal: n l xtio d distibucions sféicas d caga K q 0 o, más páctica paa los cálculos: K q 3 [18] [19] S obtin así una magnitud léctica vctoial dfinida n cada punto dl spacio qu oda a la caga funt y qu dpnd únicamnt d ésta (y dl mdio), con dicción adial y sntido qu dpnd dl signo d la caga funt (Fig.11). l módulo d la intnsidad dl campo léctico n cada punto s invsamnt popocional a la distancia al cuadado a la caga funt, con unidads d N/C n l SI (o d V/m, como vmos más adlant). Fig.11 la gión dl spacio n la qu stá dfinida una intnsidad d campo léctico n cada punto s l dnomina campo léctico, qu s un campo vctoial. Si n una gión dl spacio n la qu xist un campo léctico colocamos una caga d puba q p, ésta xpimnta una fuza léctica qu s obtin a pati d la dfinición d intnsidad d campo (xpsión [17]): F q sob q p p fuza qu tin la misma dicción qu la intnsidad dl campo léctico n l punto n l qu colocamos q p, con sntido dpndint dl signo d q p. Tnmos así ota dfinición (opativa) d campo léctico: xistiá campo léctico n un gión dl spacio si al coloca n lla una caga d puba xpimnta una fuza. pati d la dfinición d (xpsión [17]) obtnmos l pocdiminto paa mdi la intnsidad dl campo léctico n un punto dl spacio: situa una caga d puba q p n poso n l punto n custión, mdi la fuza léctica qu actúa sob lla y obtn la intnsidad d campo como F sob q p q p. Pocdiminto con l cual s db tn cuidado, pus la caga d puba pud alta q p P P [0] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 10

11 la distibución d las cagas funt qu oiginan l campo: Po jmplo, si l campo stá poducido po una distibución d cagas situadas n la supfici d un conducto, xistiá una distibución d dichas cagas si n sus poximidads colocamos la caga funt, con lo cual s ha altado la intnsidad d campo qu quíamos mdi. S ha sustituido l cálculo dicto d la fuza léctica d la ly d Coulomb nt una caga funt y una caga d puba po un pocdiminto n dos tapas: pimo s calcula la intnsidad dl campo léctico oiginado po la caga funt, y sgundo, s calcula la fuza léctica qu jc l campo léctico sob la caga d puba. Po llo, l conjunto d las cuacions d la intnsidad dl campo léctico [18] y la fuza léctica n función d la intnsidad dl campo léctico [17], son totalmnt quivalnts a la xpsión d la fuza léctica d la ly d Coulomb [5]. st pocdiminto n dos tapas tin vntajas d cálculo: Pmit calcula distintas fuzas lécticas sob distintas cagas d puba qu coloqumos n un punto dado dl campo léctico, lo qu constituy un ahoo d cálculo fnt a la ly d Coulomb. dmás no s ncsaio conoc cómo s o n dónd stá situada la caga (o cagas) funt qu oiginaon l campo léctico, sólo s ncsaio conoc la intnsidad dl campo léctico n l punto n l qu s coloca la caga d puba. dmás tin vntajas tóicas: l hcho d obtn xpsions qu sólo dpndn d las cagas funt facilita la obtnción y manjo d las xpsions d los campos lctomagnéticos. Po ota pat, s sulvn las dificultads dl concpto d intacción a distancia plantadas al analiza la ly d Coulomb: n l pocso n dos tapas qu hmos intoducido con l concpto d campo léctico, la caga oscilant poduc un campo léctico oscilant qu actúa d mdio d popagación d la oscilación, intactuando ésta con la sgunda caga, qu la hac oscila. l campo tanspota momnto linal d la pima a la sgunda caga mdiant los paquts d adiación lctomagnética dnominados fotons mitidos po una caga y absobidos po la ota, cumpliéndos la ly d acciónsacción n cada intacción fotón Scaga. n st sntido, l campo léctico funciona como intmdiaio nt las dos cagas. Pac qu l campo léctico s ha intoducido como una haminta puamnt fomal (qu facilita l cálculo) o concptual (qu sulv los inconvnints plantados po la intacción a distancia). Po l hcho d qu s puda calcula la intnsidad dl campo léctico poducida po cagas funt n un punto dl spacio, xista o no caga n dicho punto, nos pud llva a pnsa qu l campo léctico s una ntidad física qu s xtind n todo l spacio: n st sntido, la caga funt modifica las popidads dl spacio qu la oda, sindo la intnsidad d campo una mdida d dicha ptubación. D hcho, xistn campos lécticos vaiabls con l timpo sin cagas funt. 7. LGUNS PLICCIONS D L LY D COULOMB D L INTNSIDD D CMPO LÉCTICO n 7.1. Intnsidad d campo léctico oiginada po una distibución discta d cagas puntuals o quivalnts Supongamos qu tnmos un conjunto n d cagas puntuals o qu s pudan consida puntuals: q 1, q,..., q n fijas (mdiant algún tipo d fuza no léctica) fomando una distibución discta d cagas. Cada una d stas cagas oigina n l punto P una intnsidad d campo léctico, indpndintmnt d todas las otas cagas, sindo la intnsidad d campo sultant n l punto P la suma vctoial d las intnsidads d campo Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 11 +q 1 1 -q +q n Fig.1 n P 1

12 individuals (Fig.1); sto s l pincipio d supposición indpndncia aplicado al campo léctico. Tnindo n cunta la xpsión d la intnsidad d campo oiginada po cada caga [11], la intnsidad total n l punto P sá: n n i 1 K q K q K q n qu d foma sumida: n n q i K K qi 0 i 3 i sindo i intnsidad dl campo. i 1 i i 1 i 0 0 n i n l vcto lativo d posición qu s diig d la caga i al punto P n l cual s calcula la [1] [] [3] jmplo Sa una distibución d ts cagas puntuals d, 4 y S8 nc situadas n los puntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m dl plano xsy spctivamnt. l mdio s l vacío. Calcula: a. La intnsidad dl campo léctico qu oigina sta distibución n l punto P(1, 0) m. b. La fuza qu jc dicha distibución sob una caga d S3 nc cuando s sitúa n l punto P. c. La fuza qu jc dicha distibución sob una caga d 5 nc cuando s sitúa n l punto P. (-1,0) q 1 nc y (0,1) (0,-1) q 3-8 nc 1 q 4 nc 3 P(1,0) x a. S utilizaá la xpsión analítica q i K 0 3 i i, p a a l o c u a l Fig.13 pocdmos n tapas: 1. S sitúan las cagas n los puntos spctivos dl plano xsy (Fig.13).. S dibujan los vctos lativos d posición (s diign d la caga funt al punto P). 3. S xpsan analíticamnt los vctos d posición: 1 i m ( i + j) m 3 ( i j) m 4. S calculan los módulo d los vctos antios: 1 m m 3 5. S calcula la intnsidad d campo oiginada po cada caga n l punto P, utilizando la xpsión Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 1

13 i K q i 0 3 i su valo y signo): i, substituyndo n lla los valos cospondints (la caga s substituy po N 3 i 4, 5i C ( i + j) 1, 73( i + j ) N C ( ) i j i j 3 ( ) 3 ( ) 5, 46( ) 6. La intnsidad total dl campo léctico n l punto P vndá dada po la suma vctoial d las intnsidads antios: ( 8, 3i + 38, j) P N C b. La fuza qu jc la distibución sob una caga d S3 nc qu s sitúa n P s pud calcula a tavés d la fuza qu jc la intnsidad dl campo n P (oiginada po la distibución) sob la caga qu s sitúa n dicho punto: F q P ( 8, 3i + 38, j ) F ( 4, 7i 115 j ) 10 9 N sindo, vidntmnt, l mismo sultado qu l dl jmplo 1. c. D la misma foma qu n l apatado antio, s obtin: F q P ( 8, 3i + 38, j) F ( 4, 1i + 191j ) 10 9 N Los dos últimos apatados saltan la vntaja d calcula pimo la intnsidad d campo paa dspués calcula la fuza sob una caga a pati d la intacción dl campo con dicha caga. 7.. Intnsidad d campo léctico oiginada po una distibución continua y unifom d caga s fcunt nconta cagas funts qu stán distibuidas d foma continua. n stas situacions, s divid la distibución d caga n lmntos infinitsimals dq, considando a cada uno d stos lmntos como caga puntual qu oigina un lmnto infinitsimal d intnsidad d campo n l punto P qu stá dada po la xpsión d d K q [4] 0 qu s la ly d Coulomb n foma difncial d la intnsidad dl campo léctico [18], con módulo d d K q La intnsidad total d campo léctico n l punto P sá la suma (al cumplis los pincipios d supposición indpndncia) d las intnsidads infinitsimals poducidas po todos los lmntos d caga; sto s, una intgal N C d [5] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 13

14 d K d q 0 λdl σds xtndida a toda la distibución, qu dpndindo dl tipo, s substituy dq po, o. Pusto qu s una intgal d una xpsión vctoial, pud s difícil su valuación, a mnos qu la distibución d caga tnga un alto gado d simtía. Con la ly d Gauss, qu s dsaollaá más adlant, s pudn calcula intnsidads d campo léctico n citas distibucions siméticas d una foma más fácil. [6] ρ dv jmplo 3 Calcula la intnsidad dl campo léctico a una distancia x mdida ppndiculamnt a una distibución continua, linal, infinita y unifom d caga léctica situada a lo lago dl j y. Supongamos qu la caga s distibuy a lo lago dl j y, dsd S hasta +, y qu al s unifom, la dnsidad linal d caga s constant: dq dq λ ct dl dy. n la Fig.14 stá psntado l lmnto infinitsimal d intnsidad d campo n l punto P, qu stá a una distancia x mdida ppndiculamnt a la distibución linal, oiginado po l lmnto infinitsimal d caga dq situado n la posición Sy. st lmnto d campo s dscompon n una componnt sob l j x y ota sob l j y, d d + d d i + d j tal qu. x y x y Tnindo n cunta la Fig.14, d K q λ d K y d i Kλ dy y dq -y d d cosθ i + d sinθ j x θ Fig.14 d y, intgando y sacando las constants fua d la intgal, s obtin + + cosθ dy sinθ dy + jkλ P θ d x d, qu al substitui d po Paa solv las intgals antios hay qu duci las ts vaiabls (y,, θ ) dl intgando a una sola, sindo lo más convnint dja los intgandos n función dl ángulo. pati d la Fig.14 tanθ y y x tanθ θ x dy x x dθ cos dy dθ θ cos θ s tin, d dond y divando y spcto a (tnindo n cunta qu x s constant): d dond dspjamos qu s substituy n los cosθ x intgandos. También d la Fig.14 s obtin, d dond qu s substituy x cos θ n los intgandos. Cambiando los límits d intgación n función d la vaiabl π π y θ y + θ + θ x (cuando, y cuando, ) y con las substitucions antios s obtin Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 14

15 π π + + λ K i + j x cosθ dθ sinθ dθ π π π π λ + + K i sinθ] π j cosθ ] π x λ K i + 0 j x s dci: K λ i x d dond s dduc qu la intnsidad d campo s invsamnt popocional a la distancia a la distibución y s ppndicula a lla. l qu no xista componnt n la dicción paalla a la distibución a d spa po considacions d simtía: todo lmnto dq situado n Sy tin oto lmnto simético dq n +y, po lo cual las componnts n la dicción y d la intnsidad d campo n P tinn l mismo módulo po sntidos opustos po lo qu s anulan. 8. UN FOM D VISULIZ L CMPO LÉCTICO: LÍNS D CMPO LÉCTICO Pusto qu l campo léctico s un campo vctoial, paa visualizalo s ncsita psnta un vcto intnsidad d campo léctico n cada punto dl spacio (n dond xista un campo, pus pudn xisti puntos n los qu no sté dfinido po jmplo, n la posición qu ocupa una caga puntual o poqu s nulo po jmplo, l punto mdio nt dos cagas iguals ), lo qu xig una psntación tidimnsional, una gan cantidad d tabajo y l sultado sía d difícil intptación. Michal Faaday (1791S1867) s l db la visualización dl campo léctico n función d las dnominadas línas d campo léctico Popidads d las línas d campo léctico a. Son línas imaginaias ointadas, continuas (xcpto n singulaidads como n una caga puntual, o puntos n dond s anula l campo, tc.), cuyas tangnts, n cualqui punto, tinn la dicción d la intnsidad dl campo n dicho punto (Fig.15). Fig.15 Las cagas d puba q p qu s coloqun n una gión n la qu xist un campo léctico xpimntaán una fuza léctica, d acudo con la xpsión F q sob q p p, qu tndá l mismo sntido qu l d la intnsidad d campo n l caso d cagas d puba positivas (Fig.16a) o l contaio n l caso d las ngativas (Fig.16b). F sob q p F sob qp +q p -q p a Fig.16 b Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 15

16 Las cagas d puba positivas al abandonalas n un campo léctico, s muvn n l mismo sntido qu las línas d campo. Las cagas d puba ngativas al abandonalas n un campo léctico, s muvn n sntido contaio a las línas dl campo. b. Las línas d campo léctico d una caga puntual son adials y unifommnt distibuidas alddo d la caga. Con sntido hacia fua d la caga las oiginadas po cagas positivas y hacia la caga las oiginadas po cagas ngativas; sntido qu s conscuncia d la xpsión d la intnsidad d campo léctico K q 0. Las cagas positivas son manantials d línas d campo, las ngativas son sumidos. Po llo, las línas d campo léctico son abitas po s consvativo l campo lctostático. +q -q Fig.17 Las Fig.17 cospondn a la psntación n l plano d las línas d campo léctico d cagas puntuals aisladas. n alidad, stas línas abacan todo l spacio tidimnsional. S pud obsva qu la psntación dl campo léctico mdiant línas d campo no pmit obtn d una foma dicta la intnsidad dl mismo n un punto dado dl campo, aunqu da la infomación d la dicción y sntido d la intnsidad dl campo n un punto po l cual pas una lína d campo. +q +q Fig.18 Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 16

17 c. l númo total d línas d campo léctico d una caga puntual s popocional a la cantidad d caga, scogindo la constant d popocionalidad d foma qu suminist la mjo visualización. n la Fig.18 stán psntadas 8 línas paa la caga +q y 16 línas paa la caga +q. l qu po un punto dado no pas una lína d campo no qui dci qu no xista allí intnsidad d campo léctico. Nomalmnt sólo s psntan unas pocas línas, las suficints paa no complica l gáfico y hacnos una ida d cómo s l campo léctico. d. mayo númo d línas d campo psntadas n una gión dl campo léctico, mayo intnsidad dl mismo, conscuncia d un concpto más gnal llamado flujo d campo léctico, qu s pud intpta como la mdida d la dnsidad d línas d campo qu atavisan una supfici ppndicula a dicho campo, concpto qu s pofundizaá más adlant. n las gáficas antios n las qu s psntan línas d campo léctico d cagas puntuals aisladas s pud apcia fácilmnt sta popidad: las línas d campo stán más póximas unas a las otas n las ccanías d las cagas, pus n sas gions la intnsidad d campo s alta; a mdida qu nos aljamos d las cagas, las línas d campo s spaan poqu la intnsidad d campo dcc. Obsévs qu dos línas d campo no s pudn cuza poqu l campo léctico tin una dicción única n un punto paticula, po lo qu sólo una lína d campo pud pasa po s punto. También tngamos n cunta qu, n gnal, Fig.19 una patícula cagada d puba no s muv a lo lago d una lína d campo, pus como s v n la Fig.16, la aclación d sa caga d puba s tangnt a la lína d campo n s punto y paa pod sgui la tayctoia cuvada d la lína d campo ncsitaía admás tn aclación nomal, qu no tin. 8.. Dipolo léctico y momnto dipola n la Fig.19 s mustan algunas línas d campo léctico n las poximidads d un dipolo léctico, fomado ést po dos cagas iguals, d signos opustos y spaadas po una distancia d, pquña n compaación con las distancias d las cagas a un obsvado. n cada punto dl spacio qu oda al dipolo xist una intnsidad d campo léctico tangnt a la lína d campo qu pasa po dicho punto. sta intnsidad s la sultant d las intnsidads d campo poducidas po la caga positiva y po la caga ngativa n l punto n custión, sultado d los pincipios d supposición indpndncia aplicados al campo léctico. S dfin l momnto dipola léctico p como un vcto d módulo p qd y con sntido d la caga ngativa a la positiva: d -q p +q Fig.0 l momnto dipola léctico d una molécula, qu s una mdida d la asimtía d caga, s obtin xpimntalmnt y, junto con otos paámtos, contibuy a la dtminación d la stuctua molcula: distancias y ángulos d nlac, coficints d las funcions d onda, tc. Sgún l momnto dipola, las moléculas s clasifican n apolas (no tinn momnto dipola) y polas (con momnto +q + -q Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 17

18 dipola). sí, n los nlacs HSO d la molécula d agua hay una spaación pacial d la caga lctónica n l nlac covalnt, sopotando l O una caga pacial ngativa, δ, po tn una mayo lctongatividad qu l H, qu sopota una caga pacial positiva, + δ. Pusto qu xistn dos nlacs HSO, cada H sopota una caga pacial + δ y l O una caga pacial total δ. D st modo, n la molécula xistn dos momntos dipolas d nlac, iguals n módulo, oiginados po los dos nlacs HSO. La molécula d agua tin dos stuctuas gométicas tóicamnt posibls: linal o angula, +δ δ δ +δ +δ δ δ H O H H O p p p p p total 0 p total 0 a Fig.1 sindo la angula la cocta, ya qu la molécula d agua tin momnto dipola sultant Otos jmplos d psntación dl campo léctico mdiant línas d campo n los jmplos d la Fig. no s cumpln xactamnt todas las popidads nunciadas paa las psntacions mdiant línas d campo léctico, al mnos n lo qu s fi a la popidad d): dl gáfico s dduc qu l campo léctico s más intnso n las gions qu n las B, po tn la gión mayo dnsidad d línas. Justamnt ocu lo contaio: l campo s más intnso n B qu n. llo s dbido a qu l flujo dl campo léctico s un concpto tidimnsional, qu no s pud plasma n una psntación gáfica bidimnsional. ún las psntacions tidimnsionals d línas d campo léctico, tals como los anaglifos, quin un lvado númo d línas paa qu la dnsidad d las mismas psnt, al mnos d foma apoximada, la intnsidad d campo léctico. b +δ H B +q +q B +3q +q Fig. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 18

19 9. LY D GUSS DL CMPO LÉCTICO La dscipción cualitativa dl campo léctico mdiant línas d campo stá lacionada con la cuación matmática dnominada ly d Gauss (Kal Fidich Gauss, físico y matmático almán, 1775S1855), qu laciona la intnsidad dl campo léctico sob una supfici cada con la caga nta incluida dnto d la supfici. sta ly tin vntajas significativas fnt a la ly d Coulomb d la intnsidad dl campo léctico, pus: a. Pmit cálculos d intnsidads d campo lativamnt fácils paa citas distibucions d caga. b. Suminista una visión paticulamnt claa d citas popidads básicas dl campo. c. s aplicabl a cualqui distibución d caga, indpndintmnt d su stado d moviminto, lo qu siv, a su vz, paa dfini la cantidad d caga nta n una gión Vcto supfici lmntal Toda supfici lmntal ds s caactiza, paa su mplo n l cálculo d S vctoial, po un vcto, tal qu su módulo ds s igual al áa d la supfici (po dfinición) y su dicción s ppndicula a la supfici (Fig.3). l sntido s abitaio cuando s tata d una supfici plana, n oto caso s diig d la pat cóncava a la convxa. d S 9.. Ángulo plano y ángulo sólido Fig.3 l lmnto d ángulo plano odinaio, dθ (Fig.4), s dfin como l cocint (adimnsional) nt l lmnto d longitud d aco d cicunfncia, dl, y l adio d la misma: d dl [7] dθ l con unidads d adians (ad) n l SI. l ángulo plano total subtndido po una cicunfncia s Lcicunfncia π θ π ad dθ π θ θ π. D ota foma, d ad lina la intgal d lína cada d s ad:. st ángulo total s indpndint d la foma d la tayctoia cada scogida, simp s obtndá l mismo sultado:. π ad Fig.4 dθ D foma smjant, n l spacio s dfin l lmnto d ángulo sólido, dω (Fig.5), como l cocint (adimnsional) nt l lmnto d supfici sob una supfici sféica (nomal al adio),, y l adio d la sfa al cuadado: ds dω ds n n d ds 0 Ω [Su xpsión gnal s ] [8] sindo su unidad l stoadián (s) n l SI, qu s l ángulo sólido total subtndido po una supfici d 1 m sob una sfa d adio 1 m. l ángulo sólido total subtndido po una sfa s Ssfa 4π Ω 4π s Ω d Ω 4π s supfici, s dci, [9] Fig.5 dω ds Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 19

20 indpndintmnt d la foma d la supfici cada. l símbolo I cospond a una intgal abita (a lo lago d una lína o supfici, sgún s spcifiqu n la pat infio d dicho símbolo, o si no s spcifica, basta con obsva la vaiabl spcto a la qu s intga). Po l contaio, l símbolo Š, con l cículo sob l dl intgal, cospond a una intgal cada (a lo lago d una lína o supfici cada, sgún l caso) Flujo lmntal d un campo vctoial a tavés d una supfici lmntal abita Supongamos qu n una gión dl spacio xist un campo θ vctoial, psntado n la Fig.6 po sus línas d campo, ds y una supfici lmntal ds. S llama flujo lmntal dl n campo a tavés d dicha supfici al poducto scala Fig.6 dφ ds [30] s dci, igual al poducto dl módulo dl campo po la poycción d la supfici sob un plano nomal a la dicción dl campo: [31] dφ ds cosθ ds n Pusto qu la dnsidad d línas d campo s dictamnt popocional al módulo dl mismo, s concluy qu l flujo lmntal psnta l númo d línas d campo qu atavisan un lmnto d supfici nomal al campo Flujo total d un campo vctoial a tavés d una supfici cada Paa calcula l flujo total a tavés d una supfici cada (qu ncia un volumn) S, s intga l flujo lmntal paa toda la supfici cada: ds ds ds n Φ sup. cada cosθ sup. sup. sup. obtniéndos l flujo nto, qu n téminos d línas d campo significa l númo d línas d campo qu saln d la supfici cada mnos l númo d línas d campo qu ntan n dicha supfici cada. Tnindo n cunta la dfinición d ángulo sólido (xpsión [8]), la intgal antio s pud scibi: Φ sup. cada dω sup. paa lo cual s ncsita conoc la xpsión dl módulo Flujo total a tavés d una supfici cada paa un campo invsamnt popocional a la distancia al cuadado s l caso d los campos gavitatoio y lctostático d masas y cagas puntuals, spctivamnt, pus paa llos s pud xpsa como d S [3] [33] ct 1 sindo ct SGm ct Kq n l campo gavitatoio n l campo lctostático [34] Substituyndo n la intgal dl flujo total y tnindo n cunta lo dicho paa l ángulo sólido total subtndido: Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 0

21 1 Φ sup. cada ct dω ct dω ct 4 π sup. sup. [35] 9.6. Ly d Gauss sí, paa l campo lctostático poducido po una caga puntual intio a la supfici cada, substituyndo la ct y tnindo n cunta qu Φ sup. cada ds sup. q ε 0 K 1 πε 4 0, s obtin: qu constituy una pima apoximación a la ly d Gauss dl campo léctico. l sultado antio tin una si d popidads intsants qu hacn d la ly d Gauss una haminta muy potnt: a. La ly d Gauss s conscuncia d qu la intnsidad dl campo léctico dbido a una caga puntual aislada vaía xactamnt con la invsa dl cuadado d la distancia dsd la caga, dpndncia qu s una popidad d la natualza qu s conoc con mucha pcisión. Si la dpndncia fua distinta no s podía scibi la xpsión tan sncilla Φ sup. cada q. ε 0 b. l flujo nto s dictamnt popocional a la caga intio a la supfici cada. Ésta a una d las popidads n las qu s basaba la visualización dl campo léctico a tavés d las línas d campo: cuánto mayo sa la caga puntual, mayo sá l flujo nto a tavés d una supfici qu nci a la caga, y pusto qu l flujo s una mdida dl númo d línas d campo qu atavisan la supfici cada, más línas tndmos qu dibuja paa psnta l campo léctico. [36] S S +q +q Fig.7 n la Fig.7, la supfici cada scogida s sféica igual n ambos casos. l flujo nto n l pimo s d 8 unidads (8 línas d campo qu saln d la supfici cada). l flujo nto n l sgundo s d 16 unidads. La azón stá n qu n l sgundo la caga intio s dobl qu n l pimo. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 1

22 c. l flujo nto no dpnd d la foma d la supfici cada. n la Fig.8 s tin un campo léctico poducido po una caga puntual. stán dibujadas unas cuantas línas d campo y dos supficis cadas, una sféica, S 1, y ota igula, S. l balanc nto dl flujo s l siguint: S Supfici Línas qu ntan Línas qu saln Flujo nto S 1 +q S S sta indpndncia d la foma d la supfici cada s dduc fácilmnt si d la xpsión [36] si scogmos l pimo y l último témino: Φ sup. cada q ε 0 n dond no apac la intgal d supfici cada. Fig.8 [37] d. l flujo nto no dpnd d como sté distibuida la caga dnto d la supfici cada. S pud dduci cualitativamnt a pati d la Fig.8: si s dsplaza la caga +q dnto d los volúmns ncados po S 1 o S, l flujo nto no s alta. También s conscuncia d la última xpsión [37].. Las cagas xtnas a una supfici cada no influyn n l flujo nto. n la Fig.9 s ha scogido una supfici S 3 tal qu la caga +q stá fua d dicha supfici. Hacindo un cunto d las línas d campo qu saln y ntan n S 3 dducimos qu l flujo s nulo, indpndintmnt d la foma d la supfici. +q S 3 Custión 1 Si l flujo nto a tavés d una supfici cada s nulo podmos afima qu la intnsidad dl campo léctico s nula n todos los puntos d la supfici cada? Fig.9 S acaba d v un caso jmplificado n la Fig.9 n dond l flujo nto s nulo poqu no hay caga n l intio d la supfici cada, xistindo no obstant campo léctico a lo lago d dicha supfici. n st caso, la intgal ds s anula. sup. Po l qu la intgal s anul no significa qu l intgando sa nulo, sino qu la intgal d la intnsidad dl campo léctico, no nula n st caso, a lo lago d la supfici cada s hac co. n st caso la ly d Gauss no pmit obtn ninguna infomación sob la intnsidad dl campo léctico a lo lago d la supfici cada. Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S

23 f. l flujo nto dpnd d la caga nta intio a la supfici cada. Hasta aquí sólo s hizo fncia a una caga puntual intio a la supfici cada, po la ly d Gauss s pud gnaliza a la caga nta intio como conscuncia dl cumpliminto dl pincipio d supposición indpndncia dl campo léctico, sa cual sa la distibución d las cagas. Su cumpliminto s obsva n la Fig.30 n dond l flujo nto s db a la contibución d las dos cagas n l intio d la supfici cada S. La última popidad pmit scibi finalmnt la foma intgal dfinitiva d la ly d Gauss paa l campo léctico: nta intio sup. cada Φ nto q ds [38] sup. qu aunqu paa su dducción s patió d la ly d Coulomb d la intnsidad dl campo léctico d una caga puntual, s n cito modo más gnal qu la ly d Coulomb, pus s aplicabl a cualqui distibución d caga y tanto a campos lctostáticos como no lctostáticos. n la xpsión d la ly d Gauss, la caga s la total nta n l intio d la supfici cada imaginaia llamada supfici gaussiana; su lmnto d supfici s l qu apac n l d S ε 0 +q Fig.30 intgando,. La intnsidad d campo dl intgando s la intnsidad d campo total n los puntos d la supfici gaussiana, l cual incluy las contibucions d las cagas tanto intios como xtios a la supfici gaussiana. n la Fig.9 d la Custión 1 tnmos un jmplo n l qu la intnsidad d campo a lo lago d la supfici gaussiana s db a cagas xtnas a dicha supfici, pus no xist caga nta n l intio d la misma. La ly d Gauss paa l campo léctico [38] xpsa pus qu l flujo léctico total a tavés d una supfici gaussiana s igual a la caga léctica nta n l intio d dicha supfici dividida nt ε 0 y también igual a la intgal dl campo léctico a lo lago d dicha supfici lcción d una supfici gaussiana adcuada Una d las finalidads d la ly d Gauss consist n calcula la intnsidad dl campo léctico dbida a la caga nta conocindo la distibución d dicha caga. Paa llo s ncsaio solv la intgal ds lo qu xig scog n pim luga una supfici gaussiana qu nci a la sup. caga d intés. Po no todas las supficis gaussianas son adcuadas, ya qu muchas d llas pud qu no facilitn la solución d la intgal antio, o hacla isolubl. Po tanto s ncsaio scog una supfici gaussiana adcuada, s dci, qu cumpla alguna d las siguints condicions paa facilita la solución d la intgal: a. Qu la supfici sté ointada tal qu n todas sus pats sa tangnt a la supfici, s dci ds 0 qu. b. Qu la supfici sté ointada tal qu n todas sus pats sa nomal a la supfici y qu l +q S Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 3

24 módulo sa constant n toda la supfici. sí tndmos qu y al s constant sal fua d la intgal, simplificándola al máximo: ds ds S sup. sup. ds ds cosθ ds lgunas vcs s ncsaio scog una supfici cada n la qu no s cumpla ninguna d las popidads antios n toda la supfici. Como la intgal d supfici cada s pud scibi como suma d intgals d supfici abita: d S d S + d S + + d S sup. cada sup. abita 1 sup. abita sup. abita n pud s útil paa calcula la intnsidad dl campo léctico si n cada una d las supficis s cumpl alguna d las dos popidads antios. n n [39] [40] 10. LGUNS PLICCIONS D L LY D GUSS Intnsidad dl campo léctico oiginado po una caga puntual S dsa dtmina la intnsidad dl campo léctico n l punto P a una distancia d la caga puntual +q (Fig.31). La supfici gaussiana adcuada s una sfa d adio, supfici S y cntada n la caga: la intnsidad d campo n todos los puntos d la supfici tndá l mismo módulo po sta éstos a la misma distancia d la caga y admás s nomal a la supfici n cualqui punto d ésta. plicando la ly d Gauss: S P ds sup. gaussiana q ε 0 ds cosθ sup. gaussiana cosθ 1 q ε 0 [41] [4] +q Fig.31 sindo paa cualqui punto d la supfici d la sfa po foma y un ángulo d 0º, y al tn n cunta qu l módulo d la intnsidad d campo s constant a lo lago d la supfici d la sfa: q ds ε [43] 0 sup. gaussiana tnindo n cunta qu la intgal d supfici cada a lo lago d la supfici gaussiana s l áa d la sfa: q S [44] S sup. gaussiana ε 0 4π al s y dspjando : sup. gaussiana 1 πε q 4 0 s obtin l módulo d la intnsidad d campo a una distancia d la caga puntual, qu s la misma xpsión qu la dl módulo d la intnsidad d campo cuando s aplica la ly d Coulomb [18]. d S [45] Pdo L. odíguz Poca, ntonio. ivas Mnéndz. Campo lctostático S 4