23 Campos eléctricos Propiedades de las cargas eléctricas. 642 Capítulo 23 Campos eléctricos

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1 642 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos 23.1 Propieddes de ls crgs eléctrics 23.2 Objetos de crg medinte inducción 23.3 Ley de Coulomb 23.4 El cmpo eléctrico 23.5 Cmpo eléctrico de un distribución de crg continu 23.6 Línes de cmpo eléctrico 23.7 Movimiento de prtículs con crg en un cmpo eléctrico uniforme Mdre e hij disfrutn los efectos de crgr sus cuerpos eléctricmente. En sus cbezs cd cbello duiere crg y ejerce un fuerz de repulsión sobre los demás, ue result en el erizmiento ue usted observ uí. (Cortesí de Resonnce Reserch Corportion.) 23 Cmpos eléctricos Un de ls fuerzs fundmentles de l nturlez es l electromgnétic, l cul se d entre prtículs con crg. El cpítulo inici con un descripción de ls propieddes básics de l fuerz eléctric, un de ls mnifestciones de l fuerz electromgnétic. En seguid se eplic l fundmentl ley de Coulomb ue gobiern ls fuerzs eléctrics presentes entre dos prtículs con crg. A continución se introduce el concepto de un cmpo eléctrico socido un distribución de crg y se describe su efecto sobre otrs prtículs con crg. Después se muestr cómo utilizr l ley de Coulomb pr clculr el cmpo eléctrico en un distribución de crgs conocid. El cpítulo concluye con l eplicción del movimiento de un prtícul con crg en un cmpo eléctrico uniforme Propieddes de ls crgs eléctrics Hy un vriedd de eperimentos simples pr demostrr l eistenci de fuerzs eléctrics. Por ejemplo, después de frotr un globo contr el cbello en un dí seco, observrá ue el globo tre peueños pedzos de ppel. Con frecuenci l fuerz de trcción es lo suficientemente intens ue los pedzos de ppel uedn suspendidos. Cundo los mteriles se comportn de est mner, se dice ue están electrificdos, o ue se hn crgdo eléctricmente. Usted puede electrificr su cuerpo con fcilidd si frot con fuerz sus zptos sobre un lfombr de ln; detectrá l crg eléctric de su cuerpo l tocr ligermente (y sobresltr) un migo. Bjo condiciones decuds, verá

2 Sección 23.1 Propieddes de ls crgs eléctrics 643 ) Hule F F Vidrio F Hule F Figur 23.1 ) Un vrill de hule con crg negtiv suspendid por en un hilo es tríd por un vrill de vidrio con crg positiv. b) Un vrill de hule con crg negtiv es repelid por otr vrill de hule con crg negtiv. b) Hule un chisp l momento de tocrlo y sentirán un liger descrg. (Este tipo de eperimentos funcionn mejor durnte dís secos, porue el eceso de humedd en el ire hce ue culuier crg ue usted cumule en su cuerpo se fugue hci l tierr.) A prtir de un serie de eperimentos sencillos, Benjmín Frnklin ( ) determinó ue eisten dos tipos de crgs eléctrics, ls ue dio el nombre de positiv y negtiv. Los electrones tienen crg negtiv y los protones positiv. Pr comprobr l eistenci de mbos tipos de crg, imgine un vrill rígid de hule ue h sido frotd contr un trozo de piel y ue está suspendid de un hilo, como puede observr en l figur Cundo cerc un vrill de vidrio ue h sido frotd con sed un vrill de hule, mbs se tren (figur 23.1). Por otr prte, si cerc dos vrills de hule con crg (o dos vrills de vidrio con crg), como se observ en l figur 23.1b, mbs se repelen. Est observción demuestr ue el hule y el vidrio tienen dos tipos diferentes de crg. Con bse en ests observciones, se puede concluir ue crgs de un mismo signo se repelen y crgs de signos opuestos se tren. Si plic l regl estblecid por Frnklin, l crg eléctric en l vrill de vidrio se le denomin positiv y l vrill de hule, negtiv. Por lo tnto, culuier objeto con crg ue se trído por un vrill de hule con crg (o repelido por un vrill de vidrio con crg), deberá tener un crg positiv, y culuier objeto con crg repelido por un vrill de hule con crg (o trído por un vrill de vidrio con crg), deberá tener un crg negtiv. Otro specto importnte de l electricidd ue es evidente prtir de l observción eperimentl es ue en un sistem isldo l crg eléctric siempre se conserv. Es decir, cundo se frot un objeto contr otro, no se cre crg en este proceso. El estdo de electrificción se debe un trnsferenci de crg de uno de los objetos hci el otro. Uno duiere prte de l crg negtiv en tnto ue el otro duiere l mism cntidd de crg, pero positiv. Por ejemplo, cundo un brr de vidrio es frotd con sed, como se preci en l figur 23.2, l sed duiere un crg negtiv igul en mgnitud l crg positiv de l brr de vidrio. Hoy dí se sbe, grcis l comprensión de l estructur del átomo, ue en el proceso de frotción se trnsfieren electrones del vidrio l sed. De mner similr, cundo el hule es frotdo contr l piel, los electrones se trnsfieren l hule dándole un crg negtiv net y l piel un crg positiv net. Este proceso es consistente con el hecho de ue l mteri, neutr y sin crg, contiene tnts crgs positivs (protones en los núcleos de los átomos) como negtivs (electrones). En 1909 Robert Millikn ( ) descubrió ue ls crgs eléctrics siempre se presentn como un entero múltiplo de un cntidd básic de crg e (vése l sección 25.7). En términos ctules se dice ue l crg eléctric está cuntizd, y es el símbolo de l vrible pr l crg; en otrs plbrs, l crg eléctric eiste en form de puetes discretos y se escribe Ne, donde N es lgún número entero. Otros eperimentos del mismo periodo demostrron ue el electrón tiene un crg e y el protón un crg de igul mgnitud, pero de signo contrrio, e. Alguns prtículs, como el neutrón, no poseen crg. L crg eléctric se conserv Figur 23.2 Cundo un vrill de vidrio es frotd con sed, se trnsfieren electrones del vidrio l sed. Debido l conservción de l crg, cd electrón ñde crg negtiv l sed, y un cntidd igul de crg positiv ued trás en l vrill. Tmbién, y ue ls crgs se trnsfieren en puetes discretos, ls crgs en mbos objetos son igules e o 2e o 3e, y sí en form sucesiv.

3 644 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos ) b) c) d) e) Figur 23.3 Crg de un objeto metálico medinte inducción (es decir, sin ue un objeto toue otro). ) Esfer metálic neutr, con igul cntidd de crgs positivs y negtivs. b) Al cercr un vrill de hule crgd, los electrones en l esfer neutr se redistribuyen. c) Al conectr l esfer tierr, lgunos de sus electrones se fugn trvés del lmbre tierr. d) Al eliminr l coneión l tierr, l esfer ued con demsid crg positiv ue no está distribuid de mner uniforme. e) Al retirr l vrill, se redistribuyen los electrones restntes y se tiene un distribución uniforme positiv net sobre l esfer. Pregunt rápid 23.1 Se colocn tres objetos, muy cerc uno del otro, dos l mismo tiempo. Cundo se juntn los objetos A y B, se repelen. Cundo se cercn los objetos B y C, se repelen. De los siguientes enuncidos, cuál es el verddero? ) Los objetos A y C tienen crgs del mismo signo. b) Los objetos A y C poseen crgs de signos opuestos. c) Los tres objetos tienen crgs del mismo signo. d) Uno de los objetos es neutro. e) Es necesrio llevr cbo eperimentos dicionles pr determinr los signos de ls crgs Objetos de crg medinte inducción Es conveniente clsificr los mteriles en función de l cpcidd con ue los electrones se mueven trvés del mteril: Los conductores eléctricos son uellos mteriles en los cules lgunos de los electrones son libres, 1 no están unidos átomos y pueden moverse con libertd trvés del mteril. Los islntes eléctricos son uellos mteriles en los cules todos los electrones están unidos átomos y no pueden moverse libremente trvés del mteril. Mteriles como el vidrio, el hule y l mder se incluyen en l ctegorí de islntes eléctricos. Cundo estos mteriles son frotdos sólo l zon frotd se crg, y ls prtículs con crg no pueden moverse hci otrs zons del mteril. En contrste, mteriles como el cobre, el luminio y l plt son buenos conductores eléctricos. Cundo están con crg en lgun peueñ zon, l crg se distribuye de inmedito en tod l superficie del mteril. Un tercer clse de mteriles son los semiconductores, cuys propieddes eléctrics se ubicn entre ls correspondientes los islntes y los conductores. El silicio y el germnio son ejemplos muy conocidos de mteriles semiconductores de uso común en l fbricción de un grn diversidd de chips electrónicos utilizdos en computdors, teléfonos celulres y estéreos. Ls propieddes eléctrics de los semiconductores cmbin, en vrios órdenes de mgnitud, prtir de l dición de cntiddes controlds de ciertos átomos. Pr comprender cómo se crg un conductor medinte inducción, imgine un esfer conductor neutr (sin crg) isld de l tierr, como se muestr en l figur En l esfer eiste un cntidd igul de electrones y de protones, y ue l crg de l esfer es igul cero. Cundo l esfer se le cerc un vrill de hule con crg negtiv, los electrones en l región más cercn l vrill eperimentn un fuerz de repulsión y emigrn l ldo opuesto de l esfer. Esto provoc ue l región de l esfer cercn l vrill se uede con crg positiv cus del menor número de electrones, como se observ en l figur 23.3b. (El ldo izuierdo de l esfer de l figur 23.3b ued con crg positiv, como si se hubiern trslddo dich región crgs positivs, pero recuerde ue sólo los electrones tienen l libertd pr moverse.) Esto se present un cundo l vrill no toue l esfer. Si el mismo eperimento se reliz con un lmbre conductor conectdo de l esfer l tierr (figur 23.3c) lgunos de los electrones en el conductor son repelidos con tl fuerz, por l presenci de l crg negtiv de l vrill, ue slen de l esfer trvés del lmbre hci l tierr. El símbolo l etremo en l figur 23.3c indic ue el lmbre está conectdo tierr, como un depósito, l igul ue l tierr, ue puede ceptr o proveer de electrones con libertd sin ue se produzc un efecto significtivo sobre sus crcterístics eléctrics. Si el lmbre tierr se retir (figur 23.3d), l esfer conductor se ued con un eceso de 1 Un átomo de metl tiene uno o más electrones eteriores, con un unión débil l núcleo. Cundo se combinn muchos átomos pr formr un metl, los electrones libres son electrones eteriores, ue no están unidos ningún átomo y se mueven por el metl de un form similr como lo hcen ls moléculs de gs en el interior de un recipiente.

4 Sección 23.3 Ley de Coulomb 645 Objeto crgdo Mteril islnte Crgs inducids 1968 Fundmentl Photogrphs. ) b) Figur 23.4 ) El objeto con crg de l izuierd induce un distribución de crg sobre l superficie de un mteril islnte debido l relineción de ls crgs en ls moléculs. b) Un peine con crg tre frgmentos de ppel debido ue ls crgs en ls moléculs del ppel se relinen. crg positiv inducid, y ue tiene menos electrones de los ue necesit pr cncelr l crg positiv de los protones. Cundo l vrill de hule se lej de l esfer (figur 23.3e), est crg positiv inducid se ued en l esfer desconectd de l tierr. Observe ue durnte este proceso, l vrill de hule no pierde su crg negtiv. Pr crgr un objeto por inducción no es necesrio ue teng contcto con el objeto ue induce l crg, diferenci de cundo un objeto se crg por frotmiento (por conducción), en donde sí se reuiere el contcto entre mbos objetos. Un proceso similr l inducción en los conductores se present en los mteriles islntes. En l myorí de ls moléculs neutrs, el centro de l crg positiv coincide con el centro de l crg negtiv. Sin embrgo, en presenci de un objeto con crg, estos centros en el interior de cd molécul, en un mteril islnte, se desplzn ligermente, lo ue result en ue un ldo de l molécul teng un crg más positiv ue el otro. Este relinemiento de l crg en el interior de ls moléculs produce un cp de crg sobre l superficie del mteril islnte, como observ en l figur Su conocimiento de inducción en los mteriles islntes, le yud eplicr por ué un peine ue h sido frotdo contr el cbello, tre frgmentos de ppel eléctricmente neutros, como se muestr en l figur 23.4b. Pregunt rápid 23.2 Se colocn tres objetos, muy cerc uno del otro dos l mismo tiempo. Cundo se juntn los objetos A y B, se tren. Cundo se cercn los objetos B y C, se repelen. Cuál de ls siguientes opciones es necesrimente un verdd?: ) Los objetos A y C tienen crgs del mismo signo. b) Los objetos A y C tienen crgs de signo opuesto. c) Los tres objetos tienen crgs del mismo signo. d) Uno de los objetos es neutro. e) Es necesrio llevr cbo eperimentos dicionles pr determinr ls crgs de los objetos. Cbezl de suspensión Fibr 23.3 Ley de Coulomb Chrles Coulomb ( ) midió ls mgnitudes de ls fuerzs eléctrics entre objetos con crg; pr hcerlo usó l blnz de torsión, ue él mismo inventó (figur 23.5). El principio de operción de l blnz de torsión es el mismo ue el del prto usdo por Cvendish pr medir l constnte de l grvedd (vése l sección 13.1), con esfers eléctricmente neutrs reemplzds por esfers con crg. L fuerz eléctric entre ls esfers A y B de l figur 23.5 provoc ue se trign o se repeln, y el movimiento resultnte provoc ue l fibr suspendid se tuerz. Grcis ue el momento de torsión de recuperción de l fibr torcid es proporcionl l ángulo de rotción de l fibr, un lectur de este ángulo d un medid cuntittiv de l fuerz eléctric de trcción o de repulsión. Un vez crgds ls esfers por frotción, l fuerz eléctric entre mbs se vuelve muy grnde en comprción con l trcción de l grvedd y, por lo tnto, est últim fuerz se puede ignorr. B A Figur 23.5 Blnz de torsión de Coulomb, utilizd pr determinr l ley del cudrdo inverso pr un fuerz eléctric entre dos crgs.

5 646 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos A prtir de los eperimentos de Coulomb, se generlizn ls propieddes de l fuerz eléctric entre dos prtículs inmóviles con crg. Pr ello se us el término crg puntul ue hce referenci un prtícul con crg de tmño cero. El comportmiento eléctrico de electrones y protones ued muy bien descrito si se representn como crgs puntules. Debido observciones eperimentles es posible encontrr l mgnitud de un fuerz eléctric ( veces llmd fuerz de Coulomb) entre dos crgs puntules estblecids por l ley de Coulomb: Ley de Coulomb Constnte de Coulomb F e r 2 (23.1) donde es un constnte conocid como constnte de Coulomb. En sus eperimentos, Coulomb demostró ue el vlor del eponente de r er 2, con un incertidumbre de unos cuntos puntos porcentules. Eperimentos recientes hn comprobdo ue el eponente es 2, con un incertidumbre de uns cunts prtes en Los eperimentos tmbién muestrn ue l fuerz eléctric, como l fuerz de grvedd, es conservtiv. El vlor de l constnte de Coulomb depende de l elección de ls uniddes. L unidd de crg del SI es el coulomb (C). L constnte de Coulomb en uniddes del SI tiene el vlor Además est constnte se epres como N m 2 /C 2 (23.2) 1 4pe 0 (23.3) donde l constnte e 0 (grieg minúscul épsilon) se conoce como l permitividd del vcío, cuyo vlor es e C 2 /N m 2 (23.4) L unidd de crg más peueñ e conocid en l nturlez, 2 es l crg de un electrón (e) o de un protón (e), con un mgnitud de Cortesí de AIP Niels Bohr Librry/E. Scott Br Collection. CHARLES COULOMB Físico frncés ( ) Ls principles portciones l cienci de Chrles Coulomb fueron en los cmpos de l electrostátic y del mgnetismo. En el trnscurso de su vid, tmbién investigó l resistenci de los mteriles y determinó ls fuerzs ue fectn objetos sobre vigs; sí contribuyó l cmpo de l mecánic estructurl. En el cmpo de l ergonomí, sus investigciones logrron un discernimiento básico sobre ls condiciones en ue ls persons y los nimles pueden trbjr mejor. e C (23.5) Por lo tnto, un crg igul 1 C es proimdmente igul l crg de electrones o protones. Est cntidd es muy peueñ en comprción con el número de electrones libres presentes en 1 cm 3 de cobre, ue es del orden de Aun sí, 1 C es un cntidd de crg sustncil. En los eperimentos en ue se crg por frotción un vrill de hule o de vidrio, se obtiene un crg net del orden de 10 6 C. En otrs plbrs, sólo un frcción muy peueñ de l crg totl disponible se h trnsferido entre l vrill y el mteril contr el ue se frot. Ls crgs y mss del electrón, el protón y el neutrón precen en l tbl TABLA 23.1 Crg y ms de electrones, protones y neutrones Prtícul Crg (C) Ms (kg) Electrón (e) Protón (p) Neutrón (n) En un prtícul libre no h sido posible detectr ningun unidd de crg menor ue e ; sin embrgo, ls teorís ctules proponen l eistenci de prtículs de nombre urks con crgs igules e/3 y 2e/3. Aunue eisten muchs evidencis eperimentles de ests prtículs en el interior de mteri nucler, jmás se hn detectdo urks libres. En el cpítulo 46 se eplicn otrs propieddes de los urks.

6 Sección 23.3 Ley de Coulomb 647 EJEMPLO 23.1 El átomo de hidrógeno El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están seprdos (en promedio) por un distnci de proimdmente m. Encuentre ls mgnitudes de l fuerz eléctric y l fuerz grvitcionl entre ls dos prtículs. Conceptulizr Considere ue ls dos prtículs están seprds por l peueñ distnci dd en el enuncido del problem. En el cpítulo 13 encontró ue l fuerz grvitcionl entre objetos peueños es débil, por lo ue es de esperr ue l fuerz grvitcionl entre el electrón y el protón se significtivmente menor ue l fuerz eléctric. Ctegorizr Ls fuerzs eléctric y grvitcionl se evlurán prtir de leyes de fuerz universles, sí ue este ejemplo se clsific como un problem de sustitución. Use l ley de Coulomb pr encontrr l mgnitud de l fuerz eléctric: F e 0e00 e0 r N # m 2 >C C m N Use l ley de grvitción universl de Newton y l tbl 23.1 (pr ls mss de ls prtículs) y encuentre l mgnitud de l fuerz grvitcionl: F g G m em p r N # m 2 >kg kg kg m N L relción F e /F g Por lo tnto, l fuerz grvitcionl entre prtículs tómics con crg es desprecible cundo se compr con l fuerz eléctric. Observe ls similtudes entre l ley de Newton de grvitción universl y l ley de Coulomb de fuerzs eléctrics. Aprte de l mgnitud, cuál es l diferenci fundmentl entre ls dos fuerzs? Cundo se relcion con l ley de Coulomb, es necesrio recordr ue l fuerz es un cntidd vectoril ue deberá ser trtd como corresponde. L ley de Coulomb, epresd en form vectoril pr un fuerz eléctric ejercid por un crg 1 sobre un segund crg 2, rescrit como F S 312, es F S r 2 r^ 12 (23.6) donde rˆ12 es un vector unitrio dirigido de 1 hci 2, como se puede observr en l figur 23.7 (en l págin siguiente) y ue l fuerz eléctric obedece l tercer ley de Newton, l fuerz eléctric ejercid por 2 sobre 1 es igul en mgnitud pero en sentido opuesto Form vectoril de l ley de Coulomb r F rˆ 12 2 F 21 F 12 F 21 ) 1 b) Figur 23.6 Dos crgs puntules seprds por un distnci r ejercen un fuerz mutu ue está determind por l ley de Coulomb. L fuerz F S 21 ejercid por 2 sobre 1 es igul en mgnitud pero en sentido opuesto l fuerz F S 12 ejercid por 1 sobre 2. ) Cundo ls crgs tienen el mismo signo, l fuerz es de repulsión. b) Cundo ls crgs tienen signos opuestos, l fuerz es de trcción.

7 648 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos l fuerz ejercid por 1 sobre 2 ; es decir, F S 321 F S 312. Por último, en l ecución 23.6, es clro ue si 1 y 2 son del mismo signo, como se observ en l figur 23.6b, el producto 1 2 es positivo. Si 1 y 2 son de signos opuestos, como se muestr en l figur 23.7b, el producto 1 2 es negtivo. Estos signos indicn l dirección reltiv de l fuerz, pero no l dirección bsolut. Un producto negtivo indic ue se trt de un fuerz de trcción, por lo ue cd un de ls crgs eperiment un fuerz hci l otr. Un producto positivo indic ue se trt de un fuerz de repulsión tl ue cd crg eperiment un fuerz ue l sepr de l otr. L dirección bsolut de l fuerz sobre un crg depende de l posición de l otr crg. Por ejemplo, si el eje de ls está lo lrgo de ls dos crgs en l figur 23.6, el producto 1 2 será positivo, pero F S 312 punt en l dirección de y F S 321 en l dirección de. Cundo hy más de dos crgs presentes, l fuerz ue se ejerce entre culuier pr de crgs está dd por l ecución Debido eso, l fuerz resultnte de culuier de ells es igul l sum vectoril de ls fuerzs ejercids por ls otrs crgs individules. Por ejemplo, si están presentes cutro crgs, l fuerz resultnte ejercid por ls prtículs 2, 3 y 4 sobre l prtícul 1 es de F S 1 F S 21 F S 31 F S 41 Pregunt rápid 23.3 El objeto A tiene un crg igul 2 mc y el objeto B un crg de 16 mc. Cuál de ls siguientes firmciones es verdder respecto ls fuerzs eléctrics ejercids sobre los objetos? ) F S 3AB 3F S 3BA, b) F S 3AB F S 3BA, c) 3F S 3AB F S 3BA, d) F S 3AB 3F S 3BA, e) F S 3AB F S 3BA, f) 3F S 3AB F S 3BA. EJEMPLO 23.2 Encuentre l fuerz resultnte Considere tres crgs puntules ubicds en ls esuins de un triángulo rectángulo, como se muestr en l figur 23.7, donde mc, mc y 0.10 m. Encuentre l fuerz resultnte ue se ejerce sobre 3. y 2 F 23 F 13 3 Conceptulizr Piense en l fuerz net sobre 3. Y ue l crg 3 está cerc de otrs dos crgs, eperimentrá dos fuerzs eléctrics. 2 Ctegorizr Y ue sobre l crg 3 se ejercen dos fuerzs, este ejemplo se clsific como un problem de sum vectoril. 1 Anlizr Ls direcciones de ls fuerzs individules ejercids por 1 y 2 sobre 3 se muestrn en l figur L fuerz F S 3 23 ue 2 ejerce sobre 3 es de trcción porue 2 y 3 tienen signos opuestos. En el sistem coordendo ue se muestr en l figur 23.7, l fuerz de trcción F S 3 23 es hci l izuierd (en l dirección negtiv). L fuerz F S ue 13 1 ejerce sobre 3 es de repulsión porue mbs crgs son positivs. L fuerz de repulsión F S 3 13 form un ángulo de 45 con el eje. Figur 23.7 (Ejemplo 23.2) L fuerz ue ejerce 1 sobre 2 es F S 13. L fuerz ue ejerce 2 sobre 3 es F S 23. L fuerz resultnte F S 3 ue se ejerce sobre 3 es l sum vectoril F S 13 F S 23. Use l ecución 23.1 pr encontrr l mgnitud de F S 3 23 : F N # m 2 >C C C m N Encuentre l mgnitud de l fuerz F S 3 13 : F N # m 2 >C C C m N

8 Sección 23.3 Ley de Coulomb 649 Encuentre ls componentes y y de l fuerz F S 313: Hllr ls componentes de l fuerz resultnte ue ctú sobre 3 : F 13 F 13 cos N F 13 y F 13 sen N F 3 F 13 F N N N F 3 y F 13 y F 23 y 7.9 N N Eprese l fuerz resultnte ue ctú sobre 3 en form de vectores unitrios: S ^ F i ^ 7.9 j 2 N Finlizr L fuerz net sobre 3 es hci rrib y l izuierd en l figur Si 3 se mueve en respuest l fuerz net, cmbin ls distncis entre 3 y ls otrs crgs, de modo ue l fuerz net cmbi. En consecuenci, 3 se puede modelr como un prtícul bjo un fuerz net en tnto se reconozc ue l fuerz ue se ejerce sobre 3 no es constnte. Que psrí si? Y si los signos de ls tres crgs cmbirn los signos opuestos? Cómo fectrí l resultdo pr F S 3? Respuest L crg 3 todví serí tríd hci 2 y repelid de 1, con fuerzs de l mism mgnitud. En consecuenci, el resultdo finl pr F S 3 serí el mismo. EJEMPLO 23.3 Dónde es cero l fuerz net? Tres crgs puntules se encuentrn lo lrgo del eje, como se muestr en l figur L crg positiv mc está en 2.00 m, l crg positiv mc está en el origen y l fuerz net ue 2.00 m ctú sobre 3 es cero. Cuál es l coordend de 3? Conceptulizr Y ue 3 está cerc de otrs dos crgs, eperiment dos fuerzs eléctrics. Sin embrgo, diferenci del ejemplo nterior, en este problem ls fuerzs se encuentrn lo lrgo de l mism líne, como se indic en l figur Como 3 es negtiv, mientrs ue 1 y 2 son positivs, ls fuerzs F S 313 y F S 323 son de trcción. Ctegorizr Y ue l fuerz net sobre 3 es cero, l crg puntul se model como un prtícul en euilibrio. Anlizr Escrib un epresión pr l fuerz net sobre l crg 3 cundo está en euilibrio: Muev el segundo término l derech de l ecución e igule los coeficientes del vector unitrio î : Elimine y 3 y reordene l ecución: Reduzc l ecución cudrátic un form más simple: Resuelv l ecución cudrátic pr l ríz positiv: F S 3 F S 23 F S i^ Figur 23.8 (Ejemplo 23.3) Tres crgs puntules se colocn lo lrgo del eje. Si l fuerz resultnte ue ctú sobre 3 es cero, l fuerz F S 13 ue ejerce 1 sobre 3 debe ser igul en mgnitud y opuest en dirección l fuerz F S 23 ue 2 ejerce sobre 3. Finlizr L segund ríz de l ecución cudrátic es 3.44 m, otr posición donde ls mgnitudes de ls fuerzs sobre 3 son igules, unue dichs fuerzs están en l mism dirección F 23 3 F i^ C C m 0

9 650 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos Que psrí si? Supong ue 3 se restringe moverse sólo lo lrgo del eje. Desde su posición inicil en m, se jl un peueñ distnci lo lrgo del eje. Cundo se liber, regres l euilibrio o se jl ún más desde el euilibrio? Es decir, el euilibrio es estble o inestble? Respuest Si 3 se mueve hci l derech, F S 313 se vuelve myor y F S 323 menor. El resultdo es un fuerz net hci l derech, en l mism dirección ue el desplzmiento. Por lo tnto, l crg 3 continurí moviéndose hci l derech y el euilibrio es inestble. (Vése l sección 7.9 pr un repso de los euilibrios estble e inestble.) Si 3 se restringe permnecer en un coordend fij pero se le permite moverse rrib y bjo en l figur 23.8, el euilibrio es estble. En este cso, si l crg se jl hci rrib (o hci bjo) y se liber, se mueve de regreso hci l posición de euilibrio y oscil en torno este punto. EJEMPLO 23.4 Encuentre l crg sobre ls esfers Dos peueñs esfers idéntics crgds, cd un con un ms de kg, cuelgn en euilibrio como se muestr en l figur L longitud de cd cuerd es 0.15 m y el ángulo u es 5.0. Encuentre l mgnitud de l crg sobre cd esfer. Coneptulizr L figur 23.9 yud formr ides de este ejemplo. Ls dos esfers ejercen fuerzs de repulsión un sobre l otr. Si se mntienen cerc y se libern, se mueven hci fuer desde el centro y se estblecen en l configurción de l figur 23.9 después de ue ls oscilciones desprecen debido l resistenci del ire. Ctegorizr L frse clve en euilibrio yud modelr cd esfer como un prtícul en euilibrio. Este ejemplo es similr los problems de prtícul en euilibrio del cpítulo 5, con l crcterístic gregd de ue un de ls fuerzs sobre un esfer es un fuerz eléctric. L u u L L 0.15 m u 5.0 mg ) b) Figur 23.9 (Ejemplo 23.4) ) Dos esfers idéntics, cd un con l mism crg, suspendids en euilibrio. b) Digrm de cuerpo libre pr l esfer l izuierd del inciso ). F e T cos u u T u T sen u Anlizr En l figur 23.9b se muestr el digrm de cuerpo libre pr l esfer de l izuierd. L esfer está en euilibrio bjo l plicción de ls fuerzs T S de l cuerd, l fuerz eléctric F S 3e de l otr esfer y l fuerz grvitcionl m gs. Escrib l segund ley de Newton pr l esfer de l izuierd en form de componentes: 1) F T sen u F e 0 S T sen u F e 2) F y T cos u mg 0 S T cos u mg Divid l ecución 1) entre l ecución 2) pr encontrr F e : tn u F e mg S F e mg tn u Evlúe numéricmente l fuerz eléctric: F e kg m >s 2 2 tn N Use l geometrí del triángulo rectángulo en l figur 23.9 pr encontrr l correspondenci entre, L y u: sen u L S L sen u Evlúe : m 2 sen m Resuelv l ley de Coulomb (ecución 23.1) pr l crg en cd esfer: F e S 0 0 r 2 F e r 2 B F e B

10 Sección 23.4 El cmpo eléctrico 651 Sustituy vlores numéricos: 00 B N m N # m 2 >C C Finlizr No es posible determinr el signo de l crg prtir de l informción ue se proporcion. De hecho, el signo de l crg no es importnte. L situción es l mism y se ue mbs esfers tengn crg positiv o crg negtiv. Que psrí si? Supong ue su compñer de curto le propone resolver este problem sin l suposición de ue ls crgs son de igul mgnitud. Ell firm ue l simetrí del problem se destruye si ls crgs no son igules, de modo ue ls cuerds formrín dos ángulos diferentes con l verticl y el problem serí mucho más complicdo. Cómo responderí? Respuest L simetrí no se destruye y los ángulos no son diferentes. L tercer ley de Newton reuiere ue ls mgnitudes de ls fuerzs eléctrics sobre ls dos crgs sen igules, sin importr l iguldd o desiguldd de ls crgs. L solución l ejemplo ún es l mism: el vlor de 2 en l solución se sustituye por 1 2 en l nuev situción, donde 1 y 2 son los vlores de ls crgs en ls dos esfers. L simetrí del problem se destruirí si ls mss de l esfers no fuern igules. En este cso, ls cuerds formrín diferentes ángulos con l verticl y el problem serí más complicdo El cmpo eléctrico Hst hor se h hbldo de dos fuerzs de cmpo: l fuerz grvitcionl en el cpítulo 13 y l fuerz eléctric en el presente cpítulo. Como se dijo ntes, ls fuerzs de cmpo ctún trvés del espcio y producen lgún efecto, un cundo no eist contcto físico entre los objetos ue interctún. El cmpo grvitcionl g S como un punto en el espcio debido un fuente prticulr fue definido en l sección 13.4, como igul l fuerz grvitcionl F S 3g ue ctú sobre un prtícul de prueb de ms m dividid entre es ms: S g F S 3g/m. El concepto de cmpo fue desrrolldo por Michel Frdy ( ) en relción con ls fuerzs eléctrics, y es de un vlor tn práctico ue en los siguientes cpítulos recibe much tención. En este plntemiento, eiste un cmpo eléctrico en l región del espcio ue rode un objeto con crg: l crg fuente. Cundo otro objeto con crg l crg de prueb entr en este cmpo eléctrico, un fuerz eléctric ctú sobre él. Pr ejemplificr, observe l figur 23.10, ue muestr un peueñ crg de prueb positiv 0 colocd cerc de un segundo objeto con un crg positiv Q mucho myor. El cmpo eléctrico provocdo por l crg fuente en l crg de prueb se defince como l fuerz eléctric sobre l crg de prueb por crg unitri, o, pr myor clridd, el vector E S del cmpo eléctrico en un punto en el espcio se define como l fuerz eléctric F S 3e, ue ctú sobre un crg de prueb positiv 0 colocd en ese punto, dividid entre l crg de prueb: 3 E S FS e 0 (23.7) El vector E S está en uniddes del SI, newtons por cd coulomb (N/C). Observe ue E S es el cmpo producido por un crg o distribución de crg seprd de l crg de prueb; no es el cmpo producido por l propi crg de prueb, demás observe ue l eistenci de un cmpo eléctrico es un propiedd de su fuente; l presenci de un crg de prueb no es necesri pr ue el cmpo eist. L crg de prueb sirve como detector del cmpo eléctrico. L dirección de E S, como se muestr en l figur 23.10, es l dirección de l fuerz ue eperiment un crg de prueb positiv cundo es colocd en el cmpo; eiste un cmpo eléctrico en un punto si un crg de prueb en dicho punto eperiment un fuerz eléctric. 3 Cundo use l ecución 23.7, debe suponer ue l crg de prueb 0 es lo suficientemente peueñ como pr no perturbr l distribución de crgs responsble por el cmpo eléctrico. Si l crg de prueb es suficientemente grnde, l crg sobre l esfer metálic se redistribuye y el cmpo eléctrico ue estblece es diferente del cmpo ue se estblece en presenci de l crg de prueb mucho menor. Est fotogrfí drmátic cptur l cíd de un ryo sobre un árbol cerc de lguns css en un zon rurl. Los relámpgos están socidos con cmpos eléctricos muy intensos ue se genern en l tmósfer. Definición de cmpo eléctrico Q Crg fuente 0 P E Crg de prueb Figur Un peueñ crg de prueb positiv 0 colocd en el punto P cerc de un objeto con un crg positiv Q mucho myor eperiment un cmpo eléctrico E S en el punto P estblecido por l crg fuente Q.

11 652 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 23.1 Sólo prtículs L ecución 23.8 sólo es válid pr un prtícul de crg, es decir pr un objeto de tmño cero. Pr un objeto de tmño finito en un cmpo eléctrico, el cmpo puede vrir en mgnitud y dirección de cuerdo con el tmño del objeto, por lo ue l ecución de fuerz correspondiente puede ser más complicd. L ecución 23.7 puede epresrse tmbién como F S e E S (23.8) Est ecución proporcion l fuerz ejercid sobre un prtícul con crg colocd en un cmpo eléctrico. Si es positiv, l fuerz tiene l mism dirección ue el cmpo. Si es negtiv, l fuerz y el cmpo tienen direcciones opuests. Observe l similitud entre l ecución 23.8 y l ecución correspondiente un prtícul con ms colocd en un cmpo grvitcionl, F S 3g m g S (sección 5.5).Un vez ue conoce l mgnitud y l dirección del cmpo eléctrico en un punto determindo, puede clculr l fuerz eléctric ejercid sobre culuier prtícul con crg ubicd en ese punto medinte l ecución Pr determinr l dirección ue tiene un cmpo eléctrico, considere un crg puntul como crg fuente. Est crg produce un cmpo eléctrico en todos los puntos del espcio ue l rode. En el punto P, un distnci r de l crg fuente, se coloc un crg de prueb 0, tl como se observ en l figur Imgine el uso de l crg de prueb pr determinr l dirección de l fuerz eléctric y, por lo tnto, l dirección del cmpo eléctrico. De cuerdo con l ley de Coulomb, l fuerz ejercid por sobre l crg de prueb es F S e k 0 r^ e r 2 dónde rˆ es un vector unitrio con dirección de hci 0. En l figur est fuerz se lej de l crg fuente. Y ue el cmpo eléctrico en P, ue es l posición de l crg de prueb, ued definido por E S F S 3e / 0, el cmpo eléctrico en P estblecido por es k e (23.9) E S Si l crg fuente es positiv, l figur 23.11b muestr l situción l eliminr l crg de prueb: l crg fuente estblece un cmpo eléctrico en el punto P, lejándose de. Si es negtiv, como en el cso de l figur 23.11c, l fuerz sobre l crg de prueb está dirigid hci l crg fuente, por lo ue el cmpo eléctrico en P está dirigido hci l crg fuente, como en l figur 23.11d. Pr clculr el cmpo eléctrico en un punto P debido un grupo de crgs puntules, primero determine los vectores del cmpo eléctrico en P, uno por uno; use l ecución 23.9 y en seguid súmelos en form vectoril. En otrs plbrs, en culuier punto P, el cmpo eléctrico totl debido un grupo de crgs fuente es igul l sum vectoril de los cmpos eléctricos de tods ls crgs. Este principio de sobreposición plicdo los cmpos se deduce de l sum vectoril de ls fuerzs eléctrics. Por lo tnto, el cmpo eléctrico en el punto P debido un grupo de crgs fuente se epres como l sum vectoril r 2 r^ Cmpo eléctrico debido un número finito de crgs puntules E S i i r i 2 r^ i (23.10) Figur Un crg de prueb 0 en el punto P está un distnci r de l crg puntul. ) Si es positiv, l fuerz en l crg de prueb se lej de. b) Pr un crg fuente positiv, el cmpo eléctrico en P punt rdilmente hci fuer de. c) Si es negtiv, l fuerz en l crg de prueb se dirige hci. d) Pr un crg fuente negtiv, el cmpo eléctrico en P punt rdilmente hci dentro en dirección. rˆ rˆ r ) 0 P P F e E rˆ rˆ F e c) E 0 P P b) d)

12 donde r i es l distnci desde l i-ésim crg fuente i hst el punto P y rˆi es un vector unitrio dirigido de i hci P. En el ejemplo 23.5 se eplor el cmpo eléctrico debido dos crgs prtir del principio de sobreposición. El inciso (B) del ejemplo se concentr en un dipolo eléctrico, ue se define como un crg positiv y un crg negtiv seprds por un distnci 2. El dipolo eléctrico es un buen modelo de muchs moléculs, como el ácido clorhídrico (HCl). Los átomos y moléculs neutros se comportn como dipolos cundo se colocn en un cmpo eléctrico eterno. Además, muchs moléculs, como HCl, son dipolos permnentes. En el cpítulo 26 se eplic el efecto de tles dipolos sobre el comportmiento de los mteriles sujetos cmpos eléctricos. Pregunt rápid 23.4 Un crg de prueb de vlor 3 mc está en un punto P donde un cmpo eléctrico eterno es dirigido hci l derech con un mgnitud de N/C. Si l crg de prueb se reemplz con otr de mgnitud 3 mc, ué le sucede l cmpo eléctrico eterno en P? ) no se ve fectdo, b) invierte su dirección, c) cmbi de un modo ue no puede ser determindo. Sección 23.4 El cmpo eléctrico 653 EJEMPLO 23.5 Cmpo eléctrico debido dos crgs Ls crgs 1 y 2 se ubicn en el eje, distncis y b, respectivmente, del origen, como se muestr en l figur A) Encuentre ls componentes del cmpo eléctrico neto en el punto P, ue está sobre el eje y. Conceptulizr Compre este ejemplo con el ejemplo Ahí, sumó los vectores fuerz pr encontrr l fuerz net sobre un prtícul con crg. En este cso, sume los vectores de cmpo eléctrico pr encontrr el cmpo eléctrico neto en un punto en el espcio. Ctegorizr En dos crgs fuente se busc el cmpo eléctrico resultnte, de modo ue se puede clsificr este ejemplo como uno en el ue se puede usr el principio de sobreposición representdo por l ecución Figur (Ejemplo 23.5) el cmpo eléctrico totlen P es igul l sum vectoril E S 1 E S 2, donde E S 1 es el cmpo debido l crg positiv 1 y E S 2 es el cmpo debido l crg negtiv 2. P r 1 f 1 y E 1 E f u E 2 r 2 u b 2 Anlizr Encuentre l mgnitud del cmpo eléctrico en P debido l crg 1 : Encuentre l mgnitud del cmpo eléctrico en P debido l crg 2 : E y 2 2 r E 2 2 1b 2 y 2 2 r 2 Escrib los vectores de cmpo eléctrico pr cd crg en form de vector unitrio: S E y 2 2 S E 2 1b 2 y 2 2 ^ cos f i ^ cos u i y b 2 y 2 2 ^ sen f j ^ sen u j Escrib ls componentes del vector de cmpo eléctrico neto: 1) E E 1 E y 2 2 cos f b 2 y 2 2 cos u 2) E y E 1 y E 2 y y 2 sen f b 2 y 2 sen u

13 654 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos B) Evlúe el cmpo eléctrico en el punto P en el cso especil de ue 1 2 y b. Conceptulizr L figur muestr l situción en este cso especil. Observe l simetrí en l situción y ue l distribución de crg hor es un dipolo eléctrico. Ctegorizr Y ue l figur es un cso especil del cso generl ue se muestr en l figur 23.12, este ejemplo se clsific como uno en el ue se puede tomr el resultdo del inciso A) y sustituir los vlores propidos de ls vribles. Figur (Ejemplo 23.5) Cundo ls crgs en l figur son de igul mgnitud y euidistntes del origen, l situción se vuelve simétric, como se muestr en este cso. y E 1 u P E u r E 2 y u u Anlizr En función de l simetrí de l figur 23.13, evlúe ls ecuciones 1) y 2) del inciso A) con b, 1 2, y f u: 3) E 1 2 y 2 2 E y 1 2 y 2 2 cos u 1 2 y 2 2 sen u 1 2 y 2 2 cos u y 2 2 sen u 0 cos u De l geometrí en l figur 23.13, evlúe cos u: 4) cos u r 1 2 y >2 Sustituy l ecución 4) en l ecución 3): E y k 1 2 y >2 e 1 2 y >2 C) Encuentre el cmpo eléctrico debido l dipolo eléctrico cundo el punto P está un distnci y desde el origen. En l solución l inciso B), porue y, ignore 2 en comprción con y 2 y escrib l epresión pr E en este cso: 5) E 2 y 3 Finlizr De l ecución 5) se ve ue, en los puntos lejdos de un dipolo, pero lo lrgo de l bisectriz perpendiculr de l líne ue une ls dos crgs, l mgnitud del cmpo eléctrico producido por el dipolo vrí como 1/r 3, mientrs ue el cmpo ue vrí más lentmente de un crg puntul lo hce como 1/r 2 (ecución 23.9). Esto es porue en puntos distntes los cmpos de ls dos crgs de igul mgnitud y signo opuesto csi se cnceln mutumente. L vrición 1/r 3 en E pr el dipolo tmbién se obtiene pr un punto distnte lo lrgo del eje (vése el problem 18) y pr culuier punto distnte en generl Cmpo eléctrico de un distribución de crg continu Con much frecuenci, en un grupo de crgs, l distnci eistente entre ells es mucho más reducid ue l distnci entre el grupo y el punto donde se dese clculr el cmpo eléctrico. En est situción, el sistem de crgs se model como si fuer

14 Sección 23.5 Cmpo eléctrico de un distribución de crg continu 655 continuo. Es decir, el sistem de crgs espcids en form compct es euivlente un crg totl ue es distribuid de form continu lo lrgo de lgun líne, sobre lgun superficie, o por todo el volumen. Pr estblecer el proceso de evlución del cmpo eléctrico producido por un distribución de crg continu, utilice el siguiente procedimiento: primero, divid l distribución de crgs en peueños elementos, cd uno con un peueñ crg, como se observ en l figur Después, pliue l ecución 23.9 pr clculr el cmpo eléctrico debido uno de estos elementos en el punto P. Por último, evlúe el cmpo eléctrico totl en P debido l distribución de crg l sumr ls contribuciones de todos los elementos de crg (es decir, plicndo el principio de sobreposición). El cmpo eléctrico en P debido un elemento de crg con un crg es E S r 2 r^ donde r es l distnci desde el elemento de crg hst el punto P y rˆ es el vector unitrio dirigido desde el elemento de crg hst P. El cmpo eléctrico totl en P debido todos los elementos en l distribución de crg es proimdmente E S i i r i 2 r^ i E r P Figur El cmpo eléctrico en P debido un distribución continu de crg es el vector sum de los cmpos E S debidos todos los elementos de l distribución de crg. rˆ donde el índice i se refiere l i-ésimo elemento de orden i en l distribución. Y ue l distribución de crg h sido modeld como continu, el cmpo totl en P en el límite i 0 es E S lím i S 0 i i r i 2 r^ i d r 2 r^ (23.11) donde l integrción es sobre tod l distribución de crg. L integrción en l ecución es un operción vectoril y debe ser trtd en form propid. Este tipo de cálculo se ilustr con vrios ejemplos en los ue l crg está distribuid lo lrgo de un líne, sobre un superficie, o en todo un volumen. Cundo relice estos cálculos es conveniente ue use el concepto de densidd de crg junto con ls siguientes observciones: Si un crg Q tiene un distribución uniforme en un volumen V, l densidd de crg volumétric r se define como donde r está en coulombs por metro cúbico (C/m 3 ). r Si un crg Q tiene un distribución uniforme sobre un superficie de áre A, l densidd de crg superficil s (grieg minúscul sigm) se define como donde s está en coulombs por metro cudrdo (C/m 2 ). s Si un crg Q tiene un distribución uniforme lo lrgo de un líne de longitud, l densidd de crg linel l se define como Q V Q A Cmpo eléctrico debido un distribución de crg continu Densidd de crg volumétric Densidd de crg superficil l Q / Densidd de crg linel donde l está en coulombs por metro (C/m). Si l crg no tiene distribución uniforme en un volumen, superficie o líne, ls cntiddes de crgs d en un elemento peueño de volumen, superficie o longitud son d r dv d s da d l d

15 Sección 23.5 Cmpo eléctrico de un distribución de crg continu 657 Encuentre l mgnitud del cmpo eléctrico en P debido un segmento de l brr ue teng un crg d : de d 2 l d 2 Encuentre el cmpo totl en P usndo 4 l ecución 23.11: E / l d 2 Al notr ue y l Q/ son constntes y se pueden verificr de l integrl, evlúe l integrl: E l / Q 1) E / 1 d 2 l c 1 d / 1 / b Q 1/ 2 Finlizr Si tiende cero, l ecución 1) se reduce l cmpo eléctrico debido un crg puntul, como se d por l ecución 23.9, ue es lo esperdo porue l brr se encoge tmño cero. Qué psrí si? Supong ue el punto P está muy lejos de l brr. Cuál es l nturlez del cmpo eléctrico en tl punto? Respuest Si P está lejos de l brr ( ), en tl cso se puede ignorr en el denomindor de l ecución 1) y E Q/ 2. Ést es ectmente l form ue esperrí pr un crg puntul. Por lo tnto, vlores grndes de /, l distribución de crg prece ser un crg puntul de mgnitud Q ; el punto P está tn lejos de l brr ue no es posible distinguir si tiene un tmño. El uso de l técnic límite (/ ) con frecuenci es un buen método pr comprobr un epresión mtemátic. 4 Pr relizr integrciones de este tipo, primero eprese el elemento de crg d en términos de ls otrs vribles en l integrl. (En este ejemplo, hy un vrible,, sí ue se hce el cmbio d l d.) L integrl debe ser sobre cntiddes esclres; por lo tnto, eprese el cmpo eléctrico en términos de componentes, si es necesrio. (En este ejemplo, el cmpo sólo tiene un componente, sí ue ese detlle no es preocupnte.) Luego, reduzc su epresión un integrl sobre un sol vrible (o multipliue integrles, cd un sobre un sol vrible). En los ejemplos ue tienen simetrí esféric o cilíndric, l únic vrible es un coordend rdil. EJEMPLO 23.7 Cmpo eléctrico de un nillo de crg uniforme Un nillo de rdio port un crg totl positiv distribuid uniformemente. Clcule el cmpo eléctrico debido l nillo en un punto P ue se encuentr un distnci de su centro, lo lrgo del eje centrl perpendiculr l plno del nillo (figur 23.16). Conceptulizr L figur muestr l contribución del cmpo eléctrico de S en P debido un solo segmento de crg en lo lto del nillo. Este vector de cmpo se puede resolver en sus componentes de prlels l eje del nillo y de perpendiculr l eje. L figur 23.16b muestr ls portciones de cmpo eléctrico de dos segmentos en ldos opuestos del nillo. d Debido l simetrí de l situción, ls componentes perpendiculres del cmpo se cnceln. Esto es cierto pr todos los pres de segmentos lrededor del nillo, sí ue puede ignorr l componente perpendiculr del cmpo y concentrrse en ls componentes prlels, ue simplemente se sumn. Ctegorizr Y ue el nillo es continuo, se evlú el cmpo debido un distribución de crg continu en lugr de un grupo de crgs individules. ) r u P de de de Figur (Ejemplo 23.7) Anillo crgdo de mner uniforme con rdio. ) El cmpo en P sobre el eje de ls se debe un elemento de crg d. b) El cmpo eléctrico totl en P se encuentr lo lrgo del eje de ls. L componente perpendiculr del cmpo en P debid l segmento 1 es cnceld por l componente perpendiculr correspondiente debid l segmento b) de 2 u de 1

16 658 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos Anlizr Evlúe l componente prlel de un contribución de cmpo eléctrico de un segmento de crg d sobre el nillo: 1) de d r 2 cos u d cos u A prtir de l geometrí en l figur 23.16, evlúe cos u: 2) cos u r >2 Sustituy l ecución 2) en l ecución 1): de d d > >2 2 Todos los segmentos del nillo relizn l mism portción l cmpo en P porue todos son euidistntes este punto. Integre pr obtener el cmpo totl en P : E >2 d >2 d 3) E Q 3 >2 Finlizr Este resultdo muestr ue el cmpo es cero en 0. Esto es consistente con l simetrí del problem? Además, observe ue l ecución 3) se reduce Q/ 2 si >>, de modo ue el nillo ctú como un crg puntul pr posiciones lejds del nillo. Qué psrí si? Supong ue coloc un crg negtiv en el centro del nillo en l figur y l desplz ligermente un distnci lo lrgo del eje. Cundo liber l crg, ué tipo de movimiento muestr? Respuest En l epresión pr el cmpo debido un nillo de crg, se, lo ue result en E Q 3 Por lo tnto, de l ecución 23.8, l fuerz sobre l crg colocd cerc del centro del nillo es F Q 3 Y ue est fuerz tiene l form de l ley de Hooke (ecución 15.1), el movimiento de l crg negtiv es rmónico simple! EJEMPLO 23.8 Cmpo eléctrico de un disco con crg uniforme Un disco de rdio R tiene un densidd de crg superficil uniforme s. Clcule el cmpo eléctrico en un punto P ue se encuentr lo lrgo del eje perpendiculr centrl del disco y un distnci del centro del disco (figur 23.17). Conceptulizr Si consider l disco como un conjunto de nillos concéntricos, puede usr el resultdo del ejemplo 23.7, ue d el cmpo producido por un nillo de rdio y sumr ls portciones de todos los nillos ue constituyen el disco. Por simetrí, el cmpo en un punto il debe estr lo lrgo del eje centrl. Ctegorizr Ddo ue el disco es continuo, se evlú el cmpo debido un distribución de crg continu en vez de un grupo de crgs individules. r R dr d Figur (Ejemplo 23.8) Un disco de rdio R con crg uniforme. El cmpo eléctrico en un punto il P se dirige lo lrgo del eje centrl, perpendiculr l plno del disco. P Anlizr Encuentre l cntidd de crg d en un nillo de rdio r y ncho dr, como se muestr en l figur 23.17: d sda s12pr dr2 2psr dr

17 Sección 23.6 Línes de cmpo eléctrico 659 Use este resultdo en l ecución dd pr E en el ejemplo 23.7 (sustituy con r y Q con d) pr encontrr el cmpo debido l nillo: de 1r >212psr dr2 Pr obtener el cmpo totl en P, integre est epresión en los límites r 0 r R, y note ue es un constnte en est situción: E ps ps 0 0 R R 2r dr 1r >2 1r >2 d1r 2 2 psc 1r >2 1>2 R d 0 2p sc 1 1R >2d Finlizr Este resultdo es válido pr todos los vlores 0. Es posible clculr el cmpo cerc del disco lo lrgo del eje l suponer ue R ; debido eso, l epresión entre corchetes se reduce l unidd pr dr l proimción cercn l cmpo E 2p s donde e 0 es l permitividd del espcio libre. En el cpítulo 24 obtendrá el mismo resultdo pr el cmpo producido por un plno infinito de crg con densidd de crg superficil uniforme. s 2P Línes de cmpo eléctrico Con plicción de l ecución 23.7 se h definido mtemáticmente el cmpo eléctrico. Ahor debe eplorr un medio pr drle un representción gráfic. Un form conveniente de visulizr los ptrones de los cmpos eléctricos es el trzo de línes conocids como línes de cmpo eléctrico, estblecids por primer vez por Frdy, ls cules relcionn el cmpo eléctrico con un región del espcio de l mner siguiente: El vector E S del cmpo eléctrico es tngente l líne del cmpo eléctrico en cd punto. L dirección de l líne, indicd por un punt de flech, es igul l vector del cmpo eléctrico. L dirección de l líne es l fuerz sobre un crg de prueb positiv colocd en el cmpo. El número de línes por unidd de áre ue psn trvés de un superficie perpendiculr dichs línes es proporcionl l mgnitud del cmpo eléctrico en dich región. En consecuenci, ls línes de cmpo estrán cercns donde el cmpo eléctrico se intenso y seprds donde el cmpo se débil. Ests propieddes se ilustrn en l figur L densidd de ls línes de cmpo trvés de l superficie A es myor ue l densidd de ls línes trvés de l superficie B. Debido eso, l mgnitud del cmpo eléctrico es más grnde en l superficie A ue en l superficie B. Además, si ls línes en diferentes ubicciones puntn en distints direcciones el cmpo no es uniforme. L correspondenci entre l intensidd del cmpo eléctrico y l densidd de ls línes de cmpo es consistente con l ecución 23.9, l epresión ue obtuvo pr el vlor E medinte l ley de Coulomb? Pr responder est pregunt, piense en un superficie esféric imginri de rdio r concéntric con un crg puntul. Por simetrí, l mgnitud del cmpo eléctrico será l mism en culuier prte de l superficie de l esfer. El número de línes N ue emergen de l crg es igul l número ue penetr en l superficie esféric. Por tnto, el número de línes por cd unidd de áre sobre l esfer es N/4pr 2 (donde el áre de l superficie de l esfer es 4pr 2 ). Y ue E es proporcionl l número de línes por unidd de áre, E vrí de l form 1/r 2 ; este resultdo es consistente con l ecución A Figur Línes de cmpo eléctrico ue trviesn dos superficies. L mgnitud del cmpo es myor en l superficie A ue en l B. B

18 660 Cpítulo 23 Cmpos eléctricos ) b) Figur Línes de cmpo eléctrico pr un crg puntul. ) En el cso de un crg puntul positiv, ls línes son rdiles hci fuer. b) Pr un crg puntul negtiv, ls línes son rdiles hci dentro. Observe ue ls figurs sólo muestrn uells línes ue están en el plno de l págin. c) Ls áres oscurs son peueñs prtículs suspendids en ceite ue se linen con el cmpo eléctrico producido por un peueño conductor con crg en el centro. c) Dougls C. Johnson, Cliforni Stte Polytechinc University; Pomon. PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 23.2 Ls línes de cmpo eléctrico no representn ls tryectoris de ls prtículs! Ls línes de cmpo eléctrico representn el cmpo en diferentes ubicciones. Con ecepción de csos muy especiles, no representn l tryectori de un prtícul con crg ue se mueve en un cmpo eléctrico. PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 23.3 Ls línes de cmpo eléctrico no son reles L línes de cmpo eléctrico no son objetos mteriles. Son un representción gráfic pr tener un descripción culittiv del cmpo eléctrico. Puesto ue sólo se puede dibujr un número finito de línes ue prten de cd crg, precerí ue el cmpo fuer cuntizdo y ue sólo eiste en cierts prtes del espcio. De hecho el cmpo es continuo (eiste en todos los puntos). Debe evitr obtener un impresión euivocd de línes de cmpo ue prten de un dibujo bidimensionl cuy finlidd sólo es describir un situción tridimensionl. En l figur se muestrn ls línes de cmpo eléctrico cusds por el cmpo credo por un sol crg puntul positiv. Este dibujo en dos dimensiones sólo muestr ls línes de cmpo ue están en el plno ue contiene l crg puntul. De hecho, ls línes están dirigids rdilmente lejándose de l crg en tods ls direcciones; por lo tnto, en lugr de un rued pln de línes, como l ue se muestr, es necesrio imginr tod un distribución esféric de línes. Si se colocr un crg de prueb positiv en este cmpo serí repelid por l crg fuente positiv, ls línes se lejrín rdilmente de l crg fuente. Ls línes de cmpo eléctrico ue representn l cmpo generdo por un sol crg puntul negtiv están dirigids hci l crg (figur 23.19b). En mbos csos ls línes siguen un dirección rdil y se etienden hst el infinito. Observe ue ls línes se cercn entre sí conforme se proimn l crg; ello indic ue l fuerz del cmpo se increment conforme se cercn hci l crg fuente. Ls regls pr dibujr ls línes de un cmpo eléctrico son ls siguientes: Ls línes deben empezr en un crg positiv y terminr en un crg negtiv. En cso de ue hy un eceso en culuier crg, lguns línes empezrán o terminrán en el infinito. El número de línes dibujds ue slen de un crg positiv o se cercn un crg negtiv será proporcionl l mgnitud de dich crg. Dos línes de cmpo no se pueden cruzr. Decidimos ue se C el número de línes de cmpo prtiendo de culuier objeto con crg positiv y C el número de línes de cmpo ue terminn en culuier objeto con crg negtiv, donde C es un constnte de proporcionlidd rbitrri. Un vez selecciond C, ued fijo el número de línes. Por ejemplo, en un sistem de dos crgs, si el objeto 1 tiene un crg Q 1 y el objeto 2 tiene un crg Q 2, l relción del número ) b) Dougls C. Johnson, Cliforni Stte Polytechinc University; Pomon. Figur ) Línes de cmpo eléctrico pr dos crgs puntules de igul mgnitud y de signo opuesto (un dipolo eléctrico). El número de línes ue slen de l crg positiv es igul l número ue termin en l crg negtiv. b) Peueñs prtículs suspendids en ceite se linen con el cmpo eléctrico.