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Transcripción

1 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos RICES Y DEERINNES E V V. DEFINICIÓN DE RIZ U mtrz es u cojuto de úmeros, ojetos u operdores, dspuestos e u rreglo dmesol de regloes y colums, ecerrdos etre prétess rectgulres, que oedece certs regls lgercs. Ejemplos de mtrces:,, c e g d f h, [ ] Cd u de ls prtes tegrtes del rreglo es llmdo elemeto de l mtrz y su loclzcó e el rreglo es fcdo por u sstem de dole suídce, e el cul el prmer suídce dc el regló y el segudo suídce dc l colum. m m m m E dode el elemeto j está loclzdo e el regló -ésmo y l j-ésm colum del rreglo. U mtrz que tee regloes y m colums se dce que es u mtrz de orde m (se lee como mtrz de orde por m ). Cudo se trt de mtrces muy grdes se represet co u sol letr myúscul, o por u solo elemeto co dole ídce: [ j ] dode v desde hst y j v desde hst m U mtrz co u solo regló o co u sol colum es coocd como vector regló o vector colum respectvmete. Por ejemplo, l mtrz es u vector regló de y l mtrz C es u vector colum de : [ ], c C c c

2 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos U mtrz es cudrd s posee el msmo úmero de regloes y de colums: D dgol prcpl de u mtrz cudrd es el cojuto de elemetos que prece sore l dgol del rreglo que v desde el etremo superor zquerdo l etremo feror derecho, es decr, quellos elemetos. E el ejemplo teror los elemetos de l dgol prcpl so,,,. trz de u mtrz cudrd es l sum de los elemetos de su dgol prcpl. Se deot como ( ) tr. Pr l mtrz teror, su trz es: ( ) ( ) D tr trspuest de u mtrz es l mtrz desgd por ' ó e dode los regloes de so ls colums de, esto es, s: [ ] [ ] j j Ejemplos. ) E ; E ) j h g f e d c F ; j e d h c g f F Dos mtrces se dce que so gules s so del msmo orde y todos los elemetos de l mtrz so détcos sus correspoes elemetos de l otr mtrz. P ; Q Q P

3 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos V. OPERCIONES CON RICES Sum sum de mtrces C se defe como j j j c. Esto es, l sum de mtrces es gul l sum de los elemetos correspoes de ms mtrces que tee el msmo orde. ; opercó sum cumple co ls sguetes propeddes: Propedd soctv: ( ) ( ) C C Propedd comuttv: ( ) ( ) Ejemplos. ) ) Dferec dferec o rest de mtrces C se defe como j j j c. Esto es, l dferec de mtrces es gul l rest de los elemetos correspoes de ms mtrces que tee el msmo orde. C ; D D C

4 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos ultplccó de u mtrz por u esclr El producto de u mtrz por u esclr k se defe como: uo de los elemetos de l mtrz por el esclr. k k, esto es, se multplc cd j C ; k ; k C ultplccó de mtrces Pr efectur el producto de dos mtrces se requere que el úmero de colums de l prmer mtrz se gul que el úmero de regloes de l segud. Cudo sucede esto se dce que ls mtrces so coformles pr l multplccó. Esto es, s es de orde p y es de orde q el orde de l mtrz producto es p q. os elemetos de l mtrz producto se defe de l sguete mer: c j k k kj dode v desde hst p y j v desde hst q. El elemeto que ocup l poscó (, j) de l mtrz C de p fls y q colums, se otee sumdo los productos de los elemetos de l fl de por los elemetos de l colum j de. Ejemplos. ) ; ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ; ) ;

5 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos ) [ ] ; [ ] [ ] ) ; [ ] No so coformles pr el producto. E geerl, el producto de mtrces o es comuttvo: ; ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos El producto defdo de mtrces cept ls sguetes propeddes: Propedd soctv: ( ) ( ) C C Propedd dstrutv de l multplccó respecto l sum: ( ) C C C V. RICES ESPECIES. trz cero (mtrz ul) Es quell mtrz, l cul puede ser de culquer orde, e l que todos sus elemetos vle cero. m sus propeddes so: Se: ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). trz dd (mtrz utr) Es u mtrz cudrd de orde tl que todos los elemetos de su dgol prcpl so uo y los elemetos fuer de ell so cero. I propedd prcpl de u mtrz cudrd es que: I I

7 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos Se: ; I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I. trz dgol Es u mtrz cudrd de orde tl que todos los elemetos fuer de su dgol prcpl so cero. d d d d D D. trz trgulr superor Es u mtrz cudrd de orde e l cul todos los elemetos dejo de l dgol prcpl so cero. j u pr j > u u u u u u u u u u U U

8 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos. trz trgulr feror Es u mtrz cudrd de orde e l cul todos los elemetos por rr de l dgol prcpl so cero. j l pr j < l l l l l l l l l l. trz smétrc Se dce que u mtrz cudrd es smétrc s es gul su prop trspuest: j j pr tod y pr tod j. trz tsmétrc Se dce que u mtrz cudrd es tsmétrc s es gul l egtvo de su prop trspuest: j j pr tod y pr tod j. trz cojugd Se u mtrz de úmeros complejos. S se reemplz cd elemeto por su complejo cojugdo se otee que es su mtrz cojugd.

9 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos. trz hermt Se dce que u mtrz de úmeros complejos cudrd es hermt, deotd como *, s es gul su prop trspuest cojugd: * j j pr tod y pr tod j *. trz thermt Se dce que u mtrz de úmeros complejos cudrd es thermt s es gul l egtvo de su prop trspuest cojugd: * j j pr tod y pr tod j * s mtrces smétrcs so u cso especl de ls hermts y ls mtrces tsmétrcs so u cso especl de ls thermts. Por lo tto, tod mtrz smétrc es hermt, pero u mtrz hermt o ecesrmete es smétrc. De l msm form, tod mtrz tsmétrc es thermt, pero u mtrz thermt o ecesrmete es tsmétrc.

10 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos * V. DEERINNES V.. DEFINICIÓN Se u mtrz cudrd de orde. Se defe como ermte de (deotdo como, ( ) ó ) l sum de los productos (sgdos) formdos por -fctores que se otee l multplcr -elemetos de l mtrz de tl form que cd producto coteg u sólo elemeto de cd fl y colum de. Esto sgfc que u ermte es u vlor umérco κ que está relcodo co u mtrz cudrd y que sgue certs regls pr su cálculo. ( ) κ Dos mtrces dferetes (tto e orde como e elemetos) puede teer gul ermte. Nótese como l otcó de ermte o preset los corchetes ( dferec de ls mtrces) so sólo líes. V.. CÁCUO DE DEERINNES DE SEGUNDO Y ERCER ORDEN. REG DE SRRUS Pr clculr ermtes de segudo y tercer grdo el método más smple es el de multplccó dgol, mejor coocdo como Regl de Srrus. Est regl estlece que pr u mtrz de segudo orde de l sguete mer:, su ermte se clcul ( ) esto sgfc que el ermte de segudo orde es el producto de los elemetos de l dgol prcpl meos el producto de los elemetos de l dgol secudr. Ejemplos. ) ( ) ( )

11 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) regl de Srrus plcd u mtrz de tercer orde ermte se clcul como:, estlece que su ( ) esto sgfc que el ermte de segudo orde es l sum de los productos de los elemetos de l dgol prcpl y sus dos prlels, meos l sum de los productos de los elemetos de l dgol secudr y sus dos prlels. Ejemplos. ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) V.. PROPIEDDES DE OS DEERINNES. S todos los elemetos de u colum o de u regló so cero, etoces el ermte es cero. Ejemplos. ) ( ) ( )

12 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos ) ( )( ) ( ). El ermte de l mtrz es gul l ermte de l mtrz ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ). S cd elemeto de u regló o u colum es multplcdo por u esclr k, el ermte es tmé multplcdo por k. Ejemplos. ( ) ( ) ultplcdo el prmer regló por k ( ) ( )( ) ultplcdo l prmer colum por k e geerl: ( ) ( ) k k k k k k k. S se tercm dos regloes o (colums) el sgo del ermte cm. Ejemplos. ( ) ( ) tercmdo regloes:

13 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos ( ) ( ) tercmdo colums: ( ) ( ). S u regló (o colum) se trsld p regloes (o colums) etoces el ermte otedo es gul : ( ) p ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) s se mueve l prmer colum, dos poscoes, etoces: ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) s se mueve el prmer regló, u poscó, se tee: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ). S dos regloes o dos colums so gules, etoces el ermte es cero. Ejemplos. ) ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ). U ermte o cm de vlor s todos los elemetos de u regló (o colum) le so sumdos o restdos los elemetos de otro regló (o colum) multplcdos por u esclr: j j j k k k k k k

14 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos ( ) ( ) sumdo l prmer colum l segud multplcd por : ( ) ( ) ( ) ( ) l segudo regló de se le rest tres veces el prmer regló: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Est propedd es muy empled pr oteer ceros y sí smplfcr el cálculo del ermte. ( ) ( ) ( ) V.. ENOR DE UN EEENO Se u ermte de orde, correspoe u mtrz : ( ) Se defe el meor de u elemeto j. S se deot como j l ermte que result de elmr el regló y l colum j tl ermte, se tee: j j j j j j j Ejemplos. Ddo el ermte:

15 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos lguos meores so: Ddo el ermte: Ecotrr el meor Solucó: V.. COFCOR DE UN EEENO Se defe el cofctor de u elemeto j, el cul se deot j ( ) j j j, como: es decr, el cofctor es gul l meor multplcdo por ó, depededo s l sum de los dos suídces es pr o mpr, respectvmete. Clculr los cofctores del sguete ermte: ( ) Solucó:

16 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos Clculr los cofctores de los elemetos correspoes l prmer regló del sguete ermte: ( ) Solucó. ( ) El ermte de u mtrz de culquer orde puede oteerse medte l sum de los productos de los elemetos de culquer regló o colum por sus respectvos cofctores: Pr el regló k o l colum l. ( ) kj kj j l l sí, pr u ermte de tercer orde, se tee: ( ) esto sgfc que se elge el prmer regló y se sum los elemetos por sus respectvos cofctores. Este procedmeto tmé puede plcrse colums, por ejemplo, pr el cso teror: ( ) esto sgfc que se elge l tercer colum y se sum los elemetos por sus respectvos cofctores. Clculr el sguete ermte plcdo cofctores:

17 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos ( ) omdo el prmer regló se tee: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) hor, tomdo l segud colum se tee: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Cudo prece vros ceros e u regló o e u colum, f de smplfcr el cálculo de u ermte, es coveete utlzr ese regló o colum. ( ) clculdo el cofctor y tomdo el segudo regló se tee: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) V.. RIZ DJUN S j es u mtrz cudrd y j es el cofctor de j, se defe l mtrz djut de, deotd dj, como l mtrz de cofctores de su trspuest. dj Esto sgfc que pr ecotrr l mtrz djut prmero se trspoe l mtrz y después, co se e ell, se clcul l mtrz de cofctores. Oteer l mtrz djut de:

18 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos mtrz trspuest es: mtrz de cofctores de l mtrz trspuest es: dj Ecotrr l mtrz djut de: Solucó. dj V. RIZ INVERS V.. RIZ INVERS POR E ÉODO DE DJUN E el álger mtrcl, l dvsó o está defd. versó de mtrces es l cotrprte de l dvsó e álger. vers de u mtrz está defd como quell mtrz, que multplcd por l orgl d por resultdo l mtrz dd, se deot como : I esto se cumple sempre y cudo ( ). mtrz vers se otee e su form clásc, de l sguete mer:

19 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos ( ) ( ) dj El procedmeto pr oteer l mtrz vers de u mtrz por el método de l djut es el sguete: Se clcul el ermte de. S ( ) etoces tee mtrz vers (e cso cotrro se dce que es u mtrz sgulr) Se otee l trspuest de, es decr, Se clcul l mtrz de cofctores de, ddo lugr l mtrz djut de, esto es, dj Se form el producto ( ) dj. Oteer l mtrz vers de: Solucó. ( ) ( ) dj dj Comprocó: I Oteer l mtrz vers de:

20 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos Solucó. ( ) dj dj Comprocó: I vers de u mtrz dgol se otee vrtedo sus térmos, esto es, s:

21 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos vers de u producto de mtrces se otee de l sguete regl: ( ) V.. RIZ INVERS POR RNSFORCIONES EEENES El método se s e gregr l mtrz orgl u mtrz dd del msmo orde. El ojetvo de este método es producr ceros y uos e el ldo de l mtrz orgl, los uos dee estr lojdos e l dgol prcpl, y los ceros fuer de l dgol prcpl, cudo se terme el proceso, l mtrz que result del ldo dode se ñdó l mtrz utr, será l mtrz vers. Oteer l mtrz vers de: Solucó. Se greg u mtrz utr de segudo orde: dvdedo etre el prmer regló: multplcdo por el prmer regló y sumdo l segudo: dvdedo etre el segudo regló:

22 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos multplcdo por el segudo regló y sumdo l prmero: por lo tto: Comprocó: I Oteer l mtrz vers de: Solucó. Se greg u mtrz utr de tercer orde: dvdedo etre el prmer regló: multplcdo por el prmer regló y sumdo l segudo: multplcdo por el prmer regló y sumdo l tercero:

23 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos dvdedo etre multplcdo por multplcdo por el segudo regló: el segudo regló y sumdo l prmero: el segudo regló y sumdo l tercero: dvdedo etre el tercer regló: multplcdo por el tercer regló y sumdo l prmero:

24 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos multplcdo por el tercer regló y sumdo l segudo: por lo tto: Comprocó: I

25 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos V. SOUCIÓN DE SISES DE ECUCIONES INEES uchos prolems de l vd rel olg resolver smultáemete vrs ecucoes leles pr hllr ls solucoes comues tods ells. mé result muy útles e geometrí (ls ecucoes leles se terpret como rects y plos, y resolver u sstem equvle estudr l poscó reltv de ests fgurs geométrcs e el plo o e el espco). U sstem de ecucoes leles es u cojuto de ecucoes leles que se puede escrr de form trdcol sí : m m m m U sstem sí epresdo tee m ecucoes y cógts, dode sstem, los vlores j so los coefcetes reles del m so los térmos depees del sstem y ls cógts vrles del sstem. solucó del sstem es u cojuto ordedo de úmeros reles tles que l susttur e ls cógts stsfce l vez ls m ecucoes del sstem. Este msmo sstem de ecucoes leles e otcó mtrcl tee est form : [ ] [ ] [ ] so ls s, s,, s m m m m dode: [ ] es u mtrz de coefcetes [ ] es u vector de costtes es u vector de cógts [ ] V.. ÉODO DE RIZ INVERS Se l ecucó mtrcl: [ ] [ ] [ ] que deot u sstem de ecucoes leles. Est ecucó puede ser resuelt pr [ ], premultplcdo [ ] resultdo, tmé se premultplc [ ] por l vers de [ ]: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], esto es: por su vers, y pr o lterr el

26 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos [ ] [ ] [ ] Ejemplos. Resolver los sguetes sstems de ecucoes: ) Solucó. ( ) dj dj [ ] [ ] [ ] ; ) z y z y z y Solucó. ( )

27 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos dj dj [ ] [ ] [ ] ; y ; z V.. ÉODO DE EIINCIÓN DE GUSS Ddo u sstem de m ecucoes co cógts el método de elmcó de Guss cosste e oteer u sstem equvlete cuy prmer ecucó teg cógts, l segud, l, y sí sucesvmete hst llegr l últm ecucó, que tedrá u sol cógt. tercer Hecho esto, se resuelve l últm ecucó, cotucó l peúltm, y sí hst llegr l prmer. Es decr, el método de Guss cosste e trgulr l mtrz de coefcetes. Esto sgfc que se dee elmr e l segud ecucó, y e l tercer ecucó,, y e l tercer ecucó, etc. Flmete e l últm ecucó, se dee elmr todos los coefcetes ecepto el de l vrle. U vez que se modfcro tods ls ecucoes, l solucó es completd por susttucó desde l últm ecucó hc ls terores. Ejemplos. Resolver los sguetes sstems de ecucoes: m m

28 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos y ) y Solucó. _( ) _( ) multplcdo l ecucó ( ) por : y _( ' ) multplcdo l ecucó ( ) por y _( ' ) multplcdo l ecucó ( ') por : y se sum l ecucó ( ) : y coocd y, se susttuye e ( ') y se despej, termdo el proceso: ( ) ; y ) Solucó. _( ) _( ) _( ) ultplcdo l ecucó ( ) por : _( ' ) multplcdo l ecucó ( ) por _( ' ) multplcdo l ecucó ( ') por : _( ' ') multplcdo l ecucó ( ) _( ' ) por multplcdo l ecucó ( ') por _( ' ') y se sum l ecucó ( ) : : y se sum l ecucó ( ) y se sum l ecucó ( ') :

29 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos f de precr mejor el resultdo, se dopt el sguete orde: _( ' ) _( ' ') _( ' ') se oserv que se dee covertr e el coefcete de de ( '') vrle y comezr l solucó hc trás, sí que se multplc dch ecucó por coocd, se susttuye e ( '') estos dos vlores se susttuye e ( ') ; ; y se despej : y se despej, termdo el proceso: pr oteer l solucó de es : V.. REG DE CRER regl de Crmer es plcle pr quellos sstems que tee gul úmero de ecucoes que de cógts ( m) y el ermte de l mtrz de coefcetes es dstto de cero. Es decr, pr sstems de que tee sempre u solucó úc (comptles ermdos). El vlor de cd cógt j se otee de u cocete cuyo deomdor es el ermte de l mtrz de coefcetes y cuyo umerdor es el ermte que se otee l cmr l colum j del ermte de l mtrz de coefcetes por l colum de los térmos depees. Ejemplos. Resolver los sguetes sstems de ecucoes: ) Solucó.

30 Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos Pr clculr, se susttuye los térmos depees e l prmer colum: Pr clculr, se susttuye los térmos depees e l segud colum: ; ) y z y z y z Solucó: Pr clculr, se susttuye los térmos depees e l prmer colum: Pr clculr y, se susttuye los térmos depees e l segud colum: y y Pr clculr z, se susttuye los térmos depees e l tercer colum: z z ; y ; z